Modellazione numerica del prezzo di opzioni americane su due sottostanti secondo il modello di Black e Scholes

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1 POLITECNICO DI MILANO Corso di Studi di Ingegneria Matematica Orientamento Calcolo Scientifico Elaborato di Laurea di primo livello Modellazione numerica del prezzo di opzioni americane su due sottostanti secondo il modello di Black e Scholes Relatore: Prof. Alessandro Veneziani Correlatore: Prof. Sandro Salsa Davide Magno Matr ANNO ACCADEMICO

2 Ai miei genitori

3 Indice Introduzione iii 1 Il mercato e le opzioni Le opzioni Speculazione e copertura Un modello per il prezzo del sottostante Il Moto Browniano La formula di Itô Il principio di non arbitraggio Portfolio autofinanziante Il modello Black & Scholes Ipotesi e parametri del modello Derivazione dell equazione 1-dimensionale Equazione n-dimensionale Applicazioni del modello su opzioni europee Call europea Put europee Il caso delle opzioni americane Il metodo degli elementi finiti Formulazione debole di un problema ellittico Formulazione debole di un problema parabolico Triangolazione di un dominio polinimiale Il metodo degli elementi finiti su problemi ellittici Proprietà del metodo agli elementi finiti Discretizzazione di problemi parabolici Formulazione debole dell equazione di Black & Scholes Formulazione debole dell equazione bidimensionale Buona posizione della formulazione Una disequazione variazionale per le opzioni americane i

4 ii INDICE 5 Modellazione numerica di opzioni americane su due sottostanti Raffinamento della mesh attraverso uno stimatore di tipo residuale Simulazioni numeriche Analisi del codice EDP Put sul massimo Put sul minimo Conclusioni 73 Ringraziamenti 75 Bibliografia 77

5 Introduzione L opzione è sicuramente tra gli strumenti finanziari più importanti e diffusi sul mercato pur non appartenendo probabilmente ai portafogli finanziari dei piccoli investitori. Essa si caratterizza fondamentalmente nell essere un contratto attraverso il quale si da la possibilità di acquisto o vendita solitamente di un azione in un certo istante ad un fissato prezzo. Ma quanto costa contrarre questo patto? Nella prima parte della tesi svilupperemo in maniera approfondita il modello di prezzatura delle opzioni sviluppato da Fisher Black e Myron Scholes che ha valso loro il premio Nobel per l economia. Questo modello poggia su due principi cardine della finanza: l ipotesi di mercato efficiente e il principio di non arbitraggio che saranno quindi per questo motivo sviluppati in dettaglio nel capitolo 1. Nell ambito di una trattazione prettamente economica, si evidenzierà inoltre la versatilità dell opzione tanto come strumento di grande speculazione quanto come, al contrario, strumento di copertura, capace cioè di proteggere i portafogli finanziari dal rischio di mercato. In continuità con le ipotesi illustrate in precedenza, nel Capitolo 2 sarà ricavata in maniera precisa l equazione di Black & Scholes unidimensionale, successivamente estesa al caso generale di n sottostanti. Sempre in questo ambito tratteremo alcune tipologie classiche di opzioni: le call e le put europee. Per queste opzioni, tanto su un sottostante quanto su due, esistono delle formule chiuse che risolvono l equazione per cui la modellazione numerica risulta essere inutile. Essa assume invece carattere risolutivo nello studio di opzioni americane, ovvero opzioni per cui si può esercitare il diritto d opzione in un qualsiasi istante tra la sottoscrizione ed il tempo di payoff. Problemi di questo tipo rientrano nella categoria dei problemi a frontiera libera e sarà lo scopo della successiva trattazione numerica trovare metodi convenienti tanto in termini di tempi di calcolo quanto di precisione che risolvano il problema del prezzatura di opzioni americane su due sottostanti. Per poter arrivare a questi risultati abbiamo utilizzato il metodo di discretizzazione agli elementi finiti che descriviamo nei suoi tratti generali nel iii

6 iv 0. Introduzione Capitolo 3. L applicazione di questo metodo però necessita che l equazione sia riscritta in una forma differente, nella cosiddetta formulazione debole o variazionale che ha la proprietà di racchiudere nell equazione anche le condizioni al bordo. Svilupperemo ed analizzeremo la bontà della formulazione debole dell equazione di Black & Scholes nel Capitolo 4 in cui accenneremo anche allo sviluppo del problema del prezzatura di opzioni americane su un sottostante attraverso disuguaglianze variazionali. La discretizzazione agli elementi finiti presuppone però innanzitutto la suddivisione del dominio computazionale, che nel nostro caso prenderemo quadrato, in una griglia, anche chiamata mesh, di tipo non strutturato, formata da elementi triangolari. Griglie di questo tipo sono particolarmente versatili in quanto permettono operazioni di raffinamento e diradamento locale al fine di meglio cogliere le singolarità della soluzione numerica. Nel Capitolo 5 descriveremo uno stimatore a posteriori di tipo residuale che utilizzeremo nell ambito delle simulazioni come validatore dell efficacia di un processo adattativo della mesh basato sulla matrice hessiana della soluzione calcolata come suggerito nel lavoro di Olivier Pirenneau e Frèdèric Hecht a titolo Mesh adaption for the Black & Scholes equations cui faremo spesso riferimento. Dopo aver analizzato il codice in linguaggio FreeFem++ utilizzato per le simulazioni, evidenzieremo i risulatati ottenuti con particolare attenzione verso l efficienza del processo adattativo e la chiara visualizzazione della frontiera libera che, come detto, è caratteristica di questa tipologia di problemi.

7 Capitolo 1 Il mercato e le opzioni La finanza è sicuramente una delle aree che più sta subendo un veloce sviluppo nel mondo economico moderno e ciò accade anche attraverso la nascita di strumenti finanziari sempre più complessi e sofisticati. Tra questi, hanno particolare importanza gli strumenti derivati ovvero quei prodotti il cui valore dipende dal prezzo di un altro bene chiamato bene sottostante. Tra i derivati che storicamente hanno più attecchito nei portafogli finanziari possiamo ricordare i contratti a termine backward o futures e le opzioni. Di contro praticamente tutto può essere un sottostante: i titoli finanziari, gli indici azionari, i tassi d interesse correnti e futuri, i tassi di cambio ma anche le merci. Oltre a caratterizzare questo strumento finanziario, in questo Capitolo tratteremo di tutte quelle importanti ipotesi finanziarie che saranno tra loro organicamente collegate nel capitolo 2 quando tratteremo della famosa teoria di Black & Scholes alla base del prezzatura di opzioni. 1.1 Le opzioni Le opzioni sono uno degli strumenti derivati di maggiore importanza e diffusione. L acquisto di una opzione nella sua forma più semplice, detta vanilla attribuisce al possessore, ovvero a colui che acquista l opzione, una particolare facoltà di scelta in ordine, principalmente, all esecuzione di una compravendita di titoli. Il sottoscrittore, ovvero colui con cui si stipula il contratto d opzione, tipicamente il mercato, deve obbligatoriamente comportarsi di conseguenza: nel caso il possessore decidesse di vendere il sottostante, il sottoscrittore deve comprare e viceversa, se il possessore decide di comprare, deve vendere. L istante di esecuzione di questa scelta viene chiamato tempo d esercizio o di payoff, che indichiamo con T, e varia a seconda della tipologia di opzione: 1

