Trasferimento di calore Lezione I. Gaetano Festa

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1 Trasferimento di calore Lezione I Gaetano Festa

2 Perché è importante il calore? Il comportamento reologicodella Terra dipende dalle scale temporali alle quali si guardano i fenomeni di interesse. Fenomeni sismici (da secondi a ore) : Il comportamento della Terra è quello di un solido elastico Su scale geologiche molto più lunghe (movimento delle placche, riempimento delle camere magmatiche dei vulcani, rimbalzo postglaciale... Da migliaia a milioni di anni) il comportamento della Terra è principalmente viscoso e resta definito dalle condizioni termiche. Il comportamento della litosfera è elastico anche su scale geologiche molto più lunghe. Il comportamento del mantello e del nucleo della Terra è fortemente influenzato dalla temperatura. La geodinamica dipende fortemente dalle condizioni termiche

3 Trasferimento di calore I meccanismi con cui si trasmette il calore sono: Conduzione : Trasferimento di calore per interazione molecolare (trasferimento di energia cinetica attraverso urti). Avviene in corpi in cui la temperatura varia spazialmente. Convezione: Trasferimento di calore attraverso trasportodi materia. Caratteristico dei fluidi Irraggiamento : Trasferimento di calore attraverso la radiazione elettromagnetica. Fenomeno caratteristico del sole. Advezione: Formaspeciale di convezione, in cui il calore risale con le rocce a causa di eventi tettonici, erosione o rimbalzo post-glaciale. Sia la convezione (e advezione) che la conduzione sono importanti meccanismi di trasferimento di calore all Interno della Terra.

4 Grandezze caratteristiche Calore : Se due corpi a temperature diverse T 1 e T costituiscono un sistema chiuso, la temperaturadi equilibrio del sistema è T f tale che: m c ( T T ) = m c ( T T ) 1 1 f 1 dove m e c sono rispettivamentemassa e calore specifico dei corpi. Il prodotto Q = mc T è la quantità di calore che si viene scambiata dal singolo corpo. f

5 Legge di Fourier T 1 T d Si consideri un corpo di spessore d e due pareti (le cui dimensioni sono molto maggiori di d) mantenute a temperatura costante, all interno del corpo la temperatura varia in maniera costante tra T 1 e T (gradiente di temperatura). Legge di Fourier:la quantità di calore che passa attraverso il corpo nel tempo (0,t) è: T T d 1 Q = ks t Conducibilità termica Area delle pareti Gradiente della temperatura

6 Legge di Fourier Nel limite di uno spessore infinitesimo : dq = ks dt dt dx Sia q il calore per unità di superficie q = Q ; dq = k dt S dt dx

7 Generalizzazione della legge di Fourier Consideriamo un corpo C in cui la temperatura è funzione della posizione T(x) ed una superficie interna S, frontiera di un volume V C S Integrando si ha: Il flusso di calore attraverso un elemento ds, nell unità di tempo è (Legge di Fourier) dq = kdsdt T n Q t T = k ds = k T ds = ( k T ) dv n n S S V Il segno (meno) : Se T aumenta dall interno verso l esterno il calore fluisce nella direzione opposta!

8 Generalizzazione della legge di Fourier Tale variazione di calore nell unità di tempo viene utilizzata per riscaldare (raffreddare) il volume V. Per un elemento infinitesimo si ha S C dq = ρcdtdv Da cui, derivando rispetto al tempo e integrando sul volume: Q dt = ρc dv t dt Eguagliando le due equazioni, data l arbitrarietà di V si ha dt ρ c dv = ( k T ) dv dt dt ρ c = ( k T ) V V dt dt In presenza di sorgenti : ρ c = ( k T ) + A Calore nell unità di dt tempo e di volume V

9 Come si misura il flusso di calore (1) Per la misura del flusso di calore è necessario conoscere il gradiente termico e la conducibilità delle rocce. Misure in aree continentali : Il gradiente termico è stato misurato nelle miniere a partire dall 800. La temperatura aumenta con la profondità con un gradiente di 0-30 K/km. Misure più accurate in prossimità della superficie della Terra richiedono pozzi profondi (ca 300 m) per eliminare gli effetti associati alle variazioni climatiche La misura nei pozzi è particolarmente complessa perché è necessario che il sistema sia in equilibrio con il mezzo circostante. La misura può essere effettuata contestualmente allo scavo oppure in condizioni di equilibrio (ca1- anni dopo la costruzione del pozzo). Bisogna però evitare che l acqua fluisca in acquiferi attraversati dal pozzo. La conducibilità termica si misura in laboratorio sui campioni prelevati dal pozzo

10 Misure di laboratorio T H Acqua calda l d l T T 1 T c Ottone, k 0 noto Campione di roccia k? Ottone, k 0 noto Acqua fredda Flusso di calore dall alto TH T qup = k0 l Flusso di calore dal basso q down = k T T d 1 q up k d TH T = qdown = k l T T 0 1 Miglior precisione si ottiene massimizzando T H

11 Conducibilità termica Materiale Conducibilità termica(w/(m K)) Arenaria Calcari -3.4 Dolomie 3.-5 Marmi.5-3 Basalto Granito Peridotite Ghiaccio.

12 Come si misura il flusso di calore () Misure in aree oceaniche: Il fondale oceanico è coperto di sedimenti debolmente compattati Una sonda con termostati viene fatta scendere da una nave. La sonda è grande ca3m. Non sono necessarie troppe misure perché la temperatura del fondale è fissa (1- C) e corrisponde alla temperatura alla quale la densità dell acqua ha massimo. La variazione dipende dalla salinità. La conducibilità termica viene direttamente misurata attraverso la sonda grazie ad un riscaldatore. La misura del flusso di calore e del gradiente termico fornisce una stima della conducibilità.

13 Dove si misura il flusso La distribuzione attuale delle misure del flusso di calore è costituita dal 75% di misure effettuate nelle aree oceaniche e dal 5% di misure effettuate in aree continentali (ca punti di misura)

14 Flusso di calore in superficie Continenti: Oceani: q = 65 mw / m c q = 101 mw / m o Nei continenti il flusso di calore è principalmente dovuto al decadimento degli isotopi radioattivi in prossimità della superficie. Negli oceani tale contributo è molto piccolo (ca%) è principalmente dovuto al raffreddamento della litosfera oceanica. La corrispondente quantità di calore è Qc = W La potenza sismica è dell ordine di W. Qo = W

15 Mappa globale

16 Cause del flusso di calore A che cosa è dovuto il flusso di calore proveniente dall interno della Terra? Raffreddamento della Terra Calore radiogenico Calcoliamo il limite superiore del calore per unità di massa dovuto al decadimento radioattivo nella Terra: Q M 13 H = Q = W 4 1 M = M Earth = Kg H = W / Kg M = M = Kg H = W Kg Mantle M /

17 Crosta o mantello? Nelle aree continentali una frazione significativa del flusso di calore proviene dal calore radiogenico prodotto nella crosta. 65 mw / m 37 mw / m crosta 8 mw / m Portati alla base della crosta dalla convezione del mantello Il calore radiogenico prodotto nella crosta è 1 QC = W 17% Q Il calore per unità di massa associato al mantello diventa 1 H M = W / kg

18 Raffreddamento secolare Solo una frazione del calore prodotto nel mantello è associato al decadimento attuale di isotopi. Un altra parte, invece, corrisponde al raffreddamento secolare della Terra. Poiché gli isotopi radioattivi si convertono in isotopi stabili, la concentrazione di isotopi radioattivi diminuisce nel tempo tempo Concentrazione di isotopi radioattivi diminuisce Il calore generato è minore Il vigore della convezione del mantello diminuisce Qradio Qcool 80% Q 1 H M = W / kg 0% Q

19 Concentrazioni nel mantello H = ( C H + C H + C H ) = M U U Th Th K K C H C + H C + H Th K U U Th K CU CU C C Th U C C K 4 = 4; = 10 C = 31 U U ppb Isotopo(ppb) Percentuale H (W/kg) τ 1/ (yr) C (ppb) 38 U U U Th K K

20 Legge di decadimento t/ C = C0e τ τ 1 t = ; C = C0 e Rappresentazione poco utile! Tempo di dimezzamento C τ 0 1/ : C( τ 1/) = 1 1/ = e τ / τ 1/ log ττ = τ1/ τ = log C = C e 0 t log / τ 1/

21 Andando nel passato. t 0 passato futuro Per studiare la concentrazione degli isotopi nel passato Bisogna rimpiazzare t con t (tempi negativi) C = C e 0 t log / τ 1/

22 Andamento degli isotopi nel tempo

23 Legge di Fourier 1D-Stazionaria Non ci sono variazioni nel tempo della temperatura: T ρ = + t c k T A k d T + A = 0 dz Condizioni al contorno T ( z = 0) = T ; q ( z = 0) = q 0 0 z d T dz A = k dt A dt q z 0 = + c0 k ( z = 0) = q0 c0 = dz k dz k A k q k 0 T = z + z + T0

24 Modello conduttivo per il mantello T 0 0 = 0 q = 70 mw / m 1 H = W / kg ρ = 3300 kg / m A = ρh = W / m k = 4 W / ( m K) Turcotte& Schubert, fig.4-8 Fallisce

25 Modello conduttivo per la crosta 10 H W / kg continentale I modelli conduttivi funzionano nel descrivere le geotermenella crosta (e nella litosfera) continentale. Data l elevata età della crosta continentale, le variazioni rispetto al tempo possono essere trascurate. ρ = = Assumendo che non c è scambio di calore alla base della crosta si ha : 700 kg / m A =.6 10 W / m h = 35 km k = 4 W / ( m K) dt ( z = h ) = 0 Ah + q 0 = 0 dz q = 91 mw / m o

26 Modello conduttivo per la crosta continentale Un modello più accurato è quello per cui la concentrazione degli isotopi non è costante all interno della crosta ma decresce con la profondità. Assumendo una diminuzione esponenziale / A A0 e z h r = d T dz dt dz A0 = e k A0 h = c1 + k z/ h r r e z/ h r Surface A grandi profondità: q = q z ; m qm c1 = & q = qm A0 hre k z/ h r z q 0 q m

27 Decadimento esponenziale In superficie si ha: q = q = q + A h 0 m 0 L ordine di grandezza per h r = 10 km, combinando misure effettuate in diverse aree continentali stabili. dt qm A0 hr z/ hr = + e dz k k q A h T = T + z + e k k m 0 r z/ hr 0 (1 ) r

28 Fenomeni di conduzione dipendenti Eq. 1D del calore, dipendente dal tempo dal tempo T ρ = + t c k T A dt ρ c = dt k d T dz La produzione volumetrica di calore gioca un ruolo secondario, assumiamo A=0. Posto dt dt d T k κ = κ Avente dimensioni ρ c = [ ] dz Da cui se τè una scala di tempo caratteristica: κ = l t κτ = L È una lunghezza caratteristica di diffusività termica: skin depth

29 Variazioni giorno-notte τ = 1 giorno = k =.5 W / ( m K) ρ = 700 kg / m c = 1 kj / ( kg K) 3 4 s κ = m / κτ = 0.3 m s La skin-depthè inversamente proporzionale alla frequenza: più rapido è il fenomeno, minore è la sua capacità di penetrare all interno della Terra. Le variazioniannualihanno una capacità di penetrazione pari a τ = 1 anno = κτ = 6 m 7 s

30 Raffreddamento/riscaldamento istantaneo Diversi fenomeni nella litosfera/crosta possono essere descritti da questo tipo di modello : Flusso di magma attraverso fratture preesistenti Struttura della litosfera oceanica Problema monodimensionale, dipendente dal tempo: dt dt = κ d T dz Condizioni iniziali e al contorno: T = T z > 0, t = 0 0 T = T z = 0, t 1 T = T z, t 0

31 Semplificazioni La soluzione non può che dipendere dalla differenza relativa di temperatura e non dalla temperatura assoluta: θ = T T 0 dθ d θ = κ T T 1 0 dt dz θ = 0 z > 0, t = 0 θ = 1 z = 0, t θ = 0 z, t L unica grandezza caratteristica è la skindepth,dunque la soluzione deve essere autosimilare(self-similar) nella variabile η = z κt La lunghezza di diffusività termica è quella distanza alla quale l effetto di una sorgente istantanea localizzata viene risentito, dopo un tempo t.

32 Trasformazione dell equazione η = z κt η z η = = t 4t κt t η = z 1 κt θ θ η η θ = = t η t t η θ θ η 1 θ 1 θ η 1 θ = = = = z z η z κt z η κt η z 4κt η θ θ η θ 1 θ = κ = t z t η 4t η θ θ η = η η

33 Condizioni al contorno η = z κt θ ( z > 0, t = 0) = 0 θ ( η ) = 0 θ ( z, t > 0) = 0 θ ( z = 0, t > 0) = 1 θ ( η = 0) = 1 Equazione differenziale del prim ordine d θ d θ dθ η = ψ d η d = dψ η dη d ηψ η = Per separazione di variabili dψ η dη logψ η c ψ = = + ψ = Ce η

34 Soluzione η η η ' Ce θ ( η) Ce dη ' D dθ = = + dη 0 θ (0) = 1 D = 1 η ' π ( ) ' η η ' ( ) 1 ' 1 erf ( ) erfc( ) per η θ η = C e dη + C + = θ η = e dη = η = η π 0 C = π T T0 z = erfc T1 T 0 κt z T = T0 + ( T1 T0 )erfc κt

35 Strato termico κ = 6 10 m / t t t s anni anni anni Le variazioni maggiori avvengono in prossimità della superficie, nel thermal boundary layer, che viene definito come lo spessore per il quale θ=0.1 η 1 T = erfc z =.3 κt

36 Espressione per il calore z T T ( T T )erfc κt = T = = z k( T T ) z t 1 0 q k e πκt /(4 κ ) Per t=0 il calore diverge nell origine, ma resta finito altrove (e nullo). Questo in virtù del fatto che esiste una singolarità (del primo tipo) nelle condizioni iniziali. Nell origine, q decresce con il tempo come una funzione radice Il flusso di calore per unità di superficie fino al tempo t in z=0 è q k κ = T = = z z= m / ( T T ) = 000K 1 0 t k( T1 T0 ) 1 k( T1 T0 ) q = dt ' = t πκ t ' πκ s 5 K / km 0 Ipotesi di Kelvin : la terra si raffredda per conduzione tearth = anni

37 Litosfera oceanica La litosfera oceanica viene generata al ridge, dove il mantello affiora La superficie superiore della litosfera si allontana dal ridgea velocità costante La litosfera è elastica: la base della litosfera è definita dalla condizione di transizione tra un solido elastico ed uno viscoso. Questa condizione dipende dalla temperatura, così che la base della litosfera è un isoterma Tale temperatura di transizione reologicaè dell ordine di 1600 K per le rocce silicatiche del mantello

38 Raffreddamento della litosfera u Ridge oceanica q Litosfera Flusso di calore verticale La litosfera si muove a velocità costante u. Al ridgela roccia del mantello passa istantaneamente ad una temperatura più fredda L effetto del tempo lo si vede alla distanza x=ut T Tm Tm T z = = erfc( ) T T T T κt o m m o Tm To + To T T To z = 1 = erfc( ) T T T T κt m o m o T To z = erf ( ) T T κt m o Per una parte della litosfera a distanza x : t = x u

39 Geotermaper la litosfera Lo spessore della litosfera oceanica, come strato termico di bordo è z o =.3 κx u κ = 6 10 m / x / u = 80 Myr z o = 116km s Il calore in superficie è q o = k( T T ) m πκt o κ = 6 10 m / k = 3.3 W / ( mk) T T = 1300K m o s

40 Calore in superficie Il valor medio del calore oceanico, per una placca di età t*è t* t* 1 1 k( Tm To ) k( Tm To ) q = q ( t) dt dt t * = t * = πκt πκt * t * = 10 Myr ; q = 79 mw / m 0