Elementi di Matematica discreta

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1 Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica DANIELA ROMAGNOLI Elementi di Matematica discreta Quaderno # 3 Gennaio 004

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3 PREFAZIONE In questo quaderno didattico è contenuta la traccia delle lezioni del laboratorio di matematica discreta per il corso di laurea in Matematica di Torino (anno accademico ). Le lezioni si propongono sia di richiamare i prerequisiti necessari che di introdurre strumenti nuovi per la presentazione di alcune tematiche del calcolo combinatorio e più in generale della matematica discreta. Filo conduttore del laboratorio è l'uso del concetto di funzione nel contare gli elementi di un insieme, il suo scopo è quello di elaborare il materiale presentato nelle lezioni, integrandolo con osservazioni ed esercizi. Per una più vasta trattazione dei temi presentati si rimanda alla bibliografia che riporta i testi consigliati ed usati dai frequentanti il laboratorio per la stesura di tesine attinenti gli argomenti presentati. INDICE Capitolo IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA E IL METODO DELLE SCELTE p. Capitolo CORRISPONDENZE E FUNZIONI. Corrispondenze tra insiemi.. p.5. Funzioni tra insiemi finiti.p.7 Capitolo 3 SUCCESSIONI E RELAZIONI RICORSIVE 3. Definizioni ed esempi.. p.9 3. Successioni aritmetiche e geometriche... p La successione di Fibonacci.p Relazioni ricorsive lineari.p.3 Capitolo 4 FUNZIONI ARITMETICHE E FUNZIONI INTERE 4. Funzioni aritmetiche moltiplicative......p La funzione di Eulero e la funzione di Moebius...p Funzioni intere..p.50.

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5 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta CAPITOLO Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte Alla base del contare vi sono l insieme N dei numeri naturali, a tutti ben noto fin dalle scuole elementari, e le sue proprietà. L insieme N dei numeri naturali viene formalmente determinato dai cinque assiomi seguenti, dovuti al matematico Giuseppe Peano ( ): i) 0 è un numero naturale ii) ad ogni numero naturale n corrisponde un altro numero naturale, unico, detto successore di n iii) due numeri naturali distinti hanno due successori distinti iv) 0 non è il successore di nessun numero naturale v) qualunque sottoinsieme A di N avente le due proprietà a) 0 A b) per tutti gli n N, n A il successore di n A deve essere l insieme N. L assioma v) viene detto principio di induzione matematica. Invece di n A si può dire "n ha la proprietà P". Con questa terminologia il principio di induzione matematica diventa l assioma seguente: v ) qualsiasi proprietà dei numeri naturali valida per 0 e valida per il successore di n ogniqualvolta valga per n vale per tutti i numeri naturali. Dagli assiomi di Peano si può dedurre formalmente tutta l aritmetica; il primo passo consiste nell' introdurre l operazione di somma di numeri naturali, in base alla quale, indicato con il successore di 0, si trova subito che il successore di n è n+, l operazione di moltiplicazione e nel dimostrarne le proprietà. Non ci inoltriamo in queste definizioni, accenniamo solo al fatto che, a partire dagli assiomi di Peano è possibile dotare N di un ordinamento totale, il consueto ordinamento secondo grandezza, definito come la relazione seguente : dati m, n N, m n x N tale che m+x = n. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

6 Capitolo Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte Si può provare che tale relazione è una relazione di ordine totale verificante la seguente proprietà : v") dato comunque un sottoinsieme non vuoto A di N, A possiede un primo elemento, cioè un elemento m tale che m a, a A. Diciamo allora che la relazione data è un buon ordinamento e che l insieme N è bene ordinato. La proprietà v" può venire assunta come quinto assioma al posto del principio di induzione matematica. In tal caso è semplice dimostrare la validità del principio di induzione : assumiamo quindi che N sia un insieme bene ordinato e dimostriamo il Principio di induzione matematica ( a forma ) Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell induzione ) ii) La verità di P(k) implica la verità di P(k + ), k 0 (n 0 ) (ipotesi induttiva) Allora P(n) è vera, n 0 (n 0 ). Dimostrazione. Sia S = {x > 0 (n 0 ) P(x) è falsa }. Supponiamo, per assurdo, che S non sia vuoto. Per l assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento, che indichiamo con m. Consideriamo ora la proposizione P(m) : poiché m S, P(m) è falsa; inoltre, poiché m è il primo elemento di S, m S (e m 0 (n 0 )), quindi la proposizione P(m-) è vera e la ii) ci dice allora che P(m) è vera. Abbiamo una contraddizione, dunque S è vuoto. In modo del tutto analogo si dimostra il Principio di induzione matematica ( a forma ). Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell induzione ) ii) La verità di P(k), 0 (n 0 ) k < m, implica la verità di P(m) (ipotesi induttiva) Allora P(n) è vera, n 0 (n 0 ). Il principio di induzione matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioni il cui enunciato dipenda da n N. Vediamone negli esempi l uso corretto. Università di Torino

7 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 3 Esempi. ) Si provi la validità della formula di Gauss : n = n (n + ). Soluzione : in questo caso P(n) è l affermazione : la somma dei primi n naturali è n (n + ).. Base dell induzione : =, quindi P() è vera Ipotesi induttiva : P(k) è vera, cioè k = Proviamo la verità di P(k + ) : k (k + ) k + (k + ) = k (k + ) + (k + ) = ( k + )(k + ) Il principio di induzione matematica ( forma) ci permette di concludere che P(n) è vera n. Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi n termini di una successione aritmetica di termine iniziale a e di ragione d a + (a + d) + (a + d) + + (a + (n-)d) = n(a + (n )d), che naturalmente può essere dimostrata indipendentemente per induzione su n. Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi n termini di una successione geometrica di termine iniziale a e ragione q : a + aq + aq + + aq n- = a aq q n. ) Come esempio di applicazione del principio di induzione matematica nella a forma, dimostriamo la nota proposizione P(n) : ogni numero naturale n > può essere fattorizzato in un prodotto di numeri primi. Base dell induzione. P() è vera : infatti è un numero primo ed è lui la sua fattorizzazione. Ipotesi induttiva : vale P(k), k < m Proviamo P(m). Abbiamo due casi : Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

8 4 Capitolo Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazione ii) m non è primo, allora m = m m, con m,m <m. Per l ipotesi induttiva m e m fattorizzano in numeri primi e così avviene quindi per m. Il metodo delle scelte Il metodo delle scelte è basato sul " principio di moltiplicazione delle scelte " : Se una scelta può essere compiuta in n modi diversi e, per ciascuno di essi,una seconda scelta può essere compiuta in m modi diversi, allora la successione delle due scelte può essere effettuata in nm modi distinti ed è motivato dalla nota Proposizione. Siano A e B due insiemi finiti di ordine n e m rispettivamente Allora A x B = A. B = nm. Il "principio di moltiplicazione delle scelte" (anche nella sua forma estesa a più di due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combinatorici. Esempi. ) Usiamo il metodo delle scelte per dimostrare la Proposizione. Sia I un insieme finito di ordine n. Allora P(I) ha n elementi. Dimostrazione. Sia I = {a,,a n }. Vogliamo contare i modi per costruire un sottoinsieme A di I. Ogni elemento di I può appartenere o non appartenere ad A, cioè abbiamo due possibilità di scelta per ogni a i, i =,,n. Vi sono quindi... = n modi per costruire A da cui la tesi. ) Contiamo le diagonali di un poligono convesso di n lati. Osserviamo che ognuno degli n vertici può essere scelto come primo punto di una diagonale, mentre dobbiamo escludere come scelta per il secondo punto il vertice in questione e i due a lui adiacenti. Abbiamo dunque n scelte per il primo punto di ogni diagonale ed n 3 scelte per il secondo punto.il prodotto delle scelte deve poi essere n(n 3) diviso per due. Dunque le diagonali di un n-gono sono. 3) Quanti numeri di sei cifre hanno almeno una cifra pari? Abbiamo dieci cifre ( 0,,,9 ) : di queste ve ne sono cinque pari ( 0,,4,6,8 ) e cinque dispari (,3,5,7,9 ). Vi sono = numeri con sei cifre (per la prima cifra devo escludere lo 0 e quindi ho 9 scelte anziché 0) e565 numeri con sei cifre tutte dispari. I numeri di sei cifre aventi almeno una cifra pari sono quindi = Università di Torino

9 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 5 CAPITOLO Corrispondenze e funzioni. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni tra insiemi finiti. Corrispondenze tra insiemi Definizione.. Si definisce corrispondenza dell insieme I nell insieme I un sottoinsieme F del prodotto cartesiano I x I. F esprime un "legame" tra gli elementi di I e gli elementi di I : precisamente dice che l elemento x di I è legato all elemento x di I se e solo se la coppia ordinata (x,x ) appartiene a F. Diciamo allora che x è una immagine di x nella corrispondenza F e che x è una controimmagine di x nella corrispondenza F. I è detto dominio della corrispondenza. I è detto codominio della corrispondenza. Esempio.. Dati I ={a,b,c} e I = {,,3} è una corrispondenza di I in I l insieme F = {(a,),(c,3), (c,)}. Definizione.. Una corrispondenza è detta : funzionale se ogni x di I ha al più una immagine ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine iniettiva se ogni elemento di I ha al più una controimmagine ( o equivalentemente se elementi distinti hanno immagini distinte ) suriettiva se ogni elemento di I ha almeno una controimmagine. La corrispondenza dell esempio.. non ha nessuna di queste proprietà. Le corrispondenze più importanti sono quelle ovunque definite e funzionali : esse sono dette funzioni e sono i sottoinsiemi F di I x I in cui ogni elemento x di I è primo elemento di una e una sola coppia. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

10 6 Capitolo Corrispondenze e funzioni Il concetto di funzione è basilare in matematica ; ne diamo un altra definizione equivalente alla precedente. Definizione..3 Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I (detto codominio ), una funzione f di I in I è una legge che associa ad ogni elemento di I uno ed un solo elemento di I. Scriveremo f : I I e per indicare che x viene mandato in x scriveremo x x oppure f(x) = x. x è detto l immagine di x ; x è detta una controimmagine di x. La legge f sopra definita, come sottoinsieme di I x I, è l insieme F = {(x,x ) x = f(x)}. F viene in tal caso detto grafo (o grafico) di f. Nel caso di funzioni reali di variabile reale l insieme F è l insieme dei punti appartenenti al grafico della funzione nel piano cartesiano. Osservazione.. In qualche caso una funzione può essere identificata con la sequenza delle immagini degli elementi del dominio : è il caso, per esempio, delle successioni ( o progressioni ), su cui torneremo nel seguito. Richiamiamo ancora la composizione di funzioni : Definizione..4 Date due funzioni f : I I e g : I I" si dice funzione composizione (o funzione composta) di f e di g la funzione g f di I in I così definita (g f )(x) = g(f(x)). In termini di grafo, indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo della loro composizione, abbiamo H = { ( x,x ) I x I x I, (x,x ) F e (x,x ) G }. E immediato verificare che la composizione di due funzioni è una operazione associativa e che la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, di due suriettive è suriettiva. Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione. Data una biiezione f, la sua funzione inversa secondo la Definizione..5 Se f : I I è una biiezione, si definisce inversa di f la funzione f - : I I che associa ad ogni x di I l unico x tale che f(x) = x Università di Torino

11 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 7 è ancora una biiezione. Sono esempi di biiezioni le permutazioni di n oggetti che tratteremo in seguito.. Funzioni tra insiemi finiti Ogni insieme finito con n elementi A = {a,,a n } è in corrispondenza biunivoca con l insieme I n = {,,, n }( suo insieme di indici ), quindi è sufficiente ragionare con tali insiemi. Enunciamo alcune proprietà di tipo combinatorico. Proposizione.. Le corrispondenze tra I n e I m sono nm. Dimostrazione. Le corrispondenze sono tante quante i sottoinsiemi del prodotto I n x I m, che sono nm. Proposizione.. Le funzioni di I n in I m sono m n. dimostrazione. Con l induzione su n. Se n=, si hanno m = m funzioni di I in I m, poiché una singola funzione è assegnata dando l immagine di. Supponiamo vera la proprietà per n e proviamola per n +. Una funzione f di I n+ in I m si ottiene dando una funzione g di I n in I m ed una immagine ad n +. Poichè le g, per l ipotesi induttiva, sono m n ne segue che vi sono m n funzioni che mandano n + in, m n funzioni che mandano n + in,, m n funzioni che mandano n + in m cioè m. m n = m n+ funzioni di I n+ in I m. dimostrazione. Con il metodo delle scelte. Dare una funzione di I n in I m significa dare f(),f(),,f(n). Per f() ho m scelte, tante quanti sono gli elementi del codominio, per f() ho ancora m scelte,, così per f(n). In totale avrò m m...m = m n scelte. Osservazione.. Diamo la traccia di un'altra dimostrazione della proposizione. I = n P(I) = n che usa quanto sopra dimostrato. Per ogni sottoinsieme A di I, sia ϕ A : I {0,} la funzione così definita : ϕ A (x) = 0, se x A ϕ A (x) =, se x A. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

12 8 Capitolo Corrispondenze e funzioni ϕ A è detta la funzione caratteristica di A. Sia f : P(I) { funzioni di I in {0,}} la funzione così definita : f(a) = ϕ A. Si prova che f è una biiezione e da questo segue che l ordine di P(I) è pari all ordine dell insieme delle funzioni di un insieme con n elementi in un insieme con elementi, che abbiamo provato essere n. Osservazione.. Una funzione di un insieme con n elementi in un insieme di m elementi può essere vista come una n-pla ordinata di elementi scelti tra m, con possibilità di ripetizioni. Per questo motivo tali funzioni sono anche dette disposizioni con ripetizione : per quanto provato sopra il numero delle disposizioni con ripetizione di m elementi a n a n è m n. Esempio.. Le funzioni di I 3 in I sono identificabili con le 8 terne (,,),(,,),(,,),(,,), (,,), (,,), (,,), (,,). La prima è la funzione costante di valore, la seconda è la funzione che manda in, in,3 in,, l ultima è la funzione costante di valore. Esempio.. Vogliamo calcolare il numero delle colonne tra loro diverse che si possono giocare al totocalcio. Come è noto, il gioco consiste nell assegnare uno dei tre simboli, x, ad ognuna delle 3 partite. Ogni colonna può essere identificata con una sequenza ordinata di elementi scelti tra,x, e quindi con una funzione di un insieme con 3 elementi (le tredici partite) in un insieme con 3 elementi (i tre simboli citati). Le colonne possibili sono quindi 3 3 = Giocando tutte queste colonne si ha la certezza del tredici (purtroppo con una spesa superiore alla vincita!!). Proposizione..3 Sia f una funzione di I n in I m. i) Se f è iniettiva, n m ii) Se f è suriettiva, n m iii) Se n = m, f è biiettiva se e soltanto se f è iniettiva o suriettiva. Tralasciamo la dimostrazione della proprietà..3, intuitiva ma non banale. Osserviamo che la proposizione contrapposta di i) (ad essa logicamente equivalente): se n > m,allora f non è iniettiva è detta principio dei cassetti (o principio delle gabbie dei piccioni ) e può venire così riformulata (chiamando oggetti gli elementi di I n e cassetti le loro immagini ) : se in m cassetti (gabbie) ho n > m oggetti (piccioni), qualche cassetto (gabbia) contiene almeno oggetti(piccioni). La proprietà iii) ci dice anche che non possono esistere biiezioni tra insiemi finiti di ordini diversi, quindi, in particolare, tra un insieme finito e un suo sottoinsieme proprio. Università di Torino

13 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 9 Al contrario, un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio : per esempio la funzione f : Z Z, f(x) = x è una corrispondenza biunivoca tra l insieme Z dei numeri interi relativi e il suo sottoinsieme proprio Z (insieme dei numeri relativi pari). Osservazione..3 Il principio dei cassetti può essere esteso, diventando il Principio generale dei cassetti ( o delle gabbie dei piccioni ) : Se ho nk + oggetti da riporre in n cassetti, qualche cassetto contiene almeno k + oggetti. Per k =, si ritrova il principio enunciato prima ( se ho n + oggetti in n cassetti, qualche cassetto ne contiene almeno ). La dimostrazione per assurdo di questa proposizione è la seguente : se ogni cassetto contenesse al più k oggetti, avremmo al più nk oggetti, contro l ipotesi. Esempio..3 Dobbiamo riporre 5 mele in 3 ceste : 5 = Usando il principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8, avremo che qualche cesta contiene almeno 8 + = 9 mele Proposizione..4 Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n. Le biiezioni tra di essi sono n!. dimostrazione. Con l induzione. Sia n = ( base dell induzione ). Se A e B hanno un elemento ciascuno l unica biiezione è quella che li fa corrispondere ( e =! ) Ipotesi induttiva : supponiamo di sapere che tra due insiemi di ordine n- vi sono (n- )! biiezioni. Sia ora A di ordine n : una biiezione di A in B (anch esso di ordine n ) si ottiene dando una biiezione su n- elementi e dando l immagine dell elemento rimasto : si hanno così (n-)! biiezioni con la stessa immagine per il primo elemento di A, (n-)! con la stessa immagine per il secondo elemento di A,, (n-)! con la stessa immagine per l n-simo elemento di A. In totale le biiezioni cercate sono n. (n-)! = n!. dimostrazione. Con il metodo delle scelte. Per individuare una biiezione, noti il dominio e il codominio, basta assegnare le n immagini degli n elementi del dominio. Ora, per l immagine del primo elemento di A abbiamo n scelte (qualunque elemento di B), per l immagine del secondo elemento di A abbiamo n- scelte ( per l iniettività ),, per l immagine dell nsimo elemento di A la scelta è unica. Si possono dunque effettuare n! scelte : ad ognuna corrisponde una diversa biiezione di A in B. Nel caso in cui i due insiemi A e B coincidano, le biiezioni di A in se stesso vengono dette permutazioni di A. Abbiamo così il Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

14 0 Capitolo Corrispondenze e funzioni Corollario.. Le permutazioni di un insieme di ordine n sono n! Per comodità di scrittura poniamo, nel seguito, A = I n ( identifichiamo in pratica gli elementi dell insieme con i loro indici ) e facciamo alcune considerazioni. Ricordiamo che è notazione standard indicare con f () f () n f (n) la biiezione f che manda in f(), in f(),, n in f(n). Così, per esempio, per n = 4, la scrittura rappresenta la biiezione che manda in 4, in, 3 in e 4 in 3. Con questa notazione diventa semplice comporre due permutazioni e trovare l inversa di una permutazione. Vediamolo su un esempio. Esempio..4 Sia n = 4 e siano f la permutazione precedente e g la seguente : g f è la permutazione che otteniamo applicando i due fattori successivamente (prima f poi g): possiamo pensare di scrivere su tre righe, omettendo poi il passaggio intermedio : da cui troviamo la composizione cercata : L inversa di una permutazione si ottiene scambiando le due righe e riordinando poi le colonne in modo che la prima riga diventi la riga 3 4. Università di Torino

15 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta Scambiando le righe di f, abbiamo : e, riordinando le colonne, abbiamo f - : Ricordando che la composizione di funzioni è un operazione associativa e non commutativa, si ha la Proposizione..5. L insieme di tutte le permutazioni di un insieme di ordine n, rispetto all operazione di composizione, è un gruppo non abeliano. Tale gruppo, che ha un importanza fondamentale all interno della teoria dei gruppi, si indica solitamente con il simbolo S n e si chiama gruppo simmetrico(totale) : abbiamo provato che esso ha ordine n!. Se scriviamo le n! permutazioni dei numeri da a n, vediamo che nella seconda riga delle tabelline abbiamo scritto gli n numeri in tutti gli ordini possibili esattamente una volta : abbiamo ordinato (allineato ) in tutti i modi possibili i nostri elementi. Possiamo dedurre che n oggetti distinti possono essere ordinati in n! modi possibili. Si dice quindi, per estensione, permutazione di n oggetti distinti un qualunque loro ordinamento o allineamento. Questi ordinamenti si ottengono uno dall altro permutando gli n oggetti e la teoria svolta ci dice che ne otteniamo in totale n! (corrispondenti alle seconde righe delle tabelline precedenti ). Si scrive anche P n = n! per indicare il numero totale delle permutazioni di n oggetti distinti. Esempio..5 Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioni di 3 palline di colore B (bianco), R (rosso), V (verde). Abbiamo due allineamenti che mettono la pallina B al primo posto, altrettanti per R e V (stiamo usando il procedimento induttivo usato nella dimostrazione della proposizione..4) B R V B V R R V B R B V V B R V R B. Esercizio.. Quanti sono gli anagrammi della parola madre? E della parola mamma? Osserviamo che si definisce alfabeto un insieme finito di simboli e, dato un certo Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

16 Capitolo Corrispondenze e funzioni alfabeto (qui si tratta dell alfabeto latino di 6 lettere), si definisce parola un qualunque allineamento dei suoi simboli. Il numero di simboli è detto lunghezza della parola. Se n è l ordine dell alfabeto, le parole di lunghezza m sono in totale n m. Non è richiesto quindi che la parola che si ottiene anagrammando madre abbia un significato nella lingua italiana, né che ne segua le regole grammaticali. Dobbiamo quindi contare in quanti modi si possono allineare le cinque lettere m,a,d,r,e. I modi sono tanti quante le permutazioni di 5 oggetti, cioè 5! = 0. Osserviamo che, in generale, gli anagrammi di una parola con n lettere distinte sono n! Nella parola mamma vi sono invece delle lettere ripetute, due a e tre m : gli 5! anagrammi saranno. Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che!3! ha due lettere ripetute ) a mamme ( che ha una sola lettera ripetuta ) e da mamme a madre (che ha tutte lettere distinte). Gli anagrammi di mamme sono la sesta parte di quelli di madre : da ogni anagramma di mamme ne ottengo 6 = 3! di madre sostituendo nelle posizioni delle tre m i 3! anagrammi della parola mdr. A loro volta gli anagrammi di mamme sono il doppio ( =!) di quelli di mamma ( ogni anagramma di mamma ci dà due anagrammi di mamme sostituendo al posto delle due a i due anagrammi di ae ). Osservazione..4 Si chiama permutazione con ripetizione di n oggetti a, a,, a n di cui a preso r volte, a preso r volte,, a n preso r n volte ogni (r + r + + r n ) upla in cui a compare r volte, a compare r volte,, a n compare r n volte. Il numero totale di questi allineamenti è (r + r +...rn)! r!r!...r n! Osserviamo che tale numero ci dà il numero delle funzioni suriettive di un insieme di ordine r + r + + r n nell insieme di ordine n {a, a,, a n } aventi la proprietà che r elementi hanno immagine a, r elementi hanno immagine a,, r n elementi hanno immagine a n. Da qui si ottiene che l'ordine dell'insieme J delle suriezioni di I m (m = r + r + +r n ) in I n è dato da (r + r +...rn)! r!r!...r n! dove la somma è fatta su tutte le n-ple di interi non negativi (r, r,,r n ) con r + r + +r n = m. Il numero (r + r +...rn)! r!r!...r n! Università di Torino

17 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 3 viene anche indicato con il simbolo r m r... rn e viene detto coefficiente multinomiale. Osserviamo che, per n =, si trovano i coefficienti binomiali : m m = r r m = r r Quindi J = r m r... rn. I coefficienti multinomiali sono legati ai numeri di Stirling di secondo tipo, indicati generalmente con il simbolo S(n,k) e definiti ricorsivamente nel modo seguente : S(n,) =, S(n,n) = S(n,k) = S(n-,k-) + ks(n-,k) ( k n-). Si prova infatti che, con le notazioni precedenti, J = r m r... rn = n!s(m,n). I numeri di Stirling si possono rappresentare mediante una tabella infinita detta triangolo di Stirling avente come riga n-esima S(n,) S(n,) S(n-,n) S(n,n). Tutti i numeri che appartengono alla prima o all'n-esima colonna valgono, mentre l'elemento dell'n-esima riga e della k-esima colonna, k n-, è dato dalla formula S(n,k) = S(n-,k-) + ks(n-,k). Indichiamo le prime 7 righe del triangolo di Stirling Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

18 4 Capitolo Corrispondenze e funzioni Osservazione..5 A partire dai numeri di Stirling si definiscono altri numeri famosi : i numeri di Bell. Definizione.. Si definisce n-esimo numero di Bell il numero n B(n) = S (n,k) k= L'n-esimo numero di Bell è quindi la somma di tutti gli elementi della riga n-esima del triangolo di Stirling. Ecco i primi 7 numeri di Bell (basta sommare i numeri delle 7 righe del triangolo riportato sopra) B() = B() = B(3) = 5 B(4) = 5 B(5) = 5 B(6) = 03 B(7) = 877. Osservazione..6 Il numero di Stirling S(n,k) è, per definizione, il numero delle partizioni di un insieme di ordine n in k blocchi. Partendo dalla definizione, non è difficile provarne la formula ricorsiva e il legame con il numero di suriezioni da un insieme di ordine n in un insieme di ordine k (cfr [3]). Quindi l'n-esimo numero di Bell B(n) dà il numero di tutte le possibili partizioni di un insieme di ordine n. Daremo la formula ricorsiva di questi numeri nel paragrafo 4.4 del quarto capitolo. Proposizione..6 Sia A un insieme di ordine k e B un insieme di ordine n. Vi sono D n,k = n(n-) (n-k+) = n! (n k)! Università di Torino

19 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 5 funzioni iniettive di A in B. dimostrazione. Per induzione su k. Base dell induzione. Sia k =. Se l insieme A ha un solo elemento, si hanno evidentemente n funzioni iniettive di A in B e D n, = n. Ipotesi induttiva. Supponiamo di sapere che se A ha k elementi vi sono D n,k funzioni iniettive di A in B. Sia ora A di ordine k+. Abbiamo aggiunto ad A un elemento : per ognuna delle funzioni iniettive già considerate ne otteniamo n-k di A in B perché k elementi di B sono già immagini di elementi di A (per l iniettività elementi distinti devono avere immagini distinte), quindi abbiamo la relazione D n,k+ = D n,k. (n-k) = n. (n-).. (n-k+)(n-k) = n! (n k )! dimostrazione. Con il metodo delle scelte. Sia A = {a,, a k }. Contiamo in quanti modi si può costruire una funzione iniettiva f : A B. Per f(a ) si hanno n scelte (f(a ) può essere uno qualunque degli elementi di B), per f(a ) si hanno n- scelte (f(a ) deve essere diversa da f(a ) per l iniettività),, per f(a k ) si hanno n-k+ scelte. Si hanno quindi n(n-) (n-k+) = n!/(n-k)! modi di costruire una funzione iniettiva di A in B e, quindi ci sono D n,k funzioni iniettive di A in B. Osservazione..7 Se A = B ( e quindi n = k) ogni funzione iniettiva di A in A è una biiezione e D n,n = n!/0! = n! = P n diventa il numero delle permutazioni di n oggetti distinti. Osservazione..8 Il numero D n,k può essere visto come il numero di modi in cui si possono allineare (ordinare,disporre) k oggetti presi in un insieme di n : possiamo pensare al dominio A come a un insieme di k caselle e far corrispondere a ciascuna di esse l oggetto che la occupa, oggetto preso dall insieme B. Così, per esempio, se B è l insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D 3, = 3!/!=6, e precisamente, sono gli allineamenti VR,RV,VN,NV,RN,NR che corrispondono alle sei funzioni iniettive di A = {a, a } in B = {V, R, N } seguenti : Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

20 6 Capitolo Corrispondenze e funzioni f(a ) = V, f(a ) = R f(a ) = R, f(a ) = V f(a ) = V, f(a ) = N f(a ) = N, f(a ) = V f(a ) = R, f(a ) = N f(a ) = N, f(a ) = R. Definizione.. Si dice disposizione ( di n oggetti a k a k ) una funzione iniettiva di un insieme di ordine k in un insieme di ordine n. Abbiamo provato che il numero totale delle disposizioni di n oggetti a k a k è D n,k = n! (n k)! Terminiamo ricordando un altro argomento importante del calcolo combinatorio, quello relativo alle combinazioni di n oggetti a k a k, e il suo legame con le disposizioni. Definizione..3 Sia A un insieme di ordine n. Si dice combinazione di n oggetti a k a k ( o di classe k ) ogni sottoinsieme di ordine k di A. Il numero delle combinazioni di n oggetti a k a k si indica con la notazione C n,k. Dato un insieme di ordine n, esso possiede C n,k sottoinsiemi con k elementi. Osservazione..9 Il numero C n,k si ottiene dal numero D n,k delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k e dal numero P k delle permutazioni di k elementi mediante le seguenti considerazioni : il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k ci dà il numero di tutte le k-ple (ordinate) di tali oggetti, mentre P k ci dà il numero degli ordinamenti degli oggetti di ciascuna di esse. Un sottoinsieme di ordine k si ottiene quindi da k! k-ple di oggetti, per cui vale la relazione : C n, k = D n,k = P k n! (n k)!k! n = k Esempio..6 Se B è l insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D 3, = 3!/!= 6,e, precisamente, sono gli allineamenti VR,RV,VN,NV,RN,NR Le combinazioni di queste tre palline a due a due sono tre : corrispondono ai tre sottoinsiemi seguenti ( che scriviamo senza parentesi e virgola ) Università di Torino

21 D.Romagnoli Elementi di Matematica discreta 7 VR,VN,RN. Usando la definizione di combinazione e l uguaglianza n Cn,k = k si dimostrano senza calcoli le proprietà dei coefficienti binomiali. n n Così la proprietà = = può essere motivata osservando che ci sono 0 n solo un sottoinsieme con 0 elementi (l insieme vuoto ) e uno con n (tutto l insieme). n n Per dimostrare che = basta osservare che quando scegliamo k elementi k n k tra n, isoliamo automaticamente i restanti n-k. La formula di Stifel n n n = + k k k k n- si ottiene osservando che, fissato un elemento tra gli n, vi sono n k sottoinsiemi n di ordine k che non lo contengono e che lo contengono ( quest ultimo k numero si calcola escludendo l elemento fissato e contando il numero dei sottoinsiemi di k- elementi che si possono formare con gli n- elementi rimasti ). Su tale formula è basato lo schema che permette di calcolare ricorsivamente i coefficienti binomiali, il triangolo di Tartaglia : n n n n = = 0 k n Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

22 8 Capitolo Corrispondenze e funzioni Sempre per il significato combinatorico dei coefficienti binomiali, nel triangolo di Tartaglia la somma dei numeri della riga n-sima ci dà l ordine dell insieme delle parti di un insieme di ordine n, n (proposizione.). Anche la formula del binomio di Newton (a+b) n = n o n a n-k b k k può essere ottenuta con considerazioni di tipo combinatorico : svolgendo i conti in (a+b) n = (a+b)(a+b) (a+b) si ottiene una somma di n+ addendi, ognuno dei quali è un prodotto di n copie di a o di b in cui se a compare n- k volte, b compare k volte. Il coefficiente di a n-k b k è dato dal numero dei fattori in cui ci sono n-k a, e quindi k b (ricordiamo che vale la n proprietà commutativa del prodotto) : questo numero è, in quanto è il numero di k modi in cui possiamo scegliere k binomi (a+b) tra gli n totali. Università di Torino

23 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 9 CAPITOLO 3 Successioni e relazioni ricorsive 3. Definizioni ed esempi 3. Definizioni ed esempi 3. Successioni aritmetiche e geometriche 3.3 La successione di Fibonacci 3.4 Relazioni ricorsive lineari Definizione 3.. Si dice successione a valori in un insieme C una funzione a avente come dominio l insieme N (o N - {0}) Si scrive : o, come è più abituale, a(0), a(),, a(n), a 0, a,, a n, Negli esempi più usati il codominio C è l'insieme R dei numeri reali. Esempi 3.. ) La successione,,, 3,, n, è il modo usuale per rappresentare la funzione f : N R, f(n) = n. f è iniettiva e non suriettiva. ) La funzione f : N R, f(n) = n individua la successione dei numeri pari 0,,4,6, Una successione a 0,a,,a n, può essere individuata anche mediante una relazione che lega a n ad alcuni suoi predecessori a 0,a,,a n- ( detta relazione ricorsiva ) e da una o più condizioni iniziali. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

24 0 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive Esempi 3.. ) La successione ) degli esempi 3.. è data ricorsivamente dalla relazione a n = a n- e dalla condizione iniziale a 0 =. La successione ) è invece individuata dalla relazione ricorsiva a n = a n- + e dalla condizione iniziale a 0 = 0. ) La relazione ricorsiva F n = F n- + F n-, n>, unitamente alle condizioni iniziali F = F = individua la nota successione,,,3,5,8,3, di Fibonacci, su cui torneremo. 3) La successione di numeri,3,7,5,3,63, ci dà le immmagini della funzione f(n) = n -, di dominio N - {0}. La stessa successione è individuata ricorsivamente dalla relazione m n = m n- + e dalla condizione iniziale m = ed è la risposta del problema della torre di Hanoi : il gioco della torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese E.Lucas nel 883 e da allora è venduto come giocattolo. Il gioco consiste in un supporto piano dotato di tre pioli A,B,C e di n dischi ( 8 nella versione " classica " in figura) di diverso diametro infilati in uno di questi pioli e aventi diametro decrescente dal basso verso l'alto. Si chiede di trasferire gli n dischi, nello stesso ordine, ad uno qualunque dei due pioli liberi secondo le seguenti regole : a) i dischi devono essere mossi uno per volta, usando uno dei due pioli liberi come "intermediario" b) un disco non può mai trovarsi su uno di diametro minore. Ci chiediamo qual è il numero minimo m n di mosse necessarie per terminare il gioco E' ovvio che nel caso di un unico disco occorra una sola mossa, cioè m =. Per capire il meccanismo ricorsivo, osserviamo che se abbiamo due dischi sul piolo A possiamo risolvere il gioco spostando il disco piccolo sul piolo B, il disco grande sul piolo C e infine il disco piccolo sul piolo C, cioè m = 3 = m +. Università di Torino

25 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta Se abbiamo n dischi, con m n- mosse muoviamo n- dischi su un piolo libero, con una mossa spostiamo il disco base sull'altro piolo, e con m n- mosse riposizioniamo su di esso la torre degli n- dischi, ottenendo così la relazione ricorsiva m n = m n- +. Per ottenere una formula esplicita per m n, procediamo per iterazione : m n = m n- + = = ( m n- + ) + = = m n- + + = = ( m n-3 + ) + + = = 3 m n =. = n- m n-(n-) + n = = n- + n = = n -. L'ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una successione geometrica (vedi l' esempio. del Capitolo ). Al gioco della torre di Hanoi è associata la leggenda seguente : nella città indiana di Benares i sacerdoti del tempio di Brahma devono spostare con le regole dette i 64 dischi d'oro della torre di Brahma. Il mondo terminerà alla fine del lavoro dei sacerdoti. Dai conti fatti occorrono m 64 = 64 - = mosse e, calcolando una mossa per microsecondo ( 0-6 secondo), oltre 5000 secoli per spostare la torre! 4) Ricordiamo che, dato un insieme I di ordine n, abbiamo indicato con B(n) il numero di tutte le sue possibili partizioni (cap. Osservazione..6 ). B(n) è detto l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I. Partendo da questa definizione dei numeri di Bell, proviamo la relazione ricorsiva che li lega. Proposizione 3.. Siano B(n-i) e B(n) l'(n-i)-esimo e l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I di ordine n. Si ha n n B(n) = B(n-i). i Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

26 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive Dimostrazione. Sia I di ordine n. Data una sua partizione P, l'elemento a di I appartiene ad uno e uno solo dei sottoinsiemi A di P. Ciò significa che ogni partizione di I è determinata univocamente dal sottoinsieme A che contiene a e da una partizione di I - A. Notiamo che l'ordine i dell'insieme A è compreso tra e n (i n 0 perché A ). A può essere scelto in modi (tanti sono infatti i i sottoinsiemi di I che contengono a ), mentre le partizioni di I - A, che ha ordine n - i sono B(n-i). Dunque, per ogni i, i n, vi sono esattamente n i B(n-i) partizioni di I nelle quali a appartiene ad un elemento A di ordine i. Ne segue che le partizioni distinte di I sono n n B(n) = i B(n-i). Calcoliamo, per esempio, B(3). B(3) = B(0) + B() + B() = = 5 (osserviamo che B(0) vale, in quanto l'insieme vuoto ha una partizione, quella avente come insieme se stesso). Osserviamo che negli esempi e 3 è possibile calcolare il termine n-simo usando soltanto il termine precedente, mentre nell'esempio il termine n-simo si calcola a partire dai due termini che lo precedono : le relazioni ricorsive del primo tipo sono dette del primo ordine, quella dell'esempio è detta del secondo ordine. Per calcolare invece B(n) (esempio 4) occorre conoscere gli n numeri di Bell B(0),B(),,B(n-).In tal caso si dice che la relazione non ha ordine finito. Osservazione 3.. Si prova che una relazione ricorsiva di ordine r è univocamente determinata da r condizioni iniziali per r valori consecutivi, oltre che dalla formula di ricorrenza.la sola relazione ricorsiva non è sufficiente a determinare l'unicità della soluzione. Infatti, per esempio, la relazione di grado due ha soluzione a n = 5a n- + 6a n- a n = C n + C 3 n, C, C. Università di Torino

27 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 3 Così sono insufficienti le sole condizioni iniziali : per esempio le condizioni sono verificate dalle due successioni a 0 = a = 0 a n = n(n-) e a n = n (n-). Ancora, sono insufficienti per l'unicità meno condizioni iniziali del grado : per esempio le ipotesi sono soddisfatte da a 0 = 0 a n = 5a n- + 6a n- e da a n = n a n = 3 n. Infine, non sono sufficienti r condizioni iniziali non consecutive : la successione ha le soluzioni a n = 4a n- a 0 = 0, a = 8 a n = n+ e a n = n + (-) n. 3. Successioni aritmetiche e geometriche Definizione 3... Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale a 0 e ragione d ( d R ) la funzione a : N R così definita : a(n) = a n = a 0 + nd. Esplicitandone le immagini, si ha : a 0, a 0 + d, a 0 + d,, a 0 + nd, Esempio 3.. La successione dei numeri pari 0,,4,6, è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione, definita dalla legge a(n) = n. Ne abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva a n = a n- + (n ), a 0 = 0. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

28 4 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive La successione aritmetica della definizione 3.. si esprime facilmente in forma ricorsiva ponendo a n = a n- + d (n ) e assegnando a 0 come termine iniziale. Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (dimostrata negli esempi. del capitolo ) : n 0 a = na 0 + i n(n ) d Definizione 3.. Si dice successione (o progressione) geometrica di termine iniziale a 0 e ragione q ( q R ) la funzione a : N R così definita : Esplicitandone le immagini, si ha : a(n) = a n = a 0 q n. a 0, a 0 q, a 0 q,, a 0 q n, Esempio 3.. La successione delle potenze di :,,4,8,6, è la successione geometrica di termine iniziale e ragione, definita dalla legge a(n) = n. Ne abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva a n = a n- (n ), a 0 =. La successione geometrica della definizione 3.. si esprime facilmente in forma ricorsiva ponendo a n = a n- q, (n ) e assegnando a 0 come termine iniziale. La formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (vedi gli esempi. del capitolo ) è : n 0 a = a 0. i n q q. Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di tipo economico,biologico,medico. Esempi 3..3 ) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni, sapendone il valore iniziale s 0 e supponendone un aumento annuale pari al % di s 0. Università di Torino

29 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 5 Procedendo ricorsivamente, abbiamo s(0) = s 0 s() = s 0 + s0 00 s(n) = s 0 + n s0. 00 Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s 0 e ragione s0 00 ) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo. Alcune sostanze decadono nel tempo, trasformandosi in altre sostanze ; si dice tempo di dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi. Assumendo come unità di misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti inizialmente si ha : Q(0) = Q Q() = Q Q() = Q Q(n) = n Q Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione. 3.3 La successione di Fibonacci La relazione ricorsiva F n = F n- + F n-, n 3, unitamente alle condizioni iniziali F = F = individua la nota successione di Fibonacci : Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

30 6 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive,,,3,5,8,3, Si tratta del primo esempio conosciuto di relazione ricorsiva : i primi dodici termini di essa si trovano nel Liber Abbaci (0) di Leonardo Pisano detto Fibonacci (70-50) come risposta al seguente problema : quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur. Si suppone che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di piccoli e che questi si riproducano, generando anch'essi una coppia di conigli, a partire dal secondo mese di vita. Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno nel mese n? Indichiamo questo numero con F(n) o F n. Dunque, per le ipotesi fatte F() = ( inizialmente abbiamo una coppia non adulta) F() = (dopo un mese abbiamo ancora una sola coppia) F(3) = + = F() + F() (nel 3 mese abbiamo la coppia di partenza, che è diventata adulta, e la coppia di coniglietti da essa generata) F(4) = + = F(3) + F() (si hanno coppie, quella iniziale e la loro progenie mensile più la coppia del mese precedente diventata adulta)... F(n) = F(n-) + F(n-) ( nel mese n-simo, n >, vi sono tutte le coppie del mese precedente, cioè F(n-), più le coppie dei piccoli, che sono esattamente tante quante erano le coppie due mesi prima,cioè F(n-)). I numeri di Fibonacci sono i valori della successione descritta : i primi dodici sono,,,3,5,8,3,,34,55,89,44,. Si pone generalmente F 0 = 0, affinchè la relazione ricorsiva F n = F n- + F n- sia valida anche per n =. Nel disegno che segue è illustrata la situazione fino al quinto mese : Università di Torino

31 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 7 I numeri di Fibonacci si ritrovano in molte situazioni e compaiono spesso in natura. Per esempio in molte piante il numero di rami in cui il fusto si ramifica segue uno schema del tipo seguente Così i numeri delle spirali dei semi del girasole, dei petali della margherita, delle foglie del cavolfiore, delle scaglie dell'ananas sono spesso numeri di Fibonacci. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

32 8 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive La letteratura matematica sulle proprietà dei numeri di Fibonacci è molto vasta. Ci limitiamo ad indicarne alcune proprietà e a darne la formula generale, che ricaveremo nel prossimo paragrafo. Proposizione 3.3. Per ogni n, vale l'identità (di Cassini) F n+ F n- - F n = (-) n Dimostrazione. Per induzione su n. Per n =, si ha F F 0 - F = -. Supponiamo che F n+ F n- - F n = (-) n e proviamo che F n+ F n - F = n+ (-)n+ (*). Da F n+ = F n + F n-, ricaviamo F n- = F n+ - F n e, sostituendo in F n+ F n- - F n = (-) n, troviamo F n+ ( F n+ - F n ) - F n = (-) n, cioè F - F n+ n+f n - F n = (-) n = = F - F n+ n (F n+ + F n ) = F - F n+ n F n+, che è la (*) cambiata di segno. Sempre usando l'induzione si possono dimostrare le seguenti formule : i) F + F + F F n = F n+ - ii) F + F 3 + F F n- = F n iii) F + F 4 + F F n = F n+ -. iv) n k F n = (cioè, disponendo i coefficienti binomiali del triangolo di k 0 k Tartaglia nel modo seguente n n 0 n n n 3 n 4 n si ottengono i numeri di Fibonacci sommando "in diagonale" ). Proviamo una interessante proprietà combinatorica dei numeri di Fibonacci, che da taluni autori viene data come definizione (cfr [ 4 ]). Università di Torino

33 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 9 Proposizione 3.3. Sia I n = {,,3,,n} N. Il numero dei sottoinsiemi di I n che non contengono due suoi numeri consecutivi è dato da F n+. Dimostrazione. Identifichiamo un sottoinsieme A di I n con una stringa di lunghezza n formata con le due cifre e 0. La cifra indica l'appartenenza di un elemento di I n ad A, la cifra 0 la non appartenenza. Per esempio, per n = 4, la stringa 00 indica il sottoinsieme {,3} dell' insieme I 4 = {,,3,4}. I sottoinsiemi di I n che non contengono due suoi numeri consecutivi sono dati dalle stringhe che non hanno mai due cifre consecutive. Consideriamo tra questi quelli di ordine k : la stringa che li rappresenta contiene k volte la cifra. Per contarli tutti, partiamo da n-k cifre tutte uguali a n k e contiamo in quanti modi possiamo inserire k cifre in modo che due di esse non siano mai adiacenti. Essendo i posti vuoti disponibili n - k +, le k cifre si possono inserire in modi. Quindi i sottoinsiemi cercati sono n k + C n-k+,k = k k 0 n k +. k n k Per la proprietà iv), F n =, il numero cercato è proprio l'(n+)-simo k 0 k numero di Fibonacci. La formula generale, che ci permette di determinare il termine n-simo di una successione in funzione di n, è, nel caso della successione di Fibonacci (vedi paragrafo 3.4), F n = n 5 n Ricordiamo che il numero con la lettera Φ. + 5 è dettorapporto aureo(o sezione aurea) e indicato Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

34 30 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive Il numero Φ è un numero molto famoso e molto usato in architettura (prende il nome dalla lettera iniziale dello scultore greco Fidia), pittura, anatomia e botanica. Fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare ( o come rapporto tra il lato del pentagono stellato o pentagramma,simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici ) : Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che a a + b =. b a a + Risolvendo la proporzione, si hanno le due radici = Φ = b 5 e b a = - Φ = 5. Nella figura che segue riportiamo la costruzione geometrica del rapporto aureo : Si costruisca un quadrato il cui lato AB ha lunghezza a e punto medio M. La 5 a circonferenza disegnata,di centro M e raggio, interseca la retta AB nel punto C. a a + b Il segmento BC ha lunghezza b e = Φ =. b a Anche le diagonali del pentagono di lato a + b si intersecano in segmenti che danno luogo alla sezione aurea e generano un pentagono regolare di lato b e diagonali di lunghezza a (ancora il rapporto aureo) e così all'infinito : Università di Torino

35 D.Romagnoli Elementi di matematica discreta 3 Dalla forma generale dei numeri di Fibonacci, osservando che quando n è grande F n n Φ 5 si avvicina molto a perché - = < e quindi ( - = 5 Φ Φ 5 ) n Fn diventa esponenzialmente piccolo, si ha che il rapporto ha come Fn limite (per n ) proprio il numero Φ. 3.4 Relazioni ricorsive lineari Abbiamo visto nel paragrafo 3. che una successione di termine generale a n può essere individuata anche mediante una relazione ricorsiva che lega a n ad alcuni suoi predecessori a 0,a,,a n- e da una o più condizioni iniziali. Definizione 3.4. Una relazione ricorsiva si dice lineare se esistono funzioni b i (n) ( i = 0,,, n- ) e c(n) tali che a n = b n- (n)a n- + b n- (n)a n- + + b 0 (n)a 0 + c(n). Osservazione 3.4. L'aggettivo lineare (di primo grado) si riferisce agli elementi a i della successione e non ai loro coefficienti. Definizione 3.4. Una relazione ricorsiva lineare a n = b n- (n)a n- + b n- (n)a n- + + b 0 (n)a 0 + c(n) si dice omogenea se c(n) = 0. Definizione Una relazione ricorsiva lineare a n = b n- (n)a n- + b n- (n)a n- + + b 0 (n)a 0 + c(n) si dice a coefficienti costanti se tutti i coefficienti b i (n) ( i = 0,,,n-) sono costanti. Esempio 3.4. ) La relazione ricorsiva a n = a n- è lineare, del primo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

36 3 Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive ) La relazione ricorsiva a n = a n- + è lineare, del primo ordine, non omogenea e a coefficienti costanti. 3) La relazione ricorsiva F n = F n- + F n- è lineare, del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. 4) La relazione ricorsiva a n = a n + non è lineare, è del primo ordine, non è omogenea ed è a coefficienti costanti. 5) Un importante esempio di relazione ricorsiva non lineare è quella che definisce i numeri di Catalan. Questi numeri, indicati con la notazione C(i) (o C i ), furono introdotti dallo stesso Catalan nel 838, per risolvere il seguente problema (già affrontato da Eulero): in quanti modi diversi si può suddividere in triangoli un poligono convesso di n + lati tracciandone diagonali che non si intersecano? In figura abbiamo le 5 triangolazioni diverse di un pentagono convesso.il quesito posto è equivalente al "problema delle parentesi di Catalan" : in quanti modi è possibile eseguire un'operazione non associativa su n fattori a i di un insieme A? Osserviamo che in presenza di un'operazione non associativa non possiamo scrivere il prodotto a a a n, ma dobbiamo inserire le parentesi. In quanti modi possiamo farlo? Per esempio, se moltiplichiamo tre elementi abbiamo le due possibilità (e quindi al massimo due risultati ) seguenti : (a a )a 3 e a (a a 3 ), se ne moltiplichiamo quattro i possibili prodotti sono i seguenti cinque : (a a )(a 3 a 4 ), (a (a a 3 )a 4 ), ( (a a )a 3 )a 4, a ((a a 3 )a 4 ), a (a (a 3 a 4 ) ). Sempre in figura è rappresentata la corrispondenza tra questi due problemi per n = 4. (a a )(a 3 a 4 ) ((a a )a 3 )a 4 (a (a a 3 ))a 4 a ((a a 3 )a 4 ) a (a (a 3 a 4 )) a 3 a a 4 a Dunque C 3 =, C 4 = 5 e ovviamente C = C =. Per calcolare l'n-simo numero di Catalan, cioè il numero di modi in cui è possibile scrivere il prodotto non associativo a a a n, osserviamo che esso si scrive in modo unico nella forma pp', dove p è uno dei possibili prodotti a a a i e q è uno dei possibili prodotti a i+ a i+ a n ( pp' = (a a a i )( a i+ a i+ a n ), i n- ). Per ogni i, esistono C i differenti p e C n-i differenti p', quindi C i C n-i differenti prodotti pp'. Abbiamo dunque trovato la relazione ricorsiva non lineare seguente : Università di Torino

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