17. FATICA AD AMPIEZZA VARIABILE

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1 7. FIC D MPIEZZ VRIBILE G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Spesso compoet struttural soo soggett a store d carco elle qual ccl d fatca hao ampezza varable (fg.), ad esempo ccl co tesoe alterata a (o a ), ccl co tesoe alterata a (o a ) etc. Il problema della stma della vta a fatca queste codzo o è stato rsolto completamete e rsultat otteut usado gl approcc presetat soo dcatv; stme molto pù precse possoo essere rcavate solo da dat spermetal. ra le dffcoltà prcpal s deve rcordare l fatto che la curva d Wöhler vee rcavata utlzzado per cascu valore dell ampezza d cclo u provo dfferete (verge). I realtà le propretà del materale s vao modfcado mao a mao che vegoo applcat ccl d fatca e, partcolare, l applcazoe d alcu ccl d ampezza elevata provoca varazo d ressteza seso postvo o egatvo a secoda del lvello d carco, che dovrebbero essere caratterzzate da u uovo dagramma d Wöhler. a a (a) (b) (c) a a a a t 8 Fg.7. - Esemp d store d carco co ccl ad ampezza varable: (a) grupp d ccl co ampezza crescete, (b) ccl a meda ulla ed ampezza varable modo aleatoro (o radom), (c) ccl co ampezza e valor medo varabl modo aleatoro. Crtero d Mer Ua teora semplce che descrve modo approssmato l daeggameto cumulatvo a fatca è quella d Palmgree-Mer (PM). S cosdero le seguet defzo: a soo le ampezze de ccl d fatca classfcate u umero dscreto d lvell (come, ad esempo, e cas a e b d fg.), N(a ) o N è l umero d ccl d vta corrspodete a cascua ampezza a, tpcamete otteble dal dagramma d Wöhler, è l umero d ccl d fatca d ampezza a applcat al compoete, è l umero totale d ccl d fatca applcat al compoete, D(a ) o D è l daeggameto provocato da ccl d ampezza a. Il daeggameto D(a ) o D può essere espresso medate ua delle seguet relazo (del tutto equvalet): ( ) D a N a ( ) D (7.a,b) N È facle dedurre che l daeggameto provocato dal sgolo -esmo cclo d ampezza a è dato da D N (7.) Il daeggameto D provocato da tutt ccl può essere otteuto co le seguet espresso D D N D D N (7.a,b) la prma delle qual è utle el caso cu la dstrbuzoe de ccl è ota medate valor d coteggo, relatv a lvell dscret delle ampezze, la secoda el caso cu le ampezze de ccl soo memorzzate forma dgtale ua successoe a ed è possble otteere modo aaltco corrspodet valor N, come accade el caso d sollectazo su compoet regstrate eserczo. I quest cas, fatt, o è ecessaro che esse sao raggruppate geerado evetual valor d coteggo. I base alla teora d PM l cedmeto s verfca quado D ragguge l lvello crtco D, che, teorcamete, è par all utà; fatt, se l provo è sottoposto solo a N ccl d ampezza a, per qual s ha l cedmeto, le () forscoo: 7.

2 N D D a D a N ( ) ( ) D G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche N N D N N (7.a,b) Come detto, l valore N da trodurre elle () e (), el caso d ampezza meda della sollectazoe ulla, può essere rcavato medate la ota formula emprca che costtusce l espressoe aaltca della curva d Wöhler: N K a (7.5) ella quale K e soo costat relatve al materale. La (5) può essere scrtta come N a K (7.6) ed essere trodotta elle (, ) otteedo: D a K a K D (7.7a,b) I dat da predere cosderazoe per utlzzare le (7) soo parametr della curva d Wöhler e le ampezze de ccl d tesoe a ; se ccl soo classfcat lvell dscret s devoo cosderare ache umer d ccl. Il crtero d PM o tee coto della varazoe delle propretà d ressteza del materale che s verfca durate l applcazoe d ccl d fatca ad ampezza varable, quato valor d N(a) s rferscoo alla curva d Wöhler che, come gà detto, vee rcavata utlzzado prov dfferet, cascuo sottoposto a ccl d ampezza costate. I altre parole s dce che essa o tee coto dell orde co cu soo applcat ccl d carco. Per teere coto d questo fatto s potrebbe modfcare l valore d D ; l campo de valor spermetal otteut è.5 D.. Effetto della tesoe meda Le espresso (7) soo valde per ccl co valor medo m ullo (ma ache egatvo) e possoo essere modfcate per mezzo del oto crtero d Goodma modo da teere coto dell evetuale valore medo postvo de ccl. I partcolare, l crtero d Goodma forsce la seguete tesoe equvalete a G a G a m r (7.8) ella quale r è la tesoe d rottura del materale. Come è oto la tesoe a G può essere cosderata ua tesoe solo alterata cu corrspode lo stesso umero d ccl d vta N della combazoe delle teso meda ed alterata m ed a effettvamete aget. Sosttuedo questa espressoe al posto d a ell eq.(7a) s ottee la seguete espressoe del dao d fatca valda per ccl co valor medo postvo: a D a K K m G,, r (7.9) ella quale per s tede l umero d ccl la cu combazoe d tesoe meda e alterata secodo la (8) dà luogo allo stesso valore della tesoe equvalete a G e per, s tede umero d ccl avet compoete alterata par ad a e compoete meda par ad m. I geerale covee calcolare la tesoe a G per cascu cclo, rcavare l umero d ccl che hao lo stesso valore della tesoe equvalete a G ed utlzzare l secodo terme della (9). Per ua evetuale applcazoe mauale, l terme d destra della (9), scrtto per esteso, forsce: a a a D K m m m,,, r r r (7.) Nel caso cu valor delle teso mede ed alterate de ccl costtuscoo ua sequeza d coppe a, m memorzzate forma dgtale è opportuo effettuare la somma de daeggamet provocat da sgol ccl medate la seguete relazoe dervata modo ovvo dalle (7b) ed (8): a D ag K K m r Ovvamete per valor medo egatvo cotuao a valere le (7). (7.) 7.

3 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche La tesoe equvalete d Mer Cosderado u seme d ccl d fatca avet ampezza varable, s defsce tesoe equvalete d Mer l valore d ampezza costate che provoca lo stesso daeggameto per lo stesso umero d ccl. La sommatora presete ella () può essere sosttuta co l prodotto dell ampezza della tesoe d Mer per l umero de ccl: a G r D a K K m K esplctado la (a) rspetto a se e ottee l'espressoe: (7.) a ag r m (7.) Nel caso sao ot valor d coteggo o,, può essere otteuta come a m a G,, r (7.) Naturalmete per ccl co valor medo ullo può essere utlzzato l terme a sstra delle ( o ) cosderado a G a. Dalle (,) s osserva che la tesoe equvalete d Mer cocde co l valor medo della tesoe equvalete d Goodma elevata all espoete, elevato ad /. Store d carco rpettve e/o perodche Le espresso (,) soo utl el caso cu la successoe d ccl d fatca è d tpo perodco e valor possoo essere determat all tero del sgolo perodo. Sao: l perodo della stora d carco, l umero totale de ccl el sgolo perodo, D l daeggameto provocato dalla stora d carco, la durata temporale del compoete (espressa utà d msura temporal) o durata a fatca, D l daeggameto al cedmeto ( macaza d formazo specfche D ), R l umero d volte cu la stora d carco vee rpetuto fo al cedmeto, N l umero totale d ccl al cedmeto. I questo caso è d teresse determare la durata del compoete o l umero d rpetzo del perodo d carco al cedmeto, R, a partre dalla coosceza d ed, oltre, aturalmete, a valor d e d a o a f (oppure d,, a e m ) e alle caratterstche del materale K, e r co qual deve essere determata la tesoe equvalete d Mer (,). Determata medate la () o la (), l daeggameto D el perodo può essere calcolato medate l terme d destra della () troducedo al posto d. Il umero d rpetzo al cedmeto può essere espresso medate le seguet relazo R N D (7.5) D D Il umero d ccl a rottura N può essere otteuto medate la relazoe d Wöhler ella quale vega trodotta la tesoe equvalete d Mer espressa medate la () o la (): N K (7.6) Sosttuedo N ella (5) co l terme d destra della (6), R può essere espresso come Utlzzado acora la (5), può essere otteuto come R N K (7.7) K R (7.8) 7.

