. Resistenza alle azioni orizzontali delle pareti murarie multipiano. Caratteristiche della parete muraria multipiano

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1 . Resistenza alle azioni orizzontali delle pareti murarie multipiano Un esempio numerico completo Caratteristiche della parete muraria multipiano La Fig. 64 mostra la pianta di un semplice edificio in muratura. In figura è anche indicata l orditura dei solai. Il carico verticale complessivo dei pesi e degli accidentali agenti sul solaio è pari a 0,8 t/mq. Il peso specifico della muratura, in blocchi di tufo e malta, è di,6 t/mc. Le dimensioni delle pareti e la geometria dell edificio sono indicate in figura. Sotto un carico sismico agente da sinistra a destra le pareti attive sono le due pareti lunghe di figura. ella stessa Fig. 64 sono anche riportate le sezioni trasversali dei maschi al primo livello. Ad ogni piano lo spessore delle pareti murarie si riduce di 0,0 m. Il carico verticale G ij rappresenta il carico agente al livello i sul maschio j. In quanto segue si valutano le entità G ij dei pesi risultanti dei vari tratti murari di competenza ai nodi e le distanze ξ R di tali pesi risultanti dal bordo a sinistra delle sezioni dei maschi. Le quantità b ij rappresentano le distanze dei pesi G ij dalle estremità a destra delle sezioni, dove sono localizzati i centri di rotazione al piede dei maschi, nell ipotesi di collasso della parete sotto spinte agenti da sinistra a destra. L esercizio qui presentato è stato svolto con gli studenti del Corso di Problemi Strutturali dei Monumenti dell Edilizia Storica nell anno accademico L edificio è considerato situato in zona sismica 3. Valutazione pesi G ij nei nodi Si valutano i pesi della muratura che verranno considerati nel meccanismo di sollevamento nell ipotesi di sconnessione tra i due ordini di pareti murarie. Tale ipotesi, a vantaggio di sicurezza, verrà discussa e rimossa più avanti. 3,00,50 3,00 4,00,50 3,00,50 3,00,50 4,00 8,50,0,5 4,5 4,5 4,5

2 Figura 64 L esempio di parete muraria. el calcolo di tali pesi, inoltre, non viene considerato il fatto che la fessurazione di distacco alla base dei maschi produce una lesione inclinata e che quindi il peso del tratto di muratura che si solleva nel meccanismo non è a rigore quello dell intero maschio, in quanto viene a mancare alla base un tratto triangolare. Tale approssimazione è di regola lecita in quanto il peso della muratura che si trascura è piccolo rispetto al peso complessivo dell intero maschio murario. maschio Tra quota 0 e quota 4,50. Peso della muratura G mur = 4,00 x,00 x 4,50 x,6 + 0,75 x,00 x,00 x,6 = =8,80 t +,40 t = 3,0 t 8,80 x,00 +,40 x (4,00 + 0,75 x 0,5) = 68,0 t x m = 3,0ξ ξ =,8 m Peso del solaio G sol = 3,85 x 5,70 x 0,5 x 0,8 = 8,78 t Peso complessivo G = 3,0 + 8,78 = 39,98 t Posizione G 3,0 x,8 + 8,78 x (0,90+,85x0,5)= 88,3 t x m = 39,98 t x ξ R ξ R =, m; b = 4,00, =,79 m Tra quota 4,50 e quota 9,00.

3 Peso della muratura G mur = 4,00 x 0,90 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,90 x,00 x,6 = = 5,9 t +,6 t = 8,08 t 5,9 x,00 +,6 x (4,00 + 0,75 x 0,5) = 55,08 = 8,08 x ξ ξ =,96 m Peso del solaio G sol = 3,95 x 5,90 x 0,5 x 0,8 = 9,3 t Peso complessivo G = 8,08 + 9,3= 37,40 t Posizione G 8,08 x,96 + 9,6 x (0,80 +,95 x 0,5) = 75,80 t x m = 37,40 x ξ R ξ R =,0 m ; b = 4,00,0 =,98 m Tra quota 9,00 e quota 3,50 Peso della muratura G 3mur = 4,00 x 0,8 0 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,80 x,00 x,6 = = 3,04 t +,9 t = 4,96 t 3,04 x,00 +,9 x (4,00 + 0,75 x 0,5) = 54,48 = 4,96 x ξ ; ξ =,8 m Peso del solaio G 3sol = 4,05 x 6,0 x 0,5 x 0,8 = 9,88 t Peso complessivo G 3 = 4,96 + 9,88 = 34,84 t Posizione G 3 4,96 x,8 + 9,88 x (0,70 + 3,05 x 0,5) = 76,40 = 34,84 x ξ R ξ R =,9 m ; b 3 = 4,00,9 =,8 m Tra quota 3,50 e quota 8,00 Peso della muratura G 4mur = 4,00 x 0,70 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,70 x,00 x,6 = = 0,6 t +,68 t =,84 t 0,6 x,00 +,68 x (4,00 + 0,75 x 0,5) = 47,67 =,84 x ξ ; ξ =,8 m Peso del solaio G 4sol = G 3sol = 4,05 x 6,0 x 0,5 x 0,8 = 9,88 t G 4 =,84 t + 9,88 t = 3,7 t Posizione G 4,84 x,8 + 9,88 x (0,70 + 3,05 x 0,5) = 69,59 = 3,7 x ξ R ξ R =,9 m; b 4 = 4,00,9 =,8 m Il calcolo dei pesi G ij è analogo per gli altri maschi. elle tabelle che seguono si riportano i pesi G ij che competono ai nodi della parete e le lunghezze b ij dei bracci rispetto al piede dei relativi maschi. L indice i sta ad indicare il livello di piano e l indice j il numero d ordine del maschio considerato. G ij 39,98 34,6 34,6 39,98

