Progressioni numeriche Successione di Fibonacci e sezione aurea

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Progressioni numeriche Successione di Fibonacci e sezione aurea"

Transcript

1 Progressioni numeriche Successione di Fibonacci e sezione aurea Progetto Matematica e Statistica - Progetto Lauree Scientifiche Loredana Caso 1

2 Successioni numeriche 2 Una successione numerica è una sequenza ordinata di numeri. Più precisamente una successione è una funzione con dominio N. Esempi: i numeri pari: 2, 4, 6, 8, 10, = { 2n n N } i numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, 11, = { 2n 1 n N } i numeri quadrati perfetti: 1, 4, 9, 16, 25, = { n 2 n N } i reciproci dei naturali: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 { 1 } 5, = n n N

3 3 Alcune successioni importanti: Progressioni aritmetiche Progressioni geometriche Successione di Fibonacci

4 4 Progressioni aritmetiche Una progressione aritmetica è una successione nella quale la differenza tra due termini consecutivi è costante. Tale differenza viene chiamata ragione della progressione aritmetica. Esempi: - 5, 8, 11, 14, 17, - 2, 6, 10, 14, 18, I termini successivi di una progressione possono essere indicati così: a 1, a 2, a 3,, a n, dove a 1 è il primo termine della successione.

5 5 Se q è la ragione della progressione aritmetica, allora si ha a n+1 a n = q per ogni naturale n Dunque, noto il primo termine della progressione (o valore iniziale), la successione può essere così descritta: a 1 = valore iniziale a n+1 = a n + q

6 Proprietà - L ennesimo termine della progressione può essere ricavato immediatamente, senza dover scorrere tutta la successione fino a quel punto: a n = a 1 + (n 1) q Infatti risulta a 1 = a q a 2 = a q a 3 = a 2 + q = a 1 + q + q = a q a 4 = a 3 + q = a q + q = a q a 5 = a 4 + q = a q + q = a q 6

7 - Se si vuole calcolare la somma S n dei primi n termini della progressione non è necessario calcolare ogni singolo valore e addizionarlo, si può usare la formula Infatti risulta S n = a 1 + a n 2 n 7 S n = a 1 + a 1 + q + + a 1 + (n 2) q + a 1 + (n 1) q S n = a 1 + (n 1) q + a 1 + (n 2) q + + a 1 + q + a 1 2 S n = 2 a 1 + (n 1) q + } 2 a 1 + (n 1) q + + {{ 2 a 1 + (n 1) q + 2 a 1 + (n 1) q } n addendi S n = 2 a 1 + (n 1) q 2 n = a 1 + a 1 + (n 1) q 2 n = a 1 + a n 2 n

8 8 Progressioni geometriche Una progressione geometrica è una successione nella quale il rapporto tra due termini consecutivi è costante. Tale rapporto viene chiamato ragione della progressione geometrica. Esempi: 5, 10, 20, 40, 80, 2, 6, 18, 54, 162, I termini successivi di una progressione geometrica possono essere indicati così: a 1, a 2, a 3,, a n, dove a 1 è il primo termine della successione.

9 9 Se q è la ragione della progressione geometrica, allora si ha a n+1 a n = q per ogni naturale n Dunque, noto il primo termine della progressione (o valore iniziale), la successione può essere così descritta: a 1 = valore iniziale a n+1 = a n q

10 10 Proprietà - L ennesimo termine della progressione può essere ricavato immediatamente, senza dover scorrere tutta la successione fino a quel punto: a n = a 1 q n 1 Infatti risulta a 1 = a 1 q 0 a 2 = a 1 q 1 a 3 = a 2 q = (a 1 q) q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = (a 1 q 2 ) q = a 1 q 3 a 5 = a 4 q = (a 1 q 3 ) q = a 1 q 4

11 - Se si vuole calcolare la somma S n dei primi n termini della progressione non è necessario calcolare ogni singolo valore e addizionarlo, si può usare la formula Infatti risulta S n = a 1 qn 1 q 1 S n = a 1 + a 2 + a a n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 S n q = a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 + a 1 q n 11 S n q S n = a 1 q n a 1 = a 1 (q n 1) S n = a 1 qn 1 q 1

12 12 Successione di Fibonacci La successione di Fibonacci è una successione di numeri naturali che si definisce assegnando i primi due termini F 1 = 1, F 2 = 1 e chiedendo che per ogni successivo termine (n 3) sia F n = F n 1 + F n 2. Dunque F 1 = 1, F 2 = 1, F n = F n 1 + F n 2 per ogni n 3 Così, ad esempio, i primi 20 termini della succesione sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

13 Curiosità La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XII secolo Leonardo Fibonacci. L intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumiamo che: - la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; - le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; - le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese. 13

14 Partendo da una singola coppia, dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi avremo due coppie di cui una sola fertile; nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito; di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie; in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci. 14

15 Proprietà - Per il massimo comune divisore tra due qualsiasi numeri di Fibonacci vale la formula MCD (F n, F m ) = F MCD(n, m) 15 Dunque F n è divisibile per F m se e solo se n è divisibile per m. - Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo e del terzo aumentato o diminuito di 1.

16 - Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l ultimo, aumentata di Il rapporto F n+1 F n per n che diventa molto grande tende ad un numero irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Tale numero si indica con ϕ e risulta ϕ = = 1,

17 17 Numeri di Fibonacci e sezione aurea Sappiamo che il rapporto F n+1 F n F n ϕ. Ne segue che il rapporto F n+1 1 ϕ dove 1 ϕ = = 0, Attraverso il numero di Fidia si vede che l ennesimo termine della successione di Fibonacci si può esprimere tramite la formula F n = ϕn (1 ϕ) n 5

18 I numeri di Fibonacci nelle scienze Esaminando in maniera più approfondita la forma di fiori come la margherita, il girasole o una comune pigna notiamo che esiste una stretta relazione con i numeri di Fibonacci. Sulla testa di un tipico girasole, costituita da due serie di spirali, una in un senso ed una in un altro, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema. Il numero di spirali di senso diverso differisce per 21 e 34, 34 e 55, 55 e 89, o 89 e 144 semi e lo stesso avviene per le pigne, per le conchiglie, per l ananas. Questi sono tutti numeri che appartengono alla sequenza di Fibonacci! 18

19 19 Così in molte specie vegetali, prime fra tutte le Astaracee (girasoli, margherite, ecc.), il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l esterno - una in senso orario e l altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si

20 diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci - per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell altro. Le scaglie degli ananas presentano un aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas. 20

21 21 Particolarità matematiche della sezione aurea - La sezione aurea è la radice positiva dell equazione x 2 x 1 = 0. L altra radice è 1 ϕ. - E l unico numero (non naturale) il cui reciproco e quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale 1 ϕ = 1, ϕ = 0, ϕ2 = 2,

22 La sezione aurea nella geometria Dato un segmento AB si ottiene una sezione aurea quando il tratto tratto più lungo AC sta al più corto CB come il segmento intero AB sta al tratto più lungo AC, cioè AC : CB = AB : AC 22 A C B 0, ,

23 Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate sulla sezione aurea. Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo. Sul punto medio di un lato si punta un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo. 23 M

24 Un altra figura geometrica aurea è la spirale aurea (è una paricolare spirale logaritmica). La sua costruzione si fa attraverso il rettangolo aureo. Consideriamo un rettangolo aureo in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a ϕ. Immaginiamo di sottrarre da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore. Il risultato sarà un rettangolo più piccolo, che a sua volta è un rettangolo aureo di dimensioni minori del rettangolo iniziale di un fattore pari a ϕ. Andando avanti con questo procedimento si genera una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore pari a ϕ. 24

25 25 Quello aureo è l unico rettangolo che consente, togliendo un quadrato dalla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo! Tracciamo un arco di circonferenza di centro il vertice del quadrato che si trova sul lato lungo del rettangolo e di estremi i due vertici adiacenti. Ripetendo l operazione per ogni quadrato si ottiene la spirale aurea.

