Esercizi di PNL vincolata

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1 Esercizi di PNL vincolata Esercizio 1. Trovare massimi e minimi della funzione sull insieme {x R : x 1 + x + x = 0}. fx 1, x = x x 1 Il vincolo è regolare? Esercizio. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = e 3 x 1 x 1 x x 1 + x sul poliedro di vertici 1, 0, 0,, 0,, 3, e,, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1 1

2 Esercizio 3. Trovare massimi e minimi globali della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x, x 1 + x 1}. I vincoli sono regolari? Esercizio. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = log1 + x 1 + x sul poliedro di vertici 3, 1, 0, 3, 3, 1,, e,, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1

3 Esercizio 5. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x 8}. fx 1, x = x 1 x Il vincolo è regolare? Esercizio 6. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = x x 1 x + x 10 x 1 6 x sul poliedro di vertici 0, 0, 0, 3,, 5,, 3 e, 0, a partire dal punto x k = 1, 0. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1 3

4 Esercizio 7. Trovare massimi e minimi globali della funzione fx 1, x = x 1 + x x 1 x sull insieme D = {x R : x 1 + x x 1 8 x + 0, x 1 }. Esistono massimi e minimi globali? Esercizio 8. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = log1 + x 1 x sul poliedro di vertici 0, 0, 0,, 1, 3,, 3, 3, e 3, 0, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1

5 Esercizio 9. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x = }. fx 1, x = x 1 x Esistono massimi e minimi globali? Perché? Esercizio 10. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 x x 1 + x 1 + x sul poliedro di vertici,, 0,,, 1,, 1, a partire dal punto x k = 0, 1. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1 5

6 Esercizio 11. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 x = 1}. fx 1, x = x 1 x 1 Esistono massimi e minimi globali? Perché? Esercizio 1. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = x x sul poliedro di vertici, 0, 0,,, 0, 0,, a partire dal punto x k = 1, 1. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1 6

7 Esercizio 13. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x = 1}. fx 1, x = x x Esistono massimi e minimi globali? Perché? Esercizio 1. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 3 x + 1 sul poliedro di vertici 1, 1, 1,,, 3, 3, 3,, 1, a partire dal punto x k =, 3. linearizzata in x k soluzione ottima del ristretta al segmento [x k, ] x k+1 7

8 Esercizio 15. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x x }. Esistono massimi e minimi globali? Il vincolo è regolare? Esercizio 16. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 5 x 6 x 1 + x sul poliedro di vertici, 0, 1,,, 3 e 3, 0. x k =,0 linearizzata in x k = x k+1 = 8

9 Esercizio 17. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x = 1}. Esistono massimi e minimi globali? Perché? Il vincolo è regolare? Esercizio 18. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 x 1 x sull insieme D = {x R : x 1 + x 1, x 1 0, x 0}. Esistono massimi e minimi globali? Perché? I vincoli sono regolari? Esercizio 19. Determinare i punti della curva γ = {x R 3 : x 1 + x = 1, x 3 = 1 x 1 x } che hanno minima e massima distanza dall origine. 9

10 SOLUZIONI Esercizio 1. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x x 1 sull insieme D = {x R : x 1 + x + x = 0}. Il vincolo è regolare? SI, il gradiente del vincolo non si annulla sull insieme D x = 0, 0 µ = 1 fx = 0 x = 0, µ = 1 fx = x = x = 0, 0 3, 3 3, 3 µ = 1 fx = 9 µ = 1 fx = 9 3 3, 3, 3 Esercizio. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = e 3 x 1 x 1 x x 1 + x sul poliedro di vertici 1, 0, 0,, 0,, 3, e,, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k 3 e x 1 + e x soluzione ottima del 1, 0 ristretta al segmento e 8 t 8 t+ [x k, ] 1 x k+1 0, 1 10

11 Esercizio 3. Trovare massimi e minimi globali della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x x 1 + x 1}. I vincoli sono regolari? SI, il gradiente di ogni vincolo non si annulla mai sull insieme D x =, λ =, 0 fx = x =, λ =, 0 fx = x = x =, λ = 0, fx =, λ = 0, fx =,, Esercizio. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = log1 + x 1 + x sul poliedro di vertici 3, 1, 0, 3, 3, 1,, e,, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k 1 5 x 1 5 x soluzione ottima del 0, 3 ristretta al segmento log51 t t + 10 [x k, ] x k+1 17,

12 Esercizio 5. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x 8}. fx 1, x = x 1 x Il vincolo è regolare? SI, valgono le condizioni di Slater x = 0, 0 λ = 0 fx = 0 x =, λ = 1 fx = x =, λ = 1 fx = x =, λ = 1 fx = x =, λ = 1 fx =,,,, Esercizio 6. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = x x 1 x + x 10 x 1 6 x sul poliedro di vertici 0, 0, 0, 3,, 5,, 3 e, 0, a partire dal punto x k = 1, 0. linearizzata in x k 6 x 1 3 x soluzione ottima del, 3 ristretta al segmento 5 t 7 t 8 [x k, ] 1 x k+1 7, 3 1

13 Esercizio 7. Trovare massimi e minimi globali della funzione fx 1, x = x 1 + x x 1 x sull insieme D = {x R : x 1 + x x 1 8 x + 0, x 1 }. Esistono massimi e minimi globali? SI, la è continua e l insieme D è compatto x = 0, 1 λ = 1, 0 fx = 1 x =, 0 λ = 1, 0 fx = x =, λ = 1, 0 fx = x =, 1 λ = 0, 0 fx = 5 0, 1, 1 Esercizio 8. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = log1 + x 1 x sul poliedro di vertici 0, 0, 0,, 1, 3,, 3, 3, e 3, 0, a partire dal punto x k = 1,. linearizzata in x k x 1 + x soluzione ottima del 3, 0 ristretta al segmento log16 t 8 t + [x k, ] 1 x k+1 3, 3 13

