L iperbole: problemi ed equazioni. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola

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1 L iperbole: problemi ed equazioni 1 Bruna Cavallaro, Treccani Scuola

2 Tutto quello che sappiamo sull equazione cartesiana dell iperbole con centro O e fuochi sull asse x Asintoti c > a a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: a 2 = b 2 + c 2 EQUAZIONE x 2 a " y2 2 b = 1 2! Eccentricità e = c a!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&! 2

3 Elementi di simmetria dell iperbole con centro O e fuochi sull asse x A, A vertici dell iperbole! EQUAZIONE x 2 a " y2 2 b = 1 2 L equazione rimane inalterata se: - cambio segno all ascissa x; - cambio segno all ordinata y; - cambio segno ad x e ad y. Perciò l iperbole è simmetrica rispetto: - all asse y; - all asse x; - all origine O. Che cosa succede se opero una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, cioè se scambio x con y?!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 3

4 Equazione di iperbole con centro O e fuochi sull asse y Scambio x con y ed ecco che cosa ottengo. c > a EQUAZIONE y 2 a " x 2 2 b = 1 2 a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: c 2 = a 2 + b 2 Eccentricità e = c a!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&!! A, A vertici dell iperbole 4

5 Attività 2. Equazione e grafico dell iperbole 1%&2"*33/4%&%5(/67&8/&9"#22*&3%"7&8-8/.%6%&%&"/3*)(-"-& (/-$-&8%6%&#$%&3.E-8%&8/&)%(*"*&8%&.*42)-6%"-?&!"#$#%&'%()*+,%-)%$#(./0%%!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 5

6 Che cosa abbiamo trovato!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 6

7 Riconoscere equazioni di iperbole con fuochi, eccentricità ed asintoti Una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante scambia le ascisse con le ordinate e trasforma la curva C nella D.!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 7

8 Risolvere problemi!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 8

9 Risolvere problemi!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 9

10 Risolvere problemi!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 10

11 Come sono stati realizzati i grafici di iperbole di questa presentazione? Con un software di geometria dinamica!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 11

12 Equazione e grafico di iperbole con un software di geometria dinamica Animazione Iperbole_Geogebra_Presenta2 Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 12

13 Disegnare un iperbole di equazione data con un software di geometria dinamica!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 13

14 Iperbole: una curva tante equazioni In questa lezione abbiamo ritrovato da un altro punto di vista l equazione dell iperbole: è proprio la stessa curva ottenuta alla fine di un lungo percorso che è cominciato alla scuola secondaria con lo studio della proporzionalità inversa. Ecco una mappa sintetica del percorso. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 14

15 L iperbole: una curva, tante equazioni Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 15

16 Rivediamo alcune tappe del percorso Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 16

17 Proporzionalità inversa e grafico di un ramo di iperbole Rettangoli equivalenti Capillarità PROPORZIONALITÀ INVERSA x, y lati di rettangoli di area 16 Bruna Cavallaro, Treccani Scuola PROPORZIONALITÀ INVERSA y altezza del liquido, x diametro del capillare 17

18 Funzioni e grafico di un iperbole PROPORZIONALITÀ INVERSA x, y lati di rettangoli di area 16 GEOMETRIA ANALITICA Iperbole Legge: y = 16/x Dominio: l insieme R 0 + Codominio: l insieme R 0 + Equazione: y = 16/x Campo di esistenza della formula: l insieme R 0 dei numeri reali diversi da 0 Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 18

19 Simmetrie e grafico di funzioni del tipo y = k/x Con la simmetria rispetto ad O trovo che una funzione del tipo y = k/x ha per grafico un iperbole con le caratteristiche indicate qui sotto. y = k x con k > 0 IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI! A e B simmetrici di A e B rispetto ad O Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 19

20 Rotazioni attorno ad O e iperbole equilatera IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI SIMMETRIA La curva è simmetrica rispetto a: - asse delle x; - asse delle y; - origine O. AA asse trasverso A(a, 0) A (!a, 0) Vertici Equazione x 2! y 2 = a 2 Asintoti d equazione y = x, y =!x Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 20

21 Trasformare un iperbole con una dilatazione Iperbole equilatera con: - centro di simmetria O(0; 0); - assi di simmetria gli assi cartesiani; - asintoti y = x e y = -x; - equazione x 2 - y 2 = 1. Dilato il piano Oxy Iperbole che non è più equilatera, ma ha sempre centro O(0; 0) e gli assi cartesiani come assi di simmetria. E l equazione dell iperbole e dei suoi asintoti? Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 21

22 Equazione dell iperbole dopo la dilatazione Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 22

23 L equazione di un iperbole riferita agli assi di simmetria Dimentico la dilatazione eseguita e gli apici nelle lettere per concludere che: Un equazione del tipo x 2 a " y2 2 b =1 2 descrive un iperbole con le caratteristiche indicate qui sotto.! Asintoti Assi di simmetria gli assi cartesiani Centro O Vertici A(a, 0) e A (-a,0) AA asse trasverso Daniela Valenti, Treccani Scuola 23

24 Equazione dell iperbole come luogo di punti Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 24

25 Tutto quello che sappiamo sull equazione cartesiana dell iperbole con centro O e fuochi sull asse x Asintoti c > a a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: a 2 = b 2 + c 2 EQUAZIONE x 2 a " y2 2 b = 1 2! Eccentricità e = c a!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&! 25

26 Iperbole nella realtà e nelle scienze L iperbole è una curva molto ricca di proprietà, studiate già dagli antichi greci e perciò è diventata sempre più importante nella realtà e nelle scienze. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 26

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

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