4 37,40 3,49 3,49 37,40 34,84 30,39 30,39 34,84 3,7 7,75 7,75 3,7 b ij,79,50,50,,98,50,50,0,8,50,50,0,8,50,50,0 La collaborazione dei tratti di parete neutra ell ipotesi di connessione nei cantonali, nei martelli e negli incroci, dei tratti di parete neutra alla parete considerata, anche il peso di questi tratti di muro partecipa alla resistenza di sollevamento. In quanto segue, in alternativa a quanto prima svolto, si procede alla valutazione della resistenza laterale della parete includendo anche le suddette masse murarie. Anche in questa valutazione le quantità ξ' R indicano le distanze dei pesi risultanti G ij dal bordo a sinistra delle sezioni dei maschi. Le quantità b ij rappresentano invece le distanze dei pesi G ij dalle estremità a destra delle sezioni, dove sono localizzati i centri di rotazione al piede dei maschi, sempre nell ipotesi di collasso della parete sotto spinte agenti da sinistra a destra. Pesi G ij. Ai pesi G ij vanno aggiunti quindi i pesi ΔG ij delle quote delle pareti neutre che sono associati ai nodi (ij). maschio Tra quota 0 e quota 4,50. Calcolo G G = 39,98 t; Posizione G ξ R =, m ΔG =,00 x,00 x 4,50 x,6 + 0,75 x,00 x,00 x,6 = = 4,40 t +,40 = 6,80 t G = 39,98 t + 6,80 = 56,78 t Posizione G 39,98 x, + 6,80 x 0,50 = 96,76 tm = 56,78 x ξ' R ξ' R =,70 m ; b = 4,00,70 =,30 m Tra quota 4,50 e quota 9,00. Calcolo G G = 37,40 t; Posizione G ξ R =,0 m ΔG =,0 x 0,90 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,90 x,00 x,6 =

5 = 3,6 t +,6 t = 5,77 t G = 37,40 t + 5,77 = 53,7 t Posizione G 37,40 x,0 + 5,77 x 0,45 = 8,64 = 53,7 t x ξ' R ξ' R =,55 m ; b = 4,00,55 =,45 m Tra quota 9,00 e quota3,50. Calcolo G 3 G 3 = 34,84 t; Posizione G 3 : ξ R =,9 m ΔG 3 =,0 x 0,80 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,80 x,00 x,6 = =,67 t +,9 = 4,59 t G 3 = 34,84 t + 4,59 = 49,43 t Posizione G 3 34,84 x,9 + b 3 = 4,00,66 =,34 m Tra quota 3,50 e quota8,00. Calcolo G 4 G 4 = 3,7 t ; Posizione G 4 : ξ R =,9 m ΔG 4 =,30 x 0,70 x 4,50 x,6 + 0,75 x 0,70 x,00 x,6 = =,59 t +,68 t = 3,7 t G 4 = 3,7 t + 3,7 t = 44,99 t Posizione G 4 3,7 x,9 + 3,7 x 0,35 = 74, tm = 44,99 x ξ R ξ R =,65 m b 4 = 4,00,60 =,40 m elle tabelle che seguono si riportano i pesi G ij ed i relativi bracci b ij di sollevamento rispetto al piede del maschio. G ij 56,78 5,4 5,4 56,78 53,7 48,6 48,6 53,7 49,43 44,98 48,6 49,43 44,99 4,0 4,0 44,99 Valutazione pesi sismici G ij nei nodi b ij,30,50,50,65,45,50,50,63,34,50,50,6,40,50,50,59

6 I pesi sismici dei nodi sono proprio i pesi G ij prima valutati. Ai pesi G ij vanno infatti aggiunti i pesi ΔG ij delle quote delle masse delle pareti neutre che sono associate ai nodi (ij). Si può così procedere al calcolo dei pesi sismici di piano e dei relativi coefficienti di distribuzione γ ij. In tal modo si vanno a caratterizzare le relative spinte che competono ai nodi della parete. Calcolo pesi sismici di piano e coefficienti γ ι W = G + G + G 3 + G 4 = = 56,78 t + 5,4 t + 5,4 t + 56,78 t = 6,38 t W = G + G + G 3 + G 4 = = 53,7 t + 48,6 t + 48,6 t + 53,7 t = 0,86 t W 3 = G 3 + G 3 + G 33 + G 34 = = 49,43 t + 44,98 t + 44,98 t + 49,43 t = 88,8 t W 4 = G 4 + G 4 + G 43 + G 44 = = 44,99 t + 4,0 t + 4,0 t + 44,99 t = 7,0 t Quote z i di piano: z = 4,50 m z = 9,00 m z 3 = 3,50 m z 4 = 8,00 m 4 4 Wj = 778, 08t Wz j j = 8444, 88tm j= j= Coefficienti di distribuzione γ = 0, 4 γ = 0,83 γ 3 =, 5 γ 4 =, 66 Forze orizzontali di nodo livello solaio F = γ G = 0,4 x 56,78 = 3,85 t F = γ G = 0,4 x 5,4 =,06 t F 3 = γ G 3 = 0,4 x 5,4 =,59 t F 4 = γ G 4 = 0,4 x 56,78 = 3,85 t livello solaio F = γ G' = 0,83 x 53,7 = 44,3 t F = γ G' = 0,83 x 48,6 = 40,05 t F 3 = γ G' 3 = 0,83 x 48,6 = 40,05 t F 4 = γ G' 4 = 0,83 x 53,7 = 44,3 t 3 livello solaio F 3 = γ 3 G' 3 =, 5 x 49,43 = 6,79 t F 3 = γ 3 G' 3 =, 5 x 44,9 = 55,36 t F 33 = γ 3 G' 33 =, 5 x 44,9 = 55,36 t F 34 = γ 3 G' 34 =, 5 x 49,43 = 6,79 t 4 livello solaio F 4 = γ 4 G' 4 =,66 x 44,99 = 74,68 t

7 F 4 = γ 4 G' 4 =,66 x 4,0 = 68,09 t F 43 = γ 4 G' 43 =,66 x 4,0 = 68,09 t F 44 = γ 4 G' 44 =,66 x 44,99 = 74,68 t Una volta note tutte le forze in gioco si procede al calcolo del moltiplicatore cinematico di collasso dei singoli maschi e dell intera parete. Il calcolo è effettuato considerando dapprima le pareti dei due ordini scollegate tra loro, in modo da coinvolgere nel lavoro di sollevamento solo i pesi G ij della parete e successivamente considerando anche la collaborazione nel lavoro di sollevamento delle masse di parete neutra. Resistenze dei singoli maschi e dell intera parete muraria senza collaborazione dei tratti di parete neutra. Dalle precedenti valutazioni la resistenza dei singoli maschi viene valutata con la relazione S M i oi = R Mi Si ha allora: Maschio Lavoro di sollevamento G b + G b + G 3 b 3 + G 4 b 4 = = (39,98 x, ,40 x, ,84 x,8 + 3,7 x,8) = 66,09 tm Lavoro spinte F z + F z + F 3 z + F 4 z 4 = = (3,85 t x 4, ,3 x 9,00 + 6,79 t x 3, ,68 t x 8,00) = = 68,9 tm 66, 09 o = = 0, , 9 Maschio Lavoro di sollevamento G b + G b + G 3 b 3 + G 4 b 4 = = (34,6 x,50 + 3,49 x, ,39 x,50 + 7,75 t x,50) ==87,86 tm Lavoro spinte F z + F z + F 3 z + F 4 z 4 = = (,059 t x 4, ,05 t x 9, ,36 x 3, ,09 x 8,00) = 48, 0 tm 87, 86 o = = 0, , Maschio 3 Come il Maschio

8 87, 86 o3 = = 0, , 4 Maschio 4 Lavoro di sollevamento G 4 b 4 + G 4 b 4 + G 34 b 34 + G 44 b 44 = = (39,98 x, + 37,40 x,0 + 34,84 x,0 + 3,7 x,09) = = 30,36 tm Lavoro spinte Come il Maschio 30, 36 o4 = = 0,45 48, 4 Resistenza della parete + 66, , , , 36 = = 0, 09 (68, , ) Resistenze dei singoli maschi e dell intera parete muraria considerando la collaborazione dei tratti di parete neutra Maschio Lavoro di sollevamento G b + G b + G 3 b 3 + G 4 b 4 = = (56,78 x, ,7 x, ,43 x, ,99 x,40) = 484,5 tm Lavoro spinte F z + F z + F 3 z + F 4 z 4 = = (3,85 t x 4, ,3 x 9,00 + 6,79 t x 3, ,68 t x 8,00) = = 68,9 tm 484, 50 o = = 0,8 68,9 Maschio Lavoro di sollevamento G b + G b + G 3 b 3 + G 4b 4 = = (5,4 x, ,6 x, ,98 x,50 + 4,0 x,50) = 78,50 tm Lavoro spinte F z + F z + F 3 z + F 4 z 4 = = (,059 t x 4, ,05 t x 9, ,36 x 3, ,09 x 8,00 = = 48,0 tm 78, 5 o = = 0,5 48, 4 Maschio 3 Come il maschio

9 78, 50 o3 = = 0,5 48, 9 Maschio 4 Lavoro di sollevamento G 4 b 4 + G 4 b 4 + G 34 b 34 + G 44 b 44 = = 56,78 x, ,7 x, ,43 x,6 + 44,99 x,59 = 33,96 tm Lavoro spinte Come il maschio 33, 96 o4 = = 0,4 68, 9 Resistenza della parete complessiva con la collaborazione dei tratti di parete neutra + 484, , , , 0 = = 0,34 (68, , ) Dissipazione plastica a mezzo di piattabande metalliche (acciaio Fe 360) Su ogni vano si dispongono, opportunamente infisse, due profilati HEA 0. Caratteristiche sezione HEA0 Sezione ala: A s = cm x 0,8 = 9,6 cmq; h* = 9,8 cm + 0,8 cm = 0,6 cm Acciaio Fe360 σ sy = 400 kg/cmq M 0trave = 400 x 9,6 x 0,6 = 79 kgm ; M 0trave = 4558 kgm Se B, B 3, B 4 indicano rispettivamente le larghezze dei maschi, 3 e 4 ed L la larghezza dei vani, tutti eguali ad,50 m, la dissipazione plastica nelle piattabande risulta, con profilati HEA 0: D p = xxtrav θ ( + B /L)x4 + xxtrav θ ( + B 3 /L)x4 + xxtrav θ ( + B 4 /L)x4 = x x,79 x 4 [( + 3/,5) + ( + 3/,5) + ( + 4/,5)] θ = = x 4,558 x 4 [ ] θ = 80 x 4,558θ = 364,80θ tm essendo B = 3,0 m; B 3 = 3,0 m; B 4 = 3,0 m; L =,5 m Resistenza della parete con la dissipazione plastica delle piattabande metalliche senza la collaborazione dei tratti di parete neutra + 66, , , , , 8 = = 0,8 (68, , ) Sempre che, naturalmente, per eccesso dei momenti dovuti alla plasticizzazione delle travi piattabande, non si produca collasso anticipato secondo un meccanismo parziale.

