Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

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1 Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti funzioni, e stabilire se tali domini sono insiemi aperti o chiusi. f(, y) = 2 y D = {(, y) R 2 y 2}, D è insieme chiuso (il complementare è aperto). f(, y) = ln( 4 + y y 2 ) D = {(, y) R 2 ± y }, D è insieme aperto. f(, y) = y D = {(, y) R 2 > 0} {(, y) R 2 = 0 e y > 0}, D non è nè aperto nè chiuso: (0, 0) D c ma è di frontiera per D. sempre, e il denomina- f(, y) = arcsin 2 + (y ) 2 D = {R 2 (0, )}. Infatti 2 + (y ) 2 tore si annulla solo in (0,). f(, y) = arctan + y y D = {(, y) R 2 y }, La curva dei punti esclusi è una iperbole equilatera. D è insieme aperto. f(, y) = ( y 2 )( 2 y) D = {(, y) R 2 ( y 2 )( 2 y) 0}, D è insieme chiuso (il complementare è aperto). Per disegnare D si tracci le curve della frontiera di D, y = 2 e = y 2, si osservi che ogni attraversamento di tali curve implica un cambio di segno del prodotto ( y 2 )( 2 y), quindi si valuti il prodotto in un punto, per es. (0,), e si deduca l insieme D.

2 f(, y) = y y2 2 D = {(, y) R 2 y <, y > }, D è insieme aperto. f(, y) = tan 2 y 2 D = (, y) R2 y π 2 + kπ, k Z. I punti esclusi formano y 0 un fascio di parabole (disegnarne qualcuna), unione l asse delle ascisse. D è insieme aperto. * Disegnare la curva di livello c = delle seguenti funzioni, e studiare come variano al crescere di c, e per c tendente a zero, immaginando l andamento della funzione. f(, y) = + y (piano) D = R 2. + y = c fascio di rette parallele di coefficiente angolare. f(, y) = y 2 D = (, y) R2 y 2 = {(0, y), y > 0} {(, y), 0 < y } y 0 2 D non è nè aperto, nè chiuso(disegnare). Le curve di livello c si hanno solo per valori c 0. Le curve hanno equazione y = c y f(, y) = 2 + y 2 D = {R 2 (0, 0)}. Per c = 0 la curva di livello è l asse delle ascisse y = 0. Se c 0 l equazione della curva è y = c( 2 + y 2 ) : al variare di c è un fascio di circonferenze di centro (0, ) e passanti per (0,0). 2c f(, y) = y + 2 D = {y 2 } cioè i punti che stanno sopra alla parabola di equazione y = 2. D è chiuso (il complementare è aperto). Le curve di livello hanno equazione y = 2 + c 2, per c 0: al variare di c formano un fascio di parabole di asse = 0, ciascuna è una traslazione verticale della y = 2. 2

3 LIMITI N.B. Per funzioni di più variabili, i modi con cui un punto si avvicina ad a sono infiniti: per provare che L (o +, o - ) è il ite, occorre liberarsi dal modo di avvicinamento. A tal fine nelle forme di indecisione può essere opportuno usare delle maggiorazioni, per esempio in R y 2, y 2 + y 2 2, 2 + y 2 o anche è noto che sin t t, e per t > t 0 (opportuno) si hanno le maggiorazioni t 2 2 t, log t α t β, t e t, eccetera. Può essere utile passare in coordinate polari: in R 2 sono così espresse: se = (, y) e a = (a, b), allora { = a + ρ cos θ y = b + ρ sin θ ρ = a = ( a) 2 + (y b) 2, cos θ = a ρ, sin θ = y b ρ e sapere che e per ogni θ [0, 2π) : cos 2 θ + sin 2 θ =, cos θ sin θ 2 y (si applichi 2 + y 2 2 opportunamente), (cos θ)2n + (sin θ) 2n m > 0 (si applich il teorema di Weierstrass opportunamente). (,y) (2,2) y = Svolgendo la disequazione y < ε, 0 < ε <, per > 0 (poichè 2) si ottiene + ε < y <, quindi la definizione è soddisfatta ε con δ la distanza del punto (2, 2) dalla retta y + ε = 0. ( 2 cos y y 2 sin ) = 0 (,y) (0,0) 3

4 Si ha f(, y) y 2 ; quindi f(, y) < ε se 2 + y 2 < ε, cioè la definizione è soddisfatta con δ = ε. (,y) (0,0) 2 + y 2 = + Si ha f(, y) > M 2 + y 2 <, e la definizione è soddisfatta con M δ = M. (,y) 2 + y = 0 2 Dobbiamo verificare che ε > 0 K > 0 tale che se (, y) > K allora f(, y) < ε; si ha 2 + y 2 quindi f(, y) 2 + y 2, e la definizione è soddisfatta con K = ε. * Calcolare il ite λ, se esiste. (,y) (2, ) (y + 2 ) λ = = 2 (essendo funzione continua) ( 2 + y 2 ) sin( + y ) f(, y) 2 + y 2 0 λ = y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, 0) = : se esiste il ite, è unico. y y 4 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(y 2, y) = 2 /2 4

5 2 2 + y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, ) = /2 /2. 2 y y 2 2 y y 2 y 0 λ = 0 (teorema del confronto). 3 (,y) (,0) ( )y ( ) 2 + y f(, y) 0 λ = 0 sin( y) + cos( + y) f è continua in un intorno di (0,0) λ = f(0, 0) =. 2 2 y 2 y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, + 2 ) = y y 2 y y 2 y 0 λ = 0,y + e (2 +y 2) passando in coordinate polari vediamo il ite ρ + f(ρ cos θ, ρ sin θ) f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ cos θe ρ2 ρe ρ 2 0 se ρ +. λ = 0. 5 y 3 ( 2 + y 2 ) 3 occorre passare in coordinate polari. = ρ cos θ, y = ρ sin θ, per ρ 0, uniformemente rispetto a θ [0, 2π] Poichè cos θ, e sin θ, allora: 0 f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 8 cos 5 θ sin 3 θ ρ 6 = ρ 2 cos 5 θ sin 3 θ ρ 2 0 λ = 0 5

6 y 3 ( 2 + y 2 ) 3 poichè f(0, y) = 0 0, ma f(, ) = 4 8 = +, allora il ite 6 82 non esiste. (,y) ( 2 + y 2 e 2 e y2 ) Si ha che per > 0, y > y 0, e 2 > 2 2, e y2 > 2y 2. Quindi f(, y) < 2 + y y 2 = 2 y 2 λ = 3 y 3 Determinare g() in modo che f sia continua: f(, y) = y, se y g(), se = y g() = 3 2 6

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