PRESSIONE, VOLUME, TEMPERATURA

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1 ER M O D I N A M I CA È la branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un SISEMA MACROSCOPICO a seguito di uno scambio di energia con altri sistemi o con l'ambiente. IL sistema macroscoico (o SISEMA ERMODINAMICO) è definito come una orzione di materia geometricamente individuata, che esiste in un ambiente infinito e imerturbabile. Il termine macroscoico è utilizzato er indicare che del sistema ci interessano solo gli effetti esterni misurabile generati da una qualsiasi trasformazione, come ressione, temeratura, volume, massa volumica, calore secifico,dilatazione termica, ecc. Non è d interesse ciò che avviene all interno del sistema (SCAOLA CHIUSA). La conoscenza della termodinamica è la base er lo studio delle macchine termiche. Per i nostri scoi ci riferiremo, in articolare, alla trasformazione del calore in lavoro e il nostro sistema termodinamico è costituito da un gas contenuto in un ambiente le cui areti ossono essere fisse e/o mobili (caso del cilindro con stantuffo: ambiente con areti fisse e una mobile). isto che dobbiamo occuarci di gas, vediamo quali sono le CARAERISICHE DELLO SAO GASSOSO e le LEGGI che ne regolano le trasformazioni. Lo stato gassoso è uno stato della materia caratterizzato da deboli legami molecolari. Conseguenza di ciò è l estrema ossibilità di movimento (mobilità) delle molecole che comongono il gas e quindi la tendenza ad occuare tutto il volume a disosizione. Infatti si dice che i gas non hanno né forma né volume rorio. Il gas di cui ci occueremo è un gas articolare, che non esiste in natura, a cui viene dato il nome di GAS IDEALE o PERFEO. Per esso valgono dei comortamenti e delle leggi molto iù semlici risetto ai gas reali. Per questo motivo, nella tecnica, si fa riferimento al gas ideale ed eventualmente, quando è necessario si correggono oortunamente le relazioni valide er il gas ideale. Un gas si dice IDEALE quando: è costituito da molecole untiformi, cioè di dimensioni trascurabili; si ritengono nulli i legami molecolari; tutte le molecole hanno la stessa velocità e quindi la stessa energia cinetica; quando si urtano le une con le altre non varia la loro energia cinetica; la ressione è uguale (ressione uniforme) in tutti i unti della massa del gas. Per tutti i gas, quanto iù bassa è la loro ressione, tanto iù tendono verso un comortamento uguale er tutti, che è quello del gas ideale. La condizione o SAO DI UN GAS è definito quando sono noti i valori delle grandezze PRESSIONE, OLUME, EMPERAURA. I valori di tali grandezze si chiamano ARIABILI ERMODINAMICHE o DI SAO. Se tali valori non mutano nel temo si dice che il gas è in uno SAO DI EUILIBRIO. Per ogni stato di equilibrio, i valori delle tre grandezze sono legate da una relazione chiamata EUAZIONE DI SAO. Per una massa m di gas ideale si ha la seguente equazione di stato: m R con N ressione assoluta del gas m ( m ) volume occuato dal gas m (g) massa del gas R costante elastica del gas g K (K) temeratura assoluta del gas

2 Dividendo er la massa del gas m si ottiene l equazione di stato er massa unitaria (m g) m volume massico m da cui m g R R con m m con costante m essendo il volume massico l inverso della massa volumica, l equazione di stato assume anche la forma: R er una MASSA UNIARIA DI GAS ariando una o iù variabili di stato il gas subisce una RASFORMAZIONE ortandosi da uno stato di equilibrio ad un altro stato di equilibrio, dove le variabili di stato assumono valori diversi, ma che devono soddisfare l equazione di stato. stato di equilibrio iniziale RASFORMAZIONE DI SAO stato di equilibrio finale,,,, Se la trasformazione avviene in modo molto lento (RASFORMAZIONE UASI SAICA), tale da otere assumere come stati d equilibrio tutti gli stati Stato d equilibrio (iniziale) intermedi attraversati dal gas er ortarsi da uno stato fisico iniziale Linea che raresenta la trasformazione di stato del gas d equilibrio ad uno finale Stato d equilibrio (finale) d equilibrio, allora la trasformazione è raresentabile nel iano ( - ) (PIANO DI CLAPEYRON). Nel nostro studio suorremo le trasformazioni quasi statiche e quindi semre raresentabili nel iano di Claeyron ( - ). I rincii della termodinamica, scoerti nel XIX secolo, regolano tutte le trasformazioni termodinamiche e ne fissano i limiti. RASFORMAZIONI DI SAO DEL GAS IDEALE È interessante studiare delle trasformazioni di stato articolari, dove si mantiene costante, durante la trasformazione, una delle tre variabili di stato. rasformazione isoterma ( costante) Si ha quando durante la trasformazione del gas tra due stati di equilibrio, si mantiene costante la temeratura. Per lo stato d equilibrio si scrive: RASFORMAZIONE stato R ISOERMA stato Per lo stato d equilibrio si scrive: R Facendo il raorto si ottiene,,,, R R essendo gli stati d equilibrio considerati generici, la relazione si uò generalizzare nella seguente: cos tan te LEGGE DI BOYLE

3 ale relazione, nel iano ( - ) è raresentata da una ierbole equilatera. cost. rasformazione ISOERMA Al variare della temeratura cost., cost.,.. a cui si fa avvenire la trasformazione, si ottengono tante ierboli traslate fra di loro All aumentare del volume diminuisce la ressione e viceversa al diminuire del volume aumenta la ressione, in modo che: cost. cost. cost. cost. > > rasformazione isocora o isometrica ( costante) Si ha quando durante la trasformazione del gas tra due stati di equilibrio, si mantiene costante il volume. Per lo stato d equilibrio si scrive: RASFORMAZIONE stato ISOMERICA stato R Per lo stato d equilibrio si scrive: R,,,, Facendo il raorto si ottiene R R essendo gli stati d equilibrio considerati generici, la relazione si uò generalizzare nella seguente: cost. LEGGE DI GAY-LUSSAC ale relazione, nel iano ( - ) è raresentata da una retta arallela all asse delle ressioni. cost. rasformazione ISOMERICA cost. cost. All aumentare della ressione aumenta la temeratura e viceversa. Così, ad esemio: il gas nello stato ha ressione e temeratura, nello stato ha ressione < e temeratura <, in modo che venga soddisfatta la relazione: cost. rasformazione isobara ( costante) Si ha quando durante la trasformazione del gas tra due stati di equilibrio, si mantiene costante la ressione. Per lo stato d equilibrio si scrive: stato RASFORMAZIONE ISOBARA stato,,,, R Per lo stato d equilibrio si scrive: R Facendo il raorto si ottiene R R

4 essendo gli stati d equilibrio considerati generici, la relazione si uò generalizzare nella seguente: cost. LEGGE DI GAY-LUSSAC ale relazione, nel iano ( - ) è raresentata da una retta arallela all asse dei volumi. rasformazione ISOBARA cost. cost. All aumentare del volume aumenta la temeratura e viceversa, in modo che: cost. cost. Esercizio Un serbatoio contiene 00 l di aria (R 87, /(g K) )comressa alla ressione assoluta 0 atm e a temeratura t 50 C. La temeratura dell aria diminuisce fino a t 0 C. Calcolare la ressione finale del gas e la quantità di calore diserso. Suonendo chiuso il serbatoio, il volume dell aria rimane costante, quindi la trasformazione è isometrica. Per tale trasformazione si uò scrivere: stato Aria 00 l 0 atm K da cui si calcola 050 N m RASFORMAZIONE ISOMERICA cost.? stato Aria 00 l P? K 9,9 bar La trasformazione di stato è stata causata dalla disersione di calore attraverso le areti del serbatoio; tale CALORE si calcola dalla relazione: c m( ) dove viene utilizzato il calore secifico a volume costante c, oiché la trasformazione è isometrica; er l aria: c 77 /(g K). La MASSA DELL ARIA si calcola con la relazione: m dove la massa volumica diende dalle condizioni in cui si trova l aria. Ricordando che, dall equazione di stato alicata allo stato d equilibrio si calcola 050 g R 0, 9 R 87, m uindi: g m 0,9 0, m, 7 g m Pertanto: c m( ) 77,7 g ( K 9 K ) 90 g K 0 bar? 0, m rasformazione ISOMERICA K 9 K

5 5 LAORO DI ESPANSIONE FAO DA UN GAS Consideriamo una massa unitaria (m g ) di gas racchiuso all interno di un cilindro fornito di uno stantuffo mobile. Si considerino nulli gli attriti e la ressione esterna sullo stantuffo costante. Il gas raresenta un sistema termodinamico con areti mobili. L > rasformazione ISOBARA Al gas che si trova nello stato d equilibrio, forniamo una certa quantità di calore in modo da fare avvenire una trasformazione di stato a ressione costante ( cost.), che orta il gas allo stato d equilibrio. Si nota che er effetto del calore fornito al sistema: s A F cost. aumenta il volume da a aumenta la temeratura da a lo stantuffo comie lo sostamento s stato stato Poiché durante la trasformazione lo stantuffo viene movimentato, il gas comie un lavoro. Calcoliamolo: F A ( N ) L F s dove s con A ( m ) area s tantuffo, s ( m) corsa s tantuffo A uindi il lavoro fatto dal gas in una esansione a cost. vale: L F s A ( ) ( ) A uindi ossiamo concludere che fornendo una quantità di calore si ottiene, nelle condizioni su esoste, un lavoro L. Oltre al lavoro si è ottenuto un altro effetto: è aumentata la temeratura del gas da a ; questo vuol dire che non tutto il calore fornito al sistema si è trasformato in lavoro, infatti una arte del calore (energia termica) è stata utilizzata er incrementare la temeratura del gas o, come si dice in termodinamica, è aumentata la totalità di energia contenuta nel gas, cioè la sua ENERGIA INERNA. Inoltre si uò notare che il valore del lavoro L coincide con l area sottesa tra la linea della trasformazione e l asse dei volumi. uesto fatto è generale er cui il lavoro fatto dal gas in una qualsiasi trasformazione coincide con l area sottesa dalla linea che raresenta la trasformazione. Esercizio Una massa di aria m 0, g viene riscaldata alla ressione assoluta costante 6 bar fino a raddoiarne il volume ( ). La temeratura iniziale vale 0 K. Calcolare: la temeratura finale dell aria ; il lavoro d esansione fatto dal gas L; la quantità di calore somministrata al gas. m m Per una trasformazione isobara: Pertanto: K Per una trasformazione isobara: L ( ) ( ) L rasformazione GENERICA LAORO OENUO NELLA RASFORMAZIONE

6 6 Il volume non è noto, erò è calcolabile alicando l equazione di stato del gas er lo stato d equilibrio : da cui si calcola m R m R uindi il LAORO FAO DAL GAS vale: m R L m R 0, g 87, 0 K 795 g K Il calore somministrato al gas vale: c m( ) 05 0, g ( 606 K 0 K ) 665 g K Nota imortante: da notare che > L ; la differenza tra il calore somministrato al gas e il lavoro ottenuto è la ARIAZIONE DI ENERGIA INERNA U del gas: L U PRINCIPIO DELLA ERMODINAMICA L energia termica che non si è trasformata in lavoro è rimasta immagazzinata nel gas facendone aumentare L ENERGIA INERNA. L EFFEO MACROSCOPICO dell aumento dell energia interna del gas è dato dall AUMENO DI EMPERAURA. RASFORMAZIONI ERMODINAMICHE - GRANDEZZE DI SCAMBIO Per rocesso o trasformazione si intende l evoluzione di un sistema da uno stato iniziale di equilibrio, caratterizzato dai valori definiti dei arametri (ressione, volume, temeratura) ad uno stato finale di equilibrio caratterizzato da altri valori definiti dei medesime arametri. Il rocesso si dice: aerto se lo stato finale è diverso dallo stato iniziale; chiuso o ciclico se lo stato finale coincide con lo stato iniziale; senza deflusso quando l unita di massa di sostanza che si considera è racchiusa entro confini (eventualmente mobili) senza aerture; con deflusso quando l unità di massa fluisce attraverso una orzione di sazio ben delimitata da confini, attraversando una sezione d entrata e una d uscita. Durante il rocesso, e affinché questo avvenga, vi deve essere scambio di calore e/o di lavoro attraverso i confini che limitano la orzione di sazio, ove il rocesso avviene, e l ambiente esterno. Il calore è energia che viene trasferita. Esso fluisce da un unto ad un altro. uando il flusso è cessato, non c è iù ragione di usare la arola calore. Parlare di calore in un coro sarebbe altrettanto scorretto quanto arlare di lavoro in un coro. L esecuzione di lavoro e il flusso di calore sono due modi attraverso i quali si uò variare l energia interna di un coro. Preme avvertire che calore e lavoro (che sono quantità di energia) hanno significato soltanto durante il rocesso: sono grandezze di scambio e non grandezze di stato come la ressione, il volume. Ha significato arlare di ressione in un determinato stato e di differenza di ressione - fra gli stati finale e iniziale del rocesso. Ma non ha senso arlare di calore o lavoro L in un determinato stato. Bisognerà dire: calore e lavoro L scambiati fra il sistema e l esterno durante il rocesso che orta dallo stato allo stato. E queste quantità e L non diendono solo dagli stati e ma diendono anche dal articolare ercorso seguito, fra gli infiniti ossibili, er assare dallo stato iniziale allo stato finale. Circa i segni da attribuire a queste due grandezze di scambio si adotta la seguente convenzione: ositivo il calore fornito al sistema dall esterno; negativo il calore ceduto dal sistema all esterno; ositivo il lavoro ceduto dal sistema all esterno; negativo il lavoro fornito al sistema dall esterno. L > 0 > 0 SISEMA AMBIENE ESERNO < 0 L < 0

7 7 ENERGIA INERNA È la somma delle energie che ossiedono le singole articelle che comongono il sistema. Ovviamente questa energia interna diende dallo stato termodinamico del sistema ed è legata all'agitazione delle molecole costituenti il sistema. Essa è di tio meccanico, in quanto legata al moto microscoico e disordinato delle molecole. Per ogni stato d equilibrio in cui si trova il sistema, l energia interna assume un ben determinato valore. Nessuna imortanza ha il modo come il sistema ha raggiunto quello stato di equilibrio: er tale motivo si dice che L ENERGIA INERNA È UNA FUNZIONE DI SAO. oule dimostrò che nel caso di gas ideale la variazione di energia interna del sistema, durante una trasformazione, diende solo dalla variazione della temeratura del sistema. PER UN GAS IDEALE, L'ENERGIA INERNA È FUNZIONE DELLA SOLA EMPERAURA, cioè U U () IL PRIMO PRINCIPIO DELLA ERMODINAMICA I risultati visti in recedenza ci consentono di enunciare il rimo rinciio della termodinamica: Stato iniziale L RASFORMAZIONE Stato Finale nel corso di una trasformazione termodinamica, la somma del lavoro esterno fornito al sistema e del calore esterno ceduto al sistema diende soltanto dagli stati iniziali e finali del sistema. Per definizione questa somma è uguale alla variazione dell'energia interna del sistema, ossia U U U U + L U energia U + L Dove le quantità ed L sono considerate in valore assoluto, indiendentemente da qualsiasi convenzione sui segni (bilancio energetico) ale rinciio afferma che: a) esiste semre una funzione di stato, U detta energia interna del sistema; b) il sistema termodinamico, quando la sua temeratura è diversa dal suo intorno, scambia con l'esterno una nuova forma di energia, il calore, indicato con. ale quantità, aggiunta al lavoro, eguaglia la variazione di energia interna. In forma quantitativa, tenendo conto delle convenzioni sui segni del calore e del lavoro scambiato: Da ricordare che: U U U - L e L sono grandezze di scambio, vanno rese con il loro segno secondo la convenzione adottata e diendono dal tio di trasformazione, cioè dal ercorso che ha ortato il sistema dallo stato iniziale A a quello finale B; U è una funzione di stato, quindi la sua variazione U non diende dal tio di trasformazione che ha subito il sistema, ma solo dagli stati iniziale e finale ed inoltre è funzione della sola temeratura U U (); er la massa unitaria di un gas ideale si calcola: U U U c ( ).

8 RASFORMAZIONI ERMODINAMICHE SISEMI CHIUSI O SENZA DEFLUSSO 8 Si fa riferimento alla massa unitaria (m g) di un gas ideale e le trasformazioni sono quasi statiche; si suone che il sistema termodinamico subisca una trasformazione che lo orta dallo stato d equilibrio iniziale (stato ) allo stato d equilibrio finale (stato ). Si ricorda che la ARIAZIONE DI EMPERAURA nella scala Kelvin coincide con la variazione di temeratura nella scala Celsius ( ) (t t ) v Il RAPPORO tra i volumi massici coincide con il raorto tra i volumi v rasformazione ISOCORA v costante L 0 c U + L legge di GAY - LUSSAC oichè ( v v ) g U ( ) ; mc ( ) ( ) 0 U U U c ( ) v v v g Il calore somministrato al sistema rovoca un aumento della ressione e della temeratura (quindi dell energia interna). Il calore sottratto al sistema rovoca un diminuzione della ressione e della temeratura (quindi dell energia interna). La linea di trasformazione nel iano -v è arallela all asse delle ordinate. rasformazione ISOBARA costante v legge di GAY - LUSSAC v ( v ) ; L m ( v v ) ( ) ( ) ( ) c m c g ( ) ; ( ) ( ) ( ) U U U c U + L ( ) ( ) ( v v) ( ) ( ) ( ) c c + L v g L g c c + R c c R Il calore somministrato al sistema rovoca un aumento del volume e della temeratura (quindi dell energia interna). Il calore sottratto al sistema rovoca un diminuzione del volume e della temeratura (quindi dell energia interna). La linea di trasformazione nel iano -v è arallela all asse delle ascisse. L 0 L v v v

9 rasformazione ISOERMA costante v cost. cioè v v legge di BOYLE L v v ( ) 9 dv v dv R v R ln v g v v L v L v v ln v v ln v U U U c oichè cost. 0 U + L L g g g Se la ressione aumenta, il volume diminuisce (COMPRESSIONE) Se la ressione diminuisce, il volume aumenta (ESPANSIONE) La linea di trasformazione nel iano v è un ierbole equilatera rasformazione ADIABAICA 0 v cost. cioè v v con c c v v cost. R v cost. v cost. R R t cost. t cos. cos. U + L L U cost. ( ) ( ) L c c ( ) L v v g cos t. g v v v v v L v g R v L v v v g L g Nell esansione aumenta il volume mentre diminuiscono ressione e temeratura (quindi l energia interna). Nella comressione diminuisce il volume mentre aumentano ressione e temeratura (quindi l energia interna). La linea di trasformazione nel iano v è un ierbole. L L v v Ierbole equilatera Ierbole v v rasformazione POLIROPICA È una qualsiasi trasformazione reale comresa nel camo individuato tra la trasformazione isoterma e quella adiabatica. L equazione della trasformazione è: n n n v cost. cioè v v con < n < algono tutte le relazioni scritte er la trasformazione adiabatica sostituendo all esonente l esonente n. 0 ISOERMA ADIABAICA POLIROPICA

10 0 CICLI ERMODINAMICI I cicli sono una serie di trasformazioni che fanno tornare il sistema allo stato iniziale, in modo che tutte le variabili termodinamiche imortanti assumano al termine del rocesso i valori di artenza. L'energia interna di un sistema diende solo da queste variabili (SOLO DALLA EMPERAURA NEL CASO DI GAS IDEALE) e ertanto non varia in una trasformazione ciclica. Di conseguenza, PER IL PRINCIPIO DELLA ERMODINAMICA, il calore comlessivo fornito al sistema deve uguagliare il lavoro comlessivo comiuto da esso. IN UN CICLO: U 0 CICLO - L CICLO CICLO L CICLO L area racchiusa dal ciclo raresenta il lavoro comlessivamente scambiato in tutte le trasformazioni che comongono il ciclo. Il lavoro è ositivo se il ciclo viene ercorso in senso orario, negativo quando viene ercorso in senso antiorario. i f stato d equilibrio iniziale stato d equilibrio finale L CICLO RASFORMAZIONE CICLICA CICLO DI CARNO e RENDIMENO ERMODINAMICO È un CICLO IDEALE costituito da DUE RASFORMAZIONI ADIABAICHE REERSIBILI e da DUE RASFORMAZIONI ISOERME REERSIBILI. Una trasformazione è reversibile quando avviene lentamente stato d equilibrio iniziale (trasformazione quasi statica) ed inoltre è nulla qualsiasi i RASFORMAZIONE dissiazione di energia. In queste condizioni la trasformazione uò avvenire indifferentemente nei due sensi. Le trasformazioni reversibili sono ideali, nella realtà, non otendo eliminare del tutto gli attriti, sono semre irreversibili. Nel iano, è quello raresentato in figura REERSIBILE f stato d equilibrio finale L L CICLO S COMPRESSIONE ADIABAICA ( 0) ESPANSIONE ISOERMA ( S cost.) ESPANSIONE ADIABAICA ( 0) COMPRESSIONE ISOERMA ( I cost.) S I L I Consideriamo g di gas ideale (er la massa unitaria: numericamente). Poiché il gas ritorna, doo un ciclo, nello stato fisico iniziale, sia le variabili,,, sia la funzione di stato energia interna U riassumono lo stesso valore, quindi è nulla la loro variazione nel ciclo. Alicando il rinciio della termodinamica all intero ciclo, si scrive: CICLO L CICLO oiché U CICLO 0

11 L CICLO è il lavoro comlessivamente scambiato (somma algebrica di L + L + L + L ) raresentato dall area racchiusa dalle trasformazioni (ositivo, in questo caso, erché il ciclo è ercorso in senso orario). CICLO è il calore comlessivamente scambiato nel ciclo CICLO + oiché nelle trasformazioni adiabatiche 0 Con i simboli in figura ( e ): CICLO - con i valori di e di resi in valore assoluto è la quantità di calore che una SORGENE o SERBAOIO DI CALORE a temeratura S cede al sistema nell esansione isoterma. è la quantità di calore che una SORGENE DI CALORE a temeratura I < S assorbe dal sistema durante la comressione isoterma. Una SORGENE DI CALORE è un sistema che uò cedere o assorbire calore senza variazioni di temeratura. Pertanto ossiamo scrivere: L CICLO Da cui si nota che non tutto il calore è stato trasformato in lavoro, oiché una arte è stata ceduta dal sistema, ad una temeratura iù bassa, er riortare il sistema nello stato iniziale. uesto fatto riscontrato nel ciclo di Carnot è generale e quindi in una qualsiasi trasformazione ciclica, una arte del calore immesso alla temeratura sueriore verrà semre ceduta a temeratura inferiore ( PRINCIPIO DELLA ERMODINAMICA) e quindi non sarà convertita in lavoro. Da qui nasce il concetto di rendimento termodinamico lavoro ottenuto in ciclo ENERGIA OENUA LCICLO η calore ricevuto in ciclo ENERGIA SPESA η < SEMPRE oichè > raresenta il calore assorbito dalla macchina che non viene convertito in lavoro durante il rocesso. L CICLO Dalla definizione di rendimento η si caisce che L CICLO S I I < I η AUMENA se AUMENA L CICLO Per esemio facendo cedere alla macchina il calore a una temeratura iù bassa, in figura a temeratura I < I (l isoterma I è iù vicina agli assi), si nota che aumenta l area del ciclo e quindi L CICLO, in quanto i unti e si sono sostati nei unti e Da qui si intuisce che le temerature delle due sorgenti, calda e fredda, influenzano il valore del rendimento. Per quantificarlo calcoliamo le quantità di calore scambiate durante il ciclo: S I Alicando il rinciio alle due trasformazioni isoterme, dove essendo: cost. U c 0, si uò scrivere: L R ln L R negativo erché ceduto dal sistema ln

12 Per le rorietà dei logaritmi ln ln ertanto R ln Facendo il raorto fra le due quantità di calore si ottiene: R ln essendo, er i CICLI SIMMERICI R ln NOA: un ciclo è SIMMERICO quando le trasformazioni che lo comongono sono a due a due uguali. Per questi cicli si dimostra la seguente regola: il rodotto di una qualsiasi variabile di stato in unti non consecutivi del ciclo e costante. Pertanto si uò scrivere: Pertanto o anche uindi in definitiva er il RENDIMENO DEL CICLO DI CARNO si uò scrivere: η con > che diende solo dalle temerature delle sorgenti di calore e non dal tio di gas che evolve nel ciclo. Inoltre questo rendimento è il massimo, oiché il calore scambiato nella trasformazione isoterma si trasforma tutto in lavoro, quindi UELLO DI CARNO È IL CICLO DI MASSIMO RENDIMENO. È un ciclo ideale, quindi irrealizzabile raticamente, ma serve di confronto con i rendimenti dei cicli termodinamici che utilizzano le macchine termiche. Ogni MACCHINA ERMICA funziona in modo che i suoi organi rirendono la stessa osizione doo un certo temo, quindi FUNZIONANO CICLICAMENE sfruttando, ognuna, un articolare ciclo termodinamico che ermette di RASFORMARE CALORE IN LAORO (macchine termiche motrici). Una qualsiasi macchina termica motrice uò essere schematizzata nel seguente modo, IN ACCORDO CON L EIDENZA SPERIMENALE. SORGENE CALDA DI CALORE a EMPERAURA S > 0 MACCHINA ERMICA funziona secondo un ciclo termodinamico U 0 CICLO L CICLO L CICLO NON È POSSIBILE COSRUIRE UNA MACCHINA CHE LAORANDO CICLICAMENE RASFORMI UO IL CALORE IN LAORO S > I > LAORO MECCANICO: L η < 0 SORGENE FREDDA DI CALORE a EMPERAURA I REFRIGERANE

13 PRINCIPIO DELLA ERMODINAMICA Le LIMIAZIONI DELLA RASFORMAZIONE DEL CALORE IN LAORO sono contenute nel PRINCIPIO, i cui seguenti enunciati sono fra loro equivalenti. ENUNCIAO DI CLAUSIUS: è imossibile realizzare una trasformazione il cui UNICO RISULAO sia quello di trasferire calore da un coro iù freddo a uno iù caldo. SORGENE S SORGENE CALDA SORGENE S MACCHINA IEAA DA CLAUSIUS L - < 0 MACCHINA FRIGORIFERA Il lavoro è negativo erché viene fatto sul sistema SORGENE I SORGENE FREDDA SORGENE I ENUNCIAO DI KELIN: è imossibile realizzare una trasformazione il cui UNICO RISULAO sia quello di assorbire una quantità di calore da un UNICA SORGENE di calore e trasformarla COMPLEAMENE in lavoro. SORGENE S SORGENE CALDA SORGENE S MACCHINA IEAA DA KELIN MACCHINA ERMICA MORICE L SORGENE FREDDA SORGENE I L - > 0 REFRIGERANE Esemio: in una trasformazione isoterma si ha L (qualcuno otrebbe ensare: Kelvin ha torto!!), ma, attenzione, non è l UNICO RISULAO, infatti varia lo stato fisico del gas (SAO FISICO INIZIALI SAO FISICO FINALE) Kelvin, in sostanza dice che una qualsiasi macchina termica er otere funzionare ha bisogno di DUE SORGENI DI CALORE. Il calore ceduto alla sorgente iù fredda si troverà ad una temeratura iù bassa e la macchina non ha iù alcuna ossibilità di trasformarlo in lavoro, cioè l energia termica è assata ad un livello inferiore, ovvero si è DEGRADAA. Generalizzando, si uò dire che in tutti i rocessi naturali sontanei, che sono irreversibili, si ha un continuo trasferimento di calore da cori caldi a cori iù freddi e quindi un continuo decadimento dell energia termica. Nota: dire che l energia termica si è DEGRADAA NON UOL DIRE CHE È SCOMPARSA (questo lo nega il rinciio di conservazione dell energia), ma che È DIMINUIA LA POSSIBILIÀ DI RASFORMARLA IN LAORO.

14 ENROPIA Si consideri una qualsiasi trasformazione REERSIBILE che da uno stato fisico d equilibrio iniziale i a uno finale d equilibrio f. Per eseguire la trasformazione bisogna fornire calore al sistema che via f via aumenta la sua temeratura. Pensiamo di suddividere la linea che raresenta la trasformazione in tante iccole arti L; se nel tratto L viene fornito il calore iccolo, il sistema subirà un iccolo L incremento di temeratura: chiamiamo i la temeratura media nel i tratto L. Ragionando nello stesso modo er tutti i tratti L, er ogni tratto si uò calcolare il raorto con i che assume valore diverso in ogni tratto i Eseguendo la somma di tutti i raorti si calcola una grandezza che è semre la stessa i i qualunque sia il ercorso seguito nella trasformazione er assare dallo stato iniziale a quello finale. Ciò vuol dire che tale grandezza è INDIPENDENE DAL PERCORSO e DIPENDE SOLO DALLO SAO FISICO DEL SISEMA, quindi è una FUNZIONE DI SAO: a tale funzione si da il nome di ENROPIA. S K ARIAZIONE DI ENROPIA in una trasformazione reversibile i i Come er tutte le funzioni di stato interessa la ARIAZIONE DELLA GRANDEZZA relativa a una trasformazione di stato. Così, er esemio, in una trasformazione ISOERMA REERSIBILE ( i cost. ) S essendo il calore scambiato in tutta la trasformazione i i ADIABAICA REERSIBILE ( 0) S i 0 essendo nullo ognuno dei, quindi un adiabatica reversibile è anche una i ISOENROPICA (variazione nulla di entroia). CICLICA REERSIBILE S 0 oiché l ENROPIA È UNA FUNZIONE DI SAO e in un ciclo il sistema riassume lo stato iniziale utte le trasformazioni che conosciamo, se REERSIBILI, sono raresentabili nel iano temeratura entroia ( S). La loro raresentazione grafica è quella riortata in figura: ISOMERICA ( cost.) ISOBARA ( cost.) ISOERMA ( cost.) ADIABAICA ISOENROPICA (S cost.) S

15 5 Raresentiamo il CICLO DI CARNO NEL PIANO -S; er tale ciclo si ha variazione di entroia solo nelle trasformazioni isoterme (trasformazioni - e -). (calore seso) ADIABAICA ISOENROPICA ( 0 S 0) ADIABAICA ISOENROPICA ( 0 S 0), ISOERME ( cost, S 0) - (calore erduto) S S S S S S er l isoterma -: S S S S S finale Siniziale er l isoterma -: S S S il segno negativo vuol dire che il calore è ceduto dal sistema. uindi la variazione di entroia nel ciclo vale: S ma abbiamo già visto che ( ) 0 CICLO S CICLO REERSIBILE Se il ciclo è IRREERSIBILE (ciclo reale) si ha semre: S > 0 Nel iano -S l area racchiusa dal ciclo raresenta il CALORE COMPLESSIAMENE SCAMBIAO; infatti S S quindi ( S ) S S area sottesa dalla trasformazione - (CALORE SPESO in un ciclo) S S S S S S ( S ) S S area sottesa dalla trasformazione - (CALORE PERDUO in un ciclo) S S S S S S uindi è rorio l area del rettangolo --- (CALORE UILE in un ciclo, cioè quello trasformato in lavoro meccanico) - S S S S S S Esercizio: MACCHINA ERMICA ED ENERGIA DISPONIBILE

16 6 Suoniamo di voler CONERIRE CALORE IN LAORO con una stessa macchina termica che oera con sorgenti di calore come in figura. Si deve calcolare quanto del calore seso è trasformabile in lavoro nelle due condizioni di temerature delle sorgenti calde diverse. Inoltre il calore inutilizzabile, cioè il calore non trasformato in lavoro. SORGENE CALDA S 000 K 000 /g SORGENE CALDA S 750 K 000 /g MACCHINA ERMICA L max? MACCHINA ERMICA L max??? SORGENE FREDDA I 00 K SORGENE FREDDA I 00 K La massima frazione di calore che la macchina motrice termica uò convertire in lavoro si calcola dalla definizione di rendimento. Iotizziamo che la macchina utilizzi il ciclo di Carnot, in modo che sia massimo il suo rendimento: η Carnot η max η e quindi massimo il lavoro ottenibile. 00 K 0, K Dalla definizione di rendimento Lmax η Lmax η 0, η CARNO L max ENERGIA DISPONIBILE L max CALORE INUILIZZABILE g g 00 K 0,6 750 K Dalla definizione di rendimento Lmax η Lmax η 0, η CARNO L max ENERGIA DISPONIBILE L max CALORE INUILIZZABILE g g uindi L max disonibile è la quantità di calore trasformabile in lavoro. ale quantità diende dalle temerature delle sorgenti di calore, infatti la stessa quantità 000 /g, fornita da una sorgente a 000 K è iù utile nella roduzione di lavoro risetto a quella fornita a 750 K: nel rimo caso L max 850 /g nel secondo caso L max 600 /g Possiamo dire che il calore fornito a temeratura maggiore è di qualità sueriore e man mano che il calore viene trasferito verso temerature iù basse si degrada. Raresentando il ciclo di Carnot della macchina nel diagramma interretazione grafica: S -S si ha la seguente DISPONIBILE - S ( ) ENERGIA DISPONIBILE (o EXERGIA) I INUILIZZABILE S ENERGIA DISPONIBILE INUILIZZABILE S S

17 7 CICLI ERMODINAMICI IDEALI E RENDIMENI Sono cicli che costituiscono la base funzionale delle macchine termiche. Sono IDEALI in quanto le trasformazioni sono considerate REERSIBILI e il fluido che subisce le trasformazioni è un GAS IDEALE; ertanto i rendimenti calcolati in queste condizioni sono maggiori di quelli effettivamente realizzabili e raresentano il limite ideale di riferimento verso cui tendere con i miglioramenti dei cicli delle macchine reali. CICLO OO È il ciclo ideale di riferimento er i motori a combustione interna a CARBURAZIONE (o ad ACCENSIONE COMANDAA). È un ciclo simmetrico costituito da DUE ADIABAICHE e da DUE ISOMERICHE. Raresentiamolo nei iani - e -S e consideriamo il sistema che evolve costituito da g di gas ideale (massa unitaria). L CICLO - isobara S S S S S rasformazione - COMPRESSIONE ADIABAICA ( 0) rasformazione - ISOMERICA (L 0) rasformazione - ESPANSIONE ADIABAICA ( 0) rasformazione - ISOMERICA (L 0) Diminuisce il volume Aumentano ressione e temeratura Si sende il lavoro L di comressione Aumentano ressione e temeratura Si somministra al sistema il calore Aumenta il volume Diminuiscono ressione e temeratura Si ottiene il lavoro L di esansione FASE AIA DEL CICLO Diminuiscono ressione e temeratura in modo da riortare il gas nello stato iniziale iene ceduto il calore a temeratura inferiore Per definizione di RENDIMENO ERMODINAMICO η L CICLO Pertanto c c ' " ( ) ( ) Le quantità di calore sono scambiate nelle trasformazioni isometriche, ertanto alicando il rinciio a tali trasformazioni, si ottiene: ' U c dove le quantità sono da ( ) ( ) " U c considerare in valore assoluto ( ) ( ) essendo c ' c ediamo di esrimere tutte le temerature in funzione della temeratura "

18 8 Per la trasformazione ADIABAICA - si uò scrivere - si uò scrivere - onendo RAPPORO DI COMPRESSIONE Il RAPPORO DI COMPRESSIONE è il raorto tra i volumi rima e doo la comressione. Poiché il ciclo è SIMMERICO si uò scrivere: da cui Chiamando il raorto tra le temerature doo e rima della somministrazione di calore RAPPORO DI COMBUSIONE e indicandolo con, si uò scrivere RAPPORO DI COMBUSIONE da cui si calcolano i valori delle temerature e ; Pertanto il raorto tra calore erduto e calore seso diventa ( ) da cui si calcola il RENDIMENO ERMODINAMICO DEL CICLO OO η si nota che DIPENDE SOLO DAL RAPPORO DI COMPRESSIONE IL RENDIMENO AUMENA ALL AUMENARE DI ALE RAPPORO. In figura è riortato un andamento qualitativo della variazione del rendimento al variare del raorto di comressione. ( ) η 0,8 0,6 0, 0, CICLO DIESEL È il ciclo ideale di riferimento er i motori a combustione interna a INIEZIONE (o ad ACCENSIONE SPONANEA). È costituito da DUE ADIABAICHE, UNA ISOBARA e UNA ISOMERICA, quindi non è un ciclo simmetrico. Raresentiamolo nei iani - e -S e consideriamo il sistema che evolve costituito da g di gas ideale (massa unitaria). L CICLO - isobara S S S S S

19 9 Per definizione di RENDIMENO ERMODINAMICO L CICLO η Dalle definizioni di calore secifico er m g, si ottiene: ( ) c dove le quantità sono da ( ) c considerare in valore assoluto Pertanto ( ) ( ) ( ) ( ) c c essendo c c ediamo di esrimere tutte le temerature in funzione della temeratura Per la trasformazione ADIABAICA - si uò scrivere come calcolato er il ciclo Otto Per DEFINIZIONE DI RAPPORO DI COMBUSIONE ; calcola si Per la trasformazione ADIABAICA - si uò scrivere calcola si cui da chiamiamo σ RAPPORO DI ESPANSIONE uindi σ σ Per la trasformazione ISOBARA - si uò scrivere combustione di raorto calcola si cui da inoltre, essendo, dalla definizione di raorto di comressione, si uò scrivere σ σ σ calcola si cui da Pertanto ; σ Pertanto il raorto tra calore erduto e calore seso diventa ( ) ( ) da cui si calcola il RENDIMENO ERMODINAMICO DEL CICLO DIESEL η che differisce dal rendimento del ciclo Otto er il termine SEMPRE > Pertanto A PARIÀ DI RAPPORO DI COMPRESSIONE il CICLO DIESEL HA UN RENDIMENO MINORE DEL CICLO OO.

20 0 CICLO BRAYON È il ciclo ideale di riferimento er le URBINE A GAS. È un ciclo simmetrico costituito da DUE ADIABAICHE e da DUE ISOBARE. Raresentiamolo nei iani - e -S e consideriamo il sistema che evolve costituito da g di gas ideale (massa unitaria). L CICLO - isobara S S S S S Con ragionamenti analoghi a quelli visti er il ciclo Otto, si dimostra che il RENDIMENO ERMODINAMICO DEL CICLO BRAYON vale η con λ λ RAPPORO DI COMPRESSIONE Il RENDIMENO DIPENDE SOLO DAL RAPPORO DI COMPRESSIONE: η aumenta all aumentare di λ. ESERCIZI Per il CICLO EORICO DI UN MOORE A CARBURAZIONE sono assegnati: ressione e temeratura di inizio ciclo atm ; 0 K il raorto di comressione 6 il raorto di combustione il raorto tra i calori secifici, Determinare i valori di ressione e temeratura negli altri unti caratteristici del ciclo termodinamico ideale e il suo rendimento. Il ciclo teorico di riferimento er il motore a carburazione è il ciclo Otto. Raresentiamolo nel iano -. Si devono determinare i valori,, e,, Noto il raorto di comressione, dall equazione della trasformazione adiabatica -, si uò calcolare, infatti - -, ( ) 0 K ( 6) 675 K Inoltre, semre er l adiabatica - vale l equazione della trasformazione, ( ), bar ( 6),5 bar

21 Dalla definizione di raorto di combustione si calcola 657 K Dall equazione della trasformazione isometrica -, si uò calcolare, infatti 97 K da cui si calcola,5 bar 0,5 bar Utilizzando le equazioni della trasformazione adiabatica -, si calcolano i valori e, infatti K 96 K 6 0,5 bar, bar 6 Il RENDIMENO ERMODINAMICO DIPENDE SOLO DAL RAPPORO DI COMPRESSIONE; esso vale η 0,5, 6 ( ),, Per il CICLO EORICO DI UN MOORE A DIESEL sono assegnati: ressione e temeratura di inizio ciclo bar ; 0 K il raorto di comressione 8 il raorto di combustione,7 il raorto tra i calori secifici, Determinare i valori di ressione e temeratura negli altri unti caratteristici del ciclo termodinamico ideale e il suo rendimento. Raresentiamo il ciclo Diesel nel iano -. Si devono determinare i valori,, e,, Noto il raorto di comressione, dall equazione della trasformazione adiabatica -, si ossono calcolare i valori di, e, infatti - -, ( ) 0 K ( 8) 08 K Dalla definizione di raorto di combustione si calcola,7 08 K 80 K Dall equazione della trasformazione isobara -, si uò calcolare il raorto /, infatti da cui calcola si il raorto si uò scrivere, ( ) bar ( 8) 57, bar oiché è ISOBARA ( ricorda che )

22 Utilizzando le equazioni della trasformazione adiabatica -, si calcolano i valori e, infatti - -,7 97K K 8,7 57, bar 8 Il RENDIMENO ERMODINAMICO vale,,7 η 0,60,,,7 8,, bar ESERCIZIO PROPOSO Per un ciclo ideale DIESEL (GAS con R 87 la ressione di asirazione iniziale bar la temeratura iniziale 90 K il raorto di comressione 5 il raorto di combustione,6 g K, c 000 ) sono noti g K Raresentare il ciclo nei iani - e -s e calcolare i valori che assumono le variabili termodinamiche nel unto in cui è massima la temeratura.

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