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1 Indice 1. Concetti Generali 1.1. Scopo di una Misurazione Sistema Internazionale di Unità di Misura Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati Alcune Nozioni di Statistica Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura Incertezza Composta Campioni di Laboratorio 2.1. Generalità Campioni di Forza Elettromotrice Sorgenti di Tensione Campione Campioni di Resistenza Campioni di Capacità Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza Campioni di Tempo Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento 3.1. Generalità Richiami sulla Trasformata di Laplace Funzione di Trasferimento Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 1

2 4. Strumenti Analogici 4.1. Generalità Classe di Precisione Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio Strumenti Magnetoelettrici Strumenti Logometrici Strumenti a Conversione Elettromagnetica Strumenti a Conversione Elettrodinamica Strumenti ad Induzione Contatori ad Induzione Effetti dell Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi Metodi di Ponte 5.1. Generalità Ponte di Wheatstone Ponte di Wheatstone a Filo Doppio Ponte di Thomson Ponte di Kohlrausch Metodi di Ponte in Corrente Alternata A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 2

3 6. Misure Industriali con Strumenti Analogici 6.1. Generalità Misure in Corrente Continua Misura di Tensioni Alternate Misura di Correnti Alternate Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo Alcune Misure Particolari Strumenti Digitali 7.1. Generalità Multimetri Wattmetri Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo Incertezza di Misura in Strumenti Digitali Moduli Elettronici Analogici 8.1. Generalità Amplificatori Amplificatori Operazionali Generatori di Tensione a Dente di Sega Alcuni Moduli Analogici Convertitori AC/DC A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 3

4 9. Conversione Analogico/Digitale 9.1. Generalità Codici Binari Campionamento e Quantizzazione Conversione A/D Misure Automatiche con Software 11. Trasformatori di Misura Generalità Trasformatori di Corrente Trasformatori di Tensione Induttivi Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger Trasformatori di Misura Combinati Trasformatori di Tensione Capacitivi Sensori e Trasduttori Generalità Sensori Attivi Sensori Passivi Oscilloscopi Generalità Tubo a Raggi Catodici Base dei Tempi Canale Verticale (Y) Canale Orizzontale (X) Oscilloscopio Digitale Probe Taratura di un Oscilloscopio A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 4

5 1.1. Scopo di una Misurazione 1. Concetti Generali 1.1. Scopo di una Misurazione Scopo di una misurazione è la determinazione della miglior stima del valore della grandezza da misurare e della incertezza di cui la misurazione stessa è affetta. Con una misurazione si stabilisce il rapporto tra una grandezza fisica (il misurando) e una grandezza di riferimento, con essa omogenea, assunta come unità di misura. In senso generale, misurare significa stabilire il rapporto fra la grandezza in esame e la sua unità di misura, cioè fra una grandezza e una quantità di riferimento con essa omogenea, (lunghezza paragonata a lunghezza, resistenza elettrica a resistenza elettrica, ecc.). Come verrà precisato in seguito, una misurazione può riguardare un solo misurando, ovvero più misurandi per cui essa può risultare più o meno complessa. Per esprimere il valore di una grandezza fisica ci si serve di due simboli: un numero e una lettera. La lettera rappresenta il simbolo dell unità di misura scelta, mentre il numero dice quanto più grande o più piccola della quantità definita come unità è la grandezza in esame. Ad esempio, l unità di misura della lunghezza è il metro, che si indica con la lettera m : scrivere 8 m significa indicare una lunghezza pari a otto volte l unità di misura. L insieme delle unità di misura costituisce un sistema di misura, per definire compiutamente il quale si devono distinguere le unità di misura assolute da quelle derivate. Scelte le unità assolute, tra loro indipendenti, quelle derivate risultano implicitamente definite. Le diverse unità di misura necessarie per le diverse grandezze (lunghezza, resistenza elettrica, tempo, volume, pressione, ecc.) formano un sistema di unità di misura. In un sistema di unità di misura vengono assunte come assolute o fondamentali alcune grandezze, indipendenti tra loro e nel numero più piccolo possibile, definendone le unità di misura. Tutte le altre unità di misura del sistema, che vengono dette unità derivate, si ricavano dalle fondamentali. Per fare un esempio, la lunghezza L è una grandezza fondamentale, mentre un area, essendo il prodotto di due lunghezze (L L = L 2 ), rappresenta una grandezza derivata. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 5

6 1 Concetti Generali 1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI) è costituito dall insieme delle unità di misura delle grandezze assunte come fondamentali. Il Sistema SI si basa su 7 grandezze fondamentali: lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura termodinamica, intensità luminosa, quantità di materia e due supplementari, angolo piano e angolo solido. Il sistema assoluto attualmente in vigore è il Sistema Internazionale (indicato con la sigla SI). Esso è basato su sette grandezze fondamentali e due supplementari, precisamente: lunghezza, massa, intervallo di tempo, intensità di corrente elettrica, intervallo di temperatura, intensità luminosa, quantità di materia e, come supplementari, angolo piano e angolo solido. La Tabella 1.1 riporta le grandezze SI fondamentali, supplementari e le principali grandezze derivate, con il nome e il simbolo della loro unità. Le unità del Sistema SI sono unità legali, nel nostro Paese, in forza del Decreto del Presidente della Repubblica n. 802 del , emanato in attuazione della Direttiva n. 80/181 della Comunità Economica Europea (CEE) di cui l Italia è parte. L impiego di unità di misura di vecchi sistemi non è pertanto corretto e deve perciò essere abbandonato. Grandezza Nome dell Unità Unità SI Simbolo dell Unità Fondamentali Lunghezza metro m Massa kilogrammo kg Intervallo di tempo secondo s Corrente elettrica ampere A Intervallo di temperatura kelvin K Intensità luminosa candela cd Quantità di sostanza mole mol Supplementari Angolo piano radiante rad Angolo solido steradiante st Derivate Frequenza hertz Hz Forza newton N Pressione, tensione meccanica pascal Pa Tab. 1.1 Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 6