14 Esercizio 9. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x = }. fx 1, x = x 1 x Esistono massimi e minimi globali? SI, la è continua e l insieme D è compatto x = 1, 0 µ = 1 8 fx = 1 x = 1, 0 µ = 1 8 fx = 1 x = 1 8, 63 µ = 1 fx = x = 1 8, 63 µ = 1 fx = , 0 1 8, 63, 1 8, 63 Esercizio 10. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 x x 1 + x 1 + x sul poliedro di vertici,, 0,,, 1,, 1, a partire dal punto x k = 0, 1. linearizzata in x k x 1 + x soluzione ottima del, 1 ristretta al segmento t + t + 1 [x k, ] 1 x k+1 1, 1 1

15 Esercizio 11. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 x = 1}. fx 1, x = x 1 x 1 Esistono massimi e minimi globali? Il minimo globale non esiste perché lim ft, t 1 = t + Il massimo globale esiste perché f è coerciva 5 x =, 1 µ = 1 fx = 3 5 x =, 1 µ = 1 fx = 3 5, 1, 5, 1 non esistono Esercizio 1. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per minimizzare la funzione fx 1, x = x x sul poliedro di vertici, 0, 0,,, 0, 0,, a partire dal punto x k = 1, 1. linearizzata in x k x 1 6 x soluzione ottima del 0, ristretta al segmento 10 t 16 t + 10 [x k, ] 5 x k+1 1 5,

16 Esercizio 13. Trovare massimi e minimi globali della funzione sull insieme D = {x R : x 1 + x = 1}. fx 1, x = x x Esistono massimi e minimi globali? SI perché f è continua e D è compatto x = 1, 0 µ = 0 fx = 0 x = 1, 0 µ = fx = 1, 0 1,0 Esercizio 1. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 3 x + 1 sul poliedro di vertici 1, 1, 1,,, 3, 3, 3,, 1, a partire dal punto x k =, 3. linearizzata in x k x 1 8 x soluzione ottima del 1, 1 ristretta al segmento t + 0 t 1 [x k, ] 1 x k+1 1, 1 16

17 Esercizio 15. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x x }. Esistono massimi e minimi globali? SI perché f è continua e D è compatto Il vincolo è regolare? SI perché gx 0 per ogni x D oppure perché è soddisfatta la condizione di Slater x = 1, 0 λ = 1 fx = 1 x = 3, 0 λ = 3 fx = 9 3, 0 1, 0 Esercizio 16. Eseguire un passo del metodo di Frank-Wolfe per massimizzare la funzione fx 1, x = x 1 5 x 6 x 1 + x sul poliedro di vertici, 0, 1,,, 3 e 3, 0. x k =,0 x 1 + x linearizzata in x k = 1, x k+1 = ,

18 Esercizio 17. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 + x sull insieme D = {x R : x 1 + x = 1}. Esistono massimi e minimi globali? Perché? SI perché f è continua e D è compatto Il vincolo è regolare? SI perché valgono le condizioni di Slater x = 0, ±1, µ = fx = 1 x = ±1, 0, µ = fx = 1 x = ± 1 1,, µ = 1 fx = 1 x = ± 1, 1, µ = 1 fx = 1 1, 0 1, 0 0, 1 0, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 Esercizio 18. Trovare massimi e minimi della funzione fx 1, x = x 1 x 1 x sull insieme D = {x R : x 1 + x 1, x 1 0, x 0}. Esistono massimi e minimi globali? Perché? SI perché f è continua e D è compatto I vincoli sono regolari? SI perché sono funzioni affini x = 1, 3 x = 1, 0 λ = 0, 3, fx = 1 λ = 0, 0, 1 fx = 1 8 x = 0, a con 0 a 1 λ = a, 0, 0 fx = 0 1, 0 1, 3 18

19 Esercizio 19. Il problema equivale a cercare i punti di massimo e di minimo globale della funzione fx = x = x 1 + x + x 3 sull insieme γ = {x R 3 : x 1 + x = 1, x 3 = 1 x 1 x }. Poiché sulla curva γ si ha x 1 + x = 1 e la variabile x 3 è scritta esplicitamente in funzione delle variabili x 1 e x, cioè x 3 = 1 x 1 x, il problema si riduce a cercare i massimi e minimi della funzione fx = x 1 x sull insieme {x R : x 1 + x = 1}. La è continua e la regione ammissibile è compatta, quindi esistono massimi e minimi globali. Inoltre il vincolo è regolare perché valgono le condizioni di Slater. Le soluzioni del sistema LKT sono: x = 1 1, µ = 1 fx = 1 x = x = 1, 1 1 1, x = 1, 1 1 1, µ = 1 fx = 1 µ = 3 fx = 9 µ = 3 fx = 9 1, 1, mentre i punti di minimo Quindi i punti di massimo globale sono e globale sono 1 1, e 1, 1. Concludendo, i punti della curva γ con la massima distanza dall origine sono 1, e, 1, 3 1, 1, 3 mentre i punti della curva γ con la minima distanza dall origine sono 1 1,, 1 e 1, 1, 1. 19