4 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Metod d coteggo per store d carco rregolar f dell aals d fatca ua stora d carco (t) può essere rdotta alla sola sequeza degl estrem e, coè de massm e mm relatv (fg.). I massm vegoo chamat pcch (p) e mm vall (v). U altra gradezza d teresse è la dffereza modulo tra due estrem cosecutv defta semcclo (r dall glese rage). I partcolare, ua sequeza d e estrem orga r e semccl, deft come r e e + ( pratca rp v o r v p ). I ua stora d carco u cclo d fatca è mmedatamete detfcato quado, partedo, ad esempo, da u pcco, l pcco successvo ha all crca lo stesso valore del precedete. Nel caso d store d carco rregolar questo fatto spesso o s verfca (ved fg.) e l detfcazoe del cclo d fatca rchede l applcazoe d procedure che predoo l ome d metod d coteggo. Quado u cclo vee detfcato esso vee classfcato base alla sua ampezza a e al valor medo m per la successva utlzzazoe medate l crtero d daeggameto scelto (ad es. PM). Il metodo rage mea/raflow Nel metodo rage mea - che forsce gl stess rsultat del metodo raflow ad esso atecedete (. Edo, 97) - la codzoe affché u cclo vega detfcato è data dal fatto che, ua combazoe pcco-valle-pcco o valle-pcco-valle (costtuta, qud, da semccl), l secodo semcclo abba ampezza maggore o uguale a quella del prmo. Questa crcostaza è mostrata fg.: l cclo d fatca (B') vee detfcato solo e cas (a) e (b) essedo B < B C. I geerale la codzoe per l detfcazoe d u cclo o s verfca tra estrem cosecutv (fg.a), d cosegueza tra u pcco (o valle) e l successvo pcco (o valle) d ampezza maggore (more) o uguale s vee a trovare ua successoe d vall e pcch che a sua volta rchede la determazoe de ccl corrspodet. Il metodo rage mea vee applcato modo sequezale, cofrotado l ampezza d cascu semcclo r co quella del semcclo successvo r +, partedo dal prmo semcclo. Og volta che u semcclo verfca la codzoe del rage mea, coè s verfca r <r +, (ovvero e e + < e + e + ), esso vee coteggato come cclo completo (ad es. fg.b,c), memorzzadoe l ampezza a r / e e + / e l valor medo m (e +e + )/, essedo l dce d coteggo de ccl che deve essere cremetato og volta che e vee detfcato uo. Oltre ad a ed m deve essere memorzzato l dce del semcclo, poché, al terme delle operazo d cofroto, due estrem apparteet a cascu cclo detfcato devoo essere elmat dalla sequeza, dado luogo ad ua sequeza resdua (ad es. fg.d). È mportate otare che se la codzoe r <r + rsulta verfcata e l -esmo cclo vee memorzzato, l aals della sequeza deve prosegure cosderado l cclo d dce +, coè saltado l semcclo d dce +, quato facete parte del cclo appea coteggato. L seme delle operazo d cofroto, memorzzazoe e successva elmazoe degl estrem descrtta costtusce ua terazoe dell elaborazoe. ale terazoe deve essere rpetuta su cascua sequeza resdua fo a quado, al terme d ua esecuzoe, o vee pù detfcato alcu uovo cclo o l umero d estrem della sequeza resdua è e <. Geeralmete o vegoo pù detfcat uov ccl quado la sequeza resdua rsulta costtuta da semccl d ampezza decrescete, per qual la codzoe del rage mea o può essere verfcata. U esempo dell tera procedura vee descrtto facedo rfermeto alla fg.. a. I fg.a è mostrata la sequeza d estrem BCDEFGHI. Gl estrem soo e 9 e semccl r 8, partcolare r B, r BC, r CD, r DE, r 5 EF, r 6 FG, r 7 GH, r 8 HI. b. La prma terazoe za dal prmo pcco della sequeza, coè (fg.b). Come s osserva fg.b, vee detfcato l cclo BCB, essedo BC<CD, coè r <r. Il cotatore vee posto ad e l dce vee memorzzato per la successva elmazoe dalla sequeza de pcch B e C, modo che l percorso D dvet u semcclo (fg.b). c. L terazoe cotua dal pcco D (fg.c) d dce. Vee detfcato l cclo FGF, essedo FG<GH, coè r 6 <r 7. Il cotatore vee cremetato a e l dce 6 vee memorzzato per la successva elmazoe dalla sequeza de pcch F e G, modo che l percorso EH dvet u semcclo. Le operazoe d cofroto hao terme, essedo HI l ultmo semcclo della sequeza. I pcch B, C, F e G, d dc, +, 6 e 76+, vegoo elmat, completado la prma terazoe. d. La prma terazoe ha geerato la sequeza resdua DEHI (fg.d); pcch soo e 5 e semccl r, partcolare r D, r DE, r EH, r HI. La secoda terazoe za acora dal pcco. Vee detfcato l cclo EHE, essedo EH<HI, coè r <r. Il cotatore vee cremetato a e l dce vee memorzzato. I pcch E ed H, d dc e +, vegoo elmat, completado la secoda terazoe. B C ' r e e e Ce Be pcch De Ee5 Fe6 vall Fg.7. - Stora d carco co adameto rregolare. I pcch (vall) cosecutv o hao uguale valore. B ' C (a) (b) (c) (d) Fg.7. - Codzoe per l coteggo d u cclo el metodo raflow. La codzoe è verfcata e cas (a) e (b). B C B C t t 7.

5 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche e. La secoda terazoe ha geerato la sequeza resdua DI (fg.e); pcch soo e e semccl r, partcolare r D, r DI. La terza terazoe za acora ua volta dal pcco. Vee detfcato l cclo D, essedo D<I, coè r <r. Il cotatore vee cremetato a e l dce vee memorzzato. I pcch e D, d dc e +, vegoo elmat lascado, questo caso, l uco estremo resduo I e la terza terazoe ha terme. L tera operazoe d coteggo ha terme, essedo e <, e l rsultato del processo d coteggo è rassuto tabella () C () B () D E (5) F G (7) H (7) I (9) t B () C B D E (a) (b) (c) F G H I t B C B D E F G (7) F H I t 5 () I (5) 5 () I () E () E - t - t - - D () H () - - D () (d) Fg.7. - Esempo d applcazoe del metodo raflow. Il metodo raflow, che potrebbe essere reso talao co caduta della gocca, prede tale ome perché l detfcazoe de ccl può essere effettuata mmagado d fare cadere delle gocce d acqua lugo l percorso costtuto dalla stora d carco posto vertcale (fg.5). I put d terruzoe della caduta delle gocce, stablt da ua sere d regole alquato macchose che, per brevtà, o vegoo rportate, permettoo d detfcare ccl. (e) D B C r a m BC.5.5 FG.. EH.5.5 D.. ab.7. - Rsultato del coteggo rage-mea per la stora d carco fg.. E D D D F B F B F BF B F G H C E C E C E CE t Fg Percors e terruzo della gocca che cade. I G G G (a) (b) (c) Fg Metodo rage-par: (a) stora d carco, (b) detfcazoe semccl accoppabl, (c) ccl otteut. Il metodo rage-par Il metodo rage-par è cocettualmete molto semplce: u cclo vee determato accoppado due semccl avet pedeza opposta ed estrem crca egual. I due semccl possoo avere ua dstaza temporale qualsas. La fg.6 descrve la sua applcazoe. 7.5

