Fluidi non newtoniani

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1 Petea Aa matricola: 9603 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 ossi Giulia matricola: 0878 Fluidi o ewtoiai INDICE DELLA LEZIONE DEL 0/04/00 AGOMENTO:FLUIDI NON NEWTONIANI Comportameto reologico dei fluidi Perdite di carico Scambio Termico Esercizio Comportameto reologico dei fluidi Si cosideri u corpo che scorre su u piao di appoggio orizzotale e tra corpo e piao di appoggio vi sia uo strato di fluido. Si vede sperimetalmete che per mateere costate la velocità del corpo è ecessario mateere applicata ad esso ua forza F diretta el seso del moto: essedo il moto uiforme la risultate delle forze sul sistema dovrà essere ulla, ciò idica che il fluido iterposto si oppoe al moto del corpo co ua forza uguale ad F opposta i verso. Per la teoria dell adereza i tutti i fluidi le particelle a cotatto diretto co i cofii solidi o scorroo rispetto ad essi, sia che il fluido bagi o meo la parete, quidi la velocità del fluido è ulla per le particelle a cotatto co la parete, poi cresce spostadosi ormalmete al piao fio a raggiugere il valore di velocità che ha il corpo stesso. Questo feomeo testimoia la preseza di ua forza itera al fluido che si oppoe allo scorrimeto relativo

2 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 degli strati l uo sull altro e che è proporzioale al gradiete di velocità u / y i direzioe ormale a quella del moto. Idichiamo ora co τ xy la tesioe che si esercita ella direzioe x sulla superficie ormale a y, si ha la relazioe: τ xy df u µ ds y dove è detto coefficiete di viscosità del fluido. Figura : appresetazioe dello sforzo tageziale Tale relazioe è detta Legge di Newto, quidi tutti quei fluidi il cui comportameto rispode a questa legge soo detti ewtoiai. Per stabilire se u fluido sia ewtoiao o o si utilizza il reometro a rotazioe, o viscosimetro(fig. ): tale strumeto è composto da u cilidro cavo termostatato che cotiee il fluido di cui vogliamo cooscere le proprietà, i questo viee immerso u secodo cilidro posto i rotazioe da u motore elettrico. La preseza del termostato matiee il fluido a temperatura costate di modo che matega costati le sue proprietà. Si suppoga di mettere i rotazioe il rotore co costate; i ogi istate soo misurati la coppia erogata M[Nm] e la velocità [giri/mi] per calcolare e u / y : M τ πrl v p ω u / ω δ - -

3 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 dove L è la porzioe di rotore immersa el fluido, il raggio di rotore e lo spessore dello strato di fluido. Figura : Viscosimetro o reometro a rotazioe L elettroica del reometro calcola tali valori istate per istate e traccia i u puti sul piao - : se la curva reometrica di best fittig ha adameto lieare il fluido è ewtoiao e la pedeza di tale curva è il coefficiete di viscosità. Per i fluidi ewtoiai la legge di Newto rappreseta ua legge fisica e dipede uicamete dalla atura del fluido e dal suo stato fisico; per molti fluidi ivece è legato ache ad altre gradezze quali il tempo e lo sforzo tageziale. Per quel che riguarda la dipedeza dal gradiete di velocità tra i fluidi o ewtoiai distiguiamo tra fluidi pseudo plastici e dilatati: per i primi il valore cala co l aumetare del gradiete di velocità, l opposto accade per i dilatati. Per poter trattare matematicamete problemi co tali fluidi i movimeto è ecessario determiare sperimetalmete la relazioe che lega sforzo tageziale e gradiete di velocità; quella che ha dato i risultati migliori è la legge di poteza - 3 -

4 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 τ xy u m y dove m è defiito come fattore di cosisteza ed idice di comportameto. I particolare per: si ottiee uovamete la legge di Newto > fluidi a comportameto dilatate < fluidi a comportameto pseudo plastico. Figura 3 : appresetazioe grafica dell equazioe costitutiva di u fluido Esistoo ache fluidi le cui proprietà dipedoo dal tempo: soo i fluidi tixotropici e i fluidi reo pectici. I fluidi tixotropici presetao ua struttura che si disgrega gradualmete per effetto di uo sforzo tageziale, quidi presetao ua dimiuzioe di el tempo; quidi tali sostaze sottoposte a sforzi di taglio aumetao la loro fluidità passado da uo stato pastoso allo stato liquido; tale comportameto è reversibile e la struttura si ricostruisce gradualmete i codizioi di riposo, dado luogo tuttavia a ua curva reologica caratterizzata da isteresi. Nei fluidi reo pectici al cotrario si verifica la graduale formazioe di ua struttura sotto l azioe di uo sforzo tageziale, o eccessivamete rapido, quidi u aumeto di ; ache i questo caso si ha isteresi. Il feomeo di isteresi è trascurabile qual ora lo scostameto massimo tra le curve o superi il 0%

