Strumento di primo ordine. Discutere il modello dello strumento e i parametri caratteristici:

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1 Strumento di primo ordine. Discutere il modello dello strumento e i parametri caratteristici: Uno strumento del primo ordine è caratterizzato da un equazione del tipo:, la quale può essere riscritta come: dove:. La costante di tempo ha sempre le dimensioni di un tempo, mentre la sensibilità statica ha significato fisico di rapporto tra uscita e ingresso quando l ingresso è statico. La FDT per un qualsiasi strumento del primo ordine risulta: (segue) Definire le procedure sperimentali per la misura di tali parametri: La sensibilità statica può essere ricavata attraverso la taratura statica e quindi, la risposta dinamica di questi strumenti è caratterizzata da un unico parametro, la costante di tempo. Questa può essere ricavata utilizzando i dati provenienti da un test con ingresso a gradino, dal quale otteniamo:, che in forma adimensionale diventa: strumento) (minore è la costante di tempo maggiore sarà la prontezza dello Possiamo det sperimentalmente la cost di tempo ponendo:. Si può quindi procedere con una regress lineare, la cui pendenza vale. Quindi rappresentando in funzione di otteniamo una retta la cui pendenza vale. Strumento di 2 ordine: verificare se l hp di strumento di secondo ordine sia applicabile: È possibile identificare i parametri, interpolando ai minimi quadrati i punti sperimentali con l espressione che descrive il comportamento nel tempo di uno strum del 2 ordine: il disegno della storia temporale ricostruita sopra ai punti sperimentali è indice della bontà dell interpolaz e della scelta del tipo di modello adottato per lo strumento. (segue) Discutere il modello dello strumento e i parametri caratteristici: Uno strumento del secondo ordine segue l equazione:. Nel polinomio A, essendo di secondo grado, è possibile riconoscere un termine elastico, uno viscoso ed uno inerziale, mentre il polinomio B dipende dalle applicazioni ma nella stragrande maggioranza dei casi è di ordine zero. I parametri caratteristici sono: (Sensibilità statica), (Pulsaz propria), (coeff di smorzamento). Con questi parametri caratteristici, otteniamo la funzione di trasferimento: Definire le procedure sperimentali per la misura di tali parametri: Per gli strum del 2 ordine, viene ricavato dalla taratura statica, mentre e possono essere ottenuti ad es dal test di risposta a gradino. Per una tipica risposta a gradino di un sistema di secondo ordine sotto smorzato, i valori di e possono essere trovati utilizzando le relazioni: Nel caso di sistema debolmente smorzato: Questa approx assume, che è abbastanza accurata quando Media di una grandezza è considerata la miglior stima del valore vero: La media, assenza di altre informazioni, viene considerata la miglior stima del valore vero della misura. Date N osservazioni, la media vale:. Aumentare il num di misure non permette a priori di migliorare la qualità dei dati, ma di approssimare meglio il valor medio e quindi ridurre l influenza degli errori casuali. Bisogna quindi saper det se conviene effettuare più misure o rivedere la procedura di acquisizione degli stessi. Il valor medio rappresenta la miglior stima della misura solo se gli errori sono a distrib gaussiana (distrib di probabilità simmetrica). Elencare le proprietà di cui deve godere una funzione per poter rappresentare una densità di probabilità: Data la variabile casuale X, continua, la funzione tale per cui:, viene detta densità di probabilità. Le proprietà di cui gode questa funzione sono: 1. La funzione densità di probabilità è definita positiva: 2. L integrale della funzione densità su tutto il dominio di misura è unitario:

2 Dovendo scegliere un filtro analogico passa basso per una campagna di acquisizione dati, quali sono le caratteristiche fondamentali di funzionamento che devono essere prese in considerazione? All interno di un sistema di acquisizione dati, i filtri PB vengono utilizzati come filtri anti-aliasing per attenuare tutte le armoniche del segnale superiori ad una determinata frequenza di taglio. Questa deve essere scelta con attenzione in funzione delle caratteristiche del filtro, del segnale da acquisire, dell intervallo di frequenza di interesse e delle caratteristiche del sistema di acquisizione, compresi i condizionatori. Si assume come frequenza di Nyquist quella per cui il contributo armonico sia ridotto ad un livello assegnato confrontabile con il rumore che caratterizza il sistema di misura. Si presentano quindi due tipologie di problemi: - regolato il