8 2 1. Il mercato e le opzioni Opzioni europee : il possibile esercizio dell opzione va effettuato esattamente al tempo di payoff; Opzioni americane : l esercizio dell opzione può essere effettuato entro il tempo di payoff. Ulteriore parametro fissato a priori è il prezzo a cui questa transizione avviene, il cosiddetto prezzo di esercizio(strike price), che in seguito verrà ndicato con la lettera E. Se la transizione prevede una vendita piuttosto che un acquisto di titoli abbiamo le: Opzioni call : sono un contratto che assegna il diritto, ma non l obbligo, di acquistare il bene sottostante al prezzo d esercizio; Opzioni put : sono un contratto che assegna il diritto, ma non l obbligo, di vendere il bene sottostante al prezzo d esercizio. Al di là di queste prime e basilari tipologie, possiamo incontrare sul mercato una serie molto variegata e diversificata di opzioni, tra cui citiamo le: Opzioni esotiche : sono strumenti derivati di seconda generazione, contraddistinti da condizioni complesse per la determinazione del valore che viene ottenuto da chi esercita l opzione.tale valore non dipende soltanto dal prezzo d esercizio fissato a priori e dal prezzo di mercato del sottostante, ma può dipendere da vari fattori, ad esempio dai prezzi assunti dal sottostante durante l intera vita dello opzione(opzioni pathdependent). A questa categoria appartengono le seguenti tipologie di opzioni esotiche: Opzioni con barriera : sono opzioni che modificano la natura stessa del contratto d opzione, eventualmente annullandolo, se durante la vita dell opzione il prezzo del sottostante raggiunge una determinata barriera; Opzioni asiatiche : sono opzioni che dipendono dalla media aritmetica dei prezzi del bene sottostante in un determinato periodo di vita dell opzione; Opzioni lookback : sono opzioni che dipendono dal prezzo massimo o da quello minimo raggiunti dal sottostante. Il problema dal punto di vista matematico-modellistico è dunque il seguente: come si può determinare il valore di un opzione istante per istante, e dunque anche il prezzo d acquisto ragionando al tempo t = 0, in virtù della tipologia della stessa? Si impone dunque un attenta analisi di tutti quei fattori che direttamente influenzano il valore di un opzione nel tempo, primo fra tutti il prezzo del sottostante.

9 1.1. Le opzioni Speculazione e copertura Prima però di studiare un modello per il prezzo del sottostante che non potrà non essere stocastico in virtù dell aleatorietà dell andamento dello stesso, vediamo i due principali utilizzi economici delle opzioni inserite in un portafoglio di titoli: la speculazione e la copertura. Per comprendere l aspetto altamente speculativo dell opzione possiamo far riferimento ad un esempio molto semplice e semplificato, in cui fondamentalmente ignoriamo a priori l azione del tasso d interesse. Immaginiamo che una azione di un certo titolo X costi 4, 00e al tempo t = 0. L investitore scommette in un rialzo del valore di questa azione, così che ad un istante t = T (T > 0) questa sarà arrivata a 4,50e. Può quindi decidere di operare in due maniere differenti: 1. Acquistare al tempo t = 0 un azione di X a 4,00e così che al tempo T nel caso in cui la mia scommessa fosse andata a buon fine, guadagna rivendendola: 4,50e 4,00e = 0,50e pari al 12, 5% dell investimento iniziale (in caso contrario, ovvero nel caso in cui il valore del titolo fosse sceso, ad esempio a 3,50e avrei invece perso il 12,5% dell investimento). 2. Acquistare una opzione call con prezzo d esercizio E pari a 4, 00e pagandola V. A questo punto bisogna verificare se la scommessa fatta è andata a buon fine. Se in effetti il prezzo dell azione è salito a 4,50e, gli converrà far valere la call così che possa comprare quell azione ad E. Al contrario, se il prezzo dell azione scende sotto E, non gli converrà far valere la call, così che in questo caso al netto di V non ha perso niente. Applicando il principio delle probabilità totali (ammettendo che la probabilità di aumento o diminuzione siano le stesse): 1 2 0,50e , 00e = 0,25e Dunque un valore ragionevole per V è proprio quello di 0,25e. Calcoliamo infatti il profitto netto dell operazione: Vinco Perdo profitto nell esercizio 0, 50e 0, 00e costo dell opzione 0, 25e = 0, 25e profitto netto 0, 25e 0, 25e Quindi si hanno due possibili situazioni: se la previsione fosse giusta, il guadagno netto sarebbe addirittura del 100% ed al contrario

10 4 1. Il mercato e le opzioni se la previsione fosse sbagliata l investitore perderebbe ben il 100% dell investimento iniziale! Da questo esempio emergono le caratteristiche di grande potenzialità e contemporaneamente di grande rischio delle opzioni, che possono essere un modo economico per esporre un portafoglio ad un rischio elevato. Vale quindi anche per le opzioni la ben nota legge di mercato: Grandi guadagni Grandi rischi Approfondiremo meglio questo concetto nel paragrafo 1.3. Il secondo utilizzo, assolutamente contrario rispetto al primo, per le opzioni è quello di copertura che consiste in un operazione di protezione del portafoglio da eventuali rischi. Si consideri infatti a questo proposito un investitore in possesso di un portafoglio di titoli il valore di alcuni dei quali è previsto in ribasso. Per non esporsi a questo rischio, l investitore può comprare delle opzioni put sui titoli a rischio: in questo modo nel caso in cui le quotazioni del titolo salgano, il costo delle opzioni sarà compensato dai guadagni conseguiti con il rialzo delle azioni in portafoglio e verosimilmente l opzione non sarà esercitata se le quotazioni mantengono questo trend.viceversa, qualora le quotazioni scendano come previsto, le perdite sui titoli saranno compensate, in parte o totalmente, dall esercizio delle put. Come vedremo nel Paragrafo 1.3.1, vi sono precisi modelli che permettono di ridurre se non proprio eliminare la sensibilità di un portafoglio ai movimenti stocastici dei beni sottostanti mediante la presa di posizioni opposte con diversi strumenti finanziari. Un operazione di questo tipo viene chiamata di hedging. Un classico esempio di hedging è proprio la riduzione del rischio sfruttando la correlazione tra il valore del bene e il prezzo dell opzione. 1.2 Un modello per il prezzo del sottostante Come anticipato nel paragrafo 1.1, dobbiamo a questo punto costruire un modello che riesca a descrivere in maniera quanto più precisa, nei limiti del possibile considerata l aleatorietà del problema, l andamento del prezzo del sottostante, che sarà nel seguito indicato con S. Uno dei modelli storicamente più utilizzati in questo ambito è quello che poggia le proprie basi sulla cosiddetta ipotesi di mercato efficiente proposta da Eugene Fama nel 1965 che consiste nelle seguenti due affermazioni: 1. la storia passata si riflette interamente sul prezzo attuale del bene o, come formulato dallo stesso Fama, in maniera molto efficace: Il passato è nel prezzo;

11 1.2. Un modello per il prezzo del sottostante 5 2. i mercati rispondono immediatamente a qualsiasi nuova informazione riguardante il bene. Riassumendo dunque si può dire che un mercato si dice efficiente rispetto ad una determinata informazione se questa è già scontata dai prezzi correnti o, in altri termini, se un investitore non può trarre alcun profitto da operazioni basate su di essa. Aprendo una piccola parentesi storica c è da dire che questa ipotesi è tra le più controverse della storia economica fondamentalmente per il fatto che essa non è sufficientemente precisa per essere verificata sperimentalmente o dimostrata teoricamente. 1 Attualmente si sta sviluppando una nuova teoria proposta da Peters nel 1994, quella del mercato stabile o mercato frattale, che si adatti meglio alle evidenze empiriche e sia coerente con una struttura sottostante di tipo frattale. La teoria di mercato efficiente invece porta all ipotesi secondo cui le variazioni di prezzo di un bene rappresentano un cosiddetto processo di Markov. A questo punto introduciamo i tasselli matematici che compongono l equazione stocastica che descive l andamento di S. Innanzitutto occorre osservare come non siano interessanti da monitorare le variazioni assolute del prezzo di un bene (la variazione assoluta di 1, 00e non è interessante se il prezzo del bene è di 100, 00e, mentre lo sarebbe qualora il bene costasse 3,00e), ma quello che in economia si chiama return ovvero il rapporto tra la variazione assoluta del prezzo del bene e il suo valore originale. Matematicamente esprimiamo questa quantità come ds S. Ipotizziamo a questo punto che questo termine possa scomporsi in due termini: 1. Un termine puramente deterministico assimilabile al return di denaro investito senza rischio in banca e caratterizzato dal parametro µ detto parametro di drift (dimensionalmente [µ] = [tempo] 1 ) che misura il tasso medio di crescita del prezzo del bene. In pratica è nei modelli più semplici un valore costante che indica l andamento medio del titolo: se e quanto guadagna oppure perde. Matematicamente dunque questo termine è esprimibile come ds drift = Sµdt; 1 A questo proposito, tra i detrattori di questa teoria è noto un aneddoto in cui si racconta di due economisti che passeggiando per strada, trovano un biglietto da cento dollari per terra. Mentre uno dei due si accinge a raccoglierlo, l altro lo rassicura dicendogli di non preoccuparsi a raccoglierlo, perchè se fosse stato vero qualcuno lo avrebbe già raccolto.

12 6 1. Il mercato e le opzioni S (euro) S (euro) Tempo (giorno) Tempo (giorno) (a) Simulazione della dinamica di un prezzo con µ = 0.2 costante e rispettivamente σ = 0.8 in rosso e σ = 0.3 in blu (b) Simulazione della dinamica di un prezzo con µ = 0.2 costante e rispettivamente σ = 0.8 in rosso e µ = 0.3 in blu 2. Un termine che invece tiene conto delle fluttuazioni del titolo dovute proprio, come precedentemente descritto, alla risposta del titolo alle informazioni esogene. Il parametro σ chiamato volatilità (dimensionalmente [σ] = [tempo] 1 2) è una misura di queste oscillazioni del titolo attorno al trend e rappresenta fondamentalmente la misura della suscettibilità del prezzo del bene alle informazioni esogene. Matematicamente è la deviazione standard del return ed è esprimibile come ds stoc = SσdB dove la quantità db è nota come processo di Wiener e le cui proprietà discuteremo nel paragrafo Dunque l equazione differenziale stocastica che rappresenta l andamento del prezzo del bene in ipotesi di mercato efficiente è la seguente: che possiamo riscrivere come: ds S = µdt + σdb Il Moto Browniano ds = µsdt + σsdb. (1.1) Analizziamo ora le proprietà di quel processo di Wiener nel nostro caso unidimensionale meglio noto come Moto Browniano B che è parte integrante della formula (1.1). Innanzitutto definiamo cosa è un processo stocastico: Definizione Si chiama processo stocastico una famiglia {X t } t di variabili aleatorie definite su uno stesso spazio di probabilità ( Ω, F, P), dove t varia in sottoinsieme di R +.

13 1.2. Un modello per il prezzo del sottostante 7 Inoltre attraverso un analisi che parte dal concetto di random walk o passeggiata aleatoria discreta (per approfondire questo concetto, si faccia riferimento a [1], [8]) si può arrivare anche a definire la densità di questo processo stocastico, che è la seguente: Γ(ω, t) = 1 e ω2 2t 2πt dove ω è la variabile che rappresenta l esito del processo. Quindi come per tutti i processi stocastici fissando un tempo t R si ottiene una variabile aleatoria su cui posso calcolare probabilità come da teoria classica di probabilità: P {B(t) I} = Γ(ω, t) dω dove I R è un insieme di Borel o boreliano. Se invece fissiamo ω Ω otteniamo una funzione reale continua in quanto il parametro tempo è una variabile reale che descrive uno dei possibili cammini della particella Browniana. Si può mostrare che le traiettorie di questi cammini punto per punto non sono differenziabili Vediamo però ora qualche proprietà caratteristica e specifica del moto Browniano: 1. B(ω, 0) = 0 con probabilità 1, vale a dire che il processo inizia al tempo t = 0; 2. ha incrementi normalmente distribuiti, vale a dire: I B(ω, t + t) B(ω, t) = ǫ(ω, t + t) t dove ǫ(ω, t+ t) N(0,1) ha cioè distribuzione normale a media nulla e varianza unitaria; 3. ha incrementi indipendentemente distribuiti, cioè B(ω, t + j + t) B(ω, t + j) e B(ω, t + t) B(ω, t) sono distribuiti in maniera indipendente j; Dalla proprità 2 e per t 0 si ottengono le seguenti relazioni: Dalla (1.2) possiamo quindi dedurre: E t [db] = 0 V ar t [db] = dt. (1.2) db dtn(0,1) = N(0,dt). (1.3) Prendendo ora in considerazione la proprietà 3 possiamo ricavare un importantissima proprietà detta proprietà di Markov. Questa proprietà

14 8 1. Il mercato e le opzioni ci dice che il moto browniano è un processo senza memoria quindi le variazioni passate non influenzano quelle future, vale a dire che per ogni 0 t 0 < t 1 <... < t n < t si ha: P {B(t) Z B(t 0 ) = B 0,...,B(t n ) = B n } = P {B(t) Z B(t n ) = B n }. Osserviamo a questo punto come tutte queste proprietà vanno perfettamente d accordo con il modello di mercato effciente, a partire dalla continuità, conseguenza della prevista immediata risposta del mercato a nuove informazioni, fino alla proprietà di Markov che riesce a rappresentare matematicamente la ipotizzata indipendenza delle oscillazioni future dal passato il quale incide solamente sul prezzo attuale del bene. Possiamo a questo punto calcolare i momenti fondamentali del processo ds: vediamo innanzitutto, sfruttando la (1.3), la media di ds: E[dS] = E[µSdt + σsdb] = µsdt. (1.4) In media quindi il valore di S al tempo t + dt risulta maggiore o minore a seconda del segno di µ di una quantità pari a µsdt. La varianza di ds invece può essere facilmente calcolata così: V ar[ds] = E[dS 2 ] E[dS] 2 = E[(µSdt + σsdb) 2 ] (µsdt) 2 = E[µ 2 S 2 dt 2 + σ 2 S 2 db 2 + 2µσS 2 dtdb] µ 2 S 2 dt 2 = σ 2 S 2 E[dB 2 ] + 2µσS 2 dte[db] = σ 2 S 2 E[dB 2 ] = σ 2 S 2 dt. dal momento che sappiamo dalla teoria della probabilità che: db 2 χ 2 1 E[dB 2 ] = dte[χ 2 1] = dt (1.5) dove si è indicata con χ 2 1 la distribuzione a media unitaria del quadrato delle variabili aleatorie normalmente distribuite La formula di Itô Il modello di moto browniano (1.1) descritto nel paragrafo è in realtà un astrazione matematica, in quanto nella realtà i prezzi dei beni sono quotati ad intervalli di tempo discreti e non istante per istante. Questo modo di operare però porterebbe a trattare una quantità di dati enorme, il che non sarebbe nè utile nè conveniente. Risulta quindi molto conveniente trattare l equazione differenziale (1.1) continua piuttosto che simulare il processo su scale temporali discrete. Ma per far ciò abbiamo bisogno di alcuni strumenti propri della teoria delle equazioni differenziali stocastiche. In particolare, ci serviremo della formula di Itô che mette in relazione le piccole perturbazioni di una funzione di variabile aleatoria con le piccole variazioni della variabile aleatoria stessa. Diamo ora una basilare e semplificata definizione:

15 1.2. Un modello per il prezzo del sottostante 9 Definizione Sia B = B(t) un moto Browniano 1-dimensionale su (Ω, F, P). Si definisce processo di Itô (monodimensionale) un processo stocastico X = X(t) su Ω, F, P) nella forma integrale X(t) = X(0) + t 0 a(x, s) ds + o alternativamente nella forma differenziale: t 0 b(x, s) db(s) dx(t) = a(x(t), t)dt + b(x(t), t)db(t). (1.6) Per prima cosa possiamo vedere come se il termine b(x(t), t) fosse nullo, l equazione sarebbe puramente deterministica e quindi risolvibile nell ambito della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Si può inoltre osservare come il processo (1.1) sia esattamente nella forma dell equazione (1.6) con le seguenti corrispondenze: X(t) a(x, t) b(x, t) S(t); µs; σs. Sia a questo punto definita una funzione g = g(x,t) sulle cui caratteristiche ragioneremo a posteriori, ma che supponiamo sufficientemente regolare per poter effettuare senza problemi eventuali derivazioni, e calcoliamo il differenziale di questa funzione lungo le traiettorie di (1.6): dg = g X dx g 2 X 2(dX)2 + g t dt + o((dx)2,dt). (1.7) Contestualizziamo questo differenziale nell ambito finanziario sfruttando la (1.1) e la (1.4) introdotte da cui: ds µsdt per dt 0 (1.8) ed inoltre (ds) 2 = (µsdt + σsdb) 2 = µ 2 S 2 dt 2 + σ 2 S 2 db 2 + 2µσS 2 dtdbs. Ricordiamo però che db = O( dt) (db) 2 = O(dt) quindi volendo troncare al prim ordine si ottiene che: (ds) 2 σ 2 S 2 dt per dt 0 (1.9) Allora mandando dt 0 e sfruttando la (1.7), la (1.8) e la (1.9) si può concludere che: dg = g S (µsdt + σsdb) g 2 S 2σ2 S 2 dt + g t dt.

16 10 1. Il mercato e le opzioni Quindi riarrangiando i termini rispetto ai due differenziali si ottiene: dg = σs g g db + (µs S S σ2 S 2 2 g S 2 + g )dt. (1.10) t Possiamo a questo punto specificare meglio quanto ipotizzato circa la regolarità della funzione g proprio in principio del nostro ragionamento: affinchè infatti sia evidenziato il termine (db) 2 lineare in dt serve che g sia almeno C 2 ([0, ) R). Quanto abbiamo ricavato passo passo, può essere condensato dal seguente teorema: Teorema (Formula di Itô 1-dimensionale) Sia X = X(t) un processo di Itô nella forma dx(t) = a(x, t)dt + b(x, t)db(t). Sia inoltre g = g(x,t) C 2 ([0, ) R). Allora è ancora un processo di Itô, e vale: Y (t) = g(t, X(t)) dy (t) = g x (t, X(t))dX(t) g 2 x (t, X(t))(dX(t))2 + g (t, X(t))dt t dove (dx(t)) 2 si calcola utilizzando la semplice regola: dt dt = dt db(t) = db(t) dt = 0 db(t) db(t) = dt. A questo punto abbiamo lo strumento pratico che ci permette di risolvere la (1.1). Poniamo g(t, S) = log S e si ha che: g S = 1 S 2 g S 2 = 1 S 2 g t = 0. Introduciamo questi risultati nella (1.10) e si ricava il seguente importante risultato integrabile: Integrando la (1.11) su (0,t): d log S = σdb + (µ 1 2 σ2 )dt. (1.11) logs = σb + (µ 1 2 σ2 )t + log S 0 essendo B(0) = 0 come visto nel paragrafo

17 1.2. Un modello per il prezzo del sottostante p(s) S (euro) Figura 1.1: Esempo di distribuzione lognormale in cui µ = 1 e σ = 1 La (1.11) è un equazione differenziale stocastica a coefficienti costanti, il che vuol dire che la variazione d logs è distribuita normalmente. Poichè la somma di variabili aleatorie normali è normale, la variabile aleatoria ha distribuzione normale con: Y = logs E t [Y ] = (µ 1 2 σ2 )t + log S 0 V ar t [db] = σ 2 t. Abbiamo quindi tutte le informazioni per definire la densità di probabilità f(y) della variabile Y: f(y) = 1 e (y (µ 1 2 σ 2πσ 2 t 2 )t log S0 ) 2 2σ 2 t che vale per < y < Siamo quindi giunti a ricavare l informazione ultima, quella che ci determina la natura stocastica del prezzo del sottostante S, ovvero la sua densità. Infatti si può ricavare (una traccia di questo calcolo si può trovare su [5]) che la densità di S e dunque del prezzo del sottostante è: p(s) = 1 S f(logs) = 1 S (log S (µ 1 2πσ 2 t e 2 σ2 )t log S 0 ) 2 2σ 2 t (1.12) che questa volta vale per 0 < S < il che ha senso trattandosi di un prezzo. La (1.12) è nota come distribuzione lognormale. Abbiamo quindi ricavato come in ipotesi di mercato efficiente, il prezzo del sottostante S segue una legge lognormale.

18 12 1. Il mercato e le opzioni Per concludere, vediamo come la formula di Itô si estende al caso multidimensionale, senza dimostrazione, ma semplicemente citando il risultato finale (per la dimostrazione si consulti [4]). Definizione Sia B = B(ω, t) = (B 1 (ω, t),...,b m (ω, t) un moto Browniano m-dimensionale su (Ω, F, P). Si definisce processo di Itô (ndimensionale) un processo stocastico X = X(t) su (Ω, F, P) nella forma dx 1 = a 1 dt + b 11 db b 1m db m. dx n.. = a n dt + b n1 db b nm db m o in notazioni matriciali più semplicemente: dx(t) = a dt + B db(t) (1.13) dove X(t) = X 1 (t). X n (t), a = a 1. a n, B = b 11. b n1... b 1m.... b nm, B(t) = B 1 (t). B m (t) Teorema (Formula di Itô generalizzata) Sia dx(t) = a dt + B db(t) un processo di Itô n-dimensionale come definito in (2.2.1). Sia inoltre g = g(x,t) = (g 1 (x,t),...,g p (x,t)) (C 2 ([0, ) R n ;R p ). Allora il processo Y(t) = g(t,x(t)) è ancora un processo di Itô,la cui k esima componente vale: dy k = g k n t dt + g k dx j + 1 x j 2 j=1 n j i 2 g k x i x j dx i dx j k = 1...p i = 1...n dove db i db j = δ ij dt, db i dt = dt db i = Il principio di non arbitraggio Riprendendo un discorso accennato nel paragrafo 1.1.1, introduciamo a questo punto uno dei concetti fondamentali sottostanti la teoria del pricing di strumenti finanziari derivati e l hedging: il concetto di arbitraggio. Questo concetto si può esprimere dicendo che non ci sono possibilità di fare profitti senza rischio istantanei.

19 1.3. Il principio di non arbitraggio 13 Per comprendere questa definizione, chiediamoci innanzitutto in che cosa consiste in economia il rischio. La definizione probabilmente più nota, ed allo stesso tempo più semplificata, di rischio legato ad un portfolio (definito come una collezione, un raggruppamento di investimenti) si riferisce alla sua variabilità sul rendimento finale. Le cause per cui si hanno questa naturale variabilità sul return, sono fondamentalmente di due tipi: di mercato e sistematiche. 1. Le cause di mercato sono quelle legate al singolo investimento o al singolo settore di mercato e generalmente influenzano l andamento di un titolo, ma non di tutto il mercato. I titoli evidenzieranno questi fattori di rischio probabilmente anche attraverso una alta volatilità nel prezzo del titolo stesso. In questi casi il rischio si può eliminare attraverso un operazione di hedging come quella descritta nel paragrafo o con una diversificazione dei titoli in portfolio. 2. Le cause sistematiche, come ad esempio la possibilità di un cambio d interesse, sono invece associate a fattori strutturali dell economia che influenzano l andamento dell intero mercato. Diversamente da quelle di mercato, non è possibile operare sul portfolio per poter annullare o al massimo contenere i fattori di rischio strutturali. Rispetto a queste prime definizioni di rischio, possiamo per complementarità definire il primo concetto nella definizione di arbitraggio, quello di investimento senza rischio (free-risk). Un deposito bancario, ad esempio, su un intervallo temporale breve, e quindi a tasso d interesse fissato, può essere considerato un investimento privo di rischio in quanto garantisce un ritorno sicuro e fissato dalla seguente semplice equazione differenziale: se Π è il quantitativo di denaro in deposito al tempo t e dπ la variazioni di questo nell intervallo di tempo infinitesimo dt, si ha: dπ = rπdt (1.14) dove r è il tasso d interesse corrente. Risolvendo si ottiene un semplice andamento esponenziale: Π(t) = Π(0)e rt.. C è però la possibilità di garantirsi un guadagno maggiore a parità di investimento iniziale, e l unica possibilità offerta da un mercato non distorto è quella di rischiare. Un titolo altamente volatile infatti comporta alti rischi per l acquirente il titolo, ma potrebbe allo stesso tempo garantire alti guadagni: investendo in azioni, probabilmente si batte la banca, ma questo non è certo. Il principio di non arbitraggio quindi ci dice che il maggiore guadagno senza rischio che ciascuno può ottenere attraverso un

20 14 1. Il mercato e le opzioni portfolio di titoli è lo stesso che si sarebbe ottenuto se l equivalente investimento iniziale fosse stato posto in banca. Cerchiamo di dimostrare quanto appena enunciato ed allo stesso tempo di capire quanto l altro importante fattore, l istantaneità conti in questo ragionamento. Supponiamo che vi sia un portfolio X possibile che garantisca guadagni senza rischi superiori ai depositi bancari. Allora un investitore potrebbe farsi prestare una quantità Π dalla banca, investirlo in X ricavando quindi una certa quantità dπ al costo di prestito cioè come abbiamo visto a rπdt. Si è così generato un guadagno istantaneo di dπ rπdt. E lo stesso avverrebbe nel caso opposto, se cioè ipotizziamo che nessun portfolio X possibile possa garantire un guadagno almeno pari a quello di un deposito bancario, cioè dπ < rπdt. Infatti basterebbe vendere Π in azioni o titoli da X, investirlo in banca garantendosi un guadagno di rπdt al prezzo di dπ e si sarebbe istantaneamente guadagnato rπdt dπ. In entrambi i casi avrei trovato una meccanismo che mi permetterebbe di generare continuamente soldi senza alcun costo! Il mercato deve darsi delle regole precise per evitare irregolarità od errori nel prezzatura di titoli che possano generare un simile meccanismo vizioso Portfolio autofinanziante Tutta la teoria espressa nel paragrafo precedente può essere matematicamente formalizzata attraverso il concetto di portfolio autofinanziante. E un concetto che abbiamo fondamentalmente già incontrato nel paragrafo quando abbiamo parlato di una delle possibili strategie di hedging ovvero di un annullamento del fattore di rischio proprio di un portfolio attraverso una adeguata composizione dello stesso e senza investimenti di denaro extra. Un portfolio si definisce autofinanziante se composto, in virtù della completezza di mercato, da una certa quantità φ di sottostante S e di una certa quantità ψ di un investimento privo di rischio (come ad esempio un obbligazione) che indichiamo con Z. Allora definendo per convenzione W il valore totale del portfolio vale: W = φs + ψz (0 t T). (1.15) Il problema ovviamente consiste nel determinare i parametri φ e ψ a seconda di quello che vuole essere lo scopo ultimo del portfolio (analizzeremo in particolare uno di questi possibili utilizzi nel paragrafo 2.2). L aggettivo di autofinanziante deriva proprio dal fatto che un portfolio di questo tipo rispetta l ipotesi secondo cui non sono ammessi ulteriori immissioni di denaro nella strategia di hegding. Come si può garantire ciò da un punto di vista matematico? Contrariamente a quanto fatto sino ad ora, consideriamo un modello differente, a tempo discreto, in cui i valori dell azione e dell obbligazione al

21 1.3. Il principio di non arbitraggio 15 tempo t i siano dati rispettivamente da S i e Z i. Abbiamo in questo caso preso in considerazione una sequenza di istanti {t i } N i=0 in cui supponiamo che il generico intervallo (t i 1,t i ) sia piccolo. Il portfolio a questo punto può essere pensato come una successione di valori {(φ i,ψ i )} N i=0 corrispondente alle quantità di azioni S e obbligazioni Z in possesso istante per istante. Ora, dato il generico intervallo (t i 1,t i ), la quantità W i = φ i S i + ψ i Z i rappresenta il valore del portfolio alla chiusura dell intervallo; mentre φ i+1 S i + ψ i+1 Z i è il valore d acquisto del nuovo portfolio all istante t i+1. Quindi la condizione di autofinanziamento significa che il valore del portafoglio al tempo t i, (φ i,ψ i ) finanzia esattamente l acquisto del nuovo portafoglio, individuato dalla coppia (φ i+1,ψ i+1 ), decisa al tempo t i, che occorre mantenere fino a t i+1. Se ciò non fosse verificato, occorrerebbe introdurre del nuovo denaro liquido per sostenere l operazione. Questa condizione matematicamente si esprime con la seguente semplice relazione: φ i+1 S i + ψ i+1 Z i = φ i S i + ψ i Z i. (1.16) Calcoliamo a questo punto la variazione tra i valori di chiusura del portfolio per due successivi istanti t i e t i+1 : W i+1 W i = (φ i+1 S i+1 + ψ i+1 Z i+1 ) (φ i S i + ψ i Z i ).. Sfruttiamo a questo punto la (1.16) ed otteniamo W i+1 W i = (φ i+1 S i+1 + ψ i+1 Z i+1 ) (φ i+1 S i + ψ i+1 Z i ) quindi prendendo a fattor comune: ovvero W i+1 W i = φ i+1 (S i+1 S i ) + ψ i+1 (Z i+1 Z i ) W i = φ i+1 S i + ψ i+1 Z i.. Portando quindi (t i 1,t i ) 0 i = 1...N torniamo al modello a tempo continuo ed otteniamo in questo modo la seguente relazione: dw = φds + ψdz (0 t T). (1.17) Questo vuol dire che si può assicurare che il portafoglio (1.15) si autofinanzi se i cambi in valore dello stesso dipendono solo dai cambiamenti di S e di Z.

22 16 1. Il mercato e le opzioni Riferimenti bibliografici: [1], [3], [4], [5]

23 Capitolo 2 Il modello Black & Scholes Nel 1973 Fisher Black, laureato in matematica senza mai frequentare un corso di economia o di finanza, e Myron Scholes, laureato in finanza all Università di Chicago, pubblicarono sul Journal of Political Economy lo storico articolo The pricing of options and corporate liabilities. Questo articolo diede la luce al famoso modello di Black & Scholes, certamente il più importante e diffuso nell ambito del pricing degli strumenti derivati. Nello stesso anno Robert Merton, laureato in Ingegneria Matematica all Università della Columbia, pubblicò sul Bell Journal of Economics and Management Science il lavoro Theory of rational option pricing. Nonostante una iniziale avversione dovuta al fatto che entrambi questi articoli proponevano tesi in conflitto con le opinioni correnti su pricing di strumenti finanziari, nel 1997, un paio di anni dopo la morte di Black, Scholes e Merton ricevettero il premio Nobel per l economia. C è da dire che in letteratura questo non è l unico modello, ma ve ne sono degli altri che non tratteremo in questo elaborato tra cui però possiamo ricordare il modello di diffusione con salto o il modello binomiale. Raramente esistono delle formulazioni esplicite e chiuse per tali modelli che sono invece trattabili numericamente senza troppi problemi. 2.1 Ipotesi e parametri del modello Nel capitolo 1 abbiamo discusso tutte le ipotesi economiche che sono alla base del modello di Black & Scholes. Le reillustriamo brevemente: 1. Il prezzo del bene sottostante segue un moto browniano con legge lognormale come ampiamente discusso nei paragrafi e Non ci sono possibilità di arbitraggio. Abbiamo trattato questo argomento nel paragrafo Il tasso d interesse (r) e la volatilità (σ) si mantengono costanti nel tempo. Questa ipotesi può essere in realtà indebolita ammettendo delle 17

24 18 2. Il modello Black & Scholes variazioni anche in tempi relativamente brevi, ma che siano di un entità tale per cui non si riflettano in maniera significativa sul prezzo dell opzione. 4. Il mercato è efficiente. Abbiamo citato questa importante ipotesi nel paragrafo Il mercato è sempre aperto Questa è ovviamente un idealizzazione in quanto prevede che si possano avere trattazioni sul sottostante in qualsiasi momento. 6. Il mercato è privo di frizioni. Questo vuol dire che le operazioni non sono soggette a costi i transizione o a tasse. 7. Le azioni sottostanti non pagano dividendi durante la vita dell opzione. Anche questa ipotesi può essere indebolita, ma solo nel caso in cui i dividendi fossero noti a priori: sarà allora in questo caso sufficiente sottrarre (ad intervalli discreti o in modo continuato) il valore di un dividendo futuro dal prezzo dell opzione. 8. E permesso lo short selling e non esistono lotti minimi di negoziazione. Il fatto che non esistano lotti minimi permette l acquisto e la vendita di un qualsiasi numero (non necessariamente un intero) di azioni; lo short selling invece permette che un investitore venda azioni che in realtà non possiede. Queste sono le ipotesi economiche alla base del modello che dal punto di vista della sua formulazione matematica fa riferimento ai seguenti parametri: t, il tempo; E, il prezzo d esercizio (strike price; definito nel paragrafo 1.1); T, la data di scadenza dell opzione o prezzo d esercizio (definito nel paragrafo 1.1); S, il valore corrente del bene sottostante (definito nel paragrafo 1.2); µ, il rendimento atteso del bene sottostante (drift; definito nel paragrafo 1.2)); σ, la volatilità del bene sottostante (definito nel paragrafo 1.2); r, il tasso d interesse corrente bancario o quello di un titolo non rischioso (definito nel paragrafo 1.3); L incognita del problema è V = V (S, t) ovvero il valore dell opzione.

25 2.2. Derivazione dell equazione 1-dimensionale Derivazione dell equazione 1-dimensionale Derivare l equazione del modello di Black & Scholes è molto semplice nel caso monodimensionale a partire dai concetti espressi nel capitolo 1. In particolare riprendiamo e contestualizziamo rispetto allo specifico problema del pricing d opzioni due concetti: la formula di Itô ed il portafoglio autofinanziante. Consideriamo la formula (1.10): poichè abbiamo definito g = g(s, t) dipendente dal valore del sottostante nel suo differenziale stocastico possiamo immediatamente individuare questa funzione con l incognita del problema, ovvero il valore dell opzione. Quindi nella (1.10) dobbiamo porre: g = g(s, t) V = V (S, t) (2.1) Nell ambito del pricing delle opzioni, inoltre, anche il valore del portfolio autofinanziante assume un significato particolare: si intende infatti utilizzare questa precisa e ben determinata collezione di titoli e obbligazioni per replicare il valore V dell opzione. E si può facilmente osservare dalla (1.15) che questo scopo è coerentemente raggiungibile per come abbiamo definito il portfolio: mattendosi dalla parte del sottoscrittore di una opzione call, il rischio è che al tempo T il prezzo S(T) superi E e il compratore eserciti di conseguenza l opzione. Se però egli nel frattempo ha costruito il portafoglio (1.15), il profitto che ne deriva uguaglia esattamente i fondi necessari a pagare il cliente. Viceversa, se l opzione vale zero al tempo T, anche il portafoglio varrà zero. Possiamo quindi facilmente comprendere che per il nostro fine dobbiamo porre nella (1.15): W V (2.2) La terza ed ultima sostituzione legata alla specificità del problema in considerazione è la sequente: poichè nel portfolio (1.15), Z è un investimento senza rischio, vale la relazione differenziale (1.14) a patto però che si operino le seguenti sostituzioni: Π Z (2.3) dπ dz A questo punto abbiamo tutti gli strumenti matematici necessari per ricavare l equazione finale del modello. Innanzitutto osserviamo che operando le sostituzioni indicate dalle (2.1), (2.2), (2.3): dv = φds + ψdz ds = µsdt + σsdb dz = rzdt dv = φ(µsdt + σsdb) + ψ(rzdt). Riarrangiando la relazione in termini puramente deterministici e stocastici otteniamo la relazione: dv = (φµs + ψrz)dt + σsφdb. (2.4)

26 20 2. Il modello Black & Scholes Il portfolio che abbiamo appena ricavato deve, come detto in precedenza, replicare il valore dell opzione. Abbiamo però già trovato attraverso la formula di Itô una relazione differenziale che mette in relazione V con S e t, quindi non bisogna far altro che eguagliare le due formule: (µs V S σ2 S 2 2 V S 2 + V V )dt + σs db = (φµs + ψrz)dt + σsφdb. t S In questa maniera otteniamo immediatamente il valore di φ: φ = V S. Questa scelta non solo permette di eliminare il fattore σs V S db passando così ad un modello puramente deterministico, ma il tutto viene semplificato ulteriormente perchè viene eliminato anche il termine µs V S. Il modello dunque non dipende dal rendimento atteso del sottostante. Ecco dunque come si presenta la relazione prima dell ultima semplificazione: ( 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + V )dt = ψrzdt. (2.5) t Ultimo passaggio, dalla (1.15) ricaviamo che ψz = V φs = V V S S che introduciamo nella (2.5): ( 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + V V )dt = r(v t S S)dt. Semplificando il passo temporale dt, e riscrivendo l equazione si ottiene in questa maniera la celebre equazione di Black & Scholes: V t σ2 S 2 2 V V + rs rv = 0. (2.6) S2 S Si può notare immediatamente come questo sia un esempio di equazione backward in quanto il coefficiente del termine diffusivo è positivo. Questo vorrà dire che dovrò assegnare la condizione finale al tempo t = T, piuttosto che quella iniziale al tempo t = 0. A questo punto l unica cosa che rimane da verificare è l effettivo autofinanziamento del portfolio che abbiamo costruito. Utilizzando la formula di Itô bidimensionale che abbiamo citato nel paragrafo possiamo calcolare il seguente differenziale: dv = V ds + ψdz + Sd V S S da (1.17) possiamo concludere che: Sd V S + Zdψ + d V ds = 0. S + Zdψ + d V S ds,

27 2.2. Derivazione dell equazione 1-dimensionale 21 Volendo approssimare il termine d V S ds al prim ordine, posso dire che d V S ds = σ 2 S 2 d 2 V dt e quindi l ultima equazione diventa, in virtù del fatto che Z è S 2 un investimento privo di rischio per definizione di portfolio autofinanziante: dψ = e rt (Sd V S + σ2 S 2 d 2 V S 2 dt). Abbiamo ricavato questo risultato direttamente dal concetto di portfolio autofinanziante, ma si può dimostrare, e qui tralasciamo i conti, che si può giungere alla medesima relazione partendo piuttosto dalla (2.6), ovvero dall equazione di Black & Scholes. Questo ci garantisce che il portafoglio (1.15) in cui φ = V e ψ = e rt (V S V S S ) che, come visto, è alla base dell equazione di Black & Scholes, è effettivamente autofinanziante il che termina la dimostrazione Equazione n-dimensionale Estendere il modello al caso di portfolio multi-assets, al caso cioè in cui si ha più di un sottostante è molto semplice ed indicheremo nel seguente paragrafo solo i risultati omettendo i procedimenti utilizzati. Considerando anche l aspetto di modellazione numerica che sarà trattato nella seconda parte dell elaborato, ci concentremo in particolare al caso bidimensionale. Limitiamo quindi l analisi al caso di due beni sottostanti S 1 ed S 2 : i prezzi di entrambi risultatno regolati dal seguente processo stocastico: ds i = µ i S i dt + σ i S i db i per i = 1,2. (2.7) Nel modello emerge a questo punto una nuova variabile rappresentata dalla correlazione ρ ij fra i titoli S i ed S j ; i moti Browniani sono infatti così correlati: db i,db j = ρ ij dt per i, j = 1,2 con ρ ij [0,1] e ρ ij = 1 se i = j. Tenuto conto di ciò si ricava la formula di Black & Scholes per opzioni su 2 sottostanti: V t i,j=1 2 V ρ ij σ i σ j S i S j + S i S j riscrivibile, in forma più compatta, come: 2 i=1 rs i V S i rv = 0 (2.8) dove V t + (D ) V + b V rv = 0 (2.9) D = [d ij ] con d ij = 1 2 ρ ijσ i σ j S i S j

28 22 2. Il modello Black & Scholes e b = [b i ] con b i = rs i. Anche in questo caso si è ottenuto un equazione differenziale parabolica backward di tipo diffusione-trasporto-reazione. Dobbiamo però a questo punto cercare di esprimere il termine di diffusione (D ) V in forma conservativa, esprimendola cioè in termini di divergenza. Questa forma infatti risulta particolarmente adatta per una successiva risoluzione numerica dell equazione con il metodo degli elementi finiti, in quanto facilita la scrittura in forma debole del problema in esame. Allora: dove (D V ) = 2 i,j=1 (d 2 V ij S i S j + d ij V S i S j ) = 2 i,j=1 d 2 V ij S i S j + 2 d ij V i,j=1 S i S j = (D ) V + b V b = [ b j ] dove bj = 2 i=1 d ij S i. Possiamo dunque infine riscrivere il modello (2.9) come: V t + (D V ) + b V rv = 0 (2.10) essendo b = b b. L equazione (2.10) andrà risolta sul sottospazio Ω 2 = {(S 1,S 2 ) R 2 : S i 0 peri = 1, 2} R 2. Nel caso di n sottostanti, il dominio si estende automaticamente: Ω n = {(S 1,...,S n ) R n : S i 0 peri = 1,...,n} R n. 2.3 Applicazioni del modello su opzioni europee Nel paragrafo 2.2 abbiamo ricavato e verificato, in riferimento alle ipotesi economiche, il modello di prezzatura delle opzioni di Black & Scholes. Come tutti i problemi dinamici alle derivate parziali, però, affinchè il problema sia ben definito si devono assegnare le condizioni sulla frontiera parabolica del dominio. Solo che in questo caso il problema, come visto, è backward, quindi se ammettiamo che si hanno n sottostanti il cui valore può variare indistintamente per tutti sull insieme Ω n già definito, il dominio Q T del problema avrà frontiera parabolica data da. P Q T = (Ω n {t = T }) ( Ω n [0;T]).

29 2.3. Applicazioni del modello su opzioni europee C (euro) S (euro) Figura 2.1: Il payoff di una call con E = 5e Le differenti tipologie di opzioni che intendiamo studiare si differenziano l una dall altra in virtù delle condizioni al bordo e delle condizioni finali che interpretano matematicamente le regole contrattuali sottostanti le diverse opzioni. Vediamo in particolare come funziona il modello in casi in cui è peraltro possibile trovare la soluzione analitica della funzione V : la put europea e la call europea. A livello puramente di notazione, invece di utilizzare la V per indicare la funzione incognita, utilizzeremo rispettivamente C = C(S, t) per la call e P = P(S, t) per la put Call europea Abbiamo visto dal Paragrafo 1.1 che un opzione call dà la facoltà di acquistare il sottostante al prezzo E al tempo T. Ovviamente, converrà far valere questa possibilità qualora il il prezzo S del sottostante sia maggiore del prezzo d esercizio E ed il guadagno sarà dunque di S E. Quindi la condizione finale sarà: C(S, T) = max(s E,0). (2.11) Ragioniamo a questo punto sulle condizioni al bordo per il valore del sottostante. Dalla (1.1) possiamo vedere che se S è nulla ad un certo istante t, lo sarà per tutti i t > t e quindi l opzione è senza valore. Ragionando per t = 0 ottengo che: C(0,t) = 0 per t 0. (2.12) Più invece il valore del sottostante cresce senza limiti, più è probabile l esercizio dell opzione e meno importante è l entità del prezzo d esercizio. Quindi l opzione avrà valore: C(S, t) S per S.

30 24 2. Il modello Black & Scholes Si può essere più precisi per quanto riguarda quest ultima condizione al bordo attraverso una semplice correzione: il prezzo d esercizio è un valore futuro certo al tempo t e si deve dunque calcolare quanto vale ora una somma che sarà E al tempo T. Fissato il tasso r, calcoliamo con la formula dello sconto il valore attuale di E: C(S, t) S Ee r(t t) per S e t [0,T]. (2.13) Per ricapitolare, dunque, il seguente problema è ben posto ed ha, come vedremo, una soluzione analitica: C t σ2 C 2 2 C C + rc C2 S rc = 0 t [0,T]; S [0;+ ) C(S, T) = max(s E,0) S [0;+ ) C(0,t) = 0 t [0,T] C(S, t) = S Ee r(t t) pers t [0,T] (2.14) Passiamo quindi a ricercare la formula che analiticamente calcola il valore della call per ogni valore del sottostante e ad ogni istante precedente il payoff. Questo calcolo è estremamente interessante in quanto prevede un cambio di variabili molto semplice che mette l equazione di Black & Scholes nella forma dell equazione del calore (per maggiori informazioni si consulti [1]) invertendo il senso del tempo. Il cambio di variabili è il seguente: x = log S E τ = 1 2 σ2 (T t). (2.15) Si può verificare immediatamente come tanto x quanto τ sono adimensionali al contrario di S e t per cui come sappiamo vale: [S] = [euro] e [t] = [tempo]. Inoltre mentre S varia sull insieme [0; + ), x varia su tutto l asse reale, in similitudine con il caso dell equazione del calore. Vogliamo inoltre adimensionalizzare anche il valore finale C dell opzione che come sappiamo è [S] = [euro]: dobbiamo quindi dividere C per una quantità finanziaria caratteristica del problema, ovvero E. Quindi definisco: c(x,t) = 1 C(S, t) E quindi in virtù della (2.15) si ottiene infine: c(x, t) = 1 E C(Eex,T 2 σ2τ). (2.16) Possiamo a questo punto operare le derivazioni necessarie specificando passo passo il risultato finale: C t = C c τ c τ t = E c τ ( 1 2 σ2 ) = 1 2 σ2 E c τ ;