Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

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1 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe uccessioe di Fiboacci Formula di Biet per la successioe di Fiboacci uccessioe geeralizzata di Fiboacci Formula per la uccessioe geeralizzata di Fiboacci Dimostrazioe della Formula Coclusioi

2 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci.. Itroduzioe La formula proposta vuole essere ua geeralizzazioe della formula di Biet che a differeza di quest ultima determia gli elemeti, o solo della successioe di Fiboacci, ma di tutte le sue successioi derivate variado i due termii iiziali oltre che defiedo il peso d icideza dei due addedi che precedoo ogi termie della successioe (da qui la defiizioe di uccessioe geeralizzata di Fiboacci). I precedeza alla formula azidetta, soo illustrati la uccessioe di Fiboacci e la Formula di Biet.. uccessioe di Fiboacci La successioe di Fiboacci, che idichiamo co ( F ), è defiita el seguete N modo: F F F F F È facile verificare che lo sviluppo di tale successioe corrispode alla seguete: {,,,, 3, 5, 8,... F } Da sempre, la uccessioe di Fiboacci ha attirato l attezioe delle persoe, i quato, oltre ad essere dotata di particolari proprietà matematiche, si trovao molto spesso corrispodeze i atura, tato da essere sopraomiata uccessioe Divia. 3. Formula di Biet per la uccessioe di Fiboacci Per determiare u qualsiasi termie della uccessioe di Fiboacci, la Formula di Biet si serve del famosissimo Rapporto Aureo. Ifatti, calcolado il limite del rapporto tra u termie della uccessioe co il suo F precedete lim, otteiamo due soluzioi: F. Il Numero Aureo 5 Φ, Il suo reciproco 5 φ, Eugeio Amitrao

3 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. Ogi elemeto della successioe di Fiboacci è determiata dalla seguete formula: F Φ φ N 5 È straordiario verificare come ua formula costituita da elemeti irrazioali possa forire umeri iteri come risultato. 4. uccessioe geeralizzata di Fiboacci La successioe di Fiboacci, che idichiamo co ( ), è defiita el seguete N modo: R, R R La geeralizzazioe cosiste globalmete i due sotto-geeralizzazioi: a. I due termii iiziali e possoo assumere qualsiasi valore reale. b. I due termii cosecutivi, utilizzati per la determiazioe del successivo, soo moltiplicate per i rispettivi pesi e. Nota: Applicado le segueti posizioi, geeralizzata corrispode alla uccessioe di Fiboacci.,,, la uccessioe 5. Formula per la uccessioe geeralizzata di Fiboacci Come per la formula di Biet, calcoliamo il limite del rapporto tra u termie della successioe e il suo precedete χ lim da cui è facile verificare la validità della relazioe t N t χ lim. t χ lim lim lim χ quidi risulta χ portata a forma l equazioe di grado χ χ. χ Eugeio Amitrao 3

4 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. Le soluzioi dell equazioe soo: ± 4 χ - Ogi elemeto della uccessioe geeralizzata di Fiboacci è determiata dalla seguete formula: N 6. Dimostrazioe della Formula Dimostriamo la formula utilizzado il Pricipio di Iduzioe Matematica. Verifica delle basi Per ; ; VERA. Per ; ; VERA. Ipotesi iduttiva ; VERA ; VERA Tesi Dimostrazioe Per defiizioe, e sostituedo l ipotesi iduttiva otteiamo: Eugeio Amitrao 4

5 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. i procede, svolgedo alcui passaggi algebrici: [ ] [ ] emplifichiamo l espressioe apedo che e che per defiizioe, risulta Quidi. Per lo stesso procedimeto, possiamo semplificare ache la seguete espressioe:. Ora possiamo sostituire le due espressioi, otteedo proprio la Tesi. Come Volevasi Dimostrare. Eugeio Amitrao 5

6 Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. 7. Coclusioi Questa formula è applicabile i umerosi cotesti. Per citare alcui: - I Matematica, per il calcolo delle uccessioi Fiboacci-imili (Es. Lucas); - I Biologia, per la verifica delle corrispodeze aturali; - I Ecoomia, per le previsioi della borsa azioistica di Milao; - Nella crittografia a chiave pubblica; - I Iformatica come Algoritmo di calcolo. Eugeio Amitrao 6

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