26 26 La spirale logaritmica è chiamata anche spirale equiangola, in quanto tracciando una linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo.

27 Curiosità I falconi usano questa proprietà durante la caccia. Il falcone, individuata la preda, vola tenendo la testa dritta seguendo una spirale logaritmica perchè grazie alle proprietà equiangolari di tale spirale, l uccello ha la possibilità di non perdere di vista la preda, e nel contempo di tenere la testa diritta massimizzando la velocità. 27

28 28 La sezione aurea è considerata come legge universale dell armonia, la giusta proporzione tra due elementi perchè essi appaiano armoniosi all occhio umano.

29 Esempi di sezione aurea in architettura L esempio più noto di edificazione secondo precise regole geometriche e razionali è il Partenone ad Atene di Fidia (V sec. a.c.); qui non solo la facciata è inscritta in un rettangolo aureo ma anche l altezza delle colonne, del timpano e del fregio stanno in rapporto aureo rispettivamente con l altezza totale, con la distanza tra il vertice del timpano e la sommità delle colonne e con l altezza dell intero architrave. 29

30 Sezione aurea nel corpo umano L uomo di Vitruvio di Leonardo: una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l altezza dell uomo AB è pari alla distanza BC tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta x y passante per l ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. 30

31 Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte. La posizione corrispondente all ombelico è infatti ritenuta il baricentro del corpo umano. Se misuriamo le dita della nostra mano mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. 31

32 La prova più evidente di come il rapporto aureo può influenzare in modo notevole il nostro occhio è data dal volto umano. Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei: A/a= tra l altezza e larghezza del viso B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi D/d= altezza e larghezza del naso E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso 32

33 33

Successioni ricorsive

Successioni ricorsive Capitolo 1 Successioni ricorsive Un modo spesso usato per assegnare una successione è quello ricorsivo che consiste nell assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primi due, oppure i primi...

Dettagli

Alla ricerca del rettangolo più bello

Alla ricerca del rettangolo più bello Alla ricerca del rettangolo più bello Livello scolare: biennio Abilità interessate Individuare nel mondo reale situazioni riconducibili alla similitudine e descrivere le figure con la terminologia specifica.

Dettagli

La spirale iperbolica: Fu descritta per la prima volta da Pierre Varignon (1654-1722). L equazione, espressa in coordinate polari, è del tipo:

La spirale iperbolica: Fu descritta per la prima volta da Pierre Varignon (1654-1722). L equazione, espressa in coordinate polari, è del tipo: Esistono delle forme geometriche che sono in grado, per complessi fattori psicologici non del tutto chiariti, di comunicarci un senso d equilibrio, di gradimento e di benessere. Tra queste analizzeremo

Dettagli

ᵩ LA SEZIONE AUREA Misura dell'armonia matematica

ᵩ LA SEZIONE AUREA Misura dell'armonia matematica ᵩ LA SEZIONE AUREA Misura dell'armonia matematica Il bello della matematica... LA SINTESI: ambiti completamente diversi della matematica convergono nello stesso argomento o concetto i e =0 IL DIVERTIMENTO:

Dettagli

LA SEZIONE AUREA, LA SERIE DI FIBONACCI E LA NATURA

LA SEZIONE AUREA, LA SERIE DI FIBONACCI E LA NATURA LA SEZIONE AUREA, LA SERIE DI FIBONACCI E LA NATURA DEDICATO A Φ Stilizzazione della disposizione in forma di spirali concentriche, visibili sia in senso orario che in senso antiorario, di parti che compongono

Dettagli

Sezione Aurea: una guida per gli artisti La bellezza delle proporzioni per pittori, fotografi e grafici

Sezione Aurea: una guida per gli artisti La bellezza delle proporzioni per pittori, fotografi e grafici Sezione Aurea: una guida per gli artisti La bellezza delle proporzioni per pittori, fotografi e grafici C'è un rapporto matematico che si trova comunemente in natura, il rapporto di 1-1,618 cui sono stati

Dettagli

3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2

3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2 Risolvere mediante la fattorizzazione le seguenti equazioni. 1. 4 12 +9=0 0; 3 2 2. 7 +14 8=0 1;2;4 3. 4 12 +9=0 3 2 ; 3 2 4. +2 = 3 4 1 2 ;3 2 +4=0 5. +3 +1=0 + 2 =3 6. + +2 4=15 3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2

Dettagli

PERCORSO DIDATTICO SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE

PERCORSO DIDATTICO SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE PERCORSO DIDATTICO SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE Nuclei Fondanti: Relazioni e Funzioni, Geometria Tipo di scuola e classe: Liceo Scientifico, classe II Riferimenti alle Indicazioni Nazionali: OBIETTIVI SPECIFICI

Dettagli

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013)

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) Linguaggio matematico di base 1. Qual è l area del triangolo avente i vertici nei punti di coordinate (0,2), (4,0) e (7,6)? A 10 B 30

Dettagli

Tullia Norando. imparare la matematica. S. Giovanni Valdarno Montevarchi Figline Valdarno 21 23 febbraio 2008

Tullia Norando. imparare la matematica. S. Giovanni Valdarno Montevarchi Figline Valdarno 21 23 febbraio 2008 Il piacere di insegnare, il piacere di imparare la matematica S. Giovanni Valdarno Montevarchi Figline Valdarno 21 23 febbraio 2008 Proporzioni Numeri Valore estetico Natura Arte 2 Rapporto tra misure

Dettagli

Ogni primino sa che...

Ogni primino sa che... Ogni primino sa che... A cura della équipe di matematica 25 giugno 2015 Competenze in ingresso Tradizionalmente, nei primi giorni di scuola, gli studenti delle classi prime del Pascal sostengono una prova

Dettagli

A cura di: intelletto.

A cura di: intelletto. Van Gogh A cura di: Andrea giordano Luciano Esposito Eleonora Garofalo Aniello Ferrara Luigi Sanseverino Giovanni Scuotto Simone Eboli Dante, Il Paradiso: E dei saper che tutti hanno diletto quando la

Dettagli

N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi

N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi Tra i molteplici interessi scientifici di Leonardo non dobbiamo dimenticare la matematica.

Dettagli

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni La trigonometria prima della trigonometria Maurizio Berni 9 maggio 2010 Negli istituti tecnici agrari la trigonometria viene affrontata: nella seconda classe in Disegno e Topografia (risoluzione di triangoli

Dettagli

Fibonacci s project. La matematica che non si vede. Marco Moscatelli

Fibonacci s project. La matematica che non si vede. Marco Moscatelli Fibonacci s project La matematica che non si vede Marco Moscatelli Quale di questi rettangoli è il più bello? Test dei rettangoli Test dei rettangoli Nel rettangolo che avete scelto, ci guardereste un

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Pitagora preso in giro (tondo).

Pitagora preso in giro (tondo). Pitagora preso in giro (tondo). Silvano Rossetto Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin Se si chiede di completare la frase il teorema di, sicuramente Pitagora ottiene una percentuale bulgara: il suo è quindi

Dettagli

La sezione aurea scienza, natura, arte

La sezione aurea scienza, natura, arte Prof.ssa Emanuela Pulvirenti La sezione aurea scienza, natura, arte Corso di Disegno e Storia dell Arte classe III A - a.s. 2010-2011 geometria aritmetica fisica botanica architettura SCIENZA zoologia

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

C è solo un acca tra pi e phi ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese

C è solo un acca tra pi e phi ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese C è solo un acca tra pi e phi ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese Introduzione Nell articolo vengono mostrate vari possibili legami tra la costante di Archimede (pi greco) e la sezione aurea (phi).

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Punti notevoli di un triangolo

Punti notevoli di un triangolo Punti notevoli dei triangoli (UbiLearning). - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti, rette o semirette (Encyclopedia

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto italiano.

Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto italiano. Il punto Il punto è un elemento geometrico fondamentale privo di dimensioni ed occupa solo una posizione. Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI NUMERI INTERI QUESITO Un quesito (facile) sulle cifre:

Dettagli

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5 ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Ana Millán Gasca Luigi Regoliosi La lettura e lo studio del libro Pensare in matematica da parte degli

Dettagli

Parte Seconda. Geometria

Parte Seconda. Geometria Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

Successioni ricorsive. Unità 60

Successioni ricorsive. Unità 60 Prerequisiti: - Operare con i numeri reali - Rappresentare punti e curve elementari in un piano cartesiano L unità è rivolta al 2 biennio del Liceo Scientifico, compresa l opzione Scienze applicate. OBIETTIVI

Dettagli

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche Parte Sesta Trasformazioni isometriche In questa sezione di programma di matematica parliamo della geometria delle trasformazioni che studia le figure geometriche soggette a movimenti. Tali movimenti,

Dettagli

NUMERINUMERI E FORME. PON DI MATEMATICA a.s. 2009/2010. Docenti tutor: Altamura Maria Valentino Domenica Esperto: Prof. Azzone Antonella.

NUMERINUMERI E FORME. PON DI MATEMATICA a.s. 2009/2010. Docenti tutor: Altamura Maria Valentino Domenica Esperto: Prof. Azzone Antonella. NUMERINUMERI E FORME PON DI MATEMATICA a.s. 2009/2010 Classi IB-IC IC-IE-IFIF Docenti tutor: Altamura Maria Valentino Domenica Esperto: Prof. Azzone Antonella Il grande libro della natura è scritto in

Dettagli

Un ragazzo è stimolato ad apprendere se coinvolto emotivamente.

Un ragazzo è stimolato ad apprendere se coinvolto emotivamente. LA SEZIONE AUREA La geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l altro la divisione di un segmento in rapporti estremo medio. Il primo possiamo paragonarlo a un metro d oro; il secondo

Dettagli

I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio

I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio 17 novembre 2010 Griglia delle

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE CURRICOLO MATEMATICA 1) Operare con i numeri nel calcolo aritmetico e algebrico, scritto e mentale, anche con riferimento a contesti reali. Per riconoscere e risolvere problemi di vario genere, individuando

Dettagli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli 3.5 Il toro 3.5.1 Modelli di toro Modelli di carta Esempio 3.5.1 Toro 1 Il modello di toro finito che ciascuno può costruire è ottenuto incollando a due a due i lati opposti di un foglio rettangolare.

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 2. Insiemi numerici A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 INSIEMI NUMERICI rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata costituiscono le tappe

Dettagli

Scuola Primaria Conta oggetti o eventi, a voce e a mente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre ;

Scuola Primaria Conta oggetti o eventi, a voce e a mente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre ; Primo anno Secondo anno Terzo anno Primo anno MATEMATICA Scuola dell Infanzia Scuola Primaria Conta oggetti o eventi, a voce e a mente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre ; legge

Dettagli

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del

Dettagli

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ES. 1 - Due treni partono da due stazioni distanti 20 km dirigendosi uno verso l altro rispettivamente alla velocità costante di v! = 50,00 km/h e v 2 = 100,00 km

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Cadet Per studenti di terza media o prima superiore

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Cadet Per studenti di terza media o prima superiore 15-20-.qxd 29/03/2003 8.22 Pagina 16 Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Per studenti di terza media o prima superiore I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Quale dei seguenti

Dettagli

SCUOLA PRIMARIA Anno Scolastico 2014/2015 CURRICOLO DI MATEMATICA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO AL TERMINE DELLA CLASSE TERZA DELLA SCUOLA PRIMARIA

SCUOLA PRIMARIA Anno Scolastico 2014/2015 CURRICOLO DI MATEMATICA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO AL TERMINE DELLA CLASSE TERZA DELLA SCUOLA PRIMARIA Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Istituto Comprensivo Statale di Calolziocorte Via F. Nullo,6 23801 CALOLZIOCORTE (LC) e.mail: lcic823002@istruzione.it - Tel: 0341/642405/630636

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

MATEMATICA. Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V Traguardo 1

MATEMATICA. Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V Traguardo 1 MATEMATICA COMPETENZE Dimostra conoscenze matematiche che gli consentono di analizzare dati e fatti della realtà e di verificare l'attendibilità delle analisi quantitative e statistiche proposte da altri.

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2014 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2014 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2014 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Una grande nave cargo

Dettagli

MATEMATICA CLASSE PRIMA

MATEMATICA CLASSE PRIMA CLASSE PRIMA L alunno/a si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l opportunità di ricorrere a una calcolatrice. Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente,

Dettagli

Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi settimana 2

Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi settimana 2 Matematica e Statistica I Anno Accademico 9- Foglio di esercizi settimana Funzioni di variabile reale: modelli, grafici, composizione, invertibilità; relazioni lineari. ESERCIZIO. In una città sono stati

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio 17 novembre 2010 Griglia delle risposte

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA SCUOLA PRIMARIA

CURRICOLO MATEMATICA SCUOLA PRIMARIA CURRICOLO MATEMATICA SCUOLA PRIMARIA CLASSE PRIMA Traguardi per lo sviluppo delle competenze Sviluppare un atteggiamento positivo nei confronti della matematica. Obiettivi di apprendimento NUMERI Acquisire

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione 1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore? E il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= con punto iniziale, al tendere a 0 dell incremento h. Il valore del limite può essere

Dettagli

Pitagora e la scoperta delle grandezze incommensurabili

Pitagora e la scoperta delle grandezze incommensurabili Pitagora e la scoperta delle grandezze incommensurabili Periodo della scoperta: V sec. a.c. Autore della scoperta: Pitagora? Pitagora iniziò la trattazione delle grandezze irrazionali (Proclo). Ippaso

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011 Griglia delle risposte

Dettagli

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema

Dettagli

Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare

Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare (si prevedono circa 25 ore di lavoro in classe) Nome e cognome dei componenti del gruppo che svolge le attività di gruppo di questa lezione

Dettagli

La Sezione Aurea. Giorgio Monti. Corso di Teorie e Tecniche Costruttive nel loro Sviluppo Storico

La Sezione Aurea. Giorgio Monti. Corso di Teorie e Tecniche Costruttive nel loro Sviluppo Storico La Sezione Aurea Giorgio Monti Corso di Teorie e Tecniche Costruttive nel loro Sviluppo Storico Contenuti Introduzione storica Il numero aureo La sezione aurea nella storia dell architettura Introduzione

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

MATEMATICA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE

MATEMATICA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri diversi. Identifica alcune proprietà dei materiali. Confronta e valuta quantità. Utilizza simboli per registrare materiali e quantità.

Dettagli

PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE

PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE Prof. Domenico RUGGIERO In questa trattazione, esponiamo i pricipali concetti ed applicazioni di particolari successioni meglio note come progressioni (aritmetiche

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

ORIGAMI E GEOMETRIA. Breve storia degli origami. Tetraedro. Modello1. Modello2. Conclusioni geometriche. analitica

ORIGAMI E GEOMETRIA. Breve storia degli origami. Tetraedro. Modello1. Modello2. Conclusioni geometriche. analitica ORIGAMI E GEOMETRIA Breve storia degli origami Tetraedro Modello1 1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica 3) Interpretazione analitica Modello2 Conclusioni geometriche 1) Istruzioni origami 2) Analisi

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

AREA LOGICO-MATEMATICA

AREA LOGICO-MATEMATICA SCUOLA DELL INFANZIA AREA LOGICO-MATEMATICA TRAGUARDI SCUOLA DELL INFANZIA 3 ANNI 4 ANNI 5 ANNI NUCLEO: NUMERO E SPAZIO PREREQUISITI -Raggruppare e ordinare secondo criteri diversi, confrontare e valutare

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO PRIMA DELLA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali. Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.