5 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 Figura 4: Curve reologiche dei fluidi tixotropico e reo pectico, e relativi cicli di isteresi Esiste ifie u altra categoria di fluidi detti fluidi di Bigham o a comportameto plastico: diversamete dai fluidi ewtoiai che scorroo ache quado sollecitati da forze di modesta etità, i fluidi che presetao flusso plastico iiziao a scorrere solo dopo che la forza ha superato u certo valore di soglia τ 0 detto valore limite di scorrimeto o yeld stress. Superato tale valore la curva reologica può seguire quella dei fluidi ewtoiai, o dilatati o pseodoplastici

6 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 Figura 5: curve reologiche per u fluido di Bigham Nel caso si stia affrotado u problema i cui si utilizza u fluido o ewtoiao si può sempre riteere valida la teoria dell adereza ma si deve ricalcolare tutto co la legge di poteza. Cosidero u codotto circolare di diametro D e lughezza L (Fig.6) i cui scorre ua certa portata di fluido V M ρ M ρ cost, quidi co ua velocità media sulla sezioe W. π 4 D Figura 6: Codotto circolare attraversato da ua certa portata di fluido Essedo i codizioi di regime stazioario alla parete possiamo scrivere: - 6 -

7 Lezioe del 0/04/00 0:30-3: τ π π π DL p p r u m L p τ Per ua geerica posizioe r diveta: u m L r p τ 0 max / / 0 u du m d L p Quidi l adameto della velocità sulla sezioe risulta: ( ) r Lm p r u / Se la distribuzioe è quella parabolica tipica dei fluidi ewtoiai, metre per < il profilo è più schiacciato, viceversa si alluga quado >: i quest ultimo caso c è da prestare particolare attezioe dato che talvolta la velocità massima sull asse del codotto può raggiugere ache valori doppi rispetto al valore medio sulla sezioe, quidi se ad esempio si dovesse dimesioare il percorso di u fluido che deve pastorizzare si rischierebbe di sottodimesioare l impiato. Si calcola ora la velocità media sulla sezioe e la velocità massima sull asse: A Lm p dr r r u uda A W / 0 3 ) ( π π r Lm p u / 0) max( 3 Quidi il rapporto tra di esse è fuzioe del solo parametro, ifatti 3 max W u F

8 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 Scriviamo ora il bilacio eergetico per u sistema aperto, cosiderado che sia la sezioe di igresso e quella di uscita. αw αw g( z z) h h q l Si è iserito u fattore correttivo dato che lavorado co u fluido o ewtoiao ho ua distribuzioe di velocità meo equilibrata rispetto al profilo parabolico dei fluidi ewtoiai i moto lamiare, quidi rischierei di sottostimarla el caso di fluidi dilatati e sovrastimarla per quelli pseudo plastici. Tale fattore correttivo lo defiisco come il rapporto tra l eergia cietica reale e quella che avrei cosiderado la velocità media sulla sezioe, ovvero: α u( r) da, α A A 3(3 ) >, > α W ( )(5 3) <, α < Perdite di carico Nel calcolo delle perdite di carico si è proceduto distiguedo i casi di moto lamiare e moto turbolete Per il caso i cui i fluido o ewtoiao si trovi i moto la miare, τ p defiito il fattore d attrito come C f ed essedo τ si ottiee: ρω L p p C f. L ρ ω L ρ ω icavado le perdite di carico dalla formula sopra citata si ha : C p f L ρ ω ρ C f L ω Essedo valida la relazioe ξ 4 C f di carico: e sostituedo all itero delle perdite

