IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)"

Transcript

1 IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori Lavoro e campi conservativi Lavoro e campi irrotazionali: il Teorema del rotore 3. Il flusso di un campo di vettori e il Teorema della divergenza 4 4. Esercizi 7. Campi di vettori e operatori Indichiamo con P =, e P =,, z i punti di R 2 e di R 3 rispettivamente, e ricordiamo che ogni spazio tangente T P R 2 con P =, R 2 ha come base i vettori {e, e 2 }. e =, e 2 = e ogni spazio tangente T P R 3 con P =,, z R 3 ha come base i vettori {e, e 2, e 3 }.2 e =, e 2 =, e 3 = Definizione. Campo di vettori. Un campo di vettori in R 3 è una funzione F che associa a ogni punto P R 3 un elemento dello spazio tangente T P R 3, che si scrive come F,, z R 3,, z F,, z = F 2,, z T,,z R 3 F 3,, z per funzioni F i : R 3 R continue. Il dominio naturale di un campo vettoriale F è l intersezione dei domini naturali delle funzioni F i. In maniera analoga si definiscono i campi di vettori in R 2. Un campo di vettori si dice differenziabile se tutte le funzioni F i sono differenziabili. L insieme dei campi di vettori su R 3, che indichiamo con X R 3, si comporta come uno spazio vettoriale, ma rispetto alla moltiplicazione per una funzione continua. Dati due campi F e G con funzioni {F i } e {G i }, si ottiene F + G = F + G F 2 + G 2 F 3 + G 3

2 f,, zf,, z f,, z F = f,, zf 2,, z f,, zf 3,, z per ogni funzione continua f : R 3 R. Usando la nozione di campi di vettori, si possono definire alcuni operatori differenziali utili nelle applicazioni. Poniamo := allora data una funzione f,, z : R 3 R differenziabile e un campo di vettori F X R 3 differenziabile, definiamo.3 gradiente di f := f,, z =.4 rotore di F := F,, z = f f f F 3 F 2 F F 3 F 2 F X R3 X R3.5 divergenza di F := F,, z = F + F 2 + F 3 C R 3 Le definizioni sono analoghe nel caso di una funzione f : R 2 R o di un campo di vettori F X R 2, con una differenza solo per quanto riguarda il rotore. Valgono le seguenti formule gradiente di f := f, = f f X R 2 rotore di F := F, = F 2 F C R 2 divergenza di F := F, = F + F 2 C R 2 Teorema.2. Per ogni funzione f e per ogni campo di vettori F differenziabili due volte valgono le relazioni: i div rot F = ; ii rot grad f = ; iii divgradf = 2 f f f 2. Definizione.3 Campo di vettori irrotazionale. Siano Ω R 3 un aperto connesso e F X Ω differenziabile. Il campo di vettori F si dice irrotazionale se rotf,, z = F,, z = per ogni,, z Ω. 2

3 Definizione.4 Campo di vettori conservativo. Siano Ω R 3 un aperto connesso e F X Ω. Il campo di vettori F si dice conservativo se esiste una funzione f : Ω R di classe C Ω tale che F,, z = f,, z per ogni,, z Ω. In tal caso la funzione f si dice potenziale o primitiva di F. Corollario.5. Un campo di vettori differenziabile e conservativo è irrotazionale. Proof. Se f allora, applicando la ii del Teorema.2, si ha f =. Viceversa esistono campi di vettori irrotazionali che non sono conservativi. Esempio.6. Un esempio di campo conservativo è 2 2+z 2 definito sull aperto connesso Ω = {,, z : > } o su Ω = {,, z : < }. Si verifica infatti che la funzione f,, z = 2 + z è definita su Ω e f = 2 2+z 2 = F Esempio.7. Un esempio di campo di vettori irrotazionale e non conservativo su R 2 è dato da.6 F, = 2 + 2,, che ha come dominio Ω = R 2 \ {, }. La verifica che questo campo sia irrotazionale è immediata, infatti F 2, = = e quindi F, = = rotf, = F, = F 2, F, = per ogni, Ω. Che questo campo non sia conservativo, quindi non esista un suo potenziale, lo verificheremo più avanti, usando una caratterizzazione dei campi conservativi che utilizza il concetto di lavoro. Osserviamo comunque che se consideriamo la funzione f, = arctan allora vale F, = f, e F 2, = f,, ma la funzione f è ben definita solo su Ω = R 2 \ { = } Ω, e quindi l uguaglianza f non vale su tutto Ω ma solo su Ω. 3