6 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Cofroto tra metodo d coteggo Verfche spermetal hao mostrato che, dal puto d vsta della fatca, l effetto d ua stora d carco del tpo d quella mostrata fg.6 è quello d u cclo d ampezza elevata (DG) pù due ccl d ampezza more. I geerale s può rteere che semccl pù pccol sao delle mere terruzo de ccl d ampezza maggore. La fg.7 mostra che l metodo raflow (a,c) rspetta questa cosderazoe, metre l rage-par determa l detfcazoe d due ccl d ampezza termeda. I geerale l metodo raflow tpcamete detfca u maggore umero d ccl d ampezza elevata e bassa, metre l rage-par detfca ccl d ampezza termeda. Poché l daeggameto è causato prcpalmete da ccl pù amp, l raflow rsulta pù coservatvo e pù aderete alla realtà spermetale. (a) (b) (c) (d) Fg.7.7- pplcazoe de metod d coteggo: raflow (a) e rage-par (b). Ccl otteut: raflow (c) e rage-par (d). Classfcazoe de ccl d fatca Nel caso d grad umer d ccl, la loro classfcazoe per ampezza e valor medo deve essere effettuata modo dscreto. I partcolare l rsultato del coteggo può essere rassuto ua matrce a,m (ab.), cascu elemeto, della quale cotee l umero d ccl (o frequeza) avet ampezza e valor medo compres opportu tervall a a a e m m m. I geerale tal tervall possoo essere determat co la seguete procedura: s detfcao valor massmo e mmo ella stora d carco ma e m ; l campo d rfermeto per valor med sarà m m ma e quello delle ampezze <a ( ma m )/; s selezoa l umero N d tervall cu verrà dvsa la sem-ampezza del campo par a ( ma m )/ e s determa l ampezza degl tervall come a m( ma m )//N ; utlzzado questo valore s determao lvell d rfermeto a ( ), co,..,n+, e m ( ) + m, co,..,n +. Per og cclo detfcato, avete ampezza a e valor medo m, vee cremetato l elemeto della matrce a,m cu dc soo dat dalle seguet espresso: t[a/ ]+ t[(m m )/ ]+ (7.a,b) elle qual t[] è l operatore che resttusce la parte tera d u umero. Co rfermeto all esempo d ab., cu ma, m, N 8 (da cu.5), per u cclo d ampezza a.8 e valor medo m.7 verrà cremetato l elemeto (,) essedo t[.8/.5]++, t[(.7+)/.5]++. La matrce a,m costtusce l stogramma della sequeza d ccl cosderata. Dvdedo valor dell stogramma per l umero totale de ccl e per l campo s ottee ua stma della fuzoe d destà d probabltà delle ampezze e valor med della sequeza d ccl, tato pù precsa quato maggore è l umero de campo e l umero N d tervall, ovvero more la loro ampezza rspetto all ampezza complessva ( ma m ). m a \ (,) (,) (,) (,) (,5) (,6) (,7) (,8).5. (,) (,)..5 (,).5. (,) (,8) ab.7. - Esempo d matrce a,m per la classfcazoe. Caso d ma, m, N8 (.5). U altro tpo d classfcazoe de dat relatv a ccl d fatca è quello costtuto dalle matrc d traszoe f, d dmeso NN, elle qual è rportato l umero d passagg da pcco a valle e da valle a pcco che s verfca ella stora d carco (ab.). Cascu elemeto f, della matrce cotee l umero d volte elle qual s verfca l passaggo dal lvello al lvello, per cu quado >, l elemeto rappreseta l umero d passagg da pcco a valle e vceversa. I fase d coteggo, per prma cosa s trasforma la successoe d pcch e (,..,) successoe d dc. I partcolare, s assega al mmo lvello d valle v m l dce e al massmo lvello d pcco p ma l dce massmo N e s determao gl cremet d lvello tra u dce e l successvo come e(p ma v m )/(N ). d og estremo e (pcco o valle) vee assegato u dce medate la relazoe t[(e v m +.5)/ e]+. Se s verfca la codzoe etramb gl elemet vegoo elmat. Successvamete l coteggo vee effettuato scorredo la successoe d dc, per,..,, e cremetado d volte volta l elemeto f(, ) della matrce d traszoe. I fg.8 è mostrato u esempo d stora d carco e gl dc determat el caso d v m, p ma, N6. 7.6

7 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche ab.7. - Matrce d coteggo f relatva ad ua sequeza d carco stadard campo aeroautco. Ccl della sollectazoe agete sulla superfce ferore dell ala all attacco co la fusolera aere tattc soggett a maovre severe. È evdete che questo tpo d matrce deve essere utlzzato per smulare sequeze d carco medate opportu algortm formatc (ved appedce). Per determare l lvello degl estrem (pcch o vall) a partre dagl dc della matrce è possble utlzzare l espressoe e( ) e+v m, troducedo opportuamete e al posto d e cosderado valor v m e p ma realstc per l compoete aalzzato. Sulle sequeze otteute, avet dstrbuzo de semccl sml a quelle delle store d carco medate le qual le matrc stesse soo state determate, vee po applcato u metodo d coteggo per determare le ampezze e valor med de ccl d fatca. Queste matrc soo utlzzate tpcamete campo aeroautco e vegoo realzzate effettuado dverse msso tpche per la categora d aeromobl cu s rferscoo, msurado le sollectazo che s verfcao, coteggado passagg tra gl estrem ed effettuado ua meda tra cotegg. I ab. soo rassute le formule per l utlzzazoe delle matrc ed f. U altra modaltà d classfcazoe de ccl d fatca è quella del cosddetto spettro d carco. Esso è costtuto dall seme de ccl ordat per ampezza decrescete, rappresetat co le ampezze ordate e l orde ascsse. Le ampezze possoo essere ormalzzate rspetto al valore massmo e l orde può essere rappresetato coordate logartmche. Questo tpo classfcazoe può essere utlzzata el caso cu ccl hao valor medo ullo o trascurable, oppure el caso cu s cosderao le ampezze equvalet d Goodma. I fg.9 è mostrato u esempo d spettro d carco co ampezze ormalzzate ed orde coordate logartmche e, Fg.7.8 Stora d carco e dc corrspodet agl estrem per v m, p ma, N6 (da cu e). Fg.7.9 Esempo d spettro d carco. Matrc a,m meda-ampezza Matrc f pcco-valle N -N Icremet a,m/e dc dc a,m/e t[a/ ]+ a umero tervall ( ma m )/N t[(m m )/ ]+ m + m dce massmo e(p ma v m )/(N ) t[(e v m +.5)/ e]+ e( ) e+v m ab.7. Formule per la determazoe degl dc delle matrc d coteggo a partre dalle store d carco e formule verse per l utlzzazoe delle matrc. 7.7