10 Resistenze singoli maschi con la collaborazione dei tratti di parete neutra e delle piattabande metalliche = Mo tr = 4,56 tm T = M / L = X4, 56 /, 5 = 6, 08t o o Maschio G b + G b + G 3 b 3 + G 4 b 4 +4 = (56,78 X, ,7 X, ,43 X, ,99 X,40) + 4Mo = 50,7 tm R M = γ Gz= Fz= Fz+ Fz+ Fz+ Fz = i i i i i i i = (3,85 t X 4, ,3 X 9,00 + 6,79 t X 3, ,68 t X 8,00) = = 68,9 tm 50, 7 o = = 0,87 68, 9 Maschio S M = G' b + ( M + M ) + T B = i i 0i 0i 0i i i i = G b + G b + G 3 b 3 + G 4 b 4 + ( M oi + Moi) + Toi B= i i (5,4 X, ,6 X,50 +44,98 X,50 + 4,0 X,50) + X4X4,56+ 4X6,08X3,0 = 78,50 tm + 36,48 + 7,96 = 387,94 tm M = γ G z = F z = F z + F z + F z + F z = R i i i i i i i,059 t X 4, ,05 t X 9, ,36 X 3, ,09 X 8,00 = = 48,0 tm S M 387,94 o = = = 0,598 R M 48, 0 Maschio 3 Come il pilastro o3 = 0,598 Maschio 4 Lavoro di sollevamento = G 4 b 4 + G 4 b 4 + G 34 b 34 + G 44 b M = G' b + M S 4 i4 i 0i4 i i +4 B =G 4 b 4 + G 4 b 4 + G 34 b 34 + G 44 b B =

11 = 56,78X, ,7X, ,43X,6 + 44,99X,59+ 8,4 + 4X6,08X4 = 33,96 tm + 8,4+ 97,8= 447,48 tm Lavoro spinte Come il maschio 50, 7 o4 = = 0,87 68, 9 Moltiplicatore cinematico delle spinte sulla parete con il contributo dei tratti di parete neutra e delle piattabande. Si utilizza a tal fine la (66) e si ottiene + 50, , , , ,8 = = 0,69 (68, , ) ritrovando il valore precedentemente calcolato. Osservazioni sulle resistenze valutate secondo normativa Sulla base delle considerazioni svolte il moltiplicatore di collasso va moltiplicato per il coefficiente ( s m /f d ) per valutare una resistenza della parete conforme alla normativa. Per la parete muraria realizzata in blocchi squadrati e malta il su indicato fattore riduttivo risulta pari a 0,75 0,80, salvo a realizzare, mediante, ad esempio idonee cementazioni, resistenze più elevate nella muratura dei maschi, ad esempio nel primo interpiano. Va peraltro ribadito che occorrono idonee cuciture di connessione lungo la verticale nelle intersezioni tra i due ordini di pareti, in modo da garantire la necessaria resistenza a taglio per la trasmissione delle relative forze verticali. La valutazione degli sforzi nelle connessioni orizzontali Per la determinazione degli sforzi nei collegamenti orizzontali tra i vari pilastri murari si fa riferimento al sistema di equazioni di equilibrio dei vari pilastri murari prima analizzato. Si applicano tali equazioni per la parete muraria di quattro piani con quattro maschi in presenza di travi metalliche sui vani e per la quale non si ammette la partecipazione al sistema resistente delle masse neutre. Si ha allora S R T M + om M + M = 0 S R M = 0 + om + M M S R M = om3 + M M3 S R T M4 + om4 + M3 M = 0 ovvero T R + M M = M ( ) ( a) 0

12 M M = M ( ) ( b) R + 0 M M = M ( ) ( c) R M M = M ( ) T R dove i momenti ribaltanti, essendo M p R j = γ igz ij i i= risultano R M = 3,85t X 4, ,3 X 9,00+6,79t X 3, ,68t X 8,00=68,9 tm R M =,06 X 4, ,05X9, ,36 X 3, ,09 X 8,00 = 48,0 tm R M 3 =,06 X 4, ,05X9, ,36 X 3, ,09 X 8,00 = 48,0 tm R M = 3,85t X 4, ,3X 9,00+6,79t X 3, ,68t X 8,00=68,9 tm 4 I quattro moltiplicatori 0 j (j =,,3,4) delle spinte che determinano il collasso del singolo maschio murario, considerato indipendente dagli altri, sono definiti conformemente alla (66 ) e quindi come S R 0 = M / M S R 0 M / M S R S R = 03 = M 3 / M 3 04 = M 4 / M 4 ell ipotesi di partecipazione alla resistenza della parete anche dei tratti di muratura trasversali ad essa collegati e della presenza delle piattabande metalliche, dai calcoli svolti risulta 0 =0,87 0 =0, =0, =0,67 e quindi, tenendo presente che il moltiplicatore cinematico corrispondente al meccanismo globale a telaio vale + = 0,69, risulta ( + ) < 0 ( + 0 ) > 0 ( + 03 ) > 0 (e) 0 Per le incognite M, T M, M ed M, che devono risultare tutte positive, si 3 hanno quindi le condizioni T T M M < 0 M M3 > 0

13 Poiché almeno una delle incognite deve risultare pari a zero, in quanto conformemente alla (9) deve aversi M M M M T 3 = 0 dalle precedenti condizioni (e) si vede immediatamente che ognuna delle tre possibilità T M = 0 M =0 M = 0 3 dà luogo a risultati incompatibili. Alla prima corrisponde infatti la condizione M < 0, alla seconda M < 0 ed alla terza M < 0. La condizione 3 M = 0 è invece ammissibile. Tale ultimo risultato è confortato dalla considerazione che, poiché i maschi e 3 sono i più deboli, sono i primi a collassare. Col progredire delle spinte le piattabande tra i maschi e si scaricano, mentre quelle tra i maschi e 3 e tra 3 e 4 vanno in compressione: il maschio 4 partecipa così anch esso all assorbimento dell esubero di spinta che i maschi e 3 non possono più assorbire. Collassa poi anche il maschio 4 e le catene si mettono allora in tiro, in modo che l esubero di spinta che il maschio 4 non è più in grado di assorbire si vada a scaricare sul maschio. Collasserà infine anche il maschio e quindi l intera parete. Al collasso globale della parete la piattabanda tra e è scarica, mentre quelle tra e 3 e tra 3 e 4 sono cariche. Con questa possibilità deve risultare M = 0. Con tal condizione si può procedere alla determinazione effettiva delle incognite. Ponendo quindi la condizione M = 0, il sistema delle equazioni (a), (b), ( c) e (d) si particolarizza in T M = M R ( 0 + ) M = M R ( + 0 ) M = M 3 R ( ) T R + Se invece si fosse considerato, dall ultima equazione M M3 = M4 ( 04) avremmo avuto M = M 3 R4 ( ) Riesce T M = M R ( 0 + ) =M R (0,87 0,69) = 48,9 tm M = M R ( + 0 ) = M R (0,69 0,598) =,34 tm M = M 3 R ( ) = M R (X0,69 X0,598) = 44,68 tm Dall altra equazione avremmo avuto in alternativa: M = M R4 ( ) = M R4 (0,67+ 0,87 X0,69) = M R4 0,08=4,9 tm. 3 La differenza tra i due valori è dovuta a piccoli errori numerici. Tenendo conto

14 dei valori dei moltiplicatore di collasso dei singoli maschi e di quelli dell intera parete e dei relativi valori dei momenti di ribaltamento, risulta quindi M = 0 M =,34 tm M = 44,68 tm 3 T M = 48,9 tm oti i valori dei momenti degli sforzi nei tiranti e nelle architravi puntone, possiamo calcolare gli sforzi effettivi nei collegamenti. Si ha pertanto, per gli sforzi nei tiranti ai vari livelli, utilizzando la (7) ed essendo z = 4,50 m z = 9,00 m z 3 = 3,50 m z 4 = 8,00 m 4 z = 4,5 + 9,0 + 3,5 + 8,0 = 644,50 m i= i Di conseguenza gli sforzi nei tiranti di collegamento risultano T = 0,337 t T = 0,674 t T 3 =,0 t T 4 =,348 t Analogamente per gli sforzi negli architravi puntoni si ha i = 0 (i =,,3,4) = 0,559t = 0,39 t 3 = 0,4679 t 4 = 0,639 t 3 = 0,39 t 3 = 0,639t 33 = 0,9358 t 43 =,478 t Per completezza si riportano i valori precedentemente calcolati del momento limite e del corrispondente taglio limite nelle due piattabande metalliche in profilato HEA 0: M 0 = 4,56 tm ; T 0 = 6,08 t Si procede ora alla verifica dell ammissibilità dello stato di sollecitazione al collasso nei maschi della parete.

15 T 4 F 4 F 4 4 G 4 G 4 T 3 F 3 A F 3 3 G 3 G 3 T F G B F G T F G C D F G Figura 65 - Verifica ammissibilità maschio e maschio Verifica dell ammissibilità dello stato di sollecitazione (Fig. 65 e 66). Maschio Momento ribaltante rispetto al piede A posto subito sopra il livello 3(Fig. 60) Momenti positivi: quelli orari M R3 = G 4 b 4 + F 4 h + T 4 h = = 44,99 X,40 4,56 +,6 X 4,50 +,348 X4,50 = = 07,98 4, ,79 + 6,07 = 49,68 tm Carico assiale subito sopra il livello 3 Positivo se di compressione 3 =44,99 6,08 = 38,9 t Eccentricità negativa se a destra del baricentro della sezione e 3 =,7 m Momento ribaltante rispetto al piede B posto subito sopra il livello M R = G 4 b 4 G 3 b 3 + F 4 h + F 3 h + T 4 h + T 3 h = = 44,99 X,40 49,43 X,34 4,56 X +,6XX4,50 + 0,44 X4,50 + +,348 XX4,50 +,0 X4,50 = = 07,98 5,66 9, + 3, ,98 +,3 + 4,55 = 45,08 tm

16 Carico assiale subito sopra il livello Positivo se di compressione = 44,99 +49,43 6,08X = 8,6 t e = 0,548 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = G 4 b 4 G 3 b 3 G b 3 + F 4 3h + F 3 h + F h + T 4 3h + T 3 h + T h = = 44,99 X,40 49,43 X,34 53,7 X,45 3X4,56 +,6 X3X4, ,44 XX4,50 + 7,457 X4,50 +,348 X3X4,50 +,0 XX4,50 + 0,674 X4,50 = 39,37 tm Carico assiale subito sopra il livello = 44, ,43 +53,7 6,08X3 = 9,35 t; e = 0,304 m Momento ribaltante rispetto al piede D posto subito sopra il livello 0 M R0 = G 4 b 4 G 3 b 3 G b G b 4 + F 4 4h + F 3 3h + F h + F h + T 4 4h + T 3 3h + T h + T h = = 44,99 X,40 49,43 X,34 53,7 X,45 56,78 X,30 4X4,56 + +,6 X4X4,50 + 0,44 X3X4,50 + 7,457 XX4,50 + 4,03 X 4,50 + +,348 X4X4,50 +,0 X3X4,50 + 0,674 XX4,50 + 0,337 X 4,50 = = 488, ,60 = 7,9 tm Carico assiale subito sopra il livello 0 0 = 44, ,43 +53,7 + 56,78 6,08X4 = 80,05 t e 0 = 0,043 m 0 Maschio Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 3 (Fig. 7) Momenti positivi quelli orari M R3 = G 4 b 4 B 4 h + F 4 h = = 4,0 X,50 4,56 X 6,08X3,0 0,639 X4,50 +,507 X 4,50 = = 39,96 tm Carico assiale subito sopra il livello 3 3 = 4,0 t ; e 3 = 0,973 m

17 Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello (Fig. 6) M R = G 4 b 4 G 3 b 3 4 B 4 h 3 h + F 4 h + F 3 h = = 4,0 X,50 44,98 X,50 4,56 X 4 6,08X3,0X 0,639XX4,50 0,4679X4,50 ++,507 X X4,50 + 9,356 X 4,50 = 73,0 + 45,67 = 7,53 tm Carico assiale subito sopra il livello = 4,0 + 44,98 = 86,00 t ; e = 0,3 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = G 4 b 4 G 3 b 3 G b 6 3 B 4 3h 3 h h + + F 4 3h + F 3 h + F h = = 4,0 X,50 44,98 X,50 48,6 X,50 4,56 X 6 6,08X3,0X3 + 0,639X3X4,50 0,4679XX4,50 0,39X4,50 + +,507 X 3X4,50 + 9,356 XX 4,50 + 6,77 X 4,50 = = 7,8 tm Carico assiale subito sopra il livello = 4,0 + 44, ,6 = 34,600 t ; e = 0,07 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 0 M R0 = G 4 b 4 G 3 b 3 G b G b 8 4 B 4 4h 3 3h h h + F 4 4h + F 3 3h + F h + F h = = 4,0 X,50 44,98 X,50 48,6 X,50 5,4X,50 4,56 X 8 6,08X3,0X4 + 0,639X4X4,50 0,4679X3X4,50 0,39XX4,50 0,559X4,50 + +,507 X4X4,50 + 9,356 X3X 4,50 + 6,77 XX4,50 + 3,56X4,50 = = ,38 = +,38 m Carico assiale subito sopra il livello 0 0 = 4,0 + 44, ,6 + 5,4 = 85,6700 t; e 0 = + 0,0074 m 0 Maschio 3 Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 3 (Fig. 6) M R3 = G 43 b 43 B ( 43 4 ) h + F 43 h = = 4,0 X,50 4,56 X 6,08X3,0 (,478 0,639)X4,50 + +,50 X 4,50 = 9,7 + 5,75 = 39,95 tm

18 Carico assiale subito sopra il livello 3 3 = 4,0 t; e 3 = 0,974 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = G 43 b 43 G 33 b 33 4 B ( 43 4 ) h ( 33 3 ) h + F 43 h + F 33 h = M R = 4,0 X,50 44,98 X,50 4,56 X 4 6,08X3,0X (,478 0,639)XX4,50 + (0,9358 0,4679)X4,50 +,50 X X4,50 + 9,36X 4,50 = 45,8 tm Carico assiale subito sopra il livello = 4,0 + 44,98 = 86,00 t; e = 0,538m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = G 43 b 43 G 33 b 33 G 3 b B ( 43 4 )3 h ( 33 3 ) h ( 3 ) h + F 43 3h + F 33 h + F 3 h = = 4,0 X,50 44,98 X,50 48,6 X,50 4,56 X 6 6,08X3,0X3 + (,478 0,639)X3X4,50 (0,9358 0,4679)XX4,50 (0,639 0,39)X4,50 +,50 X 3X4,50 + 9,36 XX 4,50 + 6,77 X4,50 = 7, 57 tm Carico assiale subito sopra il livello = 4,0 + 44, ,6 = 34,6 t ; e = 0,049 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 0 M R0 = G 43 b 43 G 33 b 33 G 3 b 3 G 3 b B ( 43 4 )4 h ( 33 3 )3 h ( 3 ) h + ( 3 ) h + F 43 4h + F 33 3h + F 3 h + F 3 h = = 4,0 X,50 44,98 X,50 48,6 X,50 5,4X,50 4,56 X 8 6,08X3,0X4 (,478 0,639)X4X4,50 (0,9358 0,4679)X3X4,50 (0,639 0,39)XX4,50 (0,39 0,559)X4,50 + +,50 X 4X4,50 + 9,36 X3X 4,50 + 6,77 XX4,50 + 3,64X4,50 = +,67tm Carico assiale subito sopra il livello 0 0 = 4,0 + 44, ,6 + 5,4 = 85,67 t ; e 0 = + 0,0089 m 0

19 4 F F 44 T 4 G 43 G 44 3 F F 34 T 3 G 33 G 34 F F 4 T G 3 F G 4 F 4 T G 3 G 4 3 Figura 66 - Verifica ammissibilità maschio 3 e maschio 4 4 Maschio 4 Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 3 (Fig. 6) Momenti positivi quelli orari M R3 = G 44 b 44 B T 4 h + 43 h + F 44 h = = 44,99 X,59 4,56 6,08X4,0,348 X4,50+,478 X4,50 +,6 X 4,50 = 06,48 + 6,4 = 44,08 tm Carico assiale subito sopra il livello 3: positivo se di compressione 3 = 44,99 + 6,08 = 5,75 t Eccentricità positiva se a destra del baricentro della sezione e 3 = 0,863 m Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = G 44 b 44 G 34 b 34 B T 4 h T 3 h h + 33 h + F 44 h + F 34 h = = 44,99 t X,59 49,43 X,6 4,56 X 6,08XX4,0,348XX4,50,0X4,50+,478 XX4,50 + 0,9358 X4,50 +,6 XX4,50 +0,44X4,50 = = 6, = 50,05 m

20 Carico assiale subito sopra il livello : positivo se di compressione = 44, ,43 + 6,08X = 06,58 t ; e = 0,47 m. Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello M R = = G 44 b 44 G 34 b 34 G 4 b B T 4 3h T 3 h T h h + 33 h + 3 h + F 44 3h + F 34 h + F 4 h = = 44,99 t X,59 49,43 X,6 53,7 X,63 3X4,56 6,08X3X4,0 + 0,348X3X4,50,0XX4,50 0,674X4,50 + +,478 X3X4,50 + 0,9358 XX4,50 + 0,639 X4,50 + +,6 X3X4,50 +0,44XX 4,50 +7,46 X4,50 = 44,4 tm Carico assiale subito sopra il livello : positivo se di compressione = 44, ,43 +53,7 + 6,08X3 = 65,83 ; e = 0,68 m. Momento ribaltante rispetto al piede C posto subito sopra il livello 0 M R0 = = G 44 b 44 G 34 b 34 G 4 b 4 G 4 b B T 4 4h T 3 3h T h T h h h + 3 h + 3 h + F 44 4h + F 34 3h + F 4 h + F 4 h = = 44,99 t X,59 49,43 X,6 53,7 X,63 56,78 X,65 4X4,56 6,08X4X4,0 +,348X4X4,50,0X3X4,50 0,674XX4,50 0,337X4,50 + +,478 X4X4,50 + 0,9358 X3X4,50 + 0,639XX4,50 + 0,39X4,50 + +,6 X4X4,50 +0,44X3X 4,50 +7,46 XX4,50 +4,03 X4,50 = = 49, ,53 = +,6 tm Carico assiale subito sopra il livello 0: positivo se di compressione 0 = 44, , ,7 + 56,78 + 6,08X4 = 8,69 t; e 0 = + 0,0 m. 0 Le eccentricità valutate subito al di sopra dei livelli solaio sono tutte minori della semilarghezza dei maschi e quindi lo sforzo assiale è all interno delle sezioni. A maggior ragione la stessa situazione si verifica nelle sezioni subito al di sotto dei livelli solaio, per le quali c è solo un incremento di carico assiale. Alla base poi dei vari maschi la risultante delle forze di compressione passa per il piede dei maschi stessi, come deve essere, essendo localizzato al piede dei maschi l incernieramento nel meccanismo di ribaltamento considerato. Lo stato di sollecitazione presente nei maschi della parete, sotto le spinte caratterizzate dal moltiplicatore cinematico + = 0,69, è quindi compatibile. Il moltiplicatore cinematico + costituisce quindi l effettivo moltiplicatore di collasso o della parete nel proprio piano. ei riguardi del meccanismo considerato la resistenza della parete è la più piccola tra tutti i meccanismi possibili. Si riporta in Fig. 67 la distribuzione delle fasce resistenti nella parete.

21 Figura - 67 Le fasce resistenti dei maschi murari Verifica della lunghezza di infissione delle piattabande elle Figg. 68 e 69 rappresenta il momento di plasticizzazione trasmesso dal gruppo di piattabande infisse nella muratura. el caso di infissione di n. HEA 0 è allora M 0 = XM 0trave = X,8 kgm = 4,56 tm el caso di infissione di n. HEA 40 è allora M 0 = XM 0trave = X3,56kgm = 7, tm Se inoltre l ampiezza del vano si ha, con L =,50 m: nel caso di infissione di n. HEA 0: T 0 = X 4,56/,50 = 6,08 t Risulta nel caso di infissione di n. HEA 0 M 0 =4,56 tm, n = T 0 = 6,08 t = = 6,08 t M = Toa+ Mo = 6,08X0,4 + 4,56 tm = 7tm eccentricità azione sollecitante = 7/6,08 =,5 m

22 Figura 68 - La piattabanda metallica con le estremità plasticizzate nello stato di distorsione dovuto alla rotazione dei maschi M σ ο σ ο a a/ a/ Figura 69 -Stato limite della muratura nella zona di innesto della trave nel muro Resistenza Resistenza limite a compressione della muratura: si ammette σ 0m = 50 kg/cmq Sezione resistente delle travi metalliche nella muratura el caso di infissione di n. HEA 0: Lunghezza di infissione di tentativo: a = 40 cm Forza assiale resistente limite con M = 0: 0 = X500X0,X0, 4 = 48,0t Coppia resistente limite con = 0: M 0 = X500X0,X0,4 / 4 = 4,8tm Verifica Eccentricità =,5 Coppia resistente adimensionalizzata corrispondente all eccentricità =,5,5,5 m = [ ] = 0,94; M = 0,94X4,8 = 4,39tm 0, 4 0, 4 Coppia sollecitante M = 7 tm con l eccentricità Poiché M > M, la lunghezza di infissione è senz altro insufficiente. Infissione di n. HEA 0 Lunghezza di infissione: a = 0,50 m M 0 = 4,56 tm T 0 = X 4,56/,50 = 6,08 t

23 Sollecitazione M 0 =4,56 tm, T 0 = 6,08 t = = 6,08 t M = Toa+ Mo = 6,08X0,5 + 4,56 tm = 7,57 tm Eccentricità azione sollecitante = 7,57 /6,08 =,5 m Resistenza Lunghezza di infissione di tentativo: a = 50 cm Forza assiale resistente limite con M = 0: 0 = X500X0,X0,5 = 60,0t Coppia resistente limite con = 0: M 0 = X500X0,X0, 5 / 4 = 7, 5tm Eccentricità =,5 Coppia resistente adimensionalizzata corrispondente all eccentricità :, 5, 5 m = [ ] = 0,99 0,6 0,5 M = 0,99X7,5 = 7,43tm M = 7,57 tm Poiché la coppia sollecitante con l eccentricità è maggiore della coppia resistente con la stessa eccentricità, la lunghezza di infissione di 60 cm è insufficiente. Infissione di n. HEA 0 Lunghezza di infissione: a = 0,60 m M 0 = 4,56 tm T 0 = X 4,56/,50 = 6,08 t Sollecitazione M 0 =4,56 tm, T 0 = 6,08 t = = 6,08 t M = Toa+ Mo = 6,08X0,6 + 4,56 tm = 8, tm Eccentricità azione sollecitante = 7,6 /6,08 =,5 m Resistenza Lunghezza di infissione di tentativo: a = 60 cm Forza assiale resistente limite con M = 0: Coppia resistente limite con = 0: M 0 = X500X0,X0, 6 / 4 = 0, 8tm Eccentricità =,5 Coppia resistente adimensionalizzata corrispondente all eccentricità :, 5, 5 m = [ ] = 0,986 0,6 0,6 M = 0,986X0,8 = 0,65tm M=8, tm. Poiché la coppia sollecitante con l eccentricità è minore della coppia resistente con la stessa eccentricità l, la lunghezza di infissione di 60 cm è sufficiente. In conclusione si scelgono travi metalliche HEA 0 in numero di per ogni

24 vano. Osservazioni In definitiva, la resistenza della parete multipiano è pari allo 0,8 del proprio peso se non si considera né la partecipazione al sollevamento dei tratti di parete neutra e né la presenza di una coppia di piattabande HEA 0 sopra tutti i vani. Tale resistenza risulta in effetti ancora minore a causa del fattore ( σ m /σ d ) da prendere in conto, sulla base delle richieste di normativa. Assumendo per questo fattore un valore orientativo di 0,80, la resistenza della parete multipiano è pari allo 0,8X0,80 = 0,0 del peso della parete stessa. Tale resistenza non rientra nella resistenza richiesta dalla normativa per gli edifici situati in zona 3 per cui è a g g = 0,5. Ciò può essere verificato con le seguenti considerazioni. Il periodo proprio dell edificio, e quindi della parete, venga valutato, 3/4 conformemente a quanto indicato dalla normativa, come T = 0, 05H. Poiché H = 8 m, si ha T = 0,44 sec. Si ammetta ora che, ragionevolmente, il coefficiente di struttura da assumere sia q =,5. Il suolo di fondazione della parete sia inoltre il tipo A: risulta quindi S =. Per tale suolo è T C = 0,40 sec e quindi, essendo T C < T, con T C /T = 0,9, il rapporto tra la spinta sismica ed il peso G della parete deve risultare, con S o =, a g S S g o T C, = = 0,5 0, 9 = 0,0 > 0,0 q T, 5 La parete, come detto, non ha quindi la resistenza richiesta. L esecuzione di idonee cuciture di connessione nelle intersezioni murarie in grado di assicurare il sollevamento anche dei tratti di parete neutra da parte delle pareti attive, comporta un notevole incremento di resistenza. In tal caso, infatti, come si è precedentemente calcolato, la resistenza laterale della parete, con infinita resistenza a compressione della muratura, risulta infatti essere pari allo 0,69 del proprio peso. D altra parte, per tener conto della resistenza finita a compressione della muratura e quindi, considerando secondo norma, il coefficiente riduttivo ( σ m /σ d ) = 0,8, la resistenza della parete è di fatto pari allo 0,69 0,8 = 0,35 del proprio peso. In tal caso essendo 0,0 < 0,35 ela parete presenta la resistenza richiesta dalla norma. Va inoltre osservato che nell esempio considerato l altezza di interpiano della parete, assunta pari a 4,50m, è molto elevata. In situazioni più comuni, con altezze di interpiano contenute, ad esempio pari a 3,50m, le resistenze risulterebbero ovviamente più elevate. Più approfondite analisi sulla resistenza sismica della parete verranno svolte nel paragrafo successivo.

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