filtro, determinare la frequenza di campionamento per evitare aliasing - trovare la frequenza, multipla di quella di taglio, a partire dalla quale si può ritenere di aver cancellato i contributi armonici Non ha senso operare una cancellazione assoluta poiché oltre che impossibile non è nemmeno utile. Anziché imporre arbitrariamente l attenuazione conviene interpretare l esigenza di cancellazione dello spettro oltre la frequenza di Nyquist come l attenuazione di tale contributo al livello del rumore. Un filtro ideale ha pendenza costante dopo la frequenza di taglio, ma ciò è ovviamente irreale. Il segnale in uscita non potrà avere ampiezza inferiore al rumore dello strumento e diventerà all incirca costante. Non ha senso campionare con frequenze troppo elevate perché il contributo armonico del segnale filtrato sarebbe sostituito da rumore. Oltretutto possono essere presenti rumori non causati dal filtro ma da elementi precedenti, maggiormente visibili se il filtro è di ottima qualità. A meno di altre indicazioni, scelta la frequenza di taglio, nota la retta di attenuazione e l attenuazione richiesta, sarà opportuno scegliere come frequenza di Nyquist l intersezione del segmento attenuante con la retta orizzontale ad attenuazione pari a 1/10 del rapporto rumore/segnale del caso peggiore. Non avrebbe alcun senso ridurlo ulteriormente. La pendenza dei filtri è tipicamente espressa in db per decade o db per ottava. Si ricavano quindi le decadi rispetto alla frequenza di taglio:. Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing ma la sua ampiezza sarà trascurabile e dell ordine del rumore. La sarà ovviamente: Cosa si intende per matrice di covarianza? La matrice di covarianza è definita come: - I termini diagonali sono definiti come varianza (o auto-covarianza): - I termini extra-diagonali sono definiti di covarianza:, dove: Dove le covarianze rappresentano la combinazione delle incertezze sulle singole misure a seguito della loro interazione. Quando sono auto-covarianze il risultato è la varianza, forma quadratica sempre positiva, mentre quando sono covarianze le incertezze si combinano algebricamente e possono annullarsi. La matrice delle covarianze rappresenta quindi il modo in cui ogni variabile varia rispetto alle altre. Descrivere il principio di funzionamento di un encoder relativo bidirezionale: Questo tipo di encoder presenta 3 uscite: A, B e Z. La differenza con il modello monodirezionale è che tra l uscita A e l uscita B, ugualmente incise da N impulsi per giro, c è del ritardo. Se A è in anticipo su B la rotazione è oraria, altrimenti è antioraria. Lo sfasamento serve pertanto a determinare il verso di rotazione. Infatti, traslando meccanicamente le due tracce, uno dei segnali elettrici risulta sfasato rispetto all altro e consente il rilevamento della direzione del moto riconoscendo quale dei due segnali cresce per primo. La terza uscita viene utilizzata come riferimento per lo zero, producendo un singolo impulso al giro in un punto preciso. Giustificare a dividere la DevStd nella def dell incertezza tipo di una variabile affetta da incertezza di tipo A: Se considerassimo diverse serie di misure, ciascuna formata da N osservazioni, potremmo calcolare, per ciascuna serie, il valore medio e la varianza. Vista la dimensione finita N di ciascun campione, il valore medio e la varianza sperimentali saranno in generale diversi per ogni campione di N misure e costituiranno perciò delle variabili aleatorie a loro volta. Quindi la varianza del valor medio, fra i vari gruppi di N misure, è esprimibile nel seguente modo:, dove è lo scarto tipo per il campione delle N misure considerate. Tale scarto tipo costituisce una stima della deviazione standard di tutta la popolazione. La varianza sperimentale della media e lo scarto tipo sperimentale della media quantificano quanto bene stimi il valore medio della popolazione (valore atteso), e pertanto vengono adottati come valutazioni quantitative della incertezza di. Si descriva il principio di funzionamento dell accelerometro capacitivo È costituito da 3 armature e 2 condensatori aventi una faccia in comune. Questa configurazione permette di ottenere delle misure differenziali. Le armature esterne sono più rigide di quella interna e quando lo strumento è sottoposto ad un accelerazione, la forza d inerzia deforma la piastra centrale causando così una variazione di capacità. La lamina interna ch vibra determina la variazione di capacità letta dalle armature. La banda passante di questi accelerometri è circa pari a quella degli accelerometri piezoresistivi, quindi nell ordine di 1 khz.

3 Indicare come ottenere una stima della sensibilità per un potenziometro lineare senza calibrarlo: È possibile ottenere una stima della sensibilità di un potenziometro effettuando una taratura per comparazione. Dopo aver correttamente alimentato il potenziometro, si posiziona la slitta su cui è montato il potenziometro in una determinata posizione e si rileva la tensione emessa dal traduttore, utilizzando un multimetro digitale. Considerando la posizione indicata dalla scala graduata, si calcola la sensibilità dello strumento, dopo aver rilevato più misure per differenti posizioni, dove questa viene ottenuta dalla variazione della risposta dello strumento di misura divisa per la corrispondente variazione del segnale d ingresso (per un potenziometro va calcolata per unità di tensione d alimentazione), tramite i coefficienti della retta di regressione delle misure effettuate. Le misure vanno effettuate su più corse del potenziometro, dove ogni corsa è intesa come escursione dal valore minimo al valore massimo e ritorno al valore minimo, in modo da rilevare eventuale isteresi dello strumento. Motivazioni per avere la compensazione termica di una misura estensimetrica e le modalità per ottenerla: Gli estensimetri sono dei trasduttori basati sul principio di variazione di resistenza per deformazione. Permettono di misurare delle deformazioni, dando come uscita una tensione. È necessario tenere conto che una variazione di temperatura può causare delle deformazioni: - Variazione di lunghezza della griglia dell estensimetro: - Variazione di lunghezza della base del pezzo da analizzare: - Variazione della resistenza: Quello che quindi si origina dai primi due termini è una deformazione apparente. Questi effetti sono compensabili con delle correzioni delle misure come ad esempio la doppia misura e la sottrazione. La variazione percentuale di resistenza è in relazione diretta con la deformazione subita dal conduttore e, mediante un fattore di strain gage factor, con la deformazione subita dall estensimetro. Questa può essere espressa come la somma di due contributi, uno meccanico e uno termico:. La deformazione termica risulta essere un disturbo alla nostra misura meccanica e, per compensarla vi sono due diversi modi. Un alternativa è quella di ricorrere ad estensimetri speciali, chiamati autocompensati in temperatura, soluzione che risulta essere costosa e non sempre possibile. Il secondo modo è quello di ricorrere ad una particolare disposizione degli estensimetri sul provino: - Deformazione assiale: è possibile utilizzare 4 estensimetri uguali, 2 per ciascuna faccia: uno allineato con la direzione di carico ed uno in direzione trasversale (collegamento a ponte intero). In questo caso, se i coefficienti di dilatazione termica sono uguali, la def misurata vede compensarsi gli effetti termici. - Def flessionale in una posizione assegnata: Si possono utilizzare 2 estensimetri uguali, su facce opposte, in config a mezzo ponte. Sfruttando 2 rami adiacenti del ponte di Wheatstone (es. 1 e 2), in quanto essi si sottraggono lasciando solo componente flessionale, la misura è compensata della def assiale e termica Descrivere un encoder assoluto in termini di principio di funzionamento, caratteristiche e utilizzo: L encoder assoluto (trasduttore di posizione angolare) è uno strumento digitale costituito da un elemento mobile, un disco codificato con piste (bit) che vengono lette simultaneamente da fotorilevatori indipendenti, fornendo un uscita in codice binario o Gray. Questo, infatti, scorre davanti a testine di lettura costituite da fotoemettitori e fotorivelatori, che generano segnali dipendenti dallo spostamento. Per ogni settore angolare del disco si ha un codice differente a seguito del mascheramento selettivo delle piste. Il numero di settori angolari sul disco è pari a. La codifica binaria è semplice ma può dare una falsa lettura quando un rilevatore è a cavallo della transizione. La codifica Gray consiste in un riordino delle posizioni in quanto prevede che si passi da un intero al successivo modificando solo un bit. Il vantaggio di questa codifica è che