8 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Classfcazoe de ccl medate la fuzoe destà d probabltà I alcu cas, partcolare el caso d store d carco schematzzabl come process aleator o radom, la classfcazoe de ccl può essere espressa sotto forma aaltca medate la fuzoe d destà d probabltà vece che medate ua matrce, che pure e può costture u approssmazoe ( pratca e rappreseta ua dscretzzazoe). d esempo, el caso d process radom stazoar gaussa a bada stretta co valor medo ullo s dmostra che la dstrbuzoe d probabltà delle ampezze de ccl è data dalla fuzoe d Raylegh ella seguete forma ( ) p a a a ep (7.) ella quale è l valor quadratco medo del processo d tesoe (cocdete co la varaza per process a meda ulla). U grafco della dstrbuzoe d Raylegh per l caso d è rportato ella fg.6. Ovvamete l umero d ccl avet ampezza compresa u tervallo a a + a può essere otteuto tegrado la fuzoe destà d probabltà ell tervallo stesso e moltplcado l rsultato per l umero totale d ccl, coè: ( ) ( ) a+ a (7.) p a da p a a I base alla (), l espressoe del dao d fatca per ccl a valor medo ullo (5) può essere modfcata per l caso cu la dstrbuzoe d ccl d fatca è ota tramte ua fuzoe d destà d probabltà p(a) el seguete modo: D a a p a da K K ( ) (7.) ella quale è l umero totale de ccl e K ed soo le costat della curva d Wöhler relatve al materale. Estededo l cocetto d tesoe equvalete d Mer (,) - par al valor medo della tesoe equvalete d Goodma elevata all espoete elevato ad / - al caso d coteggo de ccl sotto forma d fuzoe destà d probabltà, s ottee: a p ( a) da a a (7.) che l espressoe del daeggameto per ccl co valor medo postvo (8) può essere modfcata per l caso cu la dstrbuzoe d ccl d fatca è espressa da ua fuzoe destà d probabltà p(m,a): a a D p m a dm da K, m r K m / m a r, (, ) (7.5) essedo, l umero d ccl avet compoet alterata e meda compres tervall a e m esprmble come m+ a+ ( ) ( ) (7.6), p m, a dm da p m, a m a m a La tesoe equvalete d Mer questo caso dveta: a p ( m, a) dm da (7.7) m / m a r Itroducedo la tesoe equvalete d Goodma a G (7.8), la (5) e la (7) possoo essere rscrtte come a G D ag p ( ag ) da (7.5b) G K a p( a ) da G G G G (7.7b) a 7.8

9 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Process aleator I molt cas le forzat aget su sstem meccac e le coseguet sollectazo sulle strutture soo ote forma d regstrazo temporal, ogua dfferete dall altra a causa della atura aleatora del feomeo da cu dervao e o possoo essere descrtte medate fuzo determstche del tempo. pc cas d forzat aleatore sulle strutture soo la turboleza, le ode mare, l terremoto, l rregolartà del mato stradale, ecc... I molt cas ua descrzoe sgfcatva della rsposta strutturale può essere otteuta solo seso statstco, modellado la stora d carco come u processo aleatoro o radom. I geerale u processo aleatoro è costtuto da ua varable aleatora fuzoe d u parametro determstco: el caso dell aals a fatca la varable aleatora è la tesoe agete el puto d teresse della struttura e l parametro determstco è l tempo t. Per descrvere statstcamete u processo aleatoro (t) è ecessaro u umero N d regstrazo c (t) c,...n, suffcetemete elevato del feomeo, cascua estesa u tervallo, ach esso suffcetemete ampo. Og regstrazoe vee chamata campoe ed l totale de campo seme de campo (fg.). f della valutazoe del dao d fatca prodotto da u processo aleatoro d tesoe cò che teressa è la sequeza degl estrem d cascu campoe. I partcolare, l ampezza de ccl d fatca è legata alla dstaza tra pcch e vall lugo l asse, metre l umero de ccl rspetto all tervallo d tempo aalzzato è legato alla dstaza tra pcch msurata lugo l asse temporale t. Com è ovvo, la prma caratterstca è legata alle caratterstche d ampezza del processo, metre la secoda è legata al suo coteuto frequeza. Ua prma descrzoe statstca del processo vee effettuata cosderado valor assut da tutt campo cascu state t e determadoe la fuzoe destà d probabltà p (,t). d esempo, fg. soo mostrat 5 campo estratt da process aleator e valor assut stat t, t e t e fg. soo mostrate le fuzo d destà d probabltà de campo agl stat cosderat, el caso partcolare delle gaussae. I fg. s può otare come l prmo processo abba ua dstrbuzoe statstca costate el tempo, metre el secodo la varaza del processo è fuzoe del tempo. Gradezze utl alla caratterzzazoe statstca dell ampezza del processo og sgolo state soo l valor medo, l valor quadratco medo e la varaza del processo deft rspettvamete come: Fg.7. - Campo d process aleator: a sstra co parametr statstc costat el tempo, a destra co valor quadratco medo varable Fg.7. - Dstrbuzo d probabltà (d tpo Gaussao) de process d fg. relatve a tre stat dvers. 7.9

10 N m t E t p t d t ( ) ( ) (, ) lm ( ) c N N c c N N c G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche N q ( t) E ( t) p (, t) d lm ( t) (7.8-) N ( t) E ( t) m ( t) m ( t) p (, t) d lm c ( t) m ( t) N N c elle qual E[] è l operatore d meda stocastca. al gradezze, geerale, soo fuzo del tempo. È facle osservare che esse possoo essere otteute dalla coosceza della fuzoe destà d probabltà del processo, oppure cosderado u umero d campo suffcetemete ampo. Per la varaza, oltre, vale la ota relazoe ( t) q ( t) m ( t) (7.) base alla quale essa può essere otteuta come dffereza tra l valor quadratco medo e l quadrato della meda. La meda e la varaza soo dette ache momet rspettvamete del prmo e del secodo orde della varable aleatora. Ioltre, com è oto, la radce quadrata della varaza, coè (t), è defta scarto quadratco medo o devazoe stadard. I fg. soo mostrat campo d process de qual l prmo ha parametr statstc costat el tempo e gl altr valor medo e/o devazoe stadard varabl col tempo. Process gaussa Se og state la dstrbuzoe d probabltà del processo p (,t) è d tpo gaussao, coè è descrtta dalla seguete equazoe p m ( t), ep π ( ) t ( t) ( t) (7.) l processo s defsce gaussao. pcamete, affché u processo d tesoe rsult gaussao, la sollectazoe gresso alla struttura deve essere a sua volta d tpo gaussao e l sstema meccaco deve essere d tpo leare (coè le equazo che legao le teso aget a carch applcat devoo essere d tpo leare). Esemp d fuzo d dstrbuzoe d probabltà d tpo gaussao soo mostrate fg.. Il valore della fuzoe d dstrbuzoe d probabltà gaussaa dmusce mao a mao che la varable s allotaa dal valor medo; partcolare, el caso de process a meda ulla, la probabltà che s verfch (t) >, oppure (t) >, oppure (t) >5 è, rspettvamete, d crca lo.7%, lo.6% e lo.57% a) b) c) d) Fg.7. - Campo d process aleator: a) processo co meda e varaza costat, b) processo co meda costate e varaza varable, c) processo co meda varable e varaza costate, d) processo co meda e varaza varabl. 7.

11 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche La correlazoe Le fuzo trodotte descrvoo caratterstche statstche relatve a sgol stat del processo partcolarzzado l valore d t. al fuzo soo utl ad aalzzare l coteuto ampezza del processo, ma per avere formazo rguardat l coteuto frequeza è ecessaro trodurre delle fuzo che mettao relazoe tra loro valor assut dal processo stat dfferet. Le mede a temp multpl forscoo ua msura della relazoe statstca esstete tra varabl aleatore estratte da u processo stat dfferet e permettoo d effettuare ua stma della varabltà del processo rspetto al tempo. Se t e t soo due stat del perodo, la cu dstaza temporale è data da τ t t, la meda a temp multpl del secodo orde, defta fuzoe d autocorrelazoe, è data dalla seguete relazoe: R t t E t t p d d t t N (, ) ( ) ( ), (, ) lm ( ) ( ) (7.) c c N N c ella quale p (, ) è la fuzoe destà d probabltà coguta delle varabl (t ) ed (t ) che, geerale, assume forma dfferete per cascua coppa d stat selezoata. Covolgedo el prodotto varabl relatve ad stat t s possoo otteere le mede a temp multpl d orde. I lea teorca la caratterzzazoe completa d u processo aleatoro rchede la coosceza delle mede d qualsas orde, per qualsas seme d stat. La fuzoe R vee pù sgfcatvamete scrtta fuzoe d u state geerco t ed esprmedo l altro state medate la dstaza temporale τ che l separa, dado luogo alla seguete espressoe: (, τ ) ( ) ( + τ ) R t E t t (7.) I base alla defzoe (), poedo t t, t + t+τ, la () può essere scrtta ache come N (7.5) (, τ ) ( ) ( ) (, ) lm ( ) ( + τ ) R t p d d t t t t+ c c N N c I pratca per otteere l valore d R (t,τ), relatvo a stat del processo t e t+τ, s valuta l prodotto de valor assut da cascu campoe egl stat cosderat e se e calcola la meda estesa a tutt campo. Nelle fg. e soo mostrat campo d process e le fuzo d autocorrelazoe de process cu appartegoo. Nel caso partcolare process hao propretà statstche costat el tempo e le fuzo d autocorrelazoe soo mostrate al varare d τ per fssato state t. È facle compredere che l valore d R (t,τ), tpcamete, dmusce al crescere d τ e dmusce quato pù velocemete campo del processo varao d testà fuzoe del tempo. Ifatt (fg.-): R (t,τ) assume l valore massmo per τ; se τ, fatt, s ha c (t) c (t+τ) c (t) e la fuzoe R (t,τ)r (t,) rsulta cocdete co l valor quadratco medo del processo all state t: questo caso tutt term della sommatora estesa a campo rsultao postv e cotrbuscoo ad aumetare l rsultato, metre se τ> oτ< l prodotto c (t) c (t+τ) potrà rsultare postvo alcu cas e egatvo altr, dado luogo a valor pù bass rspetto al caso d τ, (fg.-); R (t,τ) è ua fuzoe par, fatt se s vertoo tra loro put cosderat, l prodotto c (t) c (t+τ) c (t+τ) c (t) o camba, (fg.-); se l processo tede ad essere molto varable co l tempo, la fuzoe R (t,τ) tede a decrescere molto rapdamete al crescere d τ; ved fg., caso (); se l processo ha delle caratterstche d perodctà, la fuzoe R (t,τ) può torare a crescere per u certo tervallo d τ; come s ota elle fg. e per process (l), () e (), dversamete dal processo (). I og caso R (t,τ) per τ e assume l valore massmo per τ. Per la caratterzzazoe de process aleator s usa ache la fuzoe d autocovaraza così defta ( t, t ) E [ ( t ) m ( t )][ ( t ) m ( t )] R ( t, t ) m ( t ) m ( t ) p Se la fuzoe destà d probabltà p (, ) elle () e (5) è d tpo Gaussao assume la seguete forma (, ) π ρ m m ρ ep ( ρ ) + ( m )( m ) (7.6) (7.7) 7.

12 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche (t) () R(τ) S(ω) t τ ω.5 (t) () R(τ) S(ω) t τ ω Fg.7. Process stazoar, gaussa, a bada stretta, meda ulla. Da sstra a destra, campoe del processo, fuzoe d autocorrelazoe, destà spettrale d poteza. (): processo a bada stretta, (): processo smle al () co veloctà agolare meda meo elevata. (t) () R(τ) S(ω) t τ ω (t) () R(τ) S(ω) Fg.7. - Process stazoar, gaussa, a bada larga, meda ulla. Da sstra a destra, campoe del processo, fuzoe d autocorrelazoe, destà spettrale d poteza. (): processo d tpo bmodale, (): processo d tpo espoezale decrescete. ella quale ρ (7.8) essedo E[ ] E[ ] E[ ] q m m (7.9) t τ ω Nel caso questoe (t), (t+τ) e, base alla (), q R (t,τ). I process mostrat elle fg. e hao tutt la stessa dstrbuzoe gaussaa co gl stess parametr costat el tempo (meda ulla e varaza utara), ma posseggoo caratterstche dfferet term d varabltà lugo l asse temporale, evdezate dalle dfferet caratterstche delle rspettve fuzo d autocorrelazoe. Stazoaretà ed ergodctà U processo (t) le cu propretà statstche varao rspetto al tempo è detto o stazoaro. Se la dstrbuzoe d probabltà della varable (t ) estratta dal processo rsulta dpedete dall state t scelto e la dstrbuzoe d probabltà coguta d coppe d varabl (t) e (t+τ) rsulta dpedete dall state t, l processo s defsce debolmete stazoaro fo al secodo orde. De campo d process gaussa mostrat fg. l prmo appartee ad u processo stazoaro, metre gl altr appartegoo a rspettvamete a process o stazoar per meda, per scarto quadratco medo o per etramb. I u processo debolmete stazoaro fo al orde, la meda e la varaza soo costat e la fuzoe d correlazoe dpede solo dalla dstaza temporale τ tra gl stat pres cosderazoe e o dall state t R ( τ ) E ( t) ( t + τ ) (7.) U processo s dce fortemete stazoaro (o, semplcemete, stazoaro) se le fuzo d destà d probabltà coguta d qualsas orde rsultao dpedet dagl stat selezoat. È possble dmostrare che u processo gaussao debolmete stazoaro è ache fortemete stazoaro. 7.

13 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche I process de qual soo mostrat u campoe e la fuzoe d autocorrelazoe elle fg. e soo tutt stazoar e gaussa. U processo stazoaro s defsce ergodco rspetto alla meda e alla varaza se tal gradezze valutate rspetto al tempo su u sgolo campoe rsultao ugual alle aaloghe gradezze valutate sull seme de campo ad u state arbtraro t. I partcolare, la meda e l valor quadratco medo d u campoe rspetto al tempo soo defte come segue lm ( t) dt lm ( ) e l processo è ergodco se s verfca m t dt (7.,) q (7.a,b) Naturalmete affché u processo sa ergodco deve essere ache stazoaro, ma o è detto l vceversa (ovvero, la stazoaretà è ua codzoe ecessara, ma o suffcete per l ergodctà). Questa propretà permette d stmare propretà statstche del processo utlzzado u solo campoe, purché d durata suffcete. Per molt process stazoar d teresse gegerstco l potes d ergodctà può essere cosderata ammssble. La destà spettrale d poteza U processo stazoaro e gaussao (t) può essere uvocamete caratterzzato el domo della frequeza medate la fuzoe Destà Spettrale d Poteza (Power Spectral Desty - PSD) S (ω), che può essere otteuta come rasformata d Fourer (F) della fuzoe d autocorrelazoe R (τ): + ωτ S ( ω) R ( τ ) e dτ π (7.) La relazoe versa lega la fuzoe R (τ) alla fuzoe S (ω) tramte la trasformata versa (o attrasformata) d Fourer è la seguete ωτ R τ S ω e dω (7.5) + ( ) ( ) Le () e (5) predoo l ome d relazo d Weer-Ktche e soo fodametal quato mettoo relazoe l domo del tempo co quello della frequeza. S ot che la varable ω presete elle (,5) è la cosddetta frequeza crcolare (o veloctà agolare) espressa radat al secodo, legata alla frequeza f dalla ovva relazoe ωπf. La PSD è ua fuzoe reale, par e postva, la cu area sottesa è uguale al valor quadratco medo del processo, come è possble verfcare poedo τ ella () e rcordado che R()E[(t) ] base alla defzoe (5): + ( ) ( ) ( ) R E t S ω dω (7.6) Nel caso d process a meda ulla, cu s farà rfermeto el seguto, l area sottesa dalla PSD e la fuzoe d correlazoe per τ cocdoo co la varaza del processo. La defzoe d destà d poteza asce dalla cosderazoe che l eerga assocata ad u segale varable el tempo è proporzoale al suo quadrato e al tempo el quale agsce. d esempo, se l segale è ua forza che agsce su ua molla, l eerga è proporzoale al prodotto della forza per lo spostameto e questo ultmo è proporzoale alla forza stessa tramte la costate elastca del sstema su cu agsce. Se s dvde per l tempo s passa dall eerga all eerga ad utà d tempo, coè alla poteza, per cu s può affermare che la varaza è proporzoale alla poteza meda espressa dal segale. Poché l tegrale della PSD rspetto ad ω è propro par alla varaza del processo, la PSD stessa rappreseta la poteza specfca (o destà d poteza) del segale rspetto alla frequeza. L aggettvo spettrale vee utlzzato modo aalogo a quato accade ottca dove la rappresetazoe dell eerga posseduta dalla luce al varare della frequeza è defto spettro d eerga. Essedo ua fuzoe par, la PSD è defta ache el campo ω<; spesso, per motv pratc, la parte relatva al campo egatvo ω< vee posta a e la parte relatva al campo ω> vee raddoppata. I questo caso s parla d PSD ulaterale. Nelle fg. e soo mostrate le PSD d process stazoar, seme ad u campoe del processo e alle fuzo d autocorrelazoe. La forma della PSD d u processo è legata alla dstrbuzoe della poteza del processo stesso alle vare frequeze e da essa dpedoo le sue caratterstche damche, partcolare la dstrbuzoe statstca de pcch e de ccl d fatca. La PSD può essere otteuta drettamete dalle F de campo del processo medate la seguete relazoe 7.

14 S ( ω ) ( ω, ) G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche E lm (7.7) π che può essere otteuta co alcu passagg, qu omess, a partre dalla () rcordado la defzoe d R(τ) ella () e le propretà della F: + + ωτ ωτ S ( ω) E ( t) ( t τ) e dτ E ( t) ( t τ) e dτ π + + π (7.8) e troducedo la F de campo del processo defta come ωt ( ω) lm ( ω, ) lm ( t) e dt (7.9) La destà spettrale d u processo può essere stmata dalla meda delle F de campo del processo (ω), co,,..n, effettuata su u tempo ragoevolmete esteso, medate la seguete relazoe otteuta dalla (7): N S S N (7.5) ( ω ) ( ω,, ) ( ω) c π N c La PSD del processo tesoe agete u puto della struttura può essere otteuta a partre dalle regstrazo della tesoe el domo del tempo tramte le (9) e (5), oppure a partre dalla PSD del processo forzate che agsce sulla struttura rsolvedo le apposte equazo della damca. I letteratura possoo essere reperte le PSD relatve a sollectazo struttural provocate da dvers feome aleator, come l proflo del mato stradale, l terremoto, l veto ecc... Per le ote propretà della trasformata d Fourer d ua fuzoe, la PSD della dervata -esma d u processo (che è a sua volta u processo aleatoro) può essere otteuta moltplcado la PSD del processo per la fuzoe ω elevata a, coè S ω ω S ω (7.5) I partcolare, per la dervata prma s ottee: d dt S ( ) ( ) ( ω) ω S ( ω) (7.5) I fg.5 soo rportate a cofroto le PSD de process (), () e (), gà mostrate elle fg. e, co le PSD delle rspettve dervate. Larghezza d bada e parametr spettral Se la PSD ha valor sgfcatv u tervallo d frequeze lmtato, come e cas mostrat fg., l processo s defsce a bada stretta. pcamete u processo a bada stretta rsulta caratterzzato da ccl alterat smmetrc d ampezza varable modo aleatoro, co frequeza poco varable el tempo (fg.). I questo caso la dstrbuzoe statstca de ccl d fatca s avvca alla dstrbuzoe statstca de massm (o de mm) del processo e può essere dedotta per va teorca dalle sue caratterstche statstche, come s vedrà el seguto. Nel caso cu la PSD ha valor sgfcatv dstrbut u ampo tervallo d frequeze, come e cas mostrat fg., l processo s defsce a bada larga. pcamete quest cas massm cosecutv hao lvell dfferet, dado luogo a ccl o mmedatamete detfcabl, che redoo ecessara l utlzzazoe d u metodo d coteggo. Utlzzado l metodo raflow, poché ell detfcazoe de ccl d ampezza maggore vegoo covolt pcch o cosecutv, la determazoe della dstrbuzoe statstca de ccl otteut a partre dalle caratterstche statstche del processo rsulta estremamete dffcoltosa e, ad ogg, o soo dspobl relazo aaltche geeral. La forma della PSD, co partcolare rfermeto alla sua dspersoe rspetto all ascssa ω, vee caratterzzata da dvers parametr ottebl come combazoe de cosddett momet spettral, così deft: ( ) ω S ω dω,,, (7.5) I partcolare, l mometo spettrale d orde,, resttusce l area sottesa dalla curva PSD e, come detto, cocde co la varaza del processo: S ( ω) dω (7.5) 7.

15 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche 6 8 S(ω) () S(ω) () 5.5 S(ω) () Fg.7.5 PSD del processo ( ero) e della dervata ( blu) e poszo de rspettv grator d erza, per segal (), () e () delle fg. e. Rcordado la relazoe (5) tra la PSD del processo e quella della dervata, è possble osservare che momet d orde del processo cocdoo co momet d orde della sua dervata. d esempo, per l orde s ha: ω ( ) ω S ( ) S ω dω ω dω (7.55) dalla quale s osserva che l mometo d orde cocde umercamete co la varaza della dervata del processo. Operado co crter della geometra delle masse, utlzzado momet spettral è possble determare l barcetro Ω e l gratore d erza ρ della PSD rspetto all asse delle ordate (fg.5). I partcolare valgoo le seguet relazo Ω E φ ρ E φ (7.56,57) d esempo, valor assut da ρ per process mostrat elle fg. e soo rportat ab.5. I fg.5 soo rportat de put le cu ascsse hao l valore de grator d erza delle PSD de process. Rcordado che u segale (t) può essere terpretato come la proezoe sull asse reale d u vettore z(t) che ruota sul pao complesso co veloctà agolare varable φ., l barcetro e l gratore della PSD cocdoo rspettvamete co l valor medo d φ. e l valor medo del modulo d φ. (56-57). Questa ultma gradezza è legata all tera fase percorsa dal vettore z sul pao complesso ruotado etrambe le drezo ed è proporzoale al umero d attraversamet dello effettuat dal segale ell utà d tempo. I partcolare l umero medo d coppe d attraversamet dello ell utà d tempo Z (ovvero l umero d attraversamet co dervata postva, rcordado che ad og gro completo del vettore z(t) corrspodoo attraversamet dello zero) può essere otteuto come: Z (7.58) π Il gratore d erza rspetto all asse barcetrco forsce ua valutazoe della dspersoe dell area rspetto al barcetro e può essere otteuto come ρ ρ Ω (7.59) I pratca, però, l effetto della dspersoe dell area attoro al barcetro o può essere valutato term assolut medate l gratore (55), quato, a partà d tale valore, la dspersoe rsulta pù sgfcatva se la veloctà agolare meda Ω è pù bassa e vceversa. La (55) può essere rscrtta come ρ ρ q ella quale l parametro q, è parametro d Vamare, defto come (7.6) q ρ ρ (7.6) ale parametro assume valor tra ed e costtusce u dce della larghezza d bada del processo. È facle vedere che se q, la dspersoe d S(ω) rspetto al suo barcetro s aulla, vceversa se q, la dspersoe d tede al massmo valore possble, quato l gratore barcetrco tede al valore del gratore. I ab.5 soo rportat valor del parametro d Vamare per process delle fg. e. È possble osservare che process () e () hao la stessa forma della PSD, ma dfferet valor d q, per va della dfferete poszoe del gratore. 7.5

16 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche umetado d l orde de momet spettral preset elle (56,57,6) s ottegoo le aaloghe gradezze relatve alla dervata del processo Ω E ɺ φ ρ E ɺ φ ρ ρ Ω (7.6-6) I modo aalogo a quato fatto per le PSD de process, fg.5 soo rportat de put le cu ascsse hao l valore de grator d erza delle PSD delle dervate de process stess. Osservado la fg.5 e dat rportat ella ab.5 s può otare come, el caso de process a bada larga, l gratore d erza della dervata rsult proporzoalmete molto pù elevato rspetto a quello del processo. È mportate otare che ρ (fg.5 e ab.5) rsulta proporzoale al umero medo delle coppe d attraversamet dello ell utà d tempo della dervata del segale, che, per elemetar cosderazo d aals matematca, cocde co l umero medo de massm (o de mm) ell utà d tempo del segale. I partcolare, tale umero è espresso come: π ρ M π (7.65) Da otare che l umero de massm, dpedetemete dal metodo d coteggo utlzzato, cocde co l umero de ccl d fatca. Medate momet spettral s defsce u altro parametro d larghezza d bada molto mportate ell aals de process stocastc: l fattore d rregolartà α. Esso è legato a momet spettral dalla relazoe: α ρ ρ E ɺ φ E ɺ φ Z M (7.66) Il fattore d rregolartà α cocde co l rapporto tra grator d erza della PSD del processo e della sua dervata e co l rapporto tra l umero medo d coppe d attraversamet dello zero e l umero medo de massm per utà d tempo (o, cò che è lo stesso, co l rapporto tra l umero medo d tutt gl attraversamet dello e l umero medo degl estrem, sa massm che mm). Esso è utlzzato usualmete come dce della larghezza d bada del processo, tededo ad per process a bada stretta e a per process a bada larga (s ot che l parametro α assume valor oppost a quello d Vamare). I geere s possoo cosderare a bada stretta process co α >.88 e a bada larga process co α < p ().8 p () p M(M) () p M(M) () ,M ,M.8.8 p () p () p M(M) () p M(M) () ,M ,M Fg.7.6 Cofroto tra le dstrbuzo de process delle fg. e e le rspettve dstrbuzo de massm. I lea tratteggata verde la dstrbuzoe gaussaa del processo (uguale per process), lea puteggata blu la dstrbuzoe effettva de massm, lea cotua la dstrbuzoe d Raylegh (ach essa uguale per process, dpededo soltato da ). 7.6

17 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche parte l valor medo, la fuzoe d dstrbuzoe d probabltà de massm (o de mm) de process gaussa dpede esclusvamete dalla varaza del processo, par a, e dal parametro α. È possble dmostrare che, el caso d process gaussa a meda ulla, essa assume la seguete forma: p M ( M ) M M α M α α M e + α e + erf π α (7.67) ella quale erf(..) è la fuzoe errore cu valor soo tabellat o ottebl per mezzo d software d calcolo Come s vedrà el seguto, el caso de process a bada stretta, per qual s possa assumere α, tale espressoe può essere semplfcata dvetado la dstrbuzoe d Raylegh, gà mostrata ell eq.(), che dpede solo da. Nel caso d process a bada stretta, per quato gà detto a proposto della regolartà della sequeza de pcch e delle vall, la dstrbuzoe delle ampezze de ccl d fatca può essere approssmata tramte la dstrbuzoe de massm stessa. Nella fg.6 soo mostrate le dstrbuzo gaussae de process delle fg. e (tutte ugual) a cofroto co le rspettve dstrbuzoe de massm, dpedet da valor de rspettv parametr, e la dstrbuzoe d Raylegh, dpedete dal solo. È possble osservare che la dstrbuzoe d Raylegh approssma bee la dstrbuzoe de massm solo per process a bada stretta. U altra caratterstca teressate è che l valor medo dell ampezza de semccl r d u processo (passaggo da pcco a valle e vceversa), cocdete co l doppo del valor medo dell ampezza de ccl raflow, è drettamete legato al parametro α medate la seguete relazoe [ ] E r π α π (7.68) È stato osservato che process a bada larga avet uguale valore d α, ma dfferet valor d q hao dstrbuzo de ccl raflow dfferet tra loro, qud la caratterzzazoe spettrale de process a f della fatca rchede che vegao pres cosderazoe etramb. Voledo utlzzare parametr avet camp d defzoe cofrotabl, è possble utlzzare al posto d q, l seguete parametro β da esso dervato: β Ω E ρ E ɺ φ ɺ φ (7.69) che vara da per process a bada larga, ad per process a bada stretta come α. I prcpal parametr spettral relatv a process delle fg. e soo rportat ab.5. U ultma otazoe rguarda le varazo della PSD rspetto al tempo che s verfcao per process o stazoar. Nel caso d process co varaza varable el tempo, come mostrat fg. a destra, l area della PSD vara el tempo, ma modo tale che la sua forma e, d cosegueza, parametr α e q, s mategoo costat. Nel caso pù geerale, vece, può varare ache la forma della PSD. Nel prmo caso l processo s defsce o stazoaro d tpo separable, quato cascu campoe può essere pesato come l prodotto tra u segale aleatoro el domo del tempo apparteete ad u processo stazoaro e ua fuzoe vluppo determstca. Nel secodo caso o è possble effettuare u operazoe come quella appea descrtta e l processo s defsce o stazoaro d tpo o separable. q α β q ρ [rad/sec] ρ [rad/sec] () () () () ab.7.5 Parametr spettral relatv a process mostrat elle fg. e. 7.7

18 7.8 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Determazoe della vta a fatca d compoet soggett sollectazo aleatore La valutazoe della vta a fatca d u compoete soggetto a fatca aleatora mooassale ad elevato umero d ccl può essere eseguta a partre dalla determazoe della PSD del processo della tesoe che agsce cascuo de put pù sollectat della struttura. Come detto tale determazoe vee eseguta per va teorca o umerca el domo delle frequeze tramte aals damca stocastca o per va spermetale a utlzzado le regstrazo del processo tesoe e l eq.(5). Noto l processo d tesoe, la valutazoe del daeggameto rchede le seguet operazo: valutazoe della fuzoe destà d probabltà coguta p(m,a) del valor medo m e dell ampezza a de ccl d fatca, detfcat per mezzo d u opportuo metodo d coteggo. Questa operazoe può essere effettuata:. el domo della frequeza dervado drettamete la fuzoe p(m,a) dalla PSD e cas cu è oto l legame teorco tra le due fuzo;. el domo del tempo, smulado medate opportu algortm, a partre dalla PSD, u umero suffcetemete elevato d store temporal (campo) della tesoe ed applcado su d esse l algortmo d coteggo (metodo dretto); valutazoe del dao d fatca tramte l uso d u approprato crtero d daeggameto cumulatvo (Palmgre-Mer, Maso, eccetera). Utlzzado per esempo la legge d accumulazoe d Mer e l crtero d Goodma per teer coto degl effett della tesoe meda, l daeggameto d fatca D corrspodete a ccl, può essere ragoevolmete stmato medate le eq.() o (5) qu rscrtte: G G G (7.7) m a a a D p ( m, a) dm da a p ( a ) da K m / r K essedo, come gà vsto, K e la costate e l espoete della curva a-n del materale, r la tesoe d rottura, a Ga/( m/ r ) la tesoe equvalete d Goodma (7.8). L espressoe del daeggameto può essere stetzzata el seguete modo: f D (7.7) K ella quale, base alla (7), è la tesoe equvalete d Mer elevata a, che cocde co l mometo d orde della fuzoe destà d probabltà della tesoe equvalete d Goodma: a E a G ag p( ag ) dag p( m, a) dm da m / a m a r e (7.7a) Ne cas cu le ampezze e valor med de ccl d fatca soo ot sotto forma d successo a, m, è mmedato calcolare drettamete l daeggameto co la (). I tal cas, se utle, momet possoo essere otteut, base alle () e () come a m r ag (7.7b) Le p(m,a) soo fuzo d varabl la cu forma dpede dalla forma della PSD, qud da parametr spettral del processo e della sua dervata. Ovvamete soo dpedet dal materale del compoete. l cotraro, momet soo sgol umer, ma dpedoo, oltre che dalla forma della PSD, dalle caratterstche del materale e r. Naturalmete, poché le ampezze e valor med de ccl d fatca soo proporzoal alla devazoe stadard del processo /, sa le fuzo p(m,a) che momet dpedoo dall area sottesa della PSD par al valore del mometo spettrale. I partcolare, le fuzo p(m,a) d PSD co uguale forma (e qud ugual / parametr spettral) e dfferet valor d rsultao cocdet se rappresetate rspetto ad ass ormalzzat m/ / ed a/. I momet soo drettamete proporzoal al valore /. Da otare oltre che, a dffereza del caso d ccl d fatca ad ampezza quas costate, el quale ccl d ampezza ferore al lmte d fatca o cotrbuscoo al daeggameto e le loro ampezze vao poste a, el caso d ampezza molto varable, ccl d ampezza ferore al lmte d fatca letto sulla curva d Wöhler cotrbuscoo al daeggameto. Operado modo coservatvo s può cosderare che tal ccl cotrbuscao al daeggameto allo stesso modo degl altr. Cò comporta che ella (7a) camp d tegrazoe d a ed m sao estes a fo al valore e che ella (7b) sao trodott ache ccl cu valor della tesoe equvalete d Goodma rsultao feror al lmte d fatca. I geerale, el caso de process a bada larga, o esstoo relazo teorche tra parametr spettral e le dstrbuzo de ccl d fatca p(m,a) o momet. I molt cas è possble/ecessaro determare tal fuzo

19 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche co l metodo dretto, come descrtto ell apposto paragrafo. La determazoe della fuzoe p(m,a) deve essere puttosto accurata soprattutto ell tervallo delle ampezze a elevate. Essedo fatt soltamete 7, l cotrbuto al daeggameto de ccl ad ampezza elevata rsulta predomate e, coseguetemete, ad error ache pccol sulla stma d quest corrspodoo sgfcatv error sulla prevsoe della vta a fatca. Nel caso de process stazoar gaussa a meda ulla, le fuzo p(m,a) soo smmetrche rspetto all asse delle ampezze. I fg.7 soo mostrate le fuzo p(m,a) de ccl raflow de process le cu PSD soo mostrate elle fg.,. S può osservare come, el caso del processo (), la fuzoe p(m,a) teda alla dstrbuzoe d Raylegh cocetrata sull asse delle ampezze a, essedo pratcamete ull valor med de ccl raflow. È ache possble osservare come, al cotraro, process a bada larga sao caratterzzat dalla preseza d umeros ccl d ampezza lmtata e valor medo elevato, che spesso dao luogo a daeggameto molto lmtato. Idcado co D l valore d daeggameto che produce l cedmeto a fatca del materale (tpcamete D ), N l umero totale d ccl al cedmeto, la durata temporale a fatca, rcordado l espressoe del umero d massm (e qud d ccl) ell utà d tempo d u processo (65), base alla quale N rsulta legato a dalla seguete relazoe N M (7.7) π ed esplctado la (7) rspetto ad, la durata a fatca può essere valutata medate le seguet espresso N D K K (7.7a) N π D K π K (7.7b) M p(m,a) () p(m,a) () p(m,a) () p(m,a) () a m a m Fg.7.7 Dstrbuzo d probabltà delle ampezze e valor med de ccl raflow per process delle fg.,. Le fuzo soo smmetrche rspetto all'asse a e soo rappresetate el solo campo de valor med postv (m ). 7.9

20 G. Petrucc Lezo d Costruzoe d Macche Rassumedo, la durata a fatca dpede dalla PSD del processo, tramte momet spettral e e la fuzoe destà d probabltà coguta p(m,a) (che, geerale, dpede modo complesso dalla forma della PSD), e dalle caratterstche del materale K,, r (ed evetualmete D el caso cu sa stato determato spermetalmete e o rsult approssmable ad ). È opportuo otare che, el caso de process a bada larga, l umero totale d ccl al cedmeto N può rsultare molto elevato per la gà ctata preseza d umeros ccl d pccola ampezza, come el caso de process () e (), le cu fuzo p(m,a) soo mostrate fg.7. Sollectazo aleatore a bada stretta d tpo mooassale Nel caso d process stazoar gaussa co PSD a bada stretta, vsta la regolartà de campo e qual massm e mm appaoo alterars modo smmetrco rspetto all asse temporale, le ampezze a de ccl d fatca possoo essere cosderate par all ampezza stessa de massm, co valor med m ull. Come gà detto, per process a bada stretta, la dstrbuzoe statstca de massm, e qud delle ampezze de ccl d fatca, rsulta essere ua fuzoe d Raylegh, gà mostrata ella (), e deducble dalla (67) poedo α : ( ) p a a a a a ep ep (7.75) I momet possoo essere otteut rsolvedo umercamete l seguete, semplce, tegrale otteuto troducedo la (75) ella (7a) e cosderado m: ama ama a + a p( a) da a ep da (7.76) Poché la fuzoe d Raylegh tede a per a 5 /, è possble lmtare l camp d tegrazoe della (76) fo a tale valore, poedo a ma 5 /. Come vsto, l daeggameto e la durata del compoete possoo essere po otteut medate le (7) e (7). L tegrale presete ella (7) può ache essere rsolto forma chusa foredo ( ) ( ) ( / ) a p a da Γ + (7.77) a essedo Γ( ) la fuzoe gamma cu valor soo tabellat o ottebl per mezzo d software d calcolo. Per u processo a bada stretta, per l quale rsulta ( / ).5 ( / ).5, la durata a fatca (7b) può essere otteuta ache co la seguete espressoe ( ) π K Γ + ( / ) (7.78) dalla quale s osserva che, questo caso, è legata semplcemete a momet spettral (par alla varaza del processo) e (par alla varaza della dervata) della PSD del processo. Nel caso cu al processo otteuto per valor medo ullo s somm l effetto d u valor medo costate m, la (76) s modfca come segue ( m ) ama a + a ep da (7.76b) r La (76b) può essere otteuta sosttuedo l ampezza a co la tesoe equvalete d Goodma elevata a ella (76). 7.

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