Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni"

Transcript

1 Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6 ( 8 ; 6 8 ; (6 ( 1 ; Estrarre le due palline simultaneamente è equivalente ad estrarre le due palline dall urna sequenzialmente e senza reinserimento. In totale l urna contiene 8+6 = 1 palline. Si presti attenzione al fatto che, anche se indistinguibili, vi sono 6 palline rosse fisicamente diverse ed analogamente per le 8 palline nere. Conviene pensare che le palline siano numerate, da 1 a 1, le palline numerate da 1 a 6 sono rosse, quelle da 7 a 1 sono nere. Il numero delle disposizioni di palline, pescate senza reinserimento dalle 1 nell urna, è Il numero di disposizioni che contengono entrambe le palline rosse sono invece 6 5. La probabilità cercata 6 5 è quindi Si può ragionare invece che sulle disposizioni sulle combinazioni. In effetti l evento entrambe le palline estratte sono rosse non dipende dall ordine di estrazione. Il numero di combinazioni di palline estratte senza reinserimento da 1 è ( 1 mentre il numero di combinazioni di palline rosse scelte dalle 6 presenti nell urna è ( 6. Si conclude che la probabilità cercata è (6 ( 1 = Che, contando in due modi diversi, l evento dato abbia la stessa probabilità, non dovrebbe né confondere, né sorprendere, bensì rassicurare. Per rinforzare la comprensione calcoliamo, nei due modi, la probabilità dell evento estratta una pallina rossa ed una nera. Contando le disposizioni il denominatore rimane A numeratore dobbiamo contare le disposizoni con una pallina nera ed una rossa, che 6 8 sono 6 8. La probabilità cercata è quindi Contando le combinazioni abbiamo ( 6 1( 8 1 ( 1 = Formalmente la differenza tra i due modi di procedere consiste nell adozione di due spazi campionari diversi: in un caso (disposizioni si considerano esiti le coppie ordinate (i, j con i j, nell altro (combinazioni si considerano esiti i sottoinsiemi {i, j} con i j.

2 0. Da un mazzo di 11 carte numerate da 1 a 11 si estraggono simultaneamente due carte. Qual è la probabilità che siano entrambe pari? (5 ( 11 ; (5 ( 6 ; 5 11 ; È identico al precedente, basta riconoscere che i numeri pari tra 1 ed 11 sono Da un mazzo di carte trevisane ( semi, 10 valori viene servita una mano di carte. Qual è la probabilità che la mano contenga almeno una coppia? 1 ( 0 ; 1 (10 ( 0 ; 1 (10 ( 0 ; 1 (10 ( 0. Conviene calcolare la probabilità complementare, ovvero che la mano servita non contenga coppie, sia cioè del tipo (a, b, c, d con a, b, c, d carte di valori diversi. Le scelte di valori diversi tra i 10 a disposizione è ( 10. Per ogni valore si deve scegliere il seme, il che si può fare in modi. La probabilità che la mano servita non contenga coppie vale quindi (10 ( 0 ed il suo complemento ad 1 è la probabilità cercata. 0. Qual è la probabilità che su amici almeno abbiano la stessa iniziale del nome? Nota bene. L iniziale del nome può essere, equiprobabilmente, una delle 6 lettere dell alfabeto. 1 (1 1 6 (1 6 (1 3 6 ; (1 1 6 (1 6 (1 3 6 ; ; (6 5 6 È un problema del compleanno, con un anno di 6 giorni ed una classe di bambini.

3 Esercizio 1. Un urna contiene 5 palline Bianche, 5 Nere e 5 Rosse. (a. Si estraggono 3 palline simultaneamente. Qual è la probabilità che le palline siano di tre colori diversi? (b. Si estraggono 5 palline simultaneamente. Qual è la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi { Bianche}, {3 Nere}, { Rosse}? (a. Le combinazioni favorevoli sono quelle che contengono 1 pallina Bianca, 1 Nera ed 1 Rossa, quindi la probabilità richiesta è 1 3 ( 15 3 (b. Si verifica almeno uno degli eventi B := { Bianche }, N := { 3 Nere }, R := { Rosse } se e solo se si verifica l unione E := B N R. Per la formula d inclusione esclusione P (E = P (B + P (N + P (R P (B N ± probabilità di eventi vuoti ( 10 ( 10 ( = ( 15 + ( 15 + ( 15 ( Nota bene: la formula d inclusione esclusione completa è P (E = P (B + P (N + P (R P (B N P (B R P (N R + P (B N R e poiché in totale si effettuano solo 5 estrazioni, gli eventi B R, N R, B N R sono tutti vuoti. Esercizio. Da un gruppo di 6 uomini, 7 donne e 5 bambini si deve formare un comitato composto da persone. Tutti i possibili comitati di persone che si possono formare sono considerati equiprobabili. Calcolare la probabilità che il comitato contenga (a. esattamente 1 donna (b. almeno 1 donna (passando al complementare ci mettete un secondo - qual è il complementare di almeno 1 donna? (c. al più 1 donna (d. almeno 1 persona di ogni categoria (direttamente ci mettete 3 ore, passando al complementare è ancora un po lungo ma più trattabile qual è il complementare di almeno 1 di ogni categoria? cominciate a ragionare così: almeno 1 di ogni categoria è l evento: [almeno 1 donna e almeno 1 uomo e almeno 1 bambino] ora si applica De Morgan ecc. (e. nessuna donna e almeno 1 uomo

4 (a. P (1 donna = (7 1( 11 3 (b. P (almeno 1 donna = 1 P (0 donne = 1 (11 (c. P (al più 1 donna = P (0 donne + P (1 donna = (11 + (7 1( 11 (d. Con significato dei simboli spero evidente applico de Morgan e trovo (U 1 D 1 B 1 c = U 0 D 0 B 0. Per la formula di inclusione esclusione P (U 0 D 0 B 0 = P (U 0 + P (D 0 +P (B 0 P (U 0 D 0 P (U 0 B 0 P (D 0 B 0 +P (U 0 D 0 B 0. L ultimo addendo è ovviamente nullo, dovendo il comitato essere formato da persone. In conclusione P (almeno 1 persona per categoria = 1 P (U 0 D 0 B 0 ( 1 ( + 11 ( + 13 (( 5 ( + 7 ( + 6 = 1 ( 18 3 (e. Conviene ricorrere alla seguente decomposizione disgiunta D 0 = (D 0 U 1 (D 0 U 0 dove ovviamente U 0 = U 1 c. Per la probabilità vale quindi P (D 0 = P (D 0 U 1 + P (D 0 U 0 da cui si ricava P (D 0 U 1 = P (D 0 P (D 0 U 0 = P (D 0 P (B. Gli addendi si calcolano come sopra e forniscono ( 5 P (D 0 U 1 = ( 11 Esericizio 3. Si estraggono due carte a caso da un mazzo di 5, senza reinserimento. Qual è la probabilità che la seconda valga di più della prima? La probabilità che la seconda carta sia maggiore della prima è 8/17. Spiegazione. La soluzione più semplice è la seguente. Gli eventi A ={la seconda carta vale più della prima}, B ={la seconda carta vale meno della prima}, C ={le due carte hanno lo stesso valore} costituiscono una partizione dell evento certo. Noi siamo interessati alla probabilità P(A ma, per ragioni di simmetria, P(A = P(B. Segue che P(A = 1 [ 1 P(C ] e ci si può limitare a calcolare P(C. I casi possibili sono le ( 5 combinazioni delle 5 carte a a. I casi favorevoli si calcolano osservando che sono ( 13 1 = 13 possibili valori tra cui scegliere le due carte uguali, e per ogni valore sono ( le combinazioni delle carte di quel valore prese a. Pertanto ( 13 ( 1 P(C = = = 6 51 = 1 = P (A = 8/17 17

5 Esericizio. Un bambino ha estratto a caso, e nascosto, due carte da un mazzo di 5. Si estrae una carta dal mazzo incompleto: qual è la probabilità che sia di Picche? La probabilità che la carta estratta sia di Picche è 1/. Spiegazione 1. Le probabilità relative all estrazione dipendono dal numero (aleatorio X di carte di picche che il bambino ha sottratto. Si ha ( 39 P(X = 0 = = 19 ( 13 ( , P(X = 1 = = 13 ( 13, P(X = = ( = 3. Rimangono nel mazzo 50 carte di cui, rispettivamente nei tre casi, 13 1 e 11 carte di picche. Applicando il teorema della probabilità totale, la probabilità cercata è = = = 1. Spiegazione. Il risultato non è sorprendente. Si può pensare all estrazione a caso dal mazzo di tre carte senza reinserimento (le prime due da parte del bambino. Ora la probabilità che la terza carta sia di picche è ovviamente 13/5 = 1/. Sarebbe ancora 1/ anche se il bambino avesse nascosto k delle 5 carte del mazzo, per k = 1,, Avevamo già osservato questa proprietà del campionamento senza reinserimento. Esercizio 5. Una segretaria irritata con il suo principale, dovendo spedire n lettere diverse ad altrettanti destinatari, inserisce a caso una lettera in ogni busta indirizzata. Calcolare la probabilità che tutti i destinatari ricevano la lettera a loro destinata. I possibili ordinamenti delle n lettere nelle n buste sono n!, di questi solo 1 corrisponde all evento tutti i destinatari ricevono correttamente la loro lettera. La probabilità richiesta vale quindi 1 n!. Esercizio 6. Un mazzo di carte è formato da 0 carte numerate da 1 a 5. Di ogni numero sono presenti esemplari indistinguibili. Si estraggono 10 carte dal mazzo. (a. Supponendo di estrarre le 10 carte con reinserimento calcolare la probabilità che ognuno dei numeri 1,, 3,, 5 appaia esattamente due volte tra le 10 carte estratte. (b. Supponendo di estrarre le 10 carte senza reinserimento si ricalcoli la probabilità dell evento considerato in (a.. (a. Per il caso con reinserimento facciamo i calcoli contando le disposizioni. Casi possibili. Nell estrazione con reinserimento ci sono 0 10 possibili disposizioni di 10 carte dal mazzo di 0 carte. Casi favorevoli. Dobbiamo contare le disposizioni che contengono due carte per ognuno dei 5 valori. La coppia di 1 si può estrarre in modi diversi poichè ogni volta si reinserisce la carta appena estratta, e lo stesso vale per le coppie di, 3,, 5, per un totale di ( 5 possibili estrazioni delle 5 coppie. Oguno di questi modi di estrarre le 5 coppie dà luogo a diverse disposizioni: per calcolarne il numero si pensi in termini di un problema di allocazione. Ci sono 10 caselle (la prima estratta, la seconda estratta,... la decima estratta

6 e ( si devono collocare nelle 10 caselle due 1, due,... due 5. Questo può essere fatto in 10 ( 8 ( 6 ( ( = 10! modi diversi. La probabilità richiesta vale dunque 5 ( 5 10! (b. Per le estrazioni senza reinserimento contiamo le combinazioni. Casi possibili. Ci sono ( 0 10 combinazioni di 10 carte estratte, senza reinserimento, dal mazzo di 0 carte. Casi favorevoli. Non c è nessuna scelta da fare per i valori, poiché devono essere tutti e 5 presenti (scelta unica. Ogni coppia di carte uguali si può estrarre in ( modi. La probabilità richiesta vale quindi ( 5 ( 0 = 10 ( ! ( La seconda forma della soluzione è stata scritta per aiutarvi a confrontare il caso con reinserimento ed il caso senza reinserimento.

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme.

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Esercizi difficili sul calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Le parole a caso

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro Appunti ed esercizi di combinatoria Alberto Carraro December 2, 2009 01 Le formule principali per contare Disposizioni Sia A un insieme di n 1 elementi distinti Le sequenze di 1 k n elementi scelti senza

Dettagli

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Sessione Live #3 Settimana dal 7 all 11 marzo 2003 Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Lezioni

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli

Dettagli

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS - 2007 Lezione 3

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Incompatibilità ed indipendenza stocastica. Probabilità condizionate, legge della probabilità totale, Teorema

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

1. Elementi di Calcolo Combinatorio.

1. Elementi di Calcolo Combinatorio. . Elementi di Calolo Combinatorio. Prinipio Base del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere due esperimenti. Se l esperimento uno può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

ESERCIZI DI RIEPILOGO 2. 7 jj(addi

ESERCIZI DI RIEPILOGO 2. 7 jj(addi ESERCIZI DI RIEPILOGO 2 ESERCIZIO 1 Da un comune mazzo di 52 carte francesi (13 carte per ognuno dei quattro semi: picche, cuori, fiori e quadri) viene estratta casualmente una carta. Definiti gli eventi:

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Dispense di Probabilità e Statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Generalità Nel corso di questo libro con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo

Dettagli

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini degli eventi A, B, C. 1. Almeno un evento si verifica. 2. Al più un evento si verifica..

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

Probabilità e bridge. Michele Impedovo

Probabilità e bridge. Michele Impedovo Probabilità e bridge Michele Impedovo Riassunto Nel gioco del bridge è di fondamentale importanza prevedere come sono distribuite le carte di un certo seme tra i due avversari. Questo articolo propone

Dettagli

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete. Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: P(fare ambo con i numeri 7 ed 17 con le prime due estrazioni):

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: P(fare ambo con i numeri 7 ed 17 con le prime due estrazioni): ESERCIZIO 1 Il signor Felice sta giocando a tombola nel circolo PASSATEMPO e ha deciso di giocare usando la sola cartella di seguito riportata: 7 17 26 40 74 1 14 50 69 87 13 43 57 62 73 Serie 1, n. 1

Dettagli

Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio Capitolo S-09 Calcolo Combinatorio Autore: Mirto Moressa Contatto: mirtomo@tiscali.it Sito: www.mirtomoressa.altervista.org Data inizio: 16/10/2010 Data fine: 21/10/2010 Ultima modifica: 21/10/2010 Versione:

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Ilenia Epifani 1 Il contenuto di queste dispense è protetto dalle leggi

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Pillole di Probabilitá

Pillole di Probabilitá Pillole di Probabilitá Roberto Paoletti Supponiamo di dover fare una previsione su un esito che puó avvenire all interno di un certo insieme di eventi. Ad esempio, viene lanciato un dado e si vuole fare

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr. Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame del 18/7/2013 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere ai punti degli esercizi nel modo più completo possibile, cercando

Dettagli

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Fabio Spizzichino Associazione Civica XIX Libreria Passaparola, Roma Roma, 11 Aprile 2014 1 Ci sono tre tipi di bugie: le bugie normali,

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità à 1. Introduzione Calcolo delle Probabilità Il Calcolo delle Probabilità nasce dagli studi matematici sui giochi d azzardo. Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento che permette all uomo di assumere

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

1 Calcolo delle probabilità

1 Calcolo delle probabilità 1 Calcolo delle probabilità Lo studio delle leggi del caso va sotto il nome di calcolo delle probabilità. Ci fu un vigoroso sviluppo di questa disciplina a cavallo tra il cinquecento e il seicento e lo

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione

Dettagli

Problema del condannato*

Problema del condannato* Problema del condannato* Esempio 35 In un paese orientale un prigioniero è stato condannato a morte da uno sceicco. Prima dell esecuzione, lo sceicco o re una possibilità di salvezza al condannato, mettendogli

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Corso di Laurea Triennale in Matematica

Corso di Laurea Triennale in Matematica Università degli Studi di Roma La Sapienza Anno Accademico 2003-2004 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea Triennale in Matematica INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ TEOREMI SULLA PROBABILITÀ o Probabilità totale oprobabilità contraria oprobabilità condizionata odipendenza stocastica oprobabilità composta oformula di Bayes oproblemi di riepilogo Probabilità di eventi

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Relazioni insiemistiche

Relazioni insiemistiche G.Gorni 1993/94 Relazioni insiemistiche 1. Coppie ordinate. Se è vero che un insieme è un elenco di elementi, si può pensare di usarlo come strumento di registrazione. Si parte da. Se la prima informazione

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico

Dettagli

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo. È usuale che in molte situazioni che si presentano concretamente ci sia a priori incertezza su ciò che accadrà nel futuro: il calcolo

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli