Esempio di Integrazione 1

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1 Esempio di Integrazione Spponiamo di voler integrare la fnzione fx_,_: x Sl dominio x 3x x 3x && 3 x x RegionPlot && x 3 x && x 5 x, x,, 5,,, Il dominio deve essere opportnamente sddiviso epr poter effettare l integrazione. Dividiamolo in qesto modo:

2 integrali doppi.nb RegionPlot && x 3 x && x 5 x && x, && x 3 x && x 5 x && x, x,, 5,,, Il dominio bl pò essere scritto come x, x 5x Il dominio viola pò essere scritto come x, x 3x x 5x rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: x x 5x x x 5x x x 3x x Dove il primo termine deriva dalla prima parte del dominio, e il secondo termine dalla seconda parte del dominio. Fattori moltiplicativi che non dipendono da possono essere spostati a sinistra del primo integrale: x 5x x x x 5x x x x 3x Ora resta da calcolare gli integrali, calcolamo qello in : x 5x x x x 5x x x x 5x x 3x x x x 5x x 3x x 6 x33 x x 3 x x 8 x x x 3 x x x Qesti sono dei normali integrali in na dimensione, razionali, il risltato è: x

3 integrali doppi.nb 3 6 x 33 x x 3 x x x 8 x x x 3 x x 7 Π rctan Log rctan 6 rctan 5 Log5 5 Log7 3 Esempio di Integrazione Spponiamo ora di voler integrare la fnzione fx_,_: x Sl dominio x x x x && 3 x x RegionPlot x && x && x && x, x,,,,.5, L integrale pò essere effettato dividendo opportnamente il dominio, in qesto modo:

4 integrali doppi.nb RegionPlot x && x && x && x && x, x && x && x && x && x, x,,,,.5, Ma in qesto caso è molto più veloce osservare che il dominio pò essere riscritto come: x x x x Effettiamo qindi n cambio di cariabili x, v x Il ci inverso è x v, v La matrice del Jacobiano è: J_,v_: x x v v v 3 v v v Il ci valore assolto del determinante è bsdetj,v Nelle nove variabili il dominio è n rettangolo: v v rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: v v v v v v Per effettare il primo integrale in v facciamo n altro cambio di variabile:

5 integrali doppi.nb 5 v t t t tt t t t t t t ltro cambio di variabile z t z z rctanz rctan rctan Qesti sono dei normali integrali in na dimensione, razionali, il risltato è: rctan rctan Π rccot rccot 56 rccot rctan rctan rctan Coordinate Polari ed Esempio di Integrazione 3 Spponiamo ora di voler integrare la fnzione fx_,_: x x Sl dominio x x && 3 x x RegionPlotx && x, x,.5,.5,,.5,

6 6 integrali doppi.nb L integrale pò essere effettato dividendo opportnamente il dominio, in qesto modo: RegionPlotx && x && x, x && x && x, x,.5,.5,,.5, Però in qesto caso è anche molto consigliabile sare le coordinate polari così definite: Ρ x, Θ rctan x Il ci inverso è x Ρ CosΘ, Ρ SinΘ La matrice del Jacobiano è: JΡ_,Θ_: Ρ x Ρ Θ x Θ Il ci valore assolto del determinante è bsdetjρ,θ Ρ CosΘ Ρ SinΘ SinΘ Ρ CosΘ Nelle nove variabili il dominio è l nione di de rettangoli: Ρ Θ Ρ Θ 3 rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: 3 ΡΡ SinΘ CosΘΘ ΡΡ SinΘ CosΘΘ I de integrali possono essere effettati separatamente (dato che il dominio è rettangolare e la fnzione integranda è a variabili separabili) ΡΡ SinΘ CosΘΘ SinΘΘ Sinxx

7 integrali doppi.nb 7 3 SinΘ CosΘΘ 3 3 SinΘΘ Sinxx 3 ΡΡ SinΘ CosΘΘ ΡΡ SinΘ CosΘΘ NOT: Nell effettare l integrale angolare si è effettata la sostitzione x Θ Teorema di Green ed Esempio di Integrazione Il teorema di Green dice che PxQ F Q x P Come corollario, se scegliamo P f f,q x Il membro destro diventa Q x P Mentre qello sinistro diventa F f x f x fx,n F Ovvero il flsso del gradiente f x f f Spponiamo ora di voler il flsso del gradiente della fnzione fx_,_: x Slla circonferenza di raggio nitario x && 3 x x Ovvero l integrale s tale crva della derivata normale a tale crva. Per il teorema di Green l integrale del gradiente slla frontiera di n insieme fx,n è pari all integrale della divergenza del gradiente (laplaciano) sll insieme fx, fx,x Nel nostro caso la circonferenza di raggio nitario è la frontier del cerchio di raggio nitario

8 8 integrali doppi.nb RegionPlotx, x,.5,.5,,.5, Qindi l integrale è pari a fx,x fρ CosΘ,Ρ SinΘΡΡΘ Il laplaciano vale fx, fx, x fx, rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: ΡΡ Θ lcne formle di analisi vettoriale tili Riassmo ora alcne formle tili di analisi vettoriale, tilizzabili per esempio per applicare i teoremi di Green, Stokes, Gass, o per integrare per parti. Il simbolo pplicato a na fnzione scalare ne indica il gradiente, ed è qindi n vettore fx, Il prodotto scalare di Nabla per n vettore ne indica la divergenza f,f x f f mentre il prodotto vettoriale ne indica il rotore f,f x f f bbiamo qindi sbito l identità: fx,

9 integrali doppi.nb 9 Mentre la divergenza del gradiente si chiama laplaciano fx, fx, Molte delle sali formle di dderivazione per parti si hanno analoghi nella forma fg fggf fg,g fg,gg,gf In particolare dalla seconda ricaviamo la formla di integrazione per parti s n dominio : fg,g fg,g g,gf E applicando il teorema di Green fg,g fg,g g,gf fg,gn g,gf F Dove con F indichiamo la frontiera di, e con dn intendiamo l integrazione del flsso

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

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