9 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 p ρ ξ L D ω Per i fluidi ewtoiai, per i quali si ha ua viscosità () costate el tempo, 64 vale la relazioe empirica ξ i caso di moto lamiare co e, umero di e ω D eyolds, pari a e µ Per i fluidi o ewtoiai, tra i quali si aoverao molti fluidi usati i processi idustriali, o si ha u valore costate della viscosità il che mi impedisce di calcolare u umero di eyolds caratteristico del processo. Viee itrodotto quidi u umero di eyolds geeralizzato e che el caso i cui l idice di comportameto () sia pari a ricoduca al umero di eyolds tradizioale e che reda acora vera la relazioe valida per il moto 64 lamiare ξ. e' p Essedo C f e valedo per u fluido o ewtoiao la relazioe L ρ ω 3 ( ) p L m ω co idice di comportameto([adm]) e m fattore di cosisteza ( [Pas ] ) si ottiee: C f 3 L m ω ( ) ρ L ω m ω 3 ρ ricordado che C f ξ 4 6 e' m ω 3 ρ 6 e' si ricava quidi e' 8 3 ω ρ m Questa relazioe vale ache per i fluidi ewtoiai, ifatti el caso di idice di comportameto pari a si ritrova il fattore di cosisteza corrispodete co la viscosità e quidi il umero di eyolds viee a coicidere co il umero di eyolds geeralizzato. icapitolado, el calcolo delle perdite di carico per u fluido o ewtoiao i caso lamiare si devoo iazitutto trovare i valori caratteristici del fluido del fattore di cosisteza e dell idice di comportameto e quidi - 9 -

10 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 calcolare il umero di eyolds geeralizzato cui risalgo alle perdite di carico. ρ e' 8 ω co 3 m Esistoo tabelle i cui soo raccolti i valori di e m per i pricipali fluidi di iteresse idustriale come ad esempio quella sotto riportata: Tabella :proprietà reologiche di fluidi alimetari U ulteriore modo per aalizzare il comportameto dei fluidi è tramite l utilizzo di u tubo capillare: tubo i cui faccio scorrere il fluido e che mi restituisce le perdite di carico Per il calcolo delle perdite di carico el caso di moto turboleto per u fluido ewtoiao geeralmete viee usato il diagramma di Moody. Vi è u diagramma aalogo per i fluidi o ewtoiai: il diagramma di Dodge ad Metzer. Aalogamete all abaco di Moody ho moto turboleto se e è maggiore di ma diversamete i ordiate o ho mi il fattore d attrito C f

11 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30. Figura 7: Diagramma di Dodge ad Metzer. No si hao ioltre più curve al variare della scabrezza relativa ma del fattore di cosisteza : essedo questo grafico tipicamete usato ell idustria alimetare i tubi o possoo essere scabri al fie di preveire i depositi di sporco. Il diagramma di Dodge ad Metzer a livello pratico è raramete usato poiché i fluidi di atura alimetare hao viscosità appareti molto basse e quidi raramete raggiugerao u regime di moto turboleto. Scambio Termico Per il calcolo dello scambio termico dei fluidi o ewtoiai vegoo uovamete distiti i casi di moto lamiare e moto turboleto. Nel caso di moto lamiare il umero di Nusselt viee calcolato come: 8 Nu ( 5 ) ( 3 ) 3 se alla parete ho u apporto di calore costate. Se ho ivece ua temperature costate alla parete i valori soo tabulati: Nu 3,657 0,5 3,949 0,333 4,75 - -

12 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 Si può vedere ioltre come quato meo il fluido sia ewtoiao (cioè distate da ) tato meo scambi calore. Per valori di maggiori di o esistoo valori tabulati: verici e resie o vegoo pastorizzate, quidi sarebbero dati privi di utilità idustriale. Nel casi di moto turboleto si ha che:: St Nu 0,55 3 0,05 e app Prapp e Pr 0,865 3 Da questa ricavo: Nu,05 e Pr 0 app app I valori soo calcolati co viscosità apparete ( app ), ovvero la viscosità che dovrei avere co u fluido ewtoiao per otteere le stesse perdite di carico. Esercizio Del passato di albicocca deve essere pastorizzato facedolo passare attraverso u tubo cilidrico, di diametro pari a 0,04 m, co ua portata v 60 l ad ua temperatura T F 5 C per u tempo di sosta mi s mi τ 5. Calcolare la lughezza del tubo, il calore e la poteza termica scambiata el caso temperatura costate alla parete pari a T P 0 C D 0,04 m D T p v 60 l mi τ 5s mi L T P 0 C T F 5 C Si procede iazitutto co il calcolo della la velocità media del sistema per determiare la lughezza del tubo: ω v A v D π π 4 m 0,8 ( 0,04) s - -

