Metodi matematici 2 21 settembre 2006

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1 Metodi matematici 1 settembre 006 TEST (Nuovo ordinamento) Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 50 min. 1 - Un gestore ha ottenuto una performance dell 8.5% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: fondo = 0: 0:7 T. Indici di mercato puri hanno registrato una performance rispettivamente del % e del %. La performance del fondo si scompone in r fondo = r mkt + ex, dove r mkt e ex (rendimento di mercato ed extrarendimento) sono rispettivamente pari a: - Sia A = L inversa di A è: - Il sistema avente matrice completa: a è possibile 8; b è impossibile 8; c se =, è indeterminato; d se 6=, è impossibile; - Un gestore con un capitale di 000 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio ad esso immunizzato. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 1 e 1 e che i loro prezzi sono pari a 00 e 00, le quantità da acquistare dei due titoli sono: 5 - Sia P = una matrice di transizione per un sistema con 000 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore: D = ::::::: :::::: T 5 :

2 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 1500, l importo della rata in caso di durata pari ad un anno, pagamenti trimestrali posticipati e tasso i = 8; % è: 7 - Sia d = % il tasso annuo di sconto commerciale. Il tasso annuo di interesse semplice ad esso equivalente per un operazione di 9 mesi è: 8 - Un titolo con cedole trimestrali indicizzate al tasso a mesi, ha una cedola in corso del % annuo in pagamento fra mesi. Se il tasso a breve per impieghi di mesi è del 1%, qual è il corso secco del titolo? R. 9 - Si acquista un BOT con scadenza 9 mesi al prezzo di 98. All emissione, mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): - Un decisore con un costo opportunità del % ed un capitale di 00 valuta la pro ttabilità dell investimento di seguito descritto; si rende a tal ne necessario accedere al nanziamento i cui ussi sono riportati sotto.si indichi la conclusione corretta relativamente alla combinazione descritta tempo 0 1 ussi tempo 0 1 ussi a conviene; b non conviene; c è indi erente; d non è dato sapere;

3 MM.II Prova Generale - Test Vecchio Ordinamento, 1 settembre 006 Metodi matematici 1 settembre 006 TEST (Vecchio ordinamento) Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 50 min. 1 - In un punto stazionario, x 0 ; di una funzione due volte di erenziabile è stata 1 calcolata la seguente matrice Hessiana. Allora è possibile stabilire che: a x 0 è pt di max; b x 0 è pt di min; c x 0 può essere pt di min; d x 0 è punto di sella; Sia A = L inversa di A è: Il sistema avente matrice completa: a è possibile 8; b è impossibile 8; c se =, è indeterminato; d se 6=, è impossibile; - Un gestore con un capitale di 000 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio ad esso immunizzato. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 1 e 1 e che i loro prezzi sono pari a 00 e 00, le quantità da acquistare dei due titoli sono: 5 - Sia P = una matrice di transizione per un sistema con 000 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore: D = ::::::: :::::: T 5 :

4 MM.II Prova Generale - Test Vecchio Ordinamento, 1 settembre In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 1500, l importo della rata in caso di durata pari ad un anno, pagamenti trimestrali posticipati e tasso i = 8; % è: 7 - Sia d = % il tasso annuo di sconto commerciale. Il tasso annuo di interesse composto ad esso equivalente per un operazione di 9 mesi è: 8 - Un titolo con cedole trimestrali indicizzate al tasso a mesi, ha una cedola in corso del % annuo in pagamento fra mesi. Se il tasso a breve per impieghi di mesi è del 1%, qual è il corso secco del titolo? R. 9 - Si acquista un BOT con scadenza 9 mesi al prezzo di 98. All emissione, mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): - Una funzione f : R! R è due volte di erenziabile ed ammette in x 0 R un punto di minimo globale forte. Quale delle seguenti a ermazione è vera? a f è inferiormente limitata; b rf (x 0 ) è diverso dal vettore nullo; c H f (x 0 ) risulta de nita positiva; d f può essere discontinua in x 0 ;

5 MM. Prova Generale - Soluzioni Test, 1 settembre Metodi matematici Prova Generale 1 settembre 006 Soluzioni Test Nuovo Ordin Vecchio Ordin. r 1 mkt = 8:% d ex = +0:% 1= =5 0 0 A 1 = 0 1= 0 5 A 1 = 0 1= = 0 0 1= a a T T %.95% :% :% c a 5