7 1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura Grandezza Nome dell Unità Unità SI Simbolo dell Unità Lavoro, energia, quantità di calore joule J Potenza watt W Carica elettrica coulomb C Potenziale elettrico, tensione elettrica, forza elettromotrice volt V Capacità elettrica farad F Resistenza elettrica ohm Ω Conduttanza elettrica siemens S Flusso di induzione magnetica weber Wb Induzione magnetica tesla T Induttanza propria, induttanza mutua henry H Flusso luminoso lumen lm Illuminamento lux lx Tab. 1.1 Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura Nell Appendice A sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali e in modo ancora più dettagliato, le grandezze del Sistema SI, unitamente alle loro unità di misura. Sono state inoltre riportate le unità di misura che, pur non comprese dal Sistema SI, sono ammesse o transitoriamente tollerate. Le unità di misura si possono esprimere, per praticità, in multipli e sottomultipli che variano secondo le potenze positive o negative di 10. L uso delle sole unità di misura SI non risulta sempre pratico per cui è necessario l impiego di multipli e sottomultipli decimali formati mediante i prefissi indicati in Tabella 1.2. Il prefisso unito al simbolo dell unità di misura forma il simbolo del multiplo o sottomultiplo di quella unità, esso può essere elevato ad una potenza positiva o negativa e combinato con i simboli di altre unità di misura. Ad esempio: 1mm 2 = 10 6 m 2 1kV = 10 3 V 1mm s = 10 3 m s (1.1) Per esprimere il valore numerico di una grandezza è consigliabile l uso dei multipli e sottomultipli in modo che il valore numerico stesso risulti compreso tra 0,1 e Per esempio, conviene scrivere 6.25 mm oppure m invece di m. I prefissi hanno anche un nome e un simbolo così come indicato in Tabella 1.2. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 7

8 1 Concetti Generali Prefisso Fattore di Moltiplicazione Nome Simbolo exa E peta P tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 2 etto h 10 1 deca da 10 1 deci d 10 2 centi c 10 3 milli m 10 6 micro µ 10 9 nano n pico p femto f atto a Tab. 1.2 Multipli e sottomultipli decimali Le unità di misura vengono scritte per esteso e in minuscolo. L uso dei simboli è ammesso solo quando esse sono precedute da un valore numerico. Per la grafia sono valide le seguenti regole: i nomi delle unità di misura devono essere scritti con caratteri minuscoli, compresa la lettera iniziale, e senza punto finale (ad esempio volt e non Volt). Quando derivano da nome proprio restano invariati al plurale; l unità di misura, quando accompagna il relativo valore numerico, è espressa in genere mediante il suo simbolo che deve essere scritto dopo il valore numerico senza punto finale; l uso dei simboli è ammesso solo quando essi sono preceduti da valore numerico; diversamente si deve scrivere il nome dell unità di misura per esteso; A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 8

9 1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati il simbolo dei multipli e sottomultipli di una unità si scrive facendo precedere il prefisso al simbolo dell unità senza interporre un punto o uno spazio. Viceversa il simbolo delle unità derivate, prodotto di due o più unità, deve essere scritto interponendo, tra i simboli delle unità componenti, il punto di moltiplicazione o uno spazio, ad esempio: Nm N m (1.2) qualora l unità derivi dal quoziente di due altre unità, il simbolo è formato interponendo fra il simbolo a numeratore e quello a denominatore un tratto obliquo o la riga di frazione o usando gli esponenti negativi. Ad esempio: m s 2 m ---- m s 2 s 2 (1.3) 1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati Per effettuare una misurazione deve essere individuato il misurando e scelto il metodo di misura da utilizzare. Il misurando è la specifica quantità oggetto di misurazione (ad esempio, la resistenza elettrica di un conduttore a 20 C). Quando si specifica un misurando può essere necessario includere riferimenti ad altre quantità, quali tempo, temperatura, pressione, ecc. L obiettivo della misurazione è quello di determinarne una stima del valore nel modo più appropriato. La scelta del metodo di misura, che può essere fatta dall operatore o stabilita da una norma, è di fondamentale importanza. Si tenga presente che anche dovendo operare sullo stesso tipo di misurando (ad esempio, una potenza elettrica, una temperatura, ecc.) le sue specifiche caratteristiche possono imporre l uso di un metodo ed escluderne altri. In una misura elettrica, un metodo può differire da un altro per le caratteristiche del circuito realizzato e per gli strumenti impiegati. Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto esso può fornire solo una stima del valore vero del misurando. Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto generalmente esso si discosta dal valore vero del misurando per ragioni legate al metodo e agli strumenti usati, nonché alle condizioni in cui la misura viene effettuata. È innanzitutto da osservare che il termine di valore vero deve essere considerato in senso lato, in quanto si deve ammettere che, essendo la sua determinazione comunque ottenuta da una misurazione, esso è in realtà sempre incognito. Il ricorso ad un metodo e a strumenti di caratte- A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 9

10 1 Concetti Generali ristiche misuristiche più pregiate può consentire di ottenere risultati migliori di quelli forniti da un sistema più scadente, ma l approccio al problema non cambia. Nella interpretazione dei risultati di una misurazione si deve tenere presente che gli scarti rispetto al valore vero dipendono da errori grossolani commessi dall operatore, per esempio nella lettura di uno strumento o nella sua errata inserzione, ecc.; da scarti di segno costante che se noti o determinabili mediante un processo logico vengono definiti errori sistematici; da eventi casuali quali l interpretazione delle indicazioni di uno strumento a indice, l effetto della temperatura, la presenza di disturbi non individuabili, ecc. Gli errori grossolani sono in generale di ampiezza tale da essere facilmente riconoscibili. Quando si opera su un solo misurando, il rischio di errori grossolani può essere praticamente eliminato effettuando misure ripetute, ricorrendo eventualmente a operatori diversi. Per quanto riguarda gli errori sistematici noti o determinabili, si può dire che essi sono generalmente legati al metodo e agli strumenti usati e molte volte possono essere corretti. Una volta ripuliti i risultati dagli eventuali errori grossolani e sistematici, si deve passare alla valutazione degli effetti degli eventi casuali alla quale sono dedicati i prossimi paragrafi Alcune Nozioni di Statistica I modelli di distribuzione statistica disponibili sono diversi. Le distribuzioni normale (o di Gauss) e la distribuzione t di Student sono quelle più utilizzate nel campo delle prove elettriche. Tra le diverse distribuzioni statistiche, alcune si prestano meglio di altre all interpretazione dei dati di prova. La scelta della distribuzione che meglio interpreta i risultati può essere fatta in base all esperienza già acquisita o attraverso una verifica sperimentale. La distribuzione normale (o di Gauss) è adatta per interpretare i risultati di prove non distruttive ripetute sullo stesso oggetto o quelli di prove effettuate con le stesse modalità su campioni delle stesse caratteristiche. Questo modello, che ha vastissima utilizzazione, viene sovente accettato convenzionalmente anche quando la distribuzione dei dati è proprio normale. La distribuzione t di Student, invece è particolarmente adatta a quei casi in cui la quantità di dati disponibili è limitata. Quali esempi di applicazione si possono citare, la distribuzione degli scarti tra misure ripetute sullo stesso oggetto (incertezza strumentale), la determinazione della tensione di perforazione con tensione linearmente crescente su provini di carta impregnata con gli elettrodi ASTM o IEC, oppure la verifica della distanza esplosiva tra le sfere di uno spinterometro di misura. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 10

11 1.4. Alcune Nozioni di Statistica Definizioni Le principali definizioni riguardano la probabilità di un evento, la densità di probabilità e la probabilità cumulata. Come necessaria premessa a quanto verrà esposto nel seguito, è opportuno introdurre alcune definizioni e un po di nomenclatura. Si definisce probabilità di un evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli a tale evento e il numero di casi possibili. Più precisamente, si definisce probabilità di ottenere da un esperimento un certo risultato, definito da un certo valore y assunto dalla variabile casuale che caratterizza l esperimento stesso, il rapporto tra la misura dell insieme dei risultati che forniscono il valore y e la misura dell insieme comprendente tutti i risultati possibili relativi al detto esperimento. Ad esempio, se si lancia un dado da gioco, la probabilità di ottenere il numero quattro è 1/6. Se si lanciano due dadi lo stesso numero ha probabilità di verificarsi pari a 1/12 (combinazioni 2 + 2, 3 + 1, 1 + 3). Se si effettua un numero di lanci ripetuti di un solo dado, ad esempio un centinaio, si constata che tutti i possibili valori (da 1 a 6) si presentano con la stessa frequenza. Diversa è la situazione nel caso di lancio ripetuto di due dadi in quanto i possibili valori (da 2 a 12) hanno diverse probabilità di verificarsi. Nel caso di prove ripetute si definisce densità di probabilità il rapporto tra gli eventi che hanno dato il risultato prefissato e quelli globalmente verificatisi. Questa grandezza che è adimensionale e consente di normalizzare i risultati degli esperimenti, può assumere tutti i valori possibili tra 0 e 1 (si può esprimere anche in percento). Si definisce invece probabilità cumulata il rapporto di tutti i risultati che presentano valori inferiori o uguali al risultato prefissato. Se l esperimento ha come variabile casuale una grandezza misurabile che può assumere, almeno in linea teorica tutti i valori possibili, la densità di probabilità assume andamento continuo anziché discreto come negli esempi precedenti. In ogni caso, la probabilità di ottenere un certo valore di x non è uniforme ma è funzione della stessa x. Si dice allora che f(x) è la distribuzione della densità di probabilità dell evento definito dalla variabile casuale rappresentata dalla stessa x. In Figura 1.1 sono riportati due diagrammi tipici che rappresentano f(x) in funzione di x. Si noti che il primo di essi presenta simmetria rispetto al valore centrale a differenza del secondo. Un altro tipo di distribuzione si può ottenere esprimendo la probabilità cumulata F(x) in funzione della variabile casuale (Figura 1.2). F(x) rappresenta la probabilità di ottenere tutti i valori inferiori o uguali a x ed è analiticamente rappresentata da Fx () = f()x x d x (1.4) A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 11

12 1 Concetti Generali f(x) x f(x) x Fig. 1.1 Tipici diagrammi di distribuzione della densità di probabilità 1 F(x) X m x Fig. 1.2 Tipico diagramma di probabilità cumulata da a x A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 12

13 1.4. Alcune Nozioni di Statistica Si noti che f(x) tende a zero sia per x che per x, quindi lim Fx () x = f()x x d = 1 (1.5) Alternativamente si può definire con G(x) (Figura 1.3) con i tutti i valori da x a ottenendo Gx () = f()x x d x (1.6) 1 G(x) X m x Fig. 1.3 Tipico diagramma di probabilità cumulata da x a È ovvia la relazione Gx () = 1 Fx () (1.7) Sotto l aspetto applicativo, si può osservare che normalmente si ha a disposizione un numero limitato di risultati e che la loro rappresentazione grafica può essere fatta ricorrendo ad istogrammi del tipo indicato in Figura 1.4 che si riferisce al caso di una distribuzione simmetrica. f(x) x Fig. 1.4 Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità in un caso pratico con un numero limitato di risultati A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 13

14 1 Concetti Generali La curva reale si ottiene per interpolazione tra le altezze delle canne che costituiscono l istogramma. Si presenta ora il problema di caratterizzare le distribuzioni sopra definite con il più limitato numero possibile di parametri. Il primo parametro che interessa è quello che caratterizza i valori di x per cui f(x) è prossima al suo valore massimo, ovvero F(x) è significativamente differente da 0 a 1. Media, mediana e moda rappresentano tre diversi parametri caratteristici della distribuzione delle densità di probabilità. Esse coincidono quando la distribuzione è normale. In Figura 1.5 sono rappresentate tre distribuzioni, di cui vengono definite le seguenti grandezze: media: rappresenta la somma delle varie osservazioni divise per il numero delle osservazioni stesse, la media di una distribuzione µ viene ottenuta pesando ogni valore x con la sua probabilità f(x) µ = xf()x x d (1.8) mediana: è definita dal valore dell osservazione per cui metà delle osservazioni è inferiore e metà è superiore alla stessa (se il numero delle stesse è pari e la media dei due valori più vicini, se il numero è dispari il valore dell osservazione centrale); moda: è il valore dell osservazione che si verifica più frequentemente. Media, mediana e moda coincidono nel caso di distribuzione normale. Un altro parametro che interessa, caratterizza invece la dispersione della distribuzione attorno al valore medio µ. È ovvio che quanto meno la distribuzione sarà dispersa, tanto più i risultati dell esperimento saranno raggruppati attorno a µ. Per indicare la dispersione si utilizza il parametro seguente, ottenuto pesando ogni valore di ( x µ ) 2 con la probabilità f(x). σ 2 = ( x µ ) 2 f()x x d (1.9) Il parametro σ 2 si denomina varianza della distribuzione. La sua radice quadrata σ, rappresenta la deviazione standard della distribuzione Distribuzione Normale (o Gaussiana) La distribuzione normale presenta caratteri di simmetria rispetto al valore medio della variabile casuale. Essa risulta completamente definita da due parametri: il valore medio e la varianza (o la deviazione standard). A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 14

15 1.4. Alcune Nozioni di Statistica J f(x) Normale Media, Moda, Mediana J x J f(x) J J x J f(x) Moda Mediana Media J Media Mediana Moda x Fig. 1.5 Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densità di probabilità Tra le varie distribuzioni ha un posto particolarmente rilevante la così detta distribuzione normale (o di Gauss) la cui funzione densità di probabilità è definita da f() x = e σ 2π ( x µ ) σ 2 (1.10) Questa distribuzione ha un valore medio µ, deviazione standard σ ed è simmetrica rispetto ad µ. Essa è caratterizzata dalle seguenti probabilità cumulate: F(µ σ < x < µ + σ) = 0.683; A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 15

16 1 Concetti Generali F(µ 2σ < x < µ + 2σ) = 0.957; F(µ 3σ < x < µ + 3σ) = Per cui si dice comunemente che il valore di x di una variabile casuale distribuita secondo la distribuzione normale è in generale compreso nell intervallo ±3σ attorno al valore medio. Nel grafico di Figura 1.6 è rappresentato l andamento della distribuzione di probabilità in cui µ = 5 e σ = 2 che equivale alla funzione f() x = e 2 2π ( x 5) (1.11) f(x) x Fig. 1.6 Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2 La distribuzione normale è quindi completamente definita dai due parametri: la media e la varianza della popolazione. L importanza della distribuzione normale risiede nel fatto che un notevole numero di fenomeni naturali sono normalmente distribuiti o lo sono praticamente. Si citano ad esempio, l altezza ed il peso degli individui, gli errori nella misura della lunghezza di asta metallica o di una tensione elettrica, ecc. In pratica questo significa che se si prende un campione di 100 individui e si misura il loro peso, si può tracciare un istogramma del tipo indicato in Figura 1.7 che può essere assimilato ad una distribuzione normale. Se si prende un campione più grande (ad esempio, 300 individui) l istogramma sarebbe quello di Figura 1.8 che è ovviamente più prossimo ad una distribuzione normale. La precisione con la quale si possono determinare i parametri della distribuzione è strettamente legata alla scelta del numero di campioni. La complessità della formula sopra riportata ha suggerito il ricorso a tabelle in cui sono riportati parametri di validità generale. Una variabile casuale è detta normalizzata quando essa è stata aggiustata in modo da avere media nulla e deviazione standard 1. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 16

17 1.4. Alcune Nozioni di Statistica f(x) Fig. 1.7 Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 100 individui) x f(x) Fig. 1.8 Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 300 individui) Uno dei più importanti teoremi della statistica dimostra che se x è una variabile casuale con media µ e deviazione standard σ, allora la variabile x Z = x µ σ (1.12) presenta valore medio nullo e deviazione standard uguale a 1. Questa funzione è quindi normalizzata e viene solitamente indicata con Z. Esistono quindi tabelle che danno i valori dell area sottesa alla distribuzione normale definita dalla funzione Z. Un esempio è riportato in Tabella 1.3. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 17

18 1 Concetti Generali f(z) A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z Tab. 1.3 Area della distribuzione normale A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 18

19 1.4. Alcune Nozioni di Statistica f(z) A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z Tab. 1.3 Area della distribuzione normale A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 19

20 1 Concetti Generali Distribuzione t di Student La distribuzione t di Student è adatta per interpretare i risultati di un numero limitato di prove. La distribuzione di probabilità ha andamento simile a quella normale ma è più allargata e coincide con essa per un numero elevato di dati. Nella pratica, per ragioni di tempo e di costo, le misurazioni costituiscono sempre una serie limitata di valori. La variabile che razionalizza esattamente i valori di serie limitate, è stata studiata da Student e ha la seguente espressione t = X m x s n (1.13) dove X m rappresenta il valor medio delle n misurazioni ed è una stima del valore atteso x che coincide con la media della distribuzione µ, mentre s è lo scarto tipo sperimentale della serie di misurazioni ed è una stima della deviazione standard della distribuzione σ. L espressione s n a denominatore dell equazione (1.13) è lo scarto tipo della media. La funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student f(t, ν) è data da ftν (, ) = Γ( ν + 1 ) πν Γ( -- ν 1 t ) ν 2 ( ν + 1) 2 (1.14) dove < t <, ν > 0 sono i gradi di libertà e Γ() n = x n 1 e x d x con n > 0 (1.15) 0 La distribuzione t di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale ma è meno appuntita come si nota dal grafico di Figura 1.9. Per ogni valore di ν = n 1, con n 2, esiste una curva di distribuzione della probabilità di t. La Tabella 1.4 riporta, per un buon numero di valori di ν, i valori di t a diversi livelli di probabilità. Nel caso in cui si consideri una misurazione complessa del tipo y = f(x 1, x 2,, x n ), la formula di Welch-Satterhwaite, permette di calcolare il numero di gradi di libertà effettivi, ν eff, che competono ad una incertezza tipo ν eff = u 4 () y y u( x x i ) 4 ν i i i (1.16) A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 20

21 1.4. Alcune Nozioni di Statistica f(t) Normale 0.3 ν = ν = t Fig. 1.9 Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student Gradi di Libertà ν Valori di t con Probabilità p p = % p = % p = % p = % p = % p = % Tab. 1.4 Valori della funzione t di Student Da cui se y = 1, x i ν eff u 4 () y = [ u 4 ( x i ) ν i ] i (1.17) Se il valore di ν eff calcolato non è intero, deve essere arrotondato all intero inferiore più prossimo A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 21

22 1 Concetti Generali Distribuzione Uniforme Un caso particolare di distribuzione è rappresentato dalla distribuzione uniforme, la cui funzione densità di probabilità è rappresentata in Figura f(x) 1/ x Fig Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione uniforme Per la distribuzione uniforme vale f() x 1 = x µ 2 f() x = 0 x µ > (1.18) Pertanto, la distribuzione uniforme avrà media µ e varianza pari a σ 2 ( x µ ) 2 ( x µ ) = f()x x d = dx = (1.19) 1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura Il valore più probabile del misurando, ottenuto in base a misurazioni ripetute sullo stesso oggetto e con lo stesso metodo, è la media aritmetica dei singoli risultati Quando, nelle stesse condizioni, si ripete più volte la misurazione di una stessa grandezza, si ottengono, in generale, risultati diversi. Ciò non significa necessariamente che la grandezza sia cambiata, ma piuttosto che le indicazioni dello strumento utilizzato sono variate per cause accidentali o che la loro lettura è stata effettuata in modo imperfetto dall operatore. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 22

23 1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura Un esempio tipico è quanto avviene quando si effettua la misurazione di una distanza mediante bindella centimetrata. La stessa operazione ripetuta più volte dallo stesso operatore o da operatori diversi fornisce risultati prossimi tra loro ma diversi. Un altro esempio può essere quello della misurazione ripetuta del periodo di un pendolo effettuato con un cronometro. Di fronte a questa situazione l operatore si deve porre due domande: quale è il valore più attendibile del misurando? quale è il significato da dare agli scarti riscontrati? La risposta a tali domande si trova generalmente applicando metodi probabilistici basati sull uso della matematica statistica. La miglior stima del valore del misurando, che varia casualmente, e per cui n osservazioni indipendenti x k sono state ottenute sotto le stesse condizioni di misura è la media aritmetica X m delle n osservazioni n 1 X m = -- x n k k = 1 (1.20) Si intuisce immediatamente che il valore di X m è tanto più attendibile quanto maggiore è il numero delle misure effettuate. Le singole misure scartano dalla media della quantità x 1 X m, x 2 X m, ecc., per effetto di fattori di influenza casuali. Gli scarti assumono valori tanto più grandi quanto più dispersi tra loro sono i dati originali e sotto questo aspetto si può intuire che la qualità della misura sarà migliore se piccoli sono tali scarti rispetto alla media. Nasce perciò la necessità di dare una valutazione quantitativa di questa qualità, ciò che potrebbe essere fatto con un criterio convenzionale qualsiasi. L incertezza di misura è un parametro, associato con il risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti al misurando Analizzando le condizioni e il processo di misura ci si può rendere conto che le cause di aleatorietà del risultato finale di una misurazione sono diverse e a volte complesse, quali: definizione incompleta del misurando; conoscenza o misura inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali; errori sistematici non noti nella indicazione degli strumenti analogici; risoluzione finita di strumenti a indicazione discreta; valori delle costanti e altri parametri ottenuti da fonti esterne ed usati nell algoritmo di riduzione dei dati; variazioni del misurando in ripetute osservazioni effettuate in condizioni apparentemente identiche; imperfetta correzione di errori sistematici legati al metodo di misura usato. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 23

24 1 Concetti Generali In un rapporto di prova si conviene di dichiarare un unico valore come stima del valore del misurando, valore a cui viene associata un incertezza, opportunamente definita e calcolata sulla base delle diverse origini anzi indicate. In generale si scriverà che il valore della grandezza da misurare X è dato dalla sua stima X m gravata dall incertezza U (tale lettera è l iniziale della parola inglese uncertainty che significa per l appunto incertezza ): X = X m ± U (1.21) L incertezza di misura U può anche essere espressa in forma relativa U = U X m (1.22) Il concetto di incertezza, come attributo quantificabile di una misura è relativamente recente, sebbene errore e analisi dell errore siano stati a lungo una parte importante della scienza della metrologia. Si riconosce che quando tutti i componenti di errore noti sono stati valutati e sono state apportate le correzioni appropriate, rimane ancora un incertezza circa la correttezza del risultato, cioè un dubbio su quanto il risultato della misura rappresenti il valore della quantità cercata. Al fine di rendere confrontabili risultati di misure diverse, sono stati definiti metodi normalizzati di valutazione della qualità delle stesse. Nell incertezza del risultato di una misura possono generalmente individuarsi diversi componenti che per comodità possono essere raggruppati in due categorie a seconda del modo in cui l incertezza stessa viene stimata: quelli che vengono valutati applicando metodi statistici partendo da una serie di ripetute determinazioni (tipo A); quelli che vengono valutati con altri mezzi (tipo B). Non esiste alcuna corrispondenza tra la classificazione dei componenti nelle categorie A o B se non quella di indicare due diversi criteri di valutazione dell incertezza. In pratica il livello di accuratezza nella stima dell incertezza e l incertezza stessa richiesti possono essere anche molto diversi a seconda dello scopo e del livello della misura Incertezza di Tipo A L incertezza di tipo A viene valutata applicando metodi statistici ad una serie di ripetute misurazioni. L incertezza può essere espressa dallo scarto quadratico medio o dallo scarto tipo o da un multiplo di quest ultimo. Prevede la determinazione dell incertezza in base alla dispersione di più letture in una misurazione con rilevamento del misurando. Tale dato potrebbe essere il risultato finale di singole misure oppure la grandezza di ingresso di misure complesse ottenute attraverso la combinazione di più risultati di misure semplici. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 24

25 1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura Le osservazioni individuali x k differiscono nel valore a causa di variazioni casuali delle quantità di influenza. Lo scarto quadratico medio s 2 (x k ), stima della varianza σ 2 della distribuzione di probabilità di x, è definita dalla relazione s 2 ( x k ) n 1 = n ( 1 x X ) 2 k m k = 1 (1.23) Lo scarto tipo sperimentale s(x k ), stima della deviazione standard σ della distribuzione di probabilità di x, è uguale alla radice quadrata positiva dello scarto quadratico medio. Entrambi gli indici citati possono essere usati per indicare l incertezza di misura, ma in generale si preferisce usare lo scarto tipo in quanto espresso nella stessa unità di misura del misurando. Lo scarto tipo può essere espresso in valore assoluto, in valore relativo o relativo percentuale. Si parlerà allora di scarto tipo assoluto, di scarto tipo relativo, di scarto tipo percentuale. Ai fini dei confronti tra i risultati di serie di misure ripetute delle quali è nota la stima più attendibile del misurando, è di notevole interesse lo scarto quadratico medio delle medie s 2 (X m ), stima della varianza della distribuzione delle medie, dato dalla relazione s 2 ( X m ) = s 2 ( x k ) n (1.24) Anche in questo caso si preferisce utilizzare lo scarto tipo s(x m ) per la stessa ragione sopra richiamata Incertezza di Tipo B L incertezza di tipo B viene valutata ricorrendo a mezzi diversi rispetto a quelli statistici basati su misure ripetute. La stima dell incertezza di tipo B deve essere determinata valutando tutte le informazioni ottenibili relative alla sua possibile variabilità. Queste informazioni possono includere precedenti dati di misura, specifiche dei costruttori degli strumenti e dati di taratura degli stessi, oltre che dati di incertezza sui materiali in uso riscontrabili nella manualistica. Le modalità di determinazione possono quindi variare a seconda delle circostanze. Alcuni esempi consentiranno di chiarire meglio i concetti esposti. Si supponga che il certificato di taratura di un resistore campione (x i ) riporti che il valore dello stesso è Ω e che l incertezza di questo valore sia di 50 µω con fattore di copertura pari a 3. L incertezza tipo del resistore campione è allora semplicemente u(x i ) = 50/3 = 16.7 µω (1.25) A volte l incertezza di x i viene espressa attraverso un intervallo di confidenza del 63%, 95% o 99% invece che per mezzo di un multiplo dello scarto tipo. Poiché in generale, si può assumere che per calcolare gli intervalli di confidenza si sia fatto riferimento a una distribuzione normale e che sia stato impiegato un opportuno fattore per calcolare l incertezza tipo dall intervallo di A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 25

26 1 Concetti Generali confidenza, si possono assumere quali fattori corrispondenti ai tre intervalli citati i valori di 1.64, 1.96 e 2.58 rispettivamente. Si supponga ora che un certificato di taratura stabilisca che la resistenza di un resistore campione (x i ) sia Ω a 20 C e che l incertezza di questo valore ad un livello di confidenza del 99% sia 129 µω. L incertezza tipo del resistore può essere assunta pari a u(x i ) = 129/2.58 = 50 µω (1.26) Basandosi sulle informazioni disponibili, a volte si può accettare che la probabilità che x i cada nell intervallo [a ; a + ] abbia un ben definito valore, ad esempio, del 50%. Se la miglior stima X m di x i può essere assunta nel punto medio dell intervallo e se si può supporre normale la distribuzione dei possibili valori di x i, indicando l ampiezza del semintervallo con a = (a + a )/2, si può allora assumere u(x i ) = 1.48 a (1.27) dal momento che in una distribuzione normale con valore atteso X m e scarto tipo s, l intervallo (X m ± s)/1.48 contiene il 50% della distribuzione. In altri casi può solo essere possibile stimare i limiti (superiore ed inferiore) di x i, in particolare affermare che, agli scopi pratici, la probabilità che il valore di x i si trovi all interno dell intervallo [a ; a + ] sia pari ad uno e che sia invece nulla la probabilità che x i si trovi al di fuori dello stesso intervallo. Se non esiste un particolare motivo per affermare che il valore di x i cada in un certo punto all interno dell intervallo [a ; a + ], si può soltanto assumere che sia ugualmente probabile che x i si trovi ovunque all interno di esso (distribuzione rettangolare di probabilità). Allora il valore atteso di x i può ragionevolmente ritenere essere nel centro dell intervallo [a ; a + ], per cui l incertezza tipo diviene In casi particolari, se l assunzione di distribuzione rettangolare di probabilità fosse ritenuta poco realistica, può essere assunta una distribuzione trapezoidale o altra opportuna. In ogni caso, conux ( i ) = a 3 (1.28) Per esempio, un manuale fornisce il valore del coefficiente di espansione termica lineare del rame puro a 20 C, α 20(Cu) = C 1, ed afferma semplicemente che l errore su questo valore non dovrebbe essere superiore allo C 1. Si può quindi soltanto assumere che il valore di α 20(Cu) si trovi con uguale probabilità nell intervallo compreso tra C 1 e C 1 e che è molto improbabile che α 20(Cu) si trovi invece all esterno di questo intervallo. L incertezza tipo di questa distribuzione rettangolare simmetrica di possibili valori di α 20(Cu) di semiampiezza a = C 1 è allora assunta pari a ux ( i ) = = C 1 (1.29) Qualora i limiti superiore ed inferiore a e a + non fossero simmetrici rispetto alla stima migliore di x i, l incertezza tipo si calcola invece come segue ux ( i ) = a + a (1.30) A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 26

27 1.6. Incertezza Composta siderazioni circa la valutazione delle incertezze di tipo B non possono prescindere dall esperienza dell operatore Incertezza Composta L'incertezza composta è l'incertezza tipo che grava sul risultato di una misurazione complessa. I risultati ottenuti per le incertezze su singoli componenti del sistema di misura devono essere combinati tra loro per determinare l incertezza complessiva (incertezza composta) che grava su una misurazione complessa di una grandezza Y. Se il risultato della misurazione (y) è ottenuto dall elaborazione di risultati di più misure indipendenti tra loro (x i ), cioè y = f( x 1, x 2,, xi,, x n ) (1.31) l incertezza di cui è affetta la stima del misurando finale (incertezza composta) è legata alle incertezze da cui sono affette le singole quantità x i.l incertezza composta, espressa in valore assoluto, è data da uy () = n i = 1 f u x 2 ( x i ) i (1.32) ove u(x i ) sono le incertezze (di tipo A e di tipo B, ottenute come indicato ai punti precedenti) da cui sono affette le diverse quantità x i di cui è funzione il misurando finale. Nella Tabella 1.5 è riportata la specializzazione della espressione che fornisce l incertezza composta assoluta per casi particolari, in cui per semplicità si è supposto il misurando essere funzione di non più di tre componenti. Funzione Incertezza Composta Assoluta y = A+ B uy () = ua ( ) 2 + ub ( ) 2 y = A B uy () = ua ( ) 2 + ub ( ) 2 y = k A uy () = k u( A) y = A B uy () = B 2 ua ( ) 2 + A 2 ub ( ) 2 y = A n uy () = n A n 1 ua ( ) y = A B C uy () = ( BC) 2 ua ( ) 2 + ( AC) 2 ub ( ) 2 + ( AB) 2 uc ( ) 2 Tab. 1.5 Espressioni dell incertezza tipo composta assoluta A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 27

28 1 Concetti Generali Nella Tabella 1.6 sono invece riportate per alcuni casi particolari le espressioni dell incertezza composta relativa u () y = uy () y (1.33) in funzione delle singole incertezze relative u ( x i ). Funzione Incertezza Composta Relativa y = A+ B u () y = A 2 u ( A) 2 + B 2 u ( B) ( A+ B) 2 y = A B u () y = A 2 u ( A) 2 + B 2 u ( B) ( A B) 2 y = k A u () y = u ( A) y = A B u () y = u ( A) 2 + u ( B) 2 y = A n u () y = n u ( A) y = A B C u () y = u ( A) 2 + u ( B) 2 + u ( C) 2 Tab. 1.6 Espressioni dell incertezza tipo composta relativa Per chiarire meglio il procedimento di calcolo dell incertezza composta si possono considerare due semplici esempi. Caso Y = A + B Le grandezze misurate sono A m = A + u(a) e B m = B + u(b). L incertezza assoluta della somma è quindi ua ( + B) ( A+ B) ua ( ) 2 ( A+ B) = ub ( ) 2 = ua ( ) 2 + ub ( ) 2 A B (1.34) L incertezza relativa è invece data da ua ( + B) u ( A+ B) = = A+ B A 2 u ( A) 2 + B 2 u ( B) ( A+ B) 2 (1.35) L incertezza relativa è quindi pesata in relazione alle due grandezze in gioco e nella sua formazione ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza. A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 28

29 1.6. Incertezza Composta Caso Y = A B Le grandezze misurate sono A m = A + u(a) e B m = B + u(b). L incertezza assoluta del prodotto risulta ua ( B) ( A B) u( A) 2 ( A B) = u( B) 2 = B 2 ua ( ) 2 + A 2 ub ( ) 2 A B (1.36) Per l incertezza relativa invece si ottiene u ( A B) ua ( B) = = A B u ( A ) 2 + u ( B) 2 (1.37) L incertezza relativa è quindi la somma delle incertezze relative. La combinazione delle incertezze non è ovviamente richiesta nel caso di misurazione semplice, essendo presente una sola incertezza Incertezza Estesa L incertezza estesa U(y) si ottiene moltiplicando l incertezza composta u(y) per un opportuno fattore di copertura k. Nel campo delle prove è raccomandabile che l incertezza estesa U(y), riportata in un certificato o in un rapporto, sia ottenuta moltiplicando l incertezza composta u(y) per un opportuno fattore di copertura k Uy () = k u() y (1.38) in modo che l incertezza dichiarata definisca un intervallo entro il quale si possa ritenere compreso con probabilità elevata il valore vero del misurando. L associazione dell intervallo ±U, definito come sopra con uno specifico livello di probabilità, e quindi la scelta del valore di k, richiede l assunzione implicita del tipo di distribuzione probabilistica delle stime y della grandezza Y. In campo internazionale è stato deciso di adottare, se non diversamente prescritto, il fattore di copertura k = 2.Se, come di solito avviene, la distribuzione può essere considerata normale (gaussiana), ciò associa i limiti dell incertezza estesa dati dalla U come sopra definita a un livello di fiducia approssimativamente uguale al 95%. L incertezza estesa viene espressa con non più di 2 cifre significative. Il calcolo dell incertezza tipo di una misurazione nel caso in cui si utilizzi una distribuzione normale è molto semplice, poiché u(y) = σ (oppure uy () = σ n nel caso di n misurazioni ripetute). L incertezza estesa U(y) con un dato livello di confidenza p, si determina invece ricavando dalla Tabella 1.3 il valore di Z che corrisponde a p = 2A(Z), secondo la relazione Uy () = Zσ = Zu() y (1.39) A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 29