Esercizi riguardanti limiti di successioni

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1 Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse a segalarli presso Per comiciare richiamiamo alcui risultati teorici idispesabili per affrotare gli esercizi Teorema (del cofroto). Se e b soo due successioi di umeri reali tali che b defiitivamete, allora b. Se ioltre esiste ua terza successioe c tale che c b defiitivamete e = b = L, allora c = L. Sfrutteremo questo teorema, ad esempio, quado riusciremo a miorare il termie geerale di ua successioe di cui o coosciamo il ite co il termie geerale di ua successioe che sappiamo divergere a +. La secoda parte di questo teorema è ache ota sotto il ome di teorema dei due carabiieri. Proposizioe. Se, b e c soo successioi tali che i iti, b e c esistoo e soo fiiti, allora esistoo ache i segueti iti e (i) (ii) ( ± b ) = (b ) = ± b ; ( ) ( ) b ; (iii) se b 0, allora b = b ; (iv) se b > 0 per ogi e b > 0, allora ( b c = b ) c.

2 Attezioe, questo teorema assume come ipotesi che il ite delle successioi cosiderate esista e sia fiito. No potremo quidi applicarlo a successioi di cui o coosciamo il ite o qualora esso o fosse fiito. Esercizio. Calcolare, se esiste, il seguete ite Soluzioe. L esercizio ci chiede di calcolare il ite di ua successioe di termie geerale = Osserviamo subito che abbiamo a che fare co ua forma idetermiata del tipo +. Scegliamo quidi ua scomposizioe diversa del termie geerale, ad esempio ( = ) 3. Poiamo ora b = 3 e c = 2 / 5/ 2 + / 3, allora b = +, e per il puto (i) della proposizioe troviamo c = = 2. Noti i iti dei fattori che compogoo, vorremmo u risultato che ci possa far cocludere, mo possiamo applicare la proprietà (ii) della proposizioe, ifatti b divergedo o può ammettere ite fiito. Ci serve quidi u altro risultato per poter cotiuare el calcolo del ite assegato. Vale Proposizioe 2. Se = L 0 e b = +, allora (i) (ii) b = + ; = 0. b Soluzioe (cotiua). Questa volta abbiamo la proposizioe giusta: el ostro caso = c 2 e b +, quidi siamo elle ipotesi della proposizioe 2 e per (i) segue che = b c = +. Esercizio 2. Calcolare, se esiste, il seguete ite Soluzioe. Cosideriamo la successioe di termie geerale = (2 4 5)/( ). Osserviamo che abbiamo a che fare co ua forma idetermiata /. La prima cosa da fare per eiare l idetermiazioe quado si ha a che fare co termii geerali fratti è raccogliere il termie di grado maggiore. I questo caso il termie di grado maggiore del umeratore è 4, quello di grado maggiore el deomiatore ivece è, quidi = 4 (2 5/ 3 ) 2 5/3 = 3 (/ ) /. 2

3 Chiamati ora b = 3 e c = (2 5/ 3 )/(/ )/, abbiamo b = +, c = 2 0, allora per il puto (i) della proposizioe 2 segue = b c = +. Se il termie di grado maggiore è al umeratore del termie geerale della successioe, allora la successioe diverge. Esercizio 3. Calcolare, se esiste, il seguete ite Soluzioe. Cosideriamo la successioe di termie geerale = ( )/(3 2 5). Osserviamo che abbiamo acora a che fare co ua forma idetermiata /. I questo caso il termie di grado maggiore del umeratore è 2 e coicide co quello di grado maggiore el deomiatore, quidi ( 2 + / + 4/ 2 ) 2 + / + 4/ = 5 2 (3 5/ 2 = ) 3 5/ 2. Posto b = 2 + / + 4/ 2 e c = 3 5/ 2, co b = 2, c = 3, quidi, combiado assieme i puti (ii) e (iii) della proposizioe, segue = b = c b c = 2 3. Se il termie di grado maggiore del umeratore e quello del deomiatore coicidoo, allora la successioe coverge ad u ite fiito. Esercizio 4. Calcolare, se esiste, il seguete ite +. Soluzioe. Cosideriamo come sempre la successioe di termie geerale = +. Siamo di frote ad ua forma idetermiata + che coivolge delle radici. La prima cosa da fare i questi casi per tetare di rimuovere l idetermiazioe è razioalizzare + = Il vataggio evidete è che ora ( + ) ( + + ) ( + + ) = = 3 + +, + ( + + ).

4 e visto che, posto b = + + 0, si ha per il puto (iii) del teorema segue che b = +, = 0. Teorema 2. Se è ua successioe crescete e itata superiormete dalla costate M, allora ammette ite fiito L e L M. Aalogamete se è ua successioe decrescete e itata iferiormete dalla costate m, allora ammette ite fiito L e L m. Esercizio 5. Calcolare, se esiste, il seguete ite cos 2. Soluzioe. Per quato avete visto a lezioe, se riusciamo a dimostrare che questa successioe è mootoa crescete (decrescete) e itata superiormete (iferiormete) allora possiamo affermare che il ite esiste ed è miore o uguale alla itazioe superiore (iferiore). I questo caso, tuttavia, il coseo è ua fuzioe periodica e quidi i u certo seso oscillate, o c è quidi speraza di provare la mootoia di questa successioe. Come facciamo a capire qual è il ite di questa successioe? Ci ricordiamo che il coseo ha u iteressate proprietà di itatezza: cos. Ma allora possiamo maggiorare il umeratore co e miorarlo co, otteedo 2 cos 2 2, e visto che sia / 2 che / 2 tedoo a 0 al crescere dell idice, per il teorema segue che ache lostra successioe coverge a 0. Esercizio 6. Calcolare, se esiste, il seguete ite 7 ( ) + 2. Soluzioe. Per capire se il ite esiste proviamo che la successioe di termie geerale = 7 ( )/(+ 2 ) è mootoa e itata. Per prima cosa verifichiamo se la successioe è crescete, ci chiediamo cioè se, defiitivamete Ora quidi la codizioe da verificare diveta + >. + = 7+ ( ) ( + ) 2 = , > 7 ( )

5 Osserviamo che il deomiatore è sempre positivo, quidi rimae da verificare quado il umeratore è positivo, cioè quado 7 ( ) > 0. Come si vede facilmete questa codizioe o è mai verificata, per ogi N vale quidi la disequazioe co il verso cotrario, cioè + <, e abbiamo così dimostrato che la successioe è decrescete. A questo puto, se riusciamo a dimostrare che essa è ache itata iferiormete dalla costate m, per il teorema 2 sappiamo che ammette ite fiito L, co L m. Se però scriviamo come = = b + c, ci accorgiamo che b > 0 per ogi N, quidi possiamo cocludere che Ora perché + 2 = > c. c = , (/ + ) = e, visto che / 0 per +, l ultimo ite equivale a. / + Da quato aveste visto a lezioe, la successioe di termie geerale c / d, c, d R, al crescere di diverge a +. Nel ostro caso abbiamo c = 7, d = e il sego davati al termie geerale è egativo, segue quidi che 7 / al crescere di diverge a, abbiamo così dimostrato che >, abbiamo cioè trovato u iformazioe iutile: ogi valore è maggiore di. Questo vuol far capire allo studete che l operazioe di maggiorare o miorare ua successioe o segue u algoritmo meccaico ma dipede caso per caso e si basa i gra parte sull ituito. Come spesso succede i matematica, poi, l ituito si può affiare eseguedo molti esercizi. Cerchiamo ua stima più efficace. Osservado otiamo che, per > 0, il deomiatore è strettamete maggiore di, quidi 7 ( ) + 2 < 7 ( ). Ora, per gradi, possiamo traquillamete sostituire + co ed otteere la stima 7 ( ) 7, 5

6 ma allora = 7 =, quidi la successioe o è itata iferiormete e =. Esercizio 7 (Algoritmo di Eroe). Calcolare, se esiste, il ite della seguete successioe defiita per ricorreza + = 2 +, a 0 =. Soluzioe. Per prima cosa, per capire come fuzioa la defiizioe per ricorreza di ua successioe, proviamo a calcolare alcui valori a = 2 + = 3 2 =.5, a 2 = = = , a 3 = = = , a 4 =.... Noostate il fatto che oi iteressa sempre il comportameto defiitivo di ua successioe, e cioè cosa succede ad per > N, co N N fissato, possiamo affermare che, almeo a prima vista sembra che abbiamo a che fare co ua successioe decrescete. È proprio così? Vogliamo dimostrare che + <. Ora + = /2 + /, quidi ci chiediamo quado vale cioè 2 + <, < 2. Per dimostrare che è decrescete ci soo (almeo) due modi: Dalla precedete disequazioe ricaviamo la codizioe 2 a 2 2 < 0, che ha soluzioe a 2 < 2, cioè < 2 > 2, ifatti il deomiatore è sempre positivo. Osserviamo poi che, per come è stata defiita, la successioe cotiee sempre termii positivi, quidi possiamo itare la soluzioe a > 2. Abbiamo appea trovato che la successioe è decrescete se > 2. Se ora dimostrassimo che è sempre maggiore di 2, avremmo dimostrato che, ell itervallo dove la successioe assegata è decrescete, essa è ache itata iferiormete. Ma allora grazie al teorema 2 potremmo cocludere che essa ammette ite fiito L, L 2. 6

7 Procediamo per iduzioe. La proposizioe che vogliamo dimostrare è P () = a 2 > 2. Caso base: a 2 = 9 4 > 8 4 = 2. Passo iduttivo: suppoiamo che valga a 2 > 2 e vogliamo dimostrare che vale ache a 2 + > 2. Per prima cosotiamo che ( a a 2 + = 2 + ( a 2 = = (a2 + 2) 2 4a 2. Notiamo ora che se riuscissimo a riscrivere il termie appea trovato come 2 + ε, co ε > 0, allora avremo cocluso, ifatti seguirebbe baalmete che a 2 + > 2: a 2 + = (a2 + 2) 2 ) 2 ) 2 = (a2 + 2) 2 8a 2 + 8a 2 = (a2 + 2) 2 8a 2 + 8a2 = a a 2 = (a2 2) 2 4a > 2, + 2 abbiamo così provato che è decrescete. Passiamo ora alla dimostrazioe della itatezza iferiore. I particolare dimostriamo per iduzioe la proposizioe P () = 2. Caso base: a = Passo iduttivo: suppoiamo che l euciato sia vero per e cioè che valga 2 e dimostriamo che questo implica + 2. Per prima cosotiamo che, se 2 allora + = = +, ioltre da segue e quidi + + = Aalogamete, se partiamo dall ipotesi, segue + =

8 Sfruttado ora l altra ipotesi iduttiva 2 troviamo da cui segue =, +. Abbiamo quidi trovato che la proposizioe P () è valida per ogi. Ma allora per il teorema 2 sappiamo che la successioe ammette ite fiito L, L. Ora se = L, ache + = L, ma allora dall equazioe di ricorreza troviamo cioè L 2 = 2, che ammette soluzioi L = L 2 + L, L = 2, L 2 = 2. Ora > 0 per ogi N, quidi possiamo scartare L, trovado così = 2. Questo esercizio vuol mostrare come le successioi umeriche siao state itrodotte per il problema di approssimare certi valori, magari tramite umeri co cui ci troviamo più ostro agio. I questo caso abbiamo ua successioe di umeri razioali, cioè della forma p/q, p, q Z, che ci cosete di stimare il valore del umero reale 2. Ivito il lettore a provare ad implemetare i u liguaggio di programmazioe ad alto livello (Java, C, C++,... ) l algoritmo di Eroe per il calcolo di 2. 8

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