13 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 L ω τ 0,8 5 4m mi mi agioado uicamete co la velocità media si otterrebbe ua lughezza del tubo pari a 4 m: questo valore è sottostimato perché ella realtà sull asse del codotto si ha ua velocità più elevata. Da tabella vegoo ricavate le proprietà albicocca: reologiche del passato di Tabella : Proprietà reologiche di fluidi alimetari icapitolado: - 0,3 - m 0 Pas 0,3 kg - ρ 00 m 3 Si procede quidi al calcolo del umero di eyolds geeralizzato per determiare il tipo di moto: e' 8 3 ω ρ 0,3 8 m 3 0,3 0,3 0,8 Essedo e <35000 il moto del fluido è lamiare ,3 vmax ω 0,8, 7 0,3 L v τ,7 5 5, 85m max mi m s,7 0,0 0, ,6 0 Al fie di o tagliare u tubo commerciale si arrotoda all itero superiore, quidi si avrà L 6m - 3 -

14 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 ξ 64 e' 64 50,6,6 p L ω 6 0,8 ξ ρ,6 00 Pa D 0, Si deve iserire ua pompa per vicere le perdite di carico: viee quidi calcolata la poteza ecessaria da forire ad essa. 0,0 P p v , 5W 000 La pompa però o avrà u redimeto uitario: si dovrà aumetare la poteza ecessaria per stabilire il motore da associarle. Se ivece della passata di albicocche si fosse lavorato co acqua (avedo 4 m υ H 0,4 0 ) si sarebbe otteuto: s ω D e υ H O 856 Il moto sarebbe stato turboleto, quidi etrado el diagramma di Moody si ottiee 0,05 Figura 7: Diagramma di Moody L ω 6 0,8 p H O ξ ρ 0, Pa D 0,04 Le perdite di carico della passata di albicocche risultao quidi molto maggiori rispetto a quelle che si avrebbero el caso i cui si usasse acqua

15 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 00 PH 0 ph v, W Avedo ua poteza più piccola i questo caso si potrebbe usare ua pompa cetrifuga che permetterebbe l adozioe di u motore più piccolo rispetto al caso precedete. Per il calcolo dello scambio termico si ha ua temperatura di parete imposta pari a T P 0 C co ua temperatura del fluido T F 5 C Facedo il parallelo elettrico si ottiee: T VAP T P T F La differeza di temperatura sarà iteramete itera al fluido quidi la resisteza termica tra T VAP e T P sarà molto piccola: o si commette u grosso errore trascuradola e cosiderado solamete lo scambio termico tra il fluido e la parete. T TP TF 5 C Q h S T h π d L T co h λ f 0,60 W Nu 4,75 6,6 D 0,04 m K Q h π D L T 6,6 π 0, , 9W Facedo il bilacio tra il calore che etra e il calore che esce si avrà: Q M C P ( T T ) OUT IN kg essedo M ρ v 00 0,0, e s a base acquosa): C P J 4000 (avedo u fluido Kg K Q 35,9 TOUT TIN 5 0,0536 C M C, 4000 P Si ha uo scambio termico estremamete ridotto: per scaldare maggiormete il fluido si dovrebbe avere ua superficie molto elevata Se ivece di passata di albicocca si avesse acqua sarei i regime di moto turboleto quidi avrei: - 5 -

16 Lezioe del 0/04/00 0:30-3:30 Nu 0,87 e 0,8 Pr 0,4 37,5 Pr υ H O H O ρ CP λh O tipici per l acqua a 5 C) 8,88 co W λ H O 0, 6 e m K C p W 4050 (valori m K h λ f 0,60 W Nu 37,5 063 D 0,04 m K Q H O h π D L T 063π 0, W Si ha quidi Q H O 33 Q albicocca L albicocca pur avedo caratteristiche simili all acqua o scambia altrettato calore a causa delle sue proprietà reologiche: o è possibile quidi usare acqua, essedo questa u eccellete trasportatore di calore,come modello di calcolo. I coclusioe si è visto come u fluido più sia lotao dalle caratteristiche ewtoiae e meo sia u buo scambiatore di calore

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