4 Esempio.8. Studiamo il campo di vettori su R che ha come dominio R 3. Il suo rotore è F,, z = 2 + z z 2 2z 2 2 quindi F non è irrotazionale, e per il Corollario.5, non è conservativo. I Abbiamo fin qui ricavato le seguenti implicazioni per i campi di vettori differenziabili: e la condizione F CONSERVATIVO = F IRROTAZIONALE F NON IRROTAZIONALE = F NON CONSERVATIVO Abbiamo anche visto che l implicazione inversa di I non vale in generale, ma vediamo ora che diventa vera sotto un ipotesi aggiuntiva per il dominio di F. Definizione.9 Insieme semplicemente connesso. Un insieme Ω R 3 si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta in Ω può essere deformata con continuità fino a diventare un punto. Esempi di insiemi semplicemente connessi sono la parte interna delle sfere e degli ellissoidi, i semipiani e i semi-spazi, mentre insiemi non semplicemente connessi sono per esempio le corone circolari e sferiche. Non è semplicemente connesso il piano R 2 meno un punto, mentre è semplicemente connesso lo spazio R 3 meno un punto. Per rendere non semplicemente connesso lo spazio R 3 bisogna togliere una retta. Teorema. Lemma di Poincaré. Se F è un campo di vettori irrotazionale con dominio semplicemente connesso allora F è conservativo. II Troviamo quindi la condizione F IRROTAZIONALE e con DOMINIO SEMPL. CONNESSO = F CONSERVATIVO Esempio.. Nell Esempio.6 abbiamo fatto vedere che il campo 2 2+z 2 è conservativo trovando esplicitamente un suo potenziale. Tuttavia a volte può essere difficile trovare esplicitamente il potenziale di un campo, ma la condizione II basta per determinare che un potenziale esiste. Nel nostro caso possiamo applicare II, infatti =

5 e il dominio Ω = {,, z : > } è un semi-spazio di R 3 che è semplicemente connesso. Lo studio del lavoro di un campo di vettori lungo una curva ci fornirà una condizione per verificare se un campo irrotazionale è conservativo anche nel caso di campi di vettori con dominio non semplicemente connesso. 2. Il lavoro di un campo di vettori Diamo le definizioni per campi di vettori definiti in sottoinsiemi di R 3. Per campi di vettori con dominio in R 2 le definizioni sono analoghe. Definizione 2. Lavoro di un campo di vettori. Sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C e F un campo di vettori definito su un insieme Ω che contiene il sostegno di γ, γ[a, b] Ω. Si definisce lavoro di F lungo γ, LF, γ, l integrale b LF, γ := < F, ˆt > ds = < Fγt, γ t > dt = γ dove ˆt è il versore tangente alla curva orientato nel verso di percorrenza e γ t è il vettore velocità della curva. Osserviamo che la funzione da integrare è ben definita essendo il prodotto scalare tra due vettori nello spazio tangente T P R 3 con P = γt. Esempio 2.2. Sia F il campo di vettori definito nell Esempio.7 con dominio Ω = R 2 \ {, }, e sia γt = R cos t, R sin t con t [, 2π], la circonferenza di raggio R e centro,. Vale γ[, 2π] Ω e calcoliamo R sin t γ t = R cos t Allora 2π R sin t R cos t 2π LF, γ = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 R sin t + t R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 R cos t dt = dt = 2π t Teorema 2.3. Sia F un campo di vettori definito su un insieme Ω e siano γ e γ due curve di classe C, equivalenti e con sostegno contenuto in Ω. Allora se γ e γ hanno lo stesso verso di percorrenza si ha LF, γ = LF, γ, se invece γ e γ hanno verso di percorrenza opposto si ha LF, γ = LF, γ. Esempio 2.4. Consideriamo il campo di vettori con dominio Ω = R 3, e la curva Abbiamo a z γt = cos t, 2 sin t, t t [, 2π] γ t = 5 sin t 2 cos t

6 quindi Consideriamo adesso la curva LF, γ = 2π 4 sin t cos 2 t + t dt = 2π 2 γ t = cos t, 2 sin t, 2π t t [, 2π] Questa curva è equivalente alla precedente ma è orientata in senso opposto. Calcoliamo 2π LF, γ = 4 sin t cos 2 t 2π + t d t = 4π 2 + 2π 2 = 2π 2 Definizione 2.5. Sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C a tratti, ossia γ sia l unione di un numero finito di curve γ, γ 2,..., γ k di classe C, e sia F un campo di vettori definito su un insieme Ω che contiene il sostegno di γ, γ[a, b] Ω. Allora k LF, γ = LF, γ i i= 2.. Lavoro e campi conservativi. Il calcolo del lavoro per un campo di vettori è più semplice nel caso in cui il campo sia conservativo. Vale infatti il seguente risultato. Teorema 2.6. Sia F un campo di vettori definito su un aperto connesso Ω di R 3. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: i F è conservativo; ii per ogni coppia di curve γ e γ di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali, si ha LF, γ = LF, γ iii per ogni curva chiusa γ di classe C a tratti e con sostegno contenuto in Ω, si ha LF, γ = Proof. i ii e iii. Sia γ : [a, b] R 3 una curva chiusa di classe C e poniamo f per una funzione f C Ω. Allora LF, γ = b a < fγt, γ t > dt = b a d fγt dt = fγb fγa dt Da questa espressione segue ii, essendo γa = γã e γb = γ b se γ : [a, b] R 3 e γ : [ã, b] R 3, e segue iii, essendo γa = γb se γ : [a, b] R 3. iii ii. Siano γ e γ curve di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali. Indichiamo con γ la curva ottenuta da γ invertendo il verso di percorrenza. Allora γ γ è una curva chiusa di classe C a tratti, e quindi = LF, γ γ = LF, γ + LF, γ = LF, γ LF, γ ii iii Sia γ : [a, b] R 3 di classe C e chiusa, quindi P = γa = γb. Definiamo γt = P per ogni t [, ]. Allora γ e γ sono di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali, quindi essendo γ t = per ogni t. LF, γ = LF, γ = 6 < F γt, γ t > dt =

7 ii i cenno Nel caso in cui il dominio del campo sia R 2, basta mostrare che f, = F t, dt + F 2, t dt è un potenziale del campo F, F 2. Per farlo usiamo il fatto che ii è equivalente a iii, e che iii implica che il campo F è irrotazionale per il Teorema del rotore 2.4. Per domini diversi basta adattare la scelta della funzione f,. Abbiamo in particolare dimostrato un utile espressione per il calcolo del lavoro di un campo conservativo. Corollario 2.7 Lavoro di un campo conservativo. Sia F un campo di vettori conservativo definito su un aperto connesso Ω di R 3, e sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C a tratti e con sostegno contenuto in Ω. Allora, se f è un potenziale di F si ha LF, γ = fγb fγa Esempio 2.8. Dato il campo di vettori 2 cos sin definito sull aperto connesso Ω = {, : > 3}, vogliamo calcolare il lavoro che compie lungo la curva γt = 2 t 3, t t [, ] Il calcolo del lavoro usando la definizione sarebbe piuttosto complesso, se invece notiamo che il campo F è conservativo e che un potenziale è la funzione f, = sin che risulta ben definita su Ω, allora otteniamo subito LF, γ = fγ fγ = 3 sin Vediamo ora come determinare quando un campo è conservativo e trovare un potenziale. Il primo punto l abbiamo in parte affrontato nella sezione precedente. Il campo dell esempio 2.8 è irrotazionale e definito su un insieme Ω che è semplicemente connesso si tratta di un semi-piano, quindi applicando II otteniamo che è conservativo. Adesso usiamo il Teorema 2.6 per studiare il problema per un campo irrotazionale definito su un insieme non semplicemente connesso. Nella pratica è impossibile verificare che il lavoro di un campo lungo tutte le possibili curve chiuse sia nullo, ma enunciamo il seguente criterio: supponiamo che il dominio di F non sia semplicemente connesso, ma abbia N buchi, siano {γ i }, per i =,..., N, circonferenze di centro i buchi e di raggio qualsiasi ma scelto in modo che ciascuna contenga esattamente un solo buco e il suo sostegno sia contenuto nel dominio di F, allora III IV Se γ i t.c. LF, γ i = F NON CONSERVATIVO Se LF, γ i = per ogni i =,..., N = F CONSERVATIVO 7

8 Esempio 2.9. Nell esempio 2.2 abbiamo calcolato il lavoro del campo lungo una circonferenza γ di centro l origine, e abbiamo trovato LF, γ = 2π. Poiché F è irrotazioniale e il suo dominio è l aperto non semplicemente connesso Ω = R 2 \ {, }, per verificare se si tratta di un campo conservativo dobbiamo studiare il lavoro di F lungo una circonferenza di centro il buco di Ω, ossia una circonferenza di centro l origine. Ma questa curva è esattamente γ e abbiamo LF, γ, dunque per III si ha che F non è conservativo. Esempio 2.. Determiniamo se il campo di vettori è conservativo. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è l aperto Ω = {, : > } che non è semplicemente connesso. Scegliamo allora una circonferenza di centro l origine e raggio 2, γt = 2 cos t, 2 sin t t [, 2π] e calcoliamo LF, γ. Applicando la definizione di lavoro otteniamo 2π 2 cos t LF, γ = 2 sin t + 2 sin t 2 cos t 3 3 Quindi applicando IV otteniamo che F è conservativo. Esempio 2.. Determiniamo se il campo di vettori z 2 +z 2 2 +z 2 è conservativo. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è l aperto Ω = R 3 \ {,, z : = z = } dt = che non è semplicemente connesso, in quanto si tratta di R 3 meno l asse. Una circonferenza di centro il buco di Ω e contenuta nel dominio di F è allora una qualsiasi circonferenza che abbia centro sull asse e non intersechi l asse. Per semplicità scegliamo la circonferenza di raggio γt =, cos t, sin t t [, 2π] e calcoliamo LF, γ. Applicando la definizione di lavoro otteniamo LF, γ = 2π + sin t sin t + cos t cos t dt = dunque per III si ha che F non è conservativo. 8 2π dt = 2π

9 Veniamo ora al secondo punto, la ricerca di un potenziale per un campo conservativo. Esempio 2.2. Dato il campo di vettori determiniamo se si tratta di un campo conservativo e, in caso affermativo, calcoliamo un potenziale. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è Ω = R 2, che è semplicemente connesso. Inoltre il campo è irrotazionale, infatti rotf, = F, = F 2, F, = = Quindi applicando II otteniamo che F è conservativo. Cerchiamo ora un potenziale. Dalla Definizione.4 dobbiamo trovare una f C R 2 che risolva il sistema { f, = f, = Se integriamo rispetto alla variabile la prima equazione, abbiamo che f, = c, dove c è una qualsiasi funzione che dipende solo dalla. Sostituendo il valore di f, così ottenuto nella seconda equazione troviamo c = c = da cui una soluzione è c =. Dunque un potenziale del campo F è la funzione che è definita su R 2 e di classe C. Esempio 2.3. Dato il campo di vettori f, = , determiniamo se si tratta di un campo conservativo e, in caso affermativo, calcoliamo un potenziale. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è Ω = R 3 \ { = = }, che non è semplicemente connesso. Il campo è irrotazionale, infatti rotf,, z = F,, z = F 3 F 2 F F 3 F 2 F = = Quindi per stabilire se è conservativo dobbiamo calcolare il lavoro di F lungo una circonferenza con centro sull asse z e che non interseca l asse z. Scegliamo γt = cos t, sin t, t [, 2π] 9

10 per cui vale LF, γ = 2π 2 cos t sin t + 2 sin tcos t dt = Dunque applicando IV otteniamo che F è conservativo. Cerchiamo ora un potenziale. Dalla Definizione.4 dobbiamo trovare una f C Ω che risolva il sistema f f,, z = 2,, z = f,, z = Se integriamo rispetto alla variabile la prima equazione, abbiamo che f,, z = log c, z dove c, z è una qualsiasi funzione che dipende solo da, z. Sostituendo il valore di f,, z così ottenuto nella seconda equazione troviamo log c, z = c, z =, da cui ricaviamo che c, z = cz, ossia la funzione c, z può essere scelta come dipendente solo dalla funzione z. Sostituendo il valore di f,, z così ottenuto nella terza equazione troviamo log cz = c z =, da cui una soluzione è cz = z. Dunque un potenziale del campo F è la funzione f,, z = log z che è definita su Ω e di classe C Lavoro e campi irrotazionali: il Teorema del rotore. Abbiamo visto che il calcolo del lavoro per un campo conservativo è molto semplice, dipendendo solo dai punti iniziali e finali della curva e dal potenziale del campo Corollario 2.7. Non è così semplice la situazione per i campi non conservativi. In generale il calcolo del lavoro deve avvenire utlizzando la Definizione 2., e quindi il calcolo può risultare laborioso. L unico caso in cui le cose possono semplificarsi è quando si vuole calcolare il lavoro di un campo lungo una curva chiusa, anche se serve un ipotesi in più, grazie al Teorema del rotore. Nel Teorema del rotore gioca un ruolo l orientazione di una curva. Ricordiamo che una curva piana, chiusa e semplice si dice orientata positivamente quando è percorsa in senso anti-orario. L ipotesi fondamentale in più rispetto al teorema per i campi conservativi è che, non solo il sostegno della curva deve essere contenuto nel dominio del campo, ma tutta la parte interna alla curva deve essere contenuta nel dominio. Teorema 2.4 del rotore - caso R 2. Sia F un campo di vettori differenziabile definito su un insieme aperto e connesso Ω di R 2. Sia γ : [a, b] R 2 una curva chiusa, semplice, di classe C a tratti e orientata positivamente. Supponiamo inoltre che U, l interno della curva, sia un aperto connesso contenuto in Ω. Allora LF, γ = rotf dd U

11 Per enunciare il teorema nel caso di R 3, se una curva chiusa è il bordo di una superficie regolare, diremo che è orientata positivamente se il vettore ˆn γ, prodotto vettoriale tra il versore normale alla superficie e il vettore tangente alla curva, punta verso la parte interna alla curva. Mentre una superficie regolare si dice orientabile se è possibile determinare in maniera univoca e con continuità il verso del vettore normale alla superficie in ogni suo punto. Teorema 2.5 del rotore - caso R 3. Sia F un campo di vettori differenziabile definito su un insieme aperto e connesso Ω di R 3. Sia γ : [a, b] R 3 una curva semplice, chiusa e di classe C a tratti. Supponiamo inoltre che il sostegno di γ sia il bordo di una superficie Σ, regolare e orientabile, e contenuta in Ω, e che fissato il versore normale ˆn, la curva sia orientata positivamente. Allora LF, γ = < rotf, ˆn > ds Σ Ricordiamo che nel caso in cui la curva sia orientata negativamente, per il Teorema 2.3, basta cambiare il segno dell integrale. Esempio 2.6. Consideriamo per esempio il campo irrotazionale che ha dominio Ω = R 2 \ {, }. Se scegliamo la curva γ che ha come sostegno la circonferenza di centro l origine e raggio, abbiamo visto nell esempio 2.2, che LF, γ = 2π. Questo risultato non è in contraddizione con il Teorema 2.4 perché non tutte le ipotesi del teorema sono soddisfatte. Infatti, il campo è irrotazionale e differenziabile, e la curva è chiusa e di classe C, ma l interno della curva è U = {, : } Ω, infatti, si trova in U ma non in Ω. Esempio 2.7. Consideriamo ancora il campo irrotazionale dell esempio precedente, e calcoliamo il suo lavoro lungo la curva γt = cos t cos t, cos t sin t t [, 2π] La curva è chiusa e di classe C, rimane da determinare se la sua parte interna U è contenuta nel dominio del campo, che è Ω = R 2 \ {, }. Per farlo basta verificare se l origine sta o non sta in U. Poiché il sostegno della curva è contenuto nel semipiano { 3}, si verifica che l origine è nella parte esterna alla curva, quindi, U e dunque U Ω. Possiamo allora applicare il teorema e trovare LF, γ =. Esempio 2.8. Consideriamo ora il campo irrotazionale dell esempio 2., che ha come dominio l aperto connesso Ω = R 3 \ { = z = }, e calcoliamo il suo lavoro lungo la curva γt = cos t, 2 + sin t, + 2 cos t t [, 2π] La curva è chiusa e di classe C, rimane da determinare se si può interpretare come bordo di una superficie Σ, regolare e orientabile, contenuta in Ω. A questo scopo basta determinare che la curva non giri intorno al buco di Ω, ossia, in questo caso, che l asse non passi dentro la curva. Per far questo, basta osservare che per ogni t [, 2π] vale t > e zt >. Possiamo allora applicare il Teorema 2.5 e trovare LF, γ =.

12 Esempio 2.9. Calcolare il lavoro del campo di vettori arctan 3 2 lungo la curva γt = cos t, sin t t [, 2π] Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 2. La curva γ è di Jordan ed è orientata positivamente. La sua parte interna U è data da U = {, : } Ω. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore. Calcoliamo e quindi rotf, = F, = F 2, F, = 2 LF, γ = U 2 dd = Esempio 2.2. Calcolare il lavoro del campo di vettori dell esempio 2.9 lungo il bordo di U = {, :,, } orientato in senso anti-orario. In questo caso la curva U è chiusa e di classe C a tratti, essendo l unione U = γ γ 2 γ 3 di tre curve di classe C. Inoltre la sua parte interna U è contenuta nel dominio del campo, quindi possiamo applicare il Teorema del rotore e ottenere 2 LF, γ = 2 dd = 2 d d = 4 U Esempio 2.2 Formula dell area. Applichiamo adesso il Teorema del rotore in maniera inversa a quanto fatto finora. Osserviamo che il campo di vettori con dominio R 2 F A := verifica rotf A, = 2 per ogni, R 2. Sia poi U un insieme aperto connesso e U sia il sostegno di una curva chiusa e di classe C a tratti. Se parametrizziamo U in modo che sia orientata positivamente, possiamo allora scrivere che AreaU = dd = rotf A dd = U 2 U 2 LF A, U Abbiamo quindi ridotto il calcolo dell area di un insieme a un integrale curvilineo. Applichiamo la formula all insieme U = parte interna della cardioide { }. Il bordo di U lo parametrizziamo dunque ponendo U = γ γ 2 con γ t = + cos t cos t, + cos t sin t t [, π] γ 2 t = t, t [, 2] che risulta una curva chiusa, di classe C a tratti e orientata positivamente. Allora AreaU = 2 LF A, U = 2 LF A, γ + 2 LF A, γ 2 = 27 4 π 2

13 Esempio Calcolare il lavoro del campo di vettori z 3 lungo la curva γt =, 2 cos t, 3 sin t t [, 2π] Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 3. La curva γ è chiusa e la possiamo interpretare come il bordo della superficie regolare { 2 } Σ =,, z : =, 4 + z2 9 Dato il verso di percorrenza della curva, se scegliamo una parametrizzazione di Σ che ha come versore normale ˆn = la curva γ risulta orientata positivamente. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore 2.5. Calcoliamo F 3 F 2 rotf,, z = F,, z = F F 3 = 3z 2 z e quindi LF, γ = Σ 2 z F 2 F < rotf, ˆn > ds = Esempio Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 lungo il bordo della superficie z 2 z 3 Σ = {,, z :,, z, z 2 = } con vettore normale che punta verso l esterno. Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 3. La curva Σ è chiusa e unione di tre curve di classe C. Se parametrizziamo Σ con definita nell insieme σθ, φ = cos φ sin θ sin φ sin θ cos θ { D = θ, φ : θ π 2, φ π } 2 3

14 allora, scelto l ordine per le variabili, il vettore normale è cos φ sin 2 θ nθ, φ = sin φ sin 2 θ sin θ cos θ e punta verso l esterno. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore. Calcoliamo e quindi rotf,, z = F,, z = LF, γ = Σ < rotf, ˆn > ds = D F 3 F 2 F F 3 F 2 F = z sin 2 θ cos θ sin φ dφdθ = 3 3. Il flusso di un campo di vettori e il Teorema della divergenza Consideriamo ora il flusso di un campo di vettori attraverso una superficie orientabile. Definizione 3.. Sia F un campo di vettori definito su un aperto connesso Ω R 3 e Σ una superficie regolare e orientabile, con versore normale ˆn, e supponiamo che Σ Ω. Si definisce flusso di F attraverso Σ, Φ Σ F, l integrale Φ Σ F := < F, ˆn > ds Esempio 3.2. Calcoliamo il flusso del campo di vettori Σ attraverso la sfera di raggio R e orientata in maniera naturale, ossia con versore normale verso l esterno. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente Σ Ω. Dobbiamo innanzitutto trovare una parametrizzazione della sfera che induca l orientazione naturale. Come nell esempio 2.23, scegliamo la parametrizzazione definita nell insieme σθ, φ = z R sin θ cos φ R sin θ sin φ R cos θ D = {θ, φ : θ π, φ 2π} allora, scelto l ordine per le variabili, il vettore normale è R 2 cos φ sin 2 θ nθ, φ = R 2 sin φ sin 2 θ R 2 sin θ cos θ 4

15 e punta verso l esterno. Quindi applichiamo la definizione e otteniamo nθ, φ Φ Σ F = < F, ˆn > ds = < F σθ, φ, > nθ, φ dθdφ = Σ D nθ, φ = < F σθ, φ, nθ, φ > dθdφ = R 3 cos 2 φ sin 3 θ + sin 2 φ sin 3 θ + sin θ cos 2 θ dθdφ = D = D D R 3 sin θ dθdφ = 4πR 3 Abbiamo visto che un punto importante per il calcolo del flusso è la ricerca di una parametrizzazione della superficie che induca l orientazione scelta. Se si trova che invece la parametrizzazione induce l orientazione opposta a quella scelta, allora basta cambiare poi il segno all integrale. Esempio 3.3. Calcoliamo il flusso del campo di vettori attraverso la superficie Σ di parametrizzazione definita nell insieme σu, θ = z 2 u cos θ u sin θ u D = {u, θ : u 2, θ π} e con orientazione indotta dalla parametrizzazione. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente Σ Ω. Il vettore normale calcolato usando la parametrizzazione è nu, θ = Applichiamo la definizione e otteniamo Φ Σ F = < F, ˆn > ds = = D Σ D < F σu, θ, nu, θ > dudθ = = D u cos θ u sin θ u < F σu, θ, D nu, θ > nu, θ dudθ = nu, θ u 2 cos 2 θ u 2 sin 2 θ + u 3 dudθ = u 3 u 2 dudθ = 7 2 π Enunciamo adesso il Teorema della divergenza, che permette di calcolare il flusso di un campo di vettori uscente da una superficie chiusa attraverso un integrale triplo, che a volte può risultare più semplice. 5

16 Teorema 3.4 della divergenza. Sia F un campo di vettori differenziabile con dominio un aperto connesso Ω. Sia Σ una superficie chiusa, regolare e orientabile, con orientazione naturale, ossia con versore normale che punta verso l esterno, e supponiamo che U, la parte interna alla superficie, sia contenuta in Ω. Allora Φ Σ F = divf dddz Lo stesso vale per superfici chiuse che sono unione finita di superfici regolare. Esempio 3.5. Calcoliamo il flusso del campo di vettori U 2 2 z 2 uscente dalla superficie Σ = U, bordo dell insieme U = {,, z :,, z }. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente U Ω. La superficie Σ è chiusa e unione finita di superfici regolari, ed è orientabile. Allora possiamo applicare il Teorema della divergenza. Calcoliamo divf,, z = F,, z + F 2,, z + F 3,, z = z e quindi, ponendo E = {, :, }, Φ Σ F = z dddz = = E U z dz dd = 4 Esempio 3.6. Calcoliamo il flusso del campo di vettori + z arctanz 3 log uscente dalla superficie Σ = sfera di centro l origine e raggio R. Il dominio di F è Ω = R 3 e Σ = U con U = { z 2 R 2}. Quindi Σ è una superficie chiusa, regolare e orientabile, e U Ω. Allora possiamo applicare il Teorema della divergenza. Calcoliamo e quindi divf,, z = F,, z + F 2,, z + F 3,, z = Φ Σ F = U dddz = Volume di U = 4 3 π R3 6

17 4. Esercizi Esercizio. Determinare se i seguenti campi di vettori sono irrotazionali e se sono conservativi, e trovare un potenziale per quelli conservativi: + e F = F e 2 = cos F 3 = F 4 = F 5 = 2 sin cos + cos sin sin cos + 2 cos sin F 6 = F 7 = z F 8 = 2 +z 2 z 2 +z 2 F 9 = log sin [Risultati: conservativo, f, = + e + sin ; 2 conservativo, f, = ; 3 conservativo, f, = + + ; 4 conservativo, f, = arcsin; 5 conservativo, f, = sin sin 2 cos cos ; 6 irrotazionale ma non conservativo; 7 irrotazionale ma non conservativo; 8 conservativo, f,, z = 2 log 2 + z ; 9 conservativo, f,, z = log cos + z.] Esercizio 2. Calcolare il lavoro del campo di vettori lungo la curva γt = t sin t, cos t con t [, 2π]. [Risultato = 2π] Esercizio 3. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 3 lungo la curva γt = t 3, t 2 con t [, ]. [Risultato = ] Esercizio 4. Calcolare il lavoro del campo di vettori z + + lungo la curva γt = t, t, t 2 con t [, ]. [Risultato = 6 ] Esercizio 5. Calcolare il lavoro del campo di vettori lungo la curva γt = sin t 2, sin t con t [, π]. [Risultato = log 2] 7

18 Esercizio 6. Calcolare il lavoro del campo di vettori log lungo la curva γt = 2 cos t, + sin t con t [ π 2, π 2 ]. [Risultato = 2 2] Esercizio 7. Calcolare il lavoro del campo di vettori lungo la curva γt = 2 cos t, 2 + sin t con t [, 2π]. [Risultato = ] Esercizio 8. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 +z 2 z 2 +z 2 lungo la curva γt = cos t, sin t, sin 2 t con t [, 2π]. [Risultato = ] Esercizio 9. Calcolare il flusso del campo di vettori attraverso la superficie Σ di parametrizzazione σθ, v = 2 cos θ + 2, 2 sin θ, v definita su D = {θ, v : θ 2π, v cos θ}, e orientazione indotta dalla parametrizzazione. [Risultato = ] Esercizio. Calcolare il flusso del campo di vettori z 2 { } uscente attraverso la superficie Σ = U con U = z2. [Risultato = 24 5 π] 8

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario. Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui

Dettagli

Integrali di superficie: esercizi svolti

Integrali di superficie: esercizi svolti Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici

Dettagli

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Dettagli

FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI

FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI CLADIO BONANNO Contents 1. Spazio duale di uno spazio vettoriale 1 1.1. Esercizi 3 2. Spazi tangente e cotangente 4 2.1. Esercizi 6 3. Le forme differenziali e i

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a.

Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a. Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a. 2005-6 Martino Bardi Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Università

Dettagli

CAMPI E LORO PROPRIETÀ

CAMPI E LORO PROPRIETÀ CMPI E LORO PROPRIETÀ 1.1 Introduzione ia una regione nello spazio in cui, in ogni suo punto, sia definita una grandezza g. La regione si dice allora soggetta ad un campo. Un campo può essere scalare,

Dettagli

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1 SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,

Dettagli

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214] Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica Calcolo 2 [40214] Attività didattica: Attività didattica [codice] Corso di studio Facoltà Calcolo 2 [40214] Ingegneria delle

Dettagli

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green......................... 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes......................... 4 3 Esercizi sul Teorema di

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione 19: campi vettoriali e formule di Gauss-Green nel piano.

Dettagli

13. Campi vettoriali

13. Campi vettoriali 13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello

Dettagli

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da 1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato,

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 5 2 Funzioni da

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) 1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Ottimizazione vincolata

Ottimizazione vincolata Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:

Dettagli

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com Analisi 2 - funzioni di più variabili Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com January 28, 2011 Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Note di Analisi Matematica 2

Note di Analisi Matematica 2 Annamaria Mazzia Note di Analisi Matematica 2 Università degli Studi di Padova corso di laurea in Ingegneria Edile-Architettura a.a. 2012-2013 Questo lavoro è pubblicato sotto una Creative Commons Attribution-Noncommercial-No

Dettagli

Capitolo 9. Superfici ed Integrazione. 9.1 Curve, Superfici e Dimensioni

Capitolo 9. Superfici ed Integrazione. 9.1 Curve, Superfici e Dimensioni Capitolo 9 uperfici ed Integrazione Il calcolo degli integrali curvilinei ci ha fatto familiarizzare con il concetto di parametrizzazione di curve nel piano xy e per estensione anche nello spazio tridimensionale.

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

LP. Lavoro e potenziale

LP. Lavoro e potenziale Lavoro e potenziale LP. Lavoro e potenziale Forza In questa sezione dobbiamo introdurre un nuovo concetto che assumiamo come primitivo dalla fisica: è il concetto di forza. Ci occuperemo anzitutto di una

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Alcuni appunti di Analisi Matematica II - Calcolo Integrale

Alcuni appunti di Analisi Matematica II - Calcolo Integrale lcuni appunti di nalisi Matematica II - Calcolo Integrale Marco Spadini Tratti dal egistro delle lezioni di nalisi Matematica II, Corso di Laurea in Ingegneria Informatica.. 2007/2008 - Prof. Massimo Furi

Dettagli

Analisi matematica 3 Corso di Ingegneria online

Analisi matematica 3 Corso di Ingegneria online Funzioni di più variabili Analisi matematica 3 Corso di Ingegneria online Argomenti del programma limiti, continuità derivabilità, differenziabilità 3 punti critici, estremi liberi 4 il teorema delle funzioni

Dettagli

7. Trasformata di Laplace

7. Trasformata di Laplace 7. Trasformata di Laplace Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Trasformata di Fourier e segnali causali In questa lezione ci occuperemo principalmente di segnali causali: Definizione 7.1 (Segnali causali)

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali CAPITOLO 4 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali La definizione di integrale definito per funzioni di una variabile reale è motivato dal problema del calcolo delle aree: si desidera calcolare

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2 SOLUZIONE DEL PROBLEMA CORSO DI ORDINAMENTO. Studiamo la funzione f(x) = x R). Notiamo che f( x) = 4 + x, con dominio R (infatti x + 4 per ogni 4 + ( x) = 4 + x = f(x), cioè la funzione è pari e il grafico

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Leggi di Newton ed esempi

Leggi di Newton ed esempi Leggi di Newton ed esempi 1 Leggi di Newton Lo spazio delle fasi. Il moto di un punto materiale nello spazio è descritto dalla dipendenza temporale delle sue grandezze cinematiche, posizione, velocità

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme ( 1) n A = n + 1 : n IN

Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme ( 1) n A = n + 1 : n IN Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA Gennaio 00 Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme { } ( ) n A = n + : n IN specificando se si tratta rispettivamente di

Dettagli

Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M.

Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M. Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M. Tortorelli APPUNTI Lezione del 20 Novembre 2014. ORIENTABILITA Definzione

Dettagli

Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili Funzioni di più variabili Introduzione Funzioni reali di più variabili reali Una unzione reale di due variabili è una unzione : D R dove il dominio D è un sottoinsieme di R. ESEMPI: - / ln. Considerazioni

Dettagli

1.1. Spazi metrici completi

1.1. Spazi metrici completi SPAZI METRICI: COMPLETEZZA E COMPATTEZZA Note informali dalle lezioni 1.1. Spazi metrici completi La nozione di convergenza di successioni è centrale nello studio degli spazi metrici. In particolare è

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli