LONGEVITY RISK: GESTIONE E REQUISITI DI MASSIMILIANO MENZIETTI UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA SOLVIBILITÀ ROMA, 4 MAGGIO 2015

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1 LONGEVITY RISK: GESTIONE E REQUISITI DI SOLVIBILITÀ MASSIMILIANO MENZIETTI UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA ROMA, 4 MAGGIO 215

2 INDICE Le gesione del longeviy risk Tariffazione e disegno del prodoo Naural hedging Riassicurazione Longeviy linked securiies Sraegie di allocazione del capiale Trend demografici e longeviy risk 2

3 TREND DEMOGRAFICI E LONGEVITY RISK Trend Demografici Cambiameno sruurale della popolazione Invecchiameno della popolazione Aumeno del peso degli anziani sulla popolazione Aumeno speranza di via Diminuzione naalià Longeviy risk Aumeno progressivo della speranza di via Incremeno del numero degli esposi al rischio di sopravvivenza Incerezza 3

4 LONGEVITY RISK: CONSEGUENZE Influenza foremene eni previdenziali, casse di previdenza, fondi pensione e prodoi assicuraivi di rendia Esensione del periodo di pagameno della rendia e conseguene incremeno della passivià auariali E presene nella fase di accumulo nei fondi a presazione definia E presene nella fase di decumulo (erogazione della rendia) nei fondi a conribuzione definia In passao le proiezioni della moralià hanno soosimao la endenza all aumeno della longevià della popolazione Necessià di adoare avole proieae di moralià per il calcolo dei valori auariali delle rendie Da avole di moralià saiche basae su un solo anno di calendario a avole dinamiche che incorporano la proiezione della moralià 4

5 IL PROCESSO DI RISK MANAGEMENT Idenificazione Individuazione e classificazione del rischio Valuazione Misurazione ramie modelli deerminisici o socasici Gesione Individuazione delle sraegie di gesione del rischio Tecniche di conrollo delle perdie o ecniche di finanziameno A livello di disegno del prodoo o sraegie di proezione del porafoglio 5

6 MISURARE IL LONGEVITY RISK Individuazione di grandezze che rappresenino lo sao di salue o di sofferenza dei soggei erogaori di rendie Funzione di perdia Scela di un adeguaa misura di rischio Varianza Coefficiene di variazione Quanili, VaR, TVaR Probabilià di rovina Definizione di un orizzone emporale di analisi e delle modalià di indagine Annuale, pluriennale,. Alla scadenza, su uo l inervallo emporale 6

7 MISURARE IL LONGEVITY RISK: APPROCCIO DETERMINISTICO Porafoglio composo da una coore di conrai di rendia immediaa a premio unico Valore auale aleaorio al empo delle presazioni j-mo assicurao j-mo assicurao Y j Ra Valore aeso e varianza j E Y H REa H x 2 j 2 2 Y H R a H Coefficiene di variazione CV Y x x Porafoglio di N conrai H Porafoglio di N conrai Y N j Y j1 : scenario di moralià ipoizzao 2 j H NE Y 2 j Y H N Y E Y 2 2 j Y H 1 Y H H lim CV Y j N E Y H N E Y H H H H 7

8 MISURARE IL LONGEVITY RISK: APPROCCIO STOCASTICO 2 Valore aeso e varianza j-mo assicurao j j ~ Ep E Y H E Y 2 j Y E Y j ~ 2 j ~ p H E Y H Coefficiene di variazione 2 ~ 2 ~ 2 Y Ep Y H p E Y H 1 Y 2 j j CV 2 E Y N E Y E lim N Fluuazioni casuali inorno al valore aeso 2 ~ p E Y ~ CV Y H 2 E Y j Deviazioni sisemaiche dei valori osservai da quelli aesi H H ~ : insieme degli scenari di moralià ipoizzai Porafoglio di N conrai Y E Y ~ j H N E Y E p 2 2 ~ 2 Y Ep Y Y H p E Y Misura la pare del rischio di moralià che non è rimovibile semplicemene aumenando la grandezza del porafoglio (pare sisemaica del rischio) ~ H 8

9 LA GESTIONE DEL LONGEVITY RISK Fone: Piacco E., Denui M., Haberman S., Olivieri A. (29) Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business. Oxford Universiy Press. 9

10 LA GESTIONE DEL LONGEVITY RISK Il longeviy risk può essere gesio da una compagnia di assicurazione o da un ene di previdenza raenendolo o rasferendolo ad alre conropari 1

11 TARIFFAZIONE Connesso ai benefici ed alle garanzie (esplicie o implicie) Necessià di avole di moralià proieae Necessià di faori di selezione Margine di rischio Implicio nell uso di basi ecniche conservaive o esplicio con espressioni maemaiche E espressamene necessario quando il asso di rendia è garanio 11

12 COSTRUZIONE DEL PRODOTTO: L ESPERIENZA ITALIANA Tipo di presazioni: rendia vializia, rendia cera (5,1 anni) + rendia vializia, Presazioni aggiunive: rendia di sopravvivenza, pensione maggioraa (LTC), Il longeviy risk è concenrao durane il periodo di erogazione della rendia Reg n. 21/28 dell ISVAP: il asso di rendia deve essere sabilio 3 anni prima del pensionameno (prima può essere cambiao). Ad oggi non ci sono casi di GAR (guaraneed annuiy rae). 12

13 L USO DELLE TAVOLE PROIETTATE IN ITALIA L ANIA pubblica periodicamene nuove avole di moralià proieae per i perceori di rendia 1998: RG48 Basaa su un meodo di esrapolazione applicao alla popolazione generale, adoando lo scenario pessimisico (Ragioneria Generale dello Sao 1996). La coore di riferimeno è quella delle persone nae nel Le alre coori sono oenue araverso una correzione per eà (age-shifing) specifica di coore. I faori di selezione sono sai presi dall esperienza inglese del 198 (Pensioners Lives, PML8 per gli uomini e PFL8 per le donne, si veda il Coninuous Moraliy Invesigaion Repor n 1 pubblicao dall Insiue of Acuaries e la Faculy of Acuaries nel 199). 25: IPS55 Basaa su un esensione del modello Lee-Carer applicao alla popolazione generale dall ISTAT (ISTAT, 22), adoando lo scenario cenrale. La coore di riferimeno è quella delle persone nae nel Le alre coori sono oenue araverso un age-shifing specifico di coore. I faori di selezione sono sai presi dall esperienza inglese del 1992 (Pensioners Lives, PML92 per gli uomini e PFL92 per le donne, ma anche Immediae Annuians, IML92 per gli uomini e IML92 per le donne, si veda il Coninuous Moraliy Invesigaion Repor n 17 pubblicao dall Insiue of Acuaries e la Faculy of Acuaries nel 1999). 13

14 L USO DELLE TAVOLE PROIETTATE IN ITALIA 212: A62 Basaa su un esensione del modello Lee-Carer applicao alla popolazione generale dall ISTAT (ISTAT, 21), adoando lo scenario cenrale. La coore di riferimeno è quella delle persone nae nel Le alre coori sono oenue araverso un age-shifing specifico di coore. I faori di selezione sono sai presi dall esperienza inglese del 2 (Pensioners Lives, PNMA per gli uomini e PNFA per le donne, ma anche Immediae Annuians, IML per gli uomini e IFL per le donne). 14

15 LO STUDIO SUI PERCETTORI DI RENDITA IN ITALIA Basao su dai di moralià dei perceori di rendia di diversi Eni previdenziali (INPS, Ex INPDAP, Ex ENPALS, ENPAM, Cassa Forense) e di imprese di assicurazione relaivi al periodo La moralià è saa simaa e poi proieaa sulla base del modello Lee-Carer con e senza effeo coore (Renshaw-Haberman), 2 variani del modello di Cairns-Blake e Dowd sono sae esae. I faori di selezione sono sai ricavai rapporando la moralià delle popolazioni specifiche a quella delle popolazione generale ialiana. Non sono sai proieai. 214-in corso 15

16 NATURAL HEDGING Sraegia oenua araverso la diversificazione dei rischi, combinando presazioni non perfeamene correlae rispeo alla duraa di via, oenendo una miigazione del rischio: per es.: araverso un adeguao mix di presazioni caso via e caso more all inerno di una polizza o di un porafoglio o diversificando il rischio ra paesi differeni, Naural hedging sul prodoo C è una reale domanda per quesi prodoi? Una combinazione di presazioni caso more e assicurazione caso via è cososa per l assicurao Naural hedging di porafoglio Non c è un age-maching perfeo ra assicurai caso via e caso more E difficile compensare il rischio combinando assicurazioni emporanee caso more e rendie vializie (dimensione dei porafogli, rischio base) 16

17 RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE Gli erogaori di rendia possono parzialmene rasferire il rischio ramie raai di riassicurazione I raai di riassicurazione che affronano il rischio demografico sono: Surplus (S) Excess of Loss (XL) Sop Loss sull Aivo (SLA) Sop Loss sui Cash Flows (SLCF) Alcuni aspei criici Capacià di sooscrizione limiaa I riassicuraori spesso non desiderano offrire coperure di lungo ermine che implicano un ala esposizione al rischio di longevià 17

18 RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: SURPLUS E una coperura riassicuraiva proporzionale in cui ogni anno il riassicuraore paga una quoa della rendia. La quoa è specifica di ogni singolo conrao, e mira a rendere le presazioni delle polizze omogenee. Indicando con M l ammonare massimo che il cedene desidera pagare per ciascuna rendia, il riassicuraore pagherà l ammonare che eccede M Riduce la volailià delle presazioni e le fluuazioni casuali inorno al valore aeso (pooling risk) Fone: Piacco E., Denui M., Haberman S., Olivieri A. (29) Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business. Oxford Universiy Press. 18

19 RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: EXCESS OF LOSS (XL) E un raao in cui il riassicuraore paga la pare della rendia che eccede una daa scadenza m (ail risk). Le rendie a via inera dell erogaore di rendia sono converie in rendie vializie emporanee, il riassicuraore prende in carico una rendia vializia differia. x +m deve essere sufficienemene alo (ad es.: il puno di Lexis). Il riassicuraore si fa carico della pare peggiore del rischio: l incerezza sulla moralià è più fore ad eà avanzae (longeviy risk) Fore risk margin sul premio di riassicurazione Fone: Piacco E., Denui M., Haberman S., Olivieri A. (29) Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business. Oxford Universiy Press. 19

20 RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE : STOP LOSS ON ASSETS (SLA) E un raao di porafoglio, che mira a prevenire l insolvenza del cedene causaa da deviazioni sisemaiche della moralià: La coperura del riassicuraore è basaa sul confrono ra aivo del porafoglio ad una daa presabilia (A ) con la riserva di porafoglio richiesa per far frone agli impegno dell assicuraore a quella daa (V ). Il riassicuraore paga se A < (1+r) V con <r<1. La perdia è definia come insufficienza dell aivo. Tipicamene definia su un periodo di riferimeno di duraa breve/media. Breve periodo enfaizza l effeo delle deviazioni casuali Medio periodo genera una fore esposizione al longeviy risk per il riassicuraore e quindi premi riassicuraivi molo ali. Fone: Piacco E., Denui M., Haberman S., Olivieri A. (29) Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business. Oxford Universiy Press. 2

21 RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: STOP LOSS SUI CASH FLOWS (SLCF) E un raao di porafoglio, che mira a prevenire l insolvenza del cedene causaa da deviazioni sisemaiche della moralià. La coperura del riassicuraore inizia quando i pagameni aleaori delle presazioni annuali ai perceori di rendia sono superiori ad un ammonare prefissao: L = E(R )(1+r) dove E(R ) è il valore aeso dei pagameni del porafoglio di rendie e r > E fissao un limie superiore per il raao di riassicurazione L. Fone: Piacco E., Denui M., Haberman S., Olivieri A. (29) Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business. Oxford Universiy Press. 21

22 USO E LIMITI DEL MERCATO DELLE LONGEVITY-LINKED SECURITIES Blake e Burrows (21) sono sai i primi a sosenere l'uso di moraliy /(longeviy)-linked securiies per il rasferimeno del rischio di longevià al mercao dei capiali Difficolà di affermazione del nuovo mercao: squilibrio di scala ra le esposizioni esiseni e la volonà dei forniori di coperura moraliy-linked securiies devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli invesiori (difficili da conciliare - i primi richiedono l efficacia della coperura, menre gli ulimi domandano liquidià) assenza di un prezzo di mercao per il rischio di longevià 22

23 LA NASCITA DEL MERCATO DELLE LONGEVITY-LINKED SECURITIES Loeys e al. (27) spiegano che per isiuire un nuovo mercao del capiale di successo, esso deve: fornire un'esposizione o coperura efficace (minore il numero di conrai scambiai, maggiore la liquidià in ogni conrao, ma più bassa l efficacia della coperura, indici nazionali e rischio base) ad un rischio del mondo che è economicamene imporane (buon equilibrio ra domanda e offera di longevià: queso influenzerà la dimensione complessiva del mercao, nonché il prezzo del rischio di longevià - Il coinvolgimeno dei mercai del capiale ridurrà i cosi di gesione del rischio di longevià: aumeno di capacià, insieme a una maggiore rasparenza dei prezzi (arbiraggisi) e maggiore liquidià (speculaori)) che non può essere copero araverso gli srumeni del mercao esisene deve uilizzare un conrao omogeneo e rasparene per consenire gli scambi ra gli ageni 23

24 LE SOLUZIONI DI PRIMA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI CAPITALI : PRODOTTI BOND-BASED Moraliy bonds Breve scadenza, rappresenano ioli negoziabili a livello di mercao i cui pagameni sono legai a un indice di moralià. Sono simili ai caasrophe bond. Es. Swiss Re moraliy bond Longeviy bonds (o survivor bonds) Principal-a-risk longeviy bonds o coupon based longeviy bonds Scadenza fissa o scadenza socasica Es EIB BNP Paribas 24 (se la moralià fosse saa inferiore a quano previso, le cedole previse sul bond sarebbero diminuie e viceversa). Carenze di progeazione (Il rischio di base roppo grande). Premio per il rischio di longevià. Carenze isiuzionali (dimensione dell'emissione roppo piccola per creare un mercao liquido) (favore per la coperura della longevià, sfavore per la coperura legaa al bond). Lezioni: necessià di una buona serie di indici di moralià (LifeMerics) oggeivamene calcolai, raspareni e rilevani; modelli di previsione socasici della moralià più raspareni. 24

25 ESEMPIO DI LONGEVITY BOND Obblighi dell erogaore della rendia: Rendia immediaa ad una coore di l perceori di rendia di eà x x al empo R è l imporo annuo della rendia individuale in l erogaore della rendia pagherà l ammonare aleaorio Rl x esposizione al rischio di deviazioni sisemaiche ra e ˆ Sraigh coupon bond: lx x Flusso di cassa aggregao RC ad ogni scadenza Rimborso pari a RF alla scadenza finale T Lin and Cox (25) ipoizzano cedole cosani di imporo RC l 25

26 ESEMPIO DI LONGEVITY BOND Esempio di un coupon-based longeviy bond con coupons a rischio e principal garanio 26

27 27 ESEMPIO DI LONGEVITY BOND B C D Tramie la SPC il flusso di cedole C è ripario ra erogaore della rendia e invesiori Flussi ricevui dall erogaore della rendia Flussi ricevui dagli invesiori ˆ ˆ ˆ ˆ x x x x x x x x l l C l l l l C l l C B ˆ ˆ ˆ ˆ x x x x x x x x l l C C l l l l C C l l D B D R C R

28 IL PRICING DEL LONGEVITY BOND Prezzo valore aeso sconao dei payoff fuuri soo una misura di probabilià aggiusaa per il rischio (Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendeni) W : Bond Price pagao dalla SPC per acquisare lo bond P : Premium pagao dall erogaore della rendia per gesire il suo LR T ~ P R E B d, V: Price pagao dagli invesiori per acquisare il LB d(,) : faore di scono risk-free W RFd W RFd, T RC d, 1 T 1 T, T R ED d, 1 ~ 28

29 LE SOLUZIONI DI SECONDA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI CAPITALI: PRODOTTI DERIVATIVES-BASED I longeviy derivaives sono srumeni del mercao dei capiali che hanno payoffs legai al livello di un indice di moralià I soggei ineressai alla creazione di un mercao per i longeviy derivaives sono hedgers, invesiori isiuzionali, speculaori, arbiraggisi, Governo, regolaori q-forwards E il più semplice longeviy derivaive. Un q-forward è un accordo ra due pari per lo scambio a una daa fuura di un imporo proporzionale al asso di moralià realizzao di una deerminaa popolazione conro un imporo proporzionale a un asso di moralià fisso reciprocamene concordao all inizio. E un zero-coupon swap che scambia moralià fissa e moralià realizzaa alla scadenza. Coperura value hedge vs cash flow hedge. Survivor swaps 29

30 LE SOLUZIONI DI SECONDA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI CAPITALI: PRODOTTI DERIVATIVES-BASED Longeviy opions. Ad oggi non ci sono mercai di opzioni su srumeni longeviylinked. Le longeviy opions producono dei payoff che non sono funzioni lineari di variabili soosani. Nel caso di longeviy (o survivor) caps e floors, il soosane è un indice di sopravvivenza S(,x). Sia s c () un cap rae per la daa d esercizio e s f () il corrispondene floor rae. Un caple pagherà max{s(,x) - s c (), } al empo menre un floorle pagherà max{s f () - S(,x), }. I survivor caples e floorles possono essere inglobai in longeviy caps e floors. 3

31 SURVIVOR CAPS AND FLOORS Survivor caps e floor = serie di survivor caples and floorles Payoff di un survivor caple : c c x max lx k ; Payoff del Survivor floorle: x f con cap rae per la scadenza : k 1 lx f f f max k l ; con floor rae per la scadenza : k 1 lˆ x x Ipoizzando l indipendenza ra assi d ineresse e moralià : c c ˆ Prezzo del survivor cap P c T T 1 E * [ x c ] d(, ) Prezzo del survivor floor P f T T 1 E * [ x f ] d(, ) d (, ) : faore di scono risk-free Valore auale aeso dei payoff dei caples/floorles payoff soo la misura di rischio risk-adjused 31

32 I SURVIVOR SWAPS Survivor swap (basic): accordo ra due conropari per scambiare in fuuro un flusso di cassa fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendene dalla moralià (Dowd e al. 26) I cash-flows sono collegai al numero di sopravviveni di una daa coore Confronao con alre moraliy-linked securiies p.e. longeviy bonds i survivor swaps : o o o Comporano cosi di ransazione più bassi Sono più flessibili e agliai su misura per venire inconro alle varie esigenze Non richiedono l esisenza di un mercao liquido Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le conropari si accordano per scambiarsi una serie di pagameni periodici (per ogni = 1, 2,..., S ) fino alla scadenza dello swap S Fixed leg dipende dai sopravviveni aesi di una daa coore Floaing leg dipende dai sopravviveni effeivi alle scadenze fuure 32

33 LA STRUTTURA DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP L erogaore di rendia deve pagare rendie immediae ad una coore di l x perceori di eà x al empo zero Rendia fissa di imporo1 l ˆ x : numero aeso di sopravviveni all eà x al empo lx : numero effeivo di sopravviveni all eà x al empo ˆ Esposizione al rischio sisemaico di deviazioni ra lx e l x lx l ˆ x : perdie subie dall erogaore della rendia ad ogni scadenza : aliquoa di premio fisso dello swap fissaa in modo che il valore dello swap sia zero all emissione valore di mercao del fixed leg = valore di mercao del floaing leg Flussi di cassa del survivor swap 1 lˆ x lx 33

34 IL PRICING DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP Il valore del vanilla survivor swap al empo zero per il fixed-rae payer è: V l V 1 lˆ x x Prezzo di mercao del floaing leg in = Ipoizzando l indipendenza ra assi d ineresse e moralià: Prezzo di mercao del fixed leg in = V d (, ) T 1 lˆ x 1 V 1 lˆ x l E l x T 1 : faore di scono risk-free x d(, ) d(, ) Premio del vanilla survivor Swap Valore auale aeso del fixed leg soo la misura di probabilià del mondo reale Valore auale aeso del floaing leg soo la misura di probabilià risk-adjused T E l x d(, ) 1 T 1 lˆ x d(, ) 1 34

35 RAPPRESENTAZIONE DEL FLUSSO DI PAGAMENTI DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP 35

36 ALCUNE EMISSIONI DI SURVIVOR SWAPS Dae Hedger Term (years) Inermediary Jan-8 Lucida 1 JPMorgan Jul-8 Canada Life 4 JPMorgan Feb-9 Abbey Life Run-off Deusche Bank Mar-9 Aviva 1 RBS Jun-9 Babcock 5 Credi Suisse Jul-9 Royal & Sun Alliance Run-off Goldman Sachs Fone: Biffis & Blake (29), Moraliy-Linked Securiies and Derivaives 36

37 Longeviy fuures Faori chiave per il successo di conrai fuures sono : LE SOLUZIONI DI SECONDA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI CAPITALI: PRODOTTI DERIVATIVES-BASED Esisenza di un mercao spo del soosane grande, liquido e aivo, con una buona rasparenza dei prezzi. i prezzi spo devono essere sufficienemene volaili per rendere araeni sia le aivià di coperura che la speculazione. il soosane deve essere omogeneo. il mercao del soosane e dei conrai fuures non deve essere foremene concenrao né sul lao dell acquiso né su quello della vendia, per non incorrere nella manipolazione dei prezzi. deve esserci aiva parecipazione di hedgers e speculaori. In Blake e al. (26) si suggerisce l uso dei prezzi dei longeviy bonds, o di indici di sopravvivenza come soosane. 37

38 COPERTURE STANDARDIZZATE VS PERSONALIZZATE 38

39 IL PRICING DELLE LONGEVITY-LINKED SECURITIES Esisono principalmene re approcci di pricing Trasformaa di Wang (Wang (22)) Le probabilià risk adjused sono oenue ramie un operaore di disorsione Approccio risk-neural Si applicano alle longeviy-linked securiies gli sessi principi di pricing usai per il pricing dei derivai finanziari Sharpe raio Si ipoizza che gli invesiori chiedano per assumere il rischio di longevià un premio per il rischio (Sharpe raio) pari a quello richieso per il rischio non diversificabile di alri srumeni finanziari 39

40 LA TRASFORMATA DI WANG Wang definisce il seguene operaore di disorsione g ( u) ( ) 1 u dove <u<1 e λ è un paramero che riflee il rischio insio nei daa (il prezzo di mercao del rischio) La disribuzione di probabilià del mondo reale è disora per produrre valori aesi riskadjused che possono essere sconai con faori di scono risk-free. Approccio usao da: Lin and Cox (25), Cox-Lin-Wang (26), Denui-Devolder-Goderniaux (27) Su dai ialiani applicao da Levanesi-Menziei-Torri (21a, 21c) 4

41 IL PREZZO DI MERCATO DEL RISCHIO Possiamo usare il prezzo di mercao delle rendie per simare : Mancanza di un mercao secondario delle rendie in Ialia HP: il valore di mercao delle rendie supposo uguale al valore di mercao calcolao impiegando le basi ecniche di maggiore diffusione (IPS55) 41

42 L APPROCCIO RISK NEUTRAL Scarsià di longeviy-linked securiies raae sul mercao Impossibilià di simare un unica misura di probabilià risk adjused. Se il mercao globale è arbirage-free, esise almeno una misura di ipo neurale verso il rischio Q uilizzabile per calcolare il prezzo equo 42

43 L APPROCCIO RISK NEUTRAL Incompleezza del mercao delle longeviy-linked securiies i pagameni connessi con la moralià non possono essere replicai Scarsià di longeviy-linked securiies raae sul mercao Problemi ad impiegare meodi arbirage-free Impossibilià di simare un unica misura di probabilià risk adjused. Se il mercao globale è arbirage-free, esise almeno una misura di ipo neurale verso il rischio Q uilizzabile per calcolare il prezzo equo 43

44 L APPROCCIO RISK NEUTRAL: IL MODELLO CBD Hp su le probabilià di decesso: Con random walk bivariaa con drif 44

45 L APPROCCIO RISK NEUTRAL: IL MODELLO CBD Se specifichiamo le dinamiche della moralià soo una misura Q di probabilià risk-adjused equivalene, alla misura fisica P dove, è una variabile aleaoria normale sandard bivariaa soo Q rappresena il prezzo di mercao del longeviy risk associao rispeivamene ai processi Z A queso puno il valore di una LLS con singola scadenza all emissione (in zero) in ipoesi di indipendenza ra rischio finanziario e rischio demografico è dao da: V P, T E ST F Q 45

46 STRATEGIE DI ALLOCAZIONE DEL CAPITALE Sraegia di allocazione del capiale adeguaa fissare un capiale risk-based che preservi la compagnia dal fallimeno con un predefinio livello di confidenza Risk-Based Capial (RBC): meodo per assicurare la solvibilià di una compagnia deerminando requisii di capiale che rifleano la dimensione dell esposizione al rischio complessiva dell assicuraore Solvibilià = la capacià di far frone, con un assegnao (alo) livello di probabilià, le fuure passivià aleaorie K R A V M allocazione (K > )/rilascio (K < ) di capiale al/dal porafoglio al empo Presazioni in uscia casuali annue per il porafoglio al empo Aivo al empo Riserve maemaiche di porafoglio aleaorie al empo Margine di solvibilià al empo A = (A -1 R -1 )(1+i ) + K M = A V Porafoglio di rendie immediae 46

47 STRATEGIE DI ALLOCAZIONE DEL CAPITALE Requisii di capiale risk-based: il capiale richieso ad un dao empo che assicura la solvibilià della compagnia su orizzone emporale presabilio e ad un predefinio livello di confidenza Sraegia di allocazione del capiale: una sequenza di flussi di capiale K che permee di raggiungere il margine di solvibilià richieso E necessario che l orizzone emporale e la probabilià di defaul ammessa siano definii ex-ane Requisio di solvibilià all anno T Requisii di solvibilià sull orizzone emporale (,T): la solvibilià dell assicuraore è verificaa se il margine di solvibilià non è mai negaivo nell inervallo (, T) M M T Tempo T Tempo 47

48 BIBLIOGRAFIA Brouhns, N., Denui, M. and Vermun, J. K. (22). A Poisson Log-Bilinear Approach o he Consruc- ion of Projeced Life Tables. Insurance: Mahemaics and Economics 31: Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epsein, D., Ong, A., Balevich, I. (27). A quaniaive comparison of sochasic moraliy models using daa from England & Wales and he Unied Saes. Norh American Acuarial Journal 13: Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., (28). Modelling and managemen of Moraliy Risk: a review. Scandinavian Acuarial Journal 2-3: Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epsein, D., Khalaf-Allah, M. (211): Moraliy densiy forecass: An analysis of six sochasic moraliy models, Insurance: Mahemaics and Economics, 48, Coughlan e al. (27). LifeMerics: A oolki for measuring and managing longeviy and moraliy risk. Technical Documen. JP Morgan, London. Currie I. D., Durban, M. and Eilers, P. H. C. (24) Smoohing and forecasing moraliy raes Saisical Modelling, 4, Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epsein, D., Khalaf-Allah, M. (21): Evaluaing he goodness of fi of sochasic moraliy models, Insurance: Mahemaics and Economics, 47: Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epsein, D., Khalaf-Allah, M. (21): Backesing sochasic moraliy models: An ex-pos evaluaion of muli-period-ahead densiy forecass, Norh American Acuarial Journal, 14:

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