Dettagli

Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia

Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia L'educazione matematica ha il compito di avviare l'alunno verso una maggiore consapevolezza e padronanza del pensiero

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado Testi_07.qxp 6-04-2007 2:07 Pagina 28 Kangourou Italia Gara del 5 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. al N. 0 valgono 3 punti

Dettagli

ALGORITMI 1. GLI ALGORITMI 2. IL LINGUAGGIO DI PROGETTO

ALGORITMI 1. GLI ALGORITMI 2. IL LINGUAGGIO DI PROGETTO ALGORITMI 1. GLI ALGORITMI Un algoritmo è la descrizione del percorso risolutivo di un problema per giungere dai dati iniziali ai risultati finali. Scriviamo l algoritmo pensando di rivolgerci a un esecutore,

Dettagli

CURRICULUM SCUOLA PRIMARIA MATEMATICA

CURRICULUM SCUOLA PRIMARIA MATEMATICA Ministero dell istruzione, dell università e della ricerca Istituto Comprensivo Giulio Bevilacqua Via Cardinale Giulio Bevilacqua n 8 25046 Cazzago San Martino (Bs) telefono 030 / 72.50.53 - fax 030 /

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia

I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia 20 febbraio 205 Introduzione Consideriamo l insieme Luca Goldoni PhD Università di Trento Dipartimento di Informatica Università di Modena Dipartimento

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 18 novembre 2009 Griglia delle risposte

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 01 1. Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0

Dettagli

Competenza chiave europea: MATEMATICA. Scuola Primaria. DISCIPLINE DI RIFERIMENTO: MATEMATICA DISCIPLINE CONCORRENTI: tutte

Competenza chiave europea: MATEMATICA. Scuola Primaria. DISCIPLINE DI RIFERIMENTO: MATEMATICA DISCIPLINE CONCORRENTI: tutte Competenza chiave europea: MATEMATICA Scuola Primaria DISCIPLINE DI RIFERIMENTO: MATEMATICA DISCIPLINE CONCORRENTI: tutte TAB. A TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE al termine della Scuola Primaria

Dettagli

Matematica classe 1^

Matematica classe 1^ NUCLEO TEMATICO 1 Numeri 1 L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali. 7 legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici. NUCLEO TEMATICO 2

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno

I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno Testi_09.qxp 15-04-2009 20:26 agina 16 Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2009 Categoria Cadet er studenti di terza della scuola secondaria di primo grado o prima della secondaria di secondo grado I quesiti

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

La sezione Aurea in Architettura e Arredamento

La sezione Aurea in Architettura e Arredamento La sezione Aurea in Architettura e Arredamento L'utilzzo del da parte dei grandi architetti La Sezione Aurea è nota fin dall'antichità, ma come asserisce Mario Livio, uno dei più importanti ricercatori

Dettagli

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI. PROBLEMA 1: Tra i rettangoli di perimetro 20 cm, determina quello di area massima.

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI. PROBLEMA 1: Tra i rettangoli di perimetro 20 cm, determina quello di area massima. PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI Introduzione Vengono qui presentati alcuni semplici problemi di massimo e minimo. Leggi con attenzione e completa i passaggi mancanti. Prova

Dettagli

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Ufficio Scolastico Regionale per il Lazio Istiituto Comprensiivo Don Lorenzo Miillanii Scuola dell Infanzia Primaria Secondaria di I grado anche

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli