INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER. poi più in generale la somma dei termini da 0 ad n (che chiamerò s n )

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1 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER. Definizione di Serie Data una successione di numeri reali a k posso considerare la somma dei numeri da 0 a 5 (che chiamerò s 5 ): 5 s 5 = a k = a 0 + a + a + a 3 + a 4 + a 5 k=0 poi più in generale la somma dei termini da 0 ad n (che chiamerò s n ) n s n = a k = a 0 + a + a + a a n + a n k=0 e infine sommarli tutti: s = a k = a 0 + a + a a n + a n + a n k=0 In questo modo ho definito una nuova successione fatta dalle somme (la successione s n ) che può o meno ammettere limite. Chiamo questo limite (se esiste) somma della serie e scrivo k=0 a k. Ad esempio se prendo la successione costante a n = e ne considero la serie ottengo s n = n + e quando sommo tutti gli elementi della successione ottengo k=0 a k = +. Ma anche se sommo cose via via più piccole è possibile che prendendo la somma di tutte mi venga un valore infinito. Ad esempio si può dimostrare che se considero a n = n (per n ) e poi ne faccio la somma ottengo a n = =. Se sommo cose sufficientemente piccole però può anche venire un valore finito. Ad esempio se considero la serie geometrica di ragione, cioè prendo la successione a n = ( n, ) e ne considero la somma, ottengo: ( ) n = =. Più in generale se prendo la serie geometrica di ragione q dove q R, q <, ottengo il risultato seguente: ( ) n = + q q + q + q 3 + q 4 + q = q. Quindi anche sommando infiniti numeri posso ottenere un valore finito. Con questa formula si può spiegare uno dei paradossi di Zenone: quello di Achille e la tartaruga. Il problema è il seguente: Achille sfida una tartaruga in una gara di corsa. Devono entrambi percorrere un tragitto di diciamo 00 m, ma Achille concede un vantaggio alla tartaruga di 00m. Supponendo che Achille viaggi a 0 m/s (metri al secondo) e che la tartaruga sia un missile per la sua specie e vada a (m/s) si avrà che Achille taglia per primo il traguardo dopo un 0 secondi e la

2 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER tartaruga dopo 00 secondi. D altra parte se chiamo s = 00m il vantaggio iniziale t (= 0 secondi) il tempo impiegato da Achille per colmare questo svantaggio, avrò che la tartaruga nel tempo t avrà percorso uno spazio s = 0m. Quindi Achille è ancora indietro e impiegherà un tempo t = secondo a raggiungere il tragitto percorso dalla tartaruga. Ma nel tempo t la tartaruga sarà avanzata ancora di uno spazio s 3 = m, e quando Achille avrà percorso anche lo spazio s 3 in un tempo t 3 = 0, secondi la tartaruga nello stesso tempo sarà avanzata di uno spazio s 4 = 0, m e sarà ancora in testa e così via. Quindi Zenone conclude che la tartaruga sarà sempre in testa e taglierà per prima il traguardo. In effetti il discorso sembra funzionare e contraddire la conclusione precedente, ma il paradosso si puo spiegare: pur sommando infiniti tempi e infiniti spazi ottengo rispettivamente uno spazio e un tempo finito. Più precisamente, sommando i tempi ottengo T = t n = t + t + t = = n= ( ) n 0 = 0 0 = 00 9 = e analogamente lo spazio percorso da Achille sarà S = s n = s + s + s = = n= ( ) n 00 = 00 0 =.000 = Quindi la descrizione di Zenone è accurata, ma anche se ha suddiviso il percorso infiniti intervalli di spazio e tempo arriva a descrivere quello che avviene fino a poco più di secondi e a poco più di metri percorsi dalla tartaruga. A quel punto la distanza tra i si sarà annullata, quindi al tempo T Achille supera la tartaruga e poi in quel che resta dei 0 secondi che gli servono per arrivare al traguardo (cioè in 8 + 8/9 secondi) accumula il suo vantaggio.. Funzioni pari, dispari e periodiche Una funzione f(x) viene detta pari se vale f( x) = f(x). Poichè scambiando x con x la sua y = f(x) resta la stessa il grafico sarà simmetrico rispetto all asse y. Esempi di funzioni pari f(x) = x, f(x) = x 4, f(x) = cos(3x), f(x) = 5. Analogamente f(x) viene detta dispari se vale f( x) = f(x). Poichè scambiando x con x la sua y = f(x) cambia solo di segno il grafico sarà simmetrico rispetto all origine. Esempi di funzioni dispari f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = sin(x). E facile notare che la somma di funzioni pari è pari e la somma di funzioni dispari è dispari. Se sommo una funzione pari e una dispari non ottengo nessuna simmetria (se faccio il prodotto di funzioni pari o di funzioni dispari ottengo una funzione pari mentre se faccio il prodotto di una dispari e una pari ottengo una funzione dispari. Una funzione f(x) viene detta periodica di periodo T se si ripete sempre uguale dopo ogni T. Analiticamente deve valere f(t + T ) = f(t) per ogni t R. Sono funzioni periodiche di periodo π le funzioni f(x) = sin(x) e f(x) = cos(x), ma anche f(x) =. Inoltre si osserva che sin(x) ha periodo π e che sin(kx) ha periodo π/k. Ma una funzione che si ripete ogni π si ripete anche ogni π; quindi se f è periodica con

3 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER 3 periodo pari a π/k è anche periodica di periodo π. Inoltre sommando funzioni periodiche di periodo π ottengo ancora funzioni periodiche di periodo π. Esempio f(x) = sin(x) + cos(3x) Richiami sugli integrali e calcolo dei coefficienti di Fourier. Facciamo ora un breve richiamo sugli integrali. Data una funzione y = f(x), definita nell intervallo [a, b] considero l area delle regioni del piano che stanno tra il grafico della funzione e l asse y, vedi disegno. Considero positive le aree (A + ) che stanno al di sopra dell asse x e negative (A ) quelle che stanno al di sotto; la somma algebrica A = A + + A sarà pari ad un valore che viene detto integrale di f tra a e b: A = A + + A = b a f(x)dx Per calcolare un integrale devo fare l operazione inversa della derivazione: devo cercare una funzione F (x) che abbia f(x) come divata. Poi la calcolo agli estremi e ne faccio la differenza. Ad esempio se prendo f(x) = 3x trovo F (x) = x 3 quindi b a 3x dx = [ x 3] b a = b3 a 3 oppure se prendo f(x) = cos(x) trovo F (x) = cos(x) : 4 cos(x)dx = [ sin(x) ] 4 sin(8) sin() =. Non sempre è possibile scrivere la funzione F (x) data la funzione f(x). E pero sempre possibile calcolare le aree con un computer. Il computer procede dividendo l intervallo [a, b] di definizione della funzione in molte parti, diciamo 0 5. Poi valuta la funzione agli estremi degli intervallini. Si può quindi approssimare l area della funzione data con la somma delle aree dei trapezi come in figura. Il computer quindi valuta le aree di questi trapezi e le somma e assegna questo valore all integrale, commettendo un errore che però è sufficientemente piccolo da poter essere trascurato. (Si noti che l approssimazione diventa sempre migliore man mano che aumenta il numero di intervallini in cui suddivido [a, b].

4 4 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER A questo punto data una funzione posso definire i suoi coefficienti di Fourier. Sia f(x) una funzione periodica di periodo π, definisco i seguenti numeri reali: a 0 = π a = π f(x)dx f(x) cos(x)dx a = π e più in generale per ogni n N b = π f(x) sin(x)dx b = π e più in generale per ogni n N f(x) cos(x)dx a 3 = π a n = π f(x) cos(nx)dx f(x) sin(x)dx b 3 = π b n = π f(x) sin(nx)dx I numeri reali a n e b n vengono detti coefficienti di Fourier di f. 4. Serie di Fourier f(x) cos(3x)dx... f(x) sin(3x)dx... A questo punto posso definire la Serie di Fourier relativa alla funzione f. Data una funzione f restano assegnate le successioni dei coefficienti di Fourier: a n e b n. Ha quindi senso considerare le seguenti funzioni: S (x) = a 0 + a cos(x) + b sin(x) S (x) = a 0 + a cos(x) + b sin(x) + a cos(x) + b sin(x) S 3 (x) = a 0 + a cos(x) + b sin(x) + a cos(x) + b sin(x) + a 3 cos(3x) + b 3 sin(3x) e più in generale per ogni n S n (x) = a 0 + a cos(x) + b sin(x) a n cos(nx) + b n sin(nx) = n = a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k= Passando al limite per n + ottengo la Serie di Fourier che quindi è definita nel modo seguente (4.) S(x) = a 0 + a cos(x) + b sin(x) a n cos(nx) + b n sin(nx) +... = = a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k= Per ogni x otteniamo delle serie di numeri simili a quelle della sezione precedente. Se la funzione f di partenza è limitata, si puo provare che queste serie assumono un valore finito per ogni x, nonostante siano ottenute sommando infiniti numeri, come per la serie geometrica. Anche S(x) sarà una funzione (ottenuta sommandone infinite altre) e il suo valore cambierà al variare di x. La nuova funzione S(x) è stata costruita come somma di funzioni periodiche e quindi sarà anch essa periodica. Osserviamo inoltre che se i coefficienti b k sono tutti nulli la serie è somma di funzioni pari e quindi è pari. Analogamente se i coefficienti a k sono tutti nulli la serie è somma di funzioni dispari e quindi è dispari. Il risultato fondamentale per cui questo strumento matematico si rivela utile è il seguente. 4.. Theorem. Se la funzione f(x) è continua la serie di Fourier S(x) definita in (4. coincide con f(x), quindi f(x) = S(x). Se f è discontinua in x 0 (, π] allora S(x) = lim h 0 + f(x 0+h)+lim h 0 f(x 0 +h).

5 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER 5 Questo risultato ci permette di scrivere una qualsiasi funzione continua periodica, come somma di funzioni più semplci: seni e coseni (più una costante). Vale inoltre il seguente corollario. 4.. Corollario. Se la funzione f(x) è limitata i coefficienti a n e b n della serie di Fourier S(x) sono tali che per n +. a n 0 e b n 0 Mettendo insiemi i seguenti risultati posso dire che una qualsiasi funzione periodica f(x) può essere approssimata con una somma finita di seni e coseni, e l errore che si commette è piccolo. Ad esempio avete visto in laboratorio che ad occhio è difficile distinguere f(x) da S 50 (x), cioè una funzione dalla sua serie di Fourier in cui trascuro tutte le funzioni con n > 50. In generale in molte applicazioni bastano solo 0 coefficienti. 5. Applicazioni Un onda sonora può essere descritta come una funzione periodica f(x). Un caso particolarmente semplice si ha quando l onda in questione corrisponde ad una delle armoniche fondamentali; in altre parole f(x) = A sin(kx) o f(x) = A cos(kx) dove il numero reale A corrisponde all ampiezza e k è la frequenza. La frequenza k determina il tipo di suono che ascoltiamo: più acuto se k è grande più basso se k è piccolo. L ampiezza A determina l intensità, la forza del suono. Sommando armoniche diverse ottengo un suono più complesso ottenuto sovrapponendo i suoni di partenza. Il teorema sulle serie di Fourier ci dice che ogni onda sonora si può pensare come somma di infiniti suoni semplici (le armoniche), ognuno dei quali contribuisce con una intensità diversa, che sarà il suo coefficiente di Fourier. Il Corollario ci assicura inoltre che ogni suono può essere approssimato da un numero finito di armoniche. Quindi ad esempio l orecchio umano troverà indistinguibili o quasi il suono originale e la sua approssimazione mediante 50 armoniche. Ma già prendendo 0 armoniche se ne ha una approssimazione accettabile. Le serie di Fourier vengono utilizzate come strumento teorico per permetter la compressione e la trasmissione di informazioni. Ad esempio in un telefono la voce della persona che parla viene recepita dal ricevitore e tradotta in una funzione f(x). Tale funzione viene poi scritta come una serie di Fourier e si passa quindi da un segnale analogico ad uno digitale, cioè da un segnale continuo ad una sequenza di infinite cifre che lo rappresentano e mi permettono di ricostruirlo (i coefficienti di Fourier). Poi, dato che l orecchio umano capta solo alcune frequenze, e visto che grazie al corollario sappiamo che la maggior parte dell informazione sarà contenuta in un numero finito di armoniche, possiamo buttar via la maggior parte dei coefficienti trovati e tenerne solo 0. A questo punto queste 0 cifre vengono trasmesse all altro capo del telefono. Sarà molto meno costoso trasmettere 0 cifre piuttosto che tutta la funzione. Poi avremo molti meno problemi legati a eventuali rumori di disturbo che si possono sovrapporre alla voce, perchè vengono buttati via insieme agli infiniti coefficienti. Il ricevitore quindi prende i coefficienti e considera la somma di armoniche corrispondente. Poi un dispositivo contenente una membrana vibrante produrrà il suono corrispondente a questa somma di armoniche. Tale suono non coincide con la voce originale ma la approssima abbastanza bene. Infatti chi ascolta capisce le parole pronunciate al telefono e riconosce anche chi l identità di chi parla. In generale il meccanismo alla base delle Serie di Fourier, perfezionato in diversi modi, viene utilizzato ogni volta che devo comprimere o trasmettere le informazioni.

6 6 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER Ad esempio per creare file.pdf o.jpg a partire da immagini, o per generare un file.mp3

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