tra due posizioni adiacenti cambia solo un bit per volta, quindi l errore di lettura di un bit non comporta una discontinuità nell uscita. Tuttavia si necessita così di una decodifica della misura. Si descriva il principio di funzionamento del convertitore ad approssimazioni successive È caratterizzato dal fatto di avere al suo interno un convertitore DAC e un elemento di controllo logico. Il principio di funzionamento di questo convertitore è basato sul metodo delle bisezioni, che permette di determinare la parola digitale a N bit, che rappresenta il segnale in ingresso, in N periodi di clock. All inizio della conversione l Unità Logica di Controllo avvia un ciclo di N passi che scandisce i bits a partire da quello più significativo. La tensione in ingresso viene confrontata con una tensione generata dal DAC, inizialmente pari a metà fondo scala, e se risulta maggiore il bit più significativo del codice viene messo a 1, altrimenti a 0. Si procede in questo modo per N periodi di clock, dimezzando ogni volta l intervallo di ricerca, fino a che non vengono determinati tutti i bit. I convertitori ad approssimazioni successive, a parità di frequenza di clock, risultano notevolmente più veloci, rispetto ai convertitori A/D a rampa lineare o incrementali. Tuttavia, essi presentano un incertezza maggiore, legata alla precisione con cui si riescono a realizzare le tensioni di uscita del DAC.

4 Definizioni di incertezza tipo A e B, estesa e combinata e relative modalità di calcolo: Si parla di incertezza tipo quando l incertezza di una misura è espressa come scarto tipo. Le componenti di incertezza sono classificate in relazione al modo con il quale sono state determinate: - Tipo A: valutazione delle incertezze mediante l analisi di una serie di osservazioni/misure. Questo tipo di incertezze vengono valutate nel seguente modo: 1. Si ripete la misura N volte 2. Si calcola la media: 3. Si calcola la stima dello scarto tipo: 4. Calcoliamo l incertezza tipo come scarto tipo della media: - Tipo B: valutazione delle incertezze mediante strumenti diversi dall analisi statistica del tipo A. Una valutazione di incertezza standard di tipo B è basata sull esame di tutte le informazioni disponibili come i risultati di misurazioni precedenti, informazioni sugli strumenti di misura, specifiche tecniche del costruttore, dati di calibrazione. L incertezze viene quindi definita da qualcun altro o a partire da una distribuzione di probabilità. Quindi le incertezze di questo tipo possono essere espresse attraverso la deviazione standard della densità di probabilità che si è supposto descrivere la variabile casuale in esame. Per definire l incertezza in termini di affidabilità della misura si definisce l incertezza estesa, ottenuta moltiplicando l incertezza di misura per il fattore di copertura. L incertezza estesa della variabile viene pertanto definita:. Quindi ci si aspetta che il valore vero di sia limitato dall incertezza estesa con un livello di probabilità che dipende da :. Tipicamente assume valori compresi tra 2 e 3 con un rispettivo livello di confidenza approssimato di 95 e 99%.Se tutte le misure affette da incertezza di tipo A sono acquisite con un numero di eventi elevato si possono combinare le incertezze e utilizzare direttamente il fattore di copertura valido per una variabile a distribuzione gaussiana. In generale vi sono procedure per la determinazione di queste incertezze pesando i contributi delle varie misure e le loro incertezze. Ricavare la relazione fondamentale dell estensimetria: Consideriamo un estensimetro a filo. Vogliamo cercare la variazione specifica di resistenza in funzione della variazione specifica di lunghezza, e cioè della deformazione unitaria. Facendo:, quindi, trascurando la variazione di resistività otteniamo:, dove è il fattore di taratura. La relazione fondamentale dell estensimetria risulta:, relazione valida indipendentemente dalla forma della sezione del conduttore. L espressione del fattore di taratura è approssima a causa della sensibilità trasversale. Descrivere il fenomeno del leakage e gli interventi atti a contenerlo: Il fenomeno del Leakage consiste: - Nel dominio del tempo in una comparsa di discontinuità del segnale; - Nel dominio delle frequenze in uno sparpagliamento dell energia dell armonica su di una banda di frequenze più ampia; Se la durata del campionamento coincide con il periodo del segnale (o un suo multiplo), il cambio di dominio da tempo a frequenze avviene correttamente. Se la lunghezza della storia temporale considerata non contiene un numero intero di periodi del segnale, il cambio di dominio da tempo a frequenze avviene in maniera errata. L errore che si commette nel dominio delle frequenze viene detto errore di Leakage. Quello che notiamo nel dominio delle frequenze è che l energia associata al segnale viene distribuita su di una banda di frequenza molto più ampia, comportando una sottostima dell ampiezza della componente armonica. Il rimedio del Leakage è solitamente costituito dall uso di finestre temporali sul segnale misurato. La finestratura riduce il Leakage ma non lo elimina del tutto. L adozione di queste finestre distorce il segnale e lo obbliga ad avere lo stesso valore all inizio e alla fine della finestra. Le finestre più utilizzate sono quelle cosinusoidali che forzano a zero il segnale ai bordi della finestra stessa, come quelle di Hanning, Hamming e Kaiser, le quali hanno equazioni nella forma:. Sistema di acquisizione posizione elementi(commento): Due soli elementi rimangono in posizioni prestabilite: il trasduttore (primo) e il convertitore AD (ultimo). Il filtro AA deve operare su un segnale di analogia con l'ingresso quindi prima di elementi che ne modifichino la storia temporale. Il Mux collega ciclicamente un ingresso con l'uscita consentendo l'acquisizione multicanale. Il circuito S/H e quello amplificatore possono essere indifferentemente posizionati prima o dopo il MUX mentre il filtro AA (uno per canale) deve essere posizionato prima. Vi è la possibilità di adeguare il condizionamento al singolo canale senza perdere tempo se l'amplificatore viene posto a monte del MUX (anziché a monte del convertitore).

5 RSS rappresenta correttamente la propagazione delle incertezze quando queste sono indipendenti tra loro: La radice della somma dei quadrati (RSS) tiene conto della probabilità che i diversi errori concorrano alla misura con il loro valore massimo. Quindi possiamo definire l incertezza del risultato come:, dove con è stato indicato il contributo all errore della funzione dovuto all errore associato alla variabile i-esima. Poiché l incertezza viene espressa in termini di deviazione standard ed il quadrato della deviazione standard è la varianza, stiamo dicendo che la varianza di è data dalla somma delle varianze delle singole variabili, ciascuna pesata con la sensibilità che la variabile presenta nei suoi confronti. Quindi:. Esprimendo la varianza della variabile in funzione delle grandezze dalle quali dipende, ed utilizzando un formalismo matriciale, possiamo esprimere la varianza come:, dove: è il vettore la cui k-esima riga contiene la differenza tra il valore medio delle misure di e la misura di del set i-esimo, e è il vettore delle sensibilità. Dal momento che i coefficienti di sensitività risultano indifferenti alla sommatoria, otteniamo che: funzione dei vettori di sensitività e della matrice di covarianza delle misure:. Possiamo quindi introdurre la definizione di matrice di covarianza:, ed ottenere l espressione della varianza della grandezza in termini della matrice di covarianza diagonali sono definiti come varianza, mentre quelli extra-diagonali come covarianza. Le covarianze rappresentano la combinazione delle incertezze sulle singole misure a seguito della loro iterazione. Se le incertezze sulle singole misure risultano indipendenti tra loro la matrice di covarianza risulta essere diagonale, con ciascun termine dato dalla varianza della variabile corrispondente. Quindi, in questo caso la varianza di Q si riduce alla somma delle varianze delle singole misure e quindi alla RSS. Le hp di indipendenza e di simmetria degli scostamenti delle incertezze di variabili casuali sono normalmente ragionevoli ma devono essere verificate. Espressione generica della misura di una grandezza e della sua incertezza tipo per un sistema di acquisizione dati: Nel caso di campo bipolare, l espressione generica della misura risulta essere:. Quindi, si determina la misura in unità fisiche mediante il coefficiente di taratura:. Considerando una distribuzione di probabilità uniforme, possiamo scrivere che l incertezza di quantizzazione è pari a metà del quanto:, oppure meno cautelativamente: (L'incertezza può essere ridotta riducendo il campo di misura o aumentando il numero degli intervalli in cui questo viene suddiviso). Essendo costante (dipende solo dal campo di misura e dal quanto) assume un peso relativo più o meno importante a seconda del valore della misura: tanto più è piccola rispetto al fondoscala tanto maggiore è il valore dell'incertezza relativa di quantizzazione. Per cercare di contenere l'incertezza di quantizzazione a livelli accettabili si possono utilizzare quantizzazioni non uniformi: - quantizzazione uniforme: l'errore relativo dell'incertezza non è uniforme sul campo di misura - quantizzazione non uniforme: l'errore relativo dell'incertezza è uniforme sul campo di misura Descrizione sintetica del fenomeno di Aliasing Dal th del campionamento sappiamo che la minima freq di campionamento necessaria per evitare ambiguità e perdita di informazione nella ricostruzione del segnale analogico originario (ovvero nella riconversione digitale-analogica) è pari al doppio della sua freq massima. Quando questa condizione non viene rispettata, cioè quando il segnale è sottocampionato, il suo andamento temporale viene alterato e si incorre nel fenomeno dell aliasing. Se non viene rispettato tale teorema, cioè si ha un sottocampionamento del segnale analogico nel dominio del tempo, nel dominio delle frequenze si ha la produzione di freq non proprie del segnale originario (alias). Effetto dell aliasing nel dominio della freq è quello per cui le componenti di freq superiore a fmax vengono ribaltate (folding) nell intervallo di interesse 0-fmax, ruotando attorno al valore della semi frequenza di campionamento ed ai suoi multipli interi.. I

6 Caratteristiche di un accelerometro piezoresistivo ed uno piezoelettrico: Accelerometro piezoresistivo: L accelerometro è un trasduttore che permette di effettuare misure di accelerazione. Solitamente sono costituiti da un asta incastrata, all estremo della quale è posta una massa sismica. Sull asta sono posti 4 estensimetri che servono per misurare la flessione. L accelerazione del corpo su cui è posto l accelerometro infatti provoca una forza d inerzia sulla massa sismica e quindi una flessione sulla sbarra. Poiché si vuole che la sensibilità dello strumento sia alta, l asta deve essere facilmente deformabile. Ma a causa di questo requisito la pulsazione naturale dello strumento risulta essere quindi bassa. Allora si inserisce dell olio smorzante all interno di questo sistema, in modo tale che lo smorzamento adimensionale risulti essere circa. In questo modo la banda di utilizzo risulta essere nell ordine di 1 khz. La portata, tipicamente, è di circa. Accelerometri piezoelettrici: Sono costituiti da una massa piezoelettrica sormontata da una massa sismica. Quando il corpo su cui questo accelerometro è posto subisce un accelerazione, la massa sismica subisce una forza d inerzia che deforma la massa piezoelettrica, che genera quindi una differenza di potenziale. La massa piezoelettrica ha una rigidezza molto elevata, e dunque la pulsazione naturale risulta essere alta. Lo smorzamento risulta quindi tipicamente basso, mentre la banda passante di questi accelerometri risulta essere molto più elevata di quella degli accelerometri piezoresistivi: nell ordine dei 100 khz. La portata, tipicamente, è di circa. Lo svantaggio di questi sistemi è che non sono in grado di rilevare un accelerazione costante. Accuratezza di un potenziometro a spirale e di un encoder assoluto per la misura di uno spostamento lineare: Risoluzione di un encoder assoluto: Risoluzione di un potenziometro a spire:

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