6 MM. Prova Generale - Soluzioni Test, 1 settembre

7 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre Metodi matematici 1 settembre 006 TEST (Nuovo ordinamento) SOLUZIONI Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 50 min. 1 - Un gestore ha ottenuto una performance dell 8.5% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: fondo = 0: 0:7 T. Indici di mercato puri hanno registrato una performance rispettivamente del % e del %. La performance del fondo si scompone in r fondo = r mkt + ex, dove r mkt e ex (rendimento di mercato ed extrarendimento) sono rispettivamente pari a: Per scomporre la performance del fondo risolviamo il S.L : w 1 + w 0 = 1 0:7 da cui w 1 = 0: e w = 0:7. La performance spiegata dal mercato è quindi: e la extraperformance è data da: - Sia A = r mkt = 0: 0:0 + 0:7 0:1 = 8:% ex = r fondo r mkt = 0:085 0:08 = 0:00 = 0:% L inversa di A è:. Il semplice calcolo conduce alla soluzione. - Il sistema avente matrice completa: a è possibile 8; b è impossibile 8; c se =, è indeterminato; d se 6=, è impossibile; Il determinante della matrice A è diverso da zero per cui il sistema ammette un unica soluzione indipendentemente dal vettore b: 0 5 :

8 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre Un gestore con un capitale di 000 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio ad esso immunizzato. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 1 e 1 e che i loro prezzi sono pari a 00 e 00, le quantità da acquistare dei due titoli sono: Il sistema da impostare è 00n1 + 00n = 000 1n 1 1n = 0 da cui le cui soluzioni Sia P = una matrice di transizione per un sistema con 000 elementi. 7 Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore: D = ::::::: :::::: T Il sistema omogeneo da cui ricavare i punti di equilibrio è (P ricavano le soluzioni x1 ; x 1 R x 1 I)x = 0 da cui si Tenendo poi conto che la popolazione è pari a 000, ovvero che x 1 + x = 000 si ricava la soluzione. 6 - In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 1500, l importo della rata in caso di durata pari ad un anno, pagamenti trimestrali posticipati e tasso i = 8; % è: Deve risultare 1500 = R a ji dove i = 1:08 1= 1: Il calcolo conduce alla soluzione. 7 - Sia d = % il tasso annuo di sconto commerciale. Il tasso annuo di interesse semplice ad esso equivalente per un operazione di 9 mesi è: 1 Il tasso in questione è soluzione della seguente equazione = 1 0:1 9 1+i 9 1 : Un titolo con cedole trimestrali indicizzate al tasso a mesi, ha una cedola in corso del % annuo in pagamento fra mesi. Se il tasso a breve per impieghi di mesi è del 1%, qual è il corso secco del titolo? R. Tra mesi il titolo varrà 0 + valore cedola, ovvero Il valore scontato di conduce al prezzo tel quel 0:58. Essendo il rateo pari a 0:75 1 = 0:5; esso, 0:75 1+0:01 1 il corso secco è 0: 9 - Si acquista un BOT con scadenza 9 mesi al prezzo di 98. All emissione, mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): Il prezzo di acquisto è :15(0 97) 9 1 = 98:81. Per cui il tasso di 0 rendimento semplice si ricava dall equazione 98:81 = 1 + x 9 1.

9 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre Un decisore con un costo opportunità del % ed un capitale di 00 valuta la pro ttabilità dell investimento di seguito descritto; si rende a tal ne necessario accedere al nanziamento i cui ussi sono riportati sotto.si indichi la conclusione corretta relativamente alla combinazione descritta tempo 0 1 ussi tempo 0 1 ussi a conviene; b non conviene; c è indi erente; d non è dato sapere; E su ciente il calcolo dell APV dell operazione congiunta di investimento e nanziamento per stabilire, essendo pari a 0 che è indi erente rispetto alla gestione ordinaria.

10 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre 006 Metodi matematici 1 settembre 006 Parte B Cognome Nome Matricola ESERCIZIO - Algebra Lineare 0:6 0: Sia A = la matrice di transizione di un sistema dinamico bidimensionale che descrive la ripartizione di un mercato fra aziende. Lo stato del sistema 0: 0:7 50 al tempo 0 sia x 0 = : Determinare lo stato del sistema al tempo.. Determinare il punto di equilibrio del sistema.. Stabilire quale debba essere il grado di delizzazione della clientela della prima azienda (componente a 11 della matrice A) a nché, a regime, essa possa conservare il 5% del mercato. ESERCIZIO - Matematica Finanziaria Un decisore ha, su di un orizzonte temporale di anni, una liquidità di 500, impiegabile sul mercato dei capitali alle condizioni descritte dai seguenti prezzi di Bot e Ctz Scadenze 1 P rezzi e dal seguente Btp il cui prezzo è 0,5 Scadenze 1 F lussi Il decisore valuta altresì la possibilità di e ettuare un investimento industriale i cui ussi di cassa sono: tempi 0 1 f lussi Per sopperire all insu cienza di capitale proprio, vaglia le seguenti possibilità di nanziamento: a - nanziamento di 00 da rimborsarsi in anni con pagamenti annuali posticipati costanti, al tasso dell 8%; b - scoperto di conto corrente al tasso del %; Si stabilisca la convenienza ad e ettuare l operazione investimento- nanziamento, indicando quale sia la fonte di nanziamento da scegliere (nel caso dello scoperto indicare altresì di quanto e per quanto andare in rosso).

11 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre Metodi matematici 1 settembre 006 Parte B SOLUZIONI ESERCIZIO - Algebra Lineare 0:6 0: Sia A = la matrice di transizione di un sistema dinamico bidimensionale che descrive la ripartizione di un mercato fra aziende. Lo stato del sistema 0: 0:7 50 al tempo 0 sia x 0 = : Determinare lo stato del sistema al tempo.. Determinare il punto di equilibrio del sistema.. Stabilire quale debba essere il grado di delizzazione della clientela della prima azienda (componente a 11 della matrice A) a nché, a regime, essa possa conservare il 5% del mercato. 0:6 0: 1. x = 0: 0: = 8:5 117:5 0:x1 + 0:x. (A I)x = 0; = 0 0:x 1 0:x = 0. La soluzione è x 1 = 0:75x ; x R da cui, tenendo conto del vincolo x 1 + x = 1 si ha: x 1 = 0:857; x = 0:571 a. La matrice di transizione è 11 0: e a 1 a 11 0:7 11 deve essere tale che il punto (a11 1)0:5 + 0: 0:75 = 0 di equilibrio sia x 1 = 0:5; x = 0:75: da cui (1 a 11 )0:5 0: 0:75 = 0 a 11 = 0:1: ESERCIZIO - Matematica Finanziaria Un decisore ha, su di un orizzonte temporale di anni, una liquidità di 500, impiegabile sul mercato dei capitali alle condizioni descritte dai seguenti prezzi di Bot e Ctz Scadenze 1 P rezzi e dal seguente Btp il cui prezzo è 0.5 Scadenze 1 F lussi 5 5 5

12 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 1 settembre Il decisore valuta altresì la possibilità di e ettuare un investimento industriale i cui ussi di cassa sono: tempi 0 1 f lussi Per sopperire all insu cienza di capitale proprio, vaglia le seguenti possibilità di nanziamento: a - nanziamento di 00 da rimborsarsi in anni con pagamenti annuali posticipati costanti, al tasso dell 8%; b - scoperto di conto corrente al tasso del %; Si stabilisca la convenienza ad e ettuare l operazione investimento- nanziamento, indicando quale sia la fonte di nanziamento da scegliere (nel caso dello scoperto indicare altresì di quanto e per quanto andare in rosso). I fattori di sconto sono dati dai zcb e da cui si ricava anche quello a anni per bootstapping: 5 0: : x = 0:5 da cui P (0) (0; 1) = 0:8681: I tassi di costo opportunità sui anni sono tutti inferiori (veri carlo) ai costi dei nanziamenti, 8% e %, per cui il nanziamento per scoperto deve essere ridotto al minimo possibile, ovvero tempi 0 1 f lussi Il primo nanziamento presenta invece i seguenti ussi di cassa tempi 0 1 f lussi : 168: Il confronto dei APV conduce alla scelta del primo nanziamento: 1 n :77 0:96 + 1:77 0: :8681 = 97:80 n : :8681 = 9: