Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4

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1 ispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 Qurto trimestre del o nno del Corso di Lure in Ingegneri Elettronic ocente: Murizio Romeo Mggio 25

2 ii

3 Indice Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Integrli doppi Formule di riduzione per gli integrli doppi Cmbimento di vribili negli integrli doppi Clcolo di ree di superfici Integrli di superficie Integrli tripli Appliczioni degli integrli doppi e tripli erivzione sotto il segno di integrle Integrli impropri 3 2. Integrli estesi d intervlli non limitti Integrli di funzioni non limitte Integrli impropri di funzioni di più vribili Esempi di clcolo di integrli impropri Forme differenzili Integrli di line Integrli di forme differenzili Forme differenzili estte e cmpi conservtivi Formul di Green Anlisi vettorile Linee di un cmpo vettorile Flusso di un cmpo vettorile Teorem dell divergenz Cmpi solenoidli Teorem di Stokes Cmpi irrotzionli e cmpi conservtivi Opertori differenzili Serie numeriche efinizioni e operzioni sulle serie Criteri di convergenz Serie lternnti e serie ssolutmente convergenti iii

4 iv INICE 6 Serie di funzioni Convergenz uniforme Serie di potenze Serie di Tylor Serie di Fourier Sistemi trigonometrici Serie trigonometriche Criterio di convergenz Serie di funzioni con periodo rbitrrio Rppresentzione compless dell serie di Fourier Funzioni di un vribile compless 7 8. Premesse Funzioni derivbili e funzioni nlitiche Funzioni elementri Integrzione di funzioni nlitiche Formul integrle di Cuchy

5 Cpitolo Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Considerimo il rettngolo R = {(x, y) R 2 : x b, c y d} e denotimo con mis(r) = (b )(d c), l su re. Chimeremo plurirettngolo R l insieme dto dll unione di un numero finito di rettngoli R i, (i =,..., n), privi di punti interni comuni e definiremo mis( R) = n i= mis(r i). Si un insieme limitto di R 2 e denotimo con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenenti e con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenuti in. iremo che è misurbile se si verific uno dei seguenti csi. è privo di punti interni e inf {mis( R)} =. R R Allor è un insieme di misur null ovvero mis() =. è dotto di punti interni e risult Allor mis() = A. inf {mis( R)} = R R sup {mis( R )} = A. R R Se l insieme non è limitto esso si dirà misurbile se risultno misurbili le sue intersezioni con un qulunque cerchio. L estremo superiore delle misure di queste intersezioni srà l misur di. Semplici esempi di insiemi misurbili in R 2 sono i domini normli. Sino α(x) e β(x) due funzioni integrbili in [, b] e tli che α(x) β(x), x [, b]. Considerimo l insieme = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si dice che è un dominio normle rispetto ll sse x. Verifichimo che è un insieme misurbile. Inftti, per ogni prtizione P di [, b] si può costruire l insieme R (P ) dei plurirettngoli R P contenenti e l insieme R (P ) dei plurirettngoli contenuti in tli che R P mis(r P ) = S(β, P ) s(α, P ), mis(r P ) = s(β, P ) S(α, P ). dove S e s indicno rispettivmente le somme integrli superiore e inferiore. Si h inf P sup P mis(r P ) = inf[s(β, P ) s(α, P )] = inf P P mis(r P ) = sup P [s(β, P ) S(α, P )] = sup S(β, P ) sup s(α, P ) P P s(β, P ) inf P S(α, P ).

6 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI M per l integrbilità di α e di β si h inf P S(β, P ) = sup P s(β, P ) e sup P s(α, P ) = inf P S(α, P ), e quindi inf mis(r P ) = sup mis(r P ). P P Ne segue l misurbilità di. Si h inoltre mis() = b [β(x) α(x)] dx. Notimo che se fosse α = β = f in [, b], coinciderebbe con il grfico di f. In tl cso si vrebbe un insieme privo di punti interni e tle che inf P mis(r P ) =. Ciò signific che il grfico di un funzione integrbile h misur null. Anlogmente, dte due funzioni integrbili γ(y), δ(y) definite in [c, d], con γ(y) δ(y), y [c, d], l insieme = {(x, y) R 2 : γ(y) x δ(y), c y d}, si dice dominio normle rispetto ll sse y e risult un insieme misurbile, con mis() = d c [δ(y) γ(y)] dy. Se le funzioni α, β, γ, δ degli esempi precedenti sono nche derivbili con derivte prime continue, llor i loro grfici srnno curve regolri ed i domini si dirnno domini normli regolri. Tutti gli insiemi pini delimitti d curve regolri trtti si possono decomporre nell unione di domini normli regolri privi di punti interni in comune, e quindi risultno misurbili (vedi figur). Concetti nloghi possono essere introdotti in R 3. Si R il prllelepipedo definito d {(x, y, z) R 3 : x, b y b, c z c }. enoteremo con mis(r) = ( )(b b)(c c) il suo volume. iremo pluriprllelepipedo R l insieme dto dll unione di un numero finito di prllelepipedi R i (i =,..., n) privi di punti interni comuni e definimo mis( R) = n i= mis(r i). Si T R 3, limitto.

7 .2. INTEGRALI OPPI 3 enotti con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenenti T e con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenuti in T, diremo che T è misurbile (o cubbile) se si verific uno dei seguenti csi. T è privo di punti interni e si h Allor mis(t ) =. inf mis( R) =. R R T L estremo superiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T coincide con l estremo inferiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T. In tl cso mis(t ) = inf mis( R) = R R T sup mis( R ). R R T Un insieme T R 3 non limitto si dice misurbile se sono misurbili le sue intersezioni con un qulunque sfer. L estremo superiore delle misure di tli intersezioni srà l misur di T. to l insieme R 2 e il numero h R +, diremo cilindro (in senso generlizzto) l insieme T R 3 definito d T = [, h]. Si dimostr fcilmente che se è limitto e misurbile llor T è misurbile e si h mis(t ) = mis() h. Si dice pluricilindro l unione di un numero finito di cilindri privi di punti in comune. L su misur srà l somm delle misure dei singoli cilindri. Si f : R 2 R +. L insieme T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)} si dice cilindroide reltivo. Si può dimostrre che se è limitto e misurbile e se f è continu in, llor il cilindroide T è misurbile..2 Integrli doppi Si R 2 un insieme misurbile e si f(x, y) un funzione limitt e non negtiv in. Effettuimo un prtizione P di in un numero finito di sottoinsiemi i tli che = n i= i e i j = per

8 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI i j. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f in i. Considerimo le somme integrli s(f, P ) = n m i mis( i ), S(f, P ) = i= n M i mis( i ), i= che rppresentno le misure di due pluriprllelepipedi, il primo contenuto ed il secondo contenente il cilindroide di f reltivo. Poichè m i M i, (i =,...n), si h, per ogni prtizione P, s(f, P ) S(f, P ). Inoltre, se si consider un rffinmento P dell prtizione P, d esempio in modo tle che gli insiemi i bbino dimetro inferiore quello degli insiemi nell prtizione P, si h Al vrire di tutte le possibili prtizioni, si vrà s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P Si dice llor che f(x, y) è integrbile in se ccde che e si pone sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I, P P I = f(x, y) dxdy, detto integrle doppio di f esteso l dominio. In form più sintetic si scrive nche I = f(x) dx, dove x = (x, y). In bse quest definizione e l risultto del prgrfo precedente sull misurbilità del cilindroide T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)}, l integrle doppio dell funzione f(x, y) continu in ssume il significto geometrico dell misur di T, ovvero del volume del cilindroide di sezione. mis(t ) = f(x) dx Notimo che, se f(x, y) =, (x, y), llor si h m i = M i = e s(f, P ) = S(f, P ) = n i= mis( i) = mis(). Ne segue dx = mis(). Se f h segno vribile in, si può sempre considerre l funzione usiliri g(x, y) = f(x, y) + k dove, essendo f limitt, k è tle che f(x, y) < k. In tl cso g(x, y) è non negtiv in e si h sup[s(g, P )] inf[s(g, P )] = sup[s(f, P )] + kmis() inf[s(f, P )] kmis() P P P P = sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

9 .2. INTEGRALI OPPI 5 Quindi, se g è integrbile lo srà nche f e si vrà f(x) dx = g(x) dx k mis(). Il seguente teorem, che non dimostreremo, costituisce un importnte condizione sufficiente per l integrbilità. Teorem. Si dt f : R 2 R con limitto e misurbile. Se f è continu in, eccettuto l più un insieme U di misur null, llor f è integrbile in. Come corollrio questo teorem segue nche che se f e g sono due funzioni continue, definite in un insieme limitto e misurbile e risult f(x, y) = g(x, y), (x, y) \ U, llor le due funzioni sono integrbili e i loro integrli estesi coincidono. Gli integrli doppi soddisfno proprietà nloghe quelle degli integrli delle funzioni di un vribile. Le più importnti sono le seguenti. ) te due funzioni f e g integrbili in e dti c, c 2 R si h [c f(x, y) + c 2 g(x, y)] dxdy = c f(x, y) dxdy + c 2 g(x, y) dxdy. 2) Sino e 2 due sottoinsiemi misurbili di tli che 2 = e 2 =. Per ogni f integrbile in si h f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. 2 3) Se f e g sono due funzioni integrbili in e tli che f(x, y) g(x, y), (x, y), si h

10 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. 4) ll proprietà precedente segue che, essendo f(x) f(x) f(x), si h f(x) dx f(x) dx f(x) dx, d cui f(x) dx f(x) dx. 5) (Teorem dell medi). Se f è continu in un insieme misurbile chiuso e limitto, esiste un punto x tle che f(x) dx = f( x) mis(). L dimostrzione di quest proprietà è simile l cso delle funzioni di un vribile. Nel nostro cso, detti m ed M rispettivmente il minimo e il mssimo di f in, scrivimo l diseguglinz m f(x) M, x. Integrndo su e tenendo conto delle proprietà ) e 3) si h m mis() f(x) dx M mis(), d cui m f(x) dx M. mis() Per l su continuità, f ssumerà in tutti i vlori compresi tr m ed M e quindi esisterà un x tle che f( x) = f(x) dx. mis().3 Formule di riduzione per gli integrli doppi Considerimo nel pino crtesino un dominio normle rispetto ll sse x, dto d = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si f(x, y) continu in e quindi integrbile. Fissto x [, b] considerimo l quntità β( x) α( x) f( x, y) dy. Poichè f(x, y) è continu, l su restrizione per x = x è un funzione continu di y. Inoltre, per ogni x [, b] si h α(x) β(x) e quindi α( x) β( x). Queste osservzioni dnno senso ll integrle precedente, comunque si scelg x nell intervllo [, b]. Esso rppresent geometricmente l re dell sezione del cilindroide T di f reltivo, sul pino x = x. efinimo or l funzione G(x) = β(x) α(x) f(x, y) dy.

11 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 7 Si può dimostrre che, se α(x) e β(x) sono continue in [, b], llor G(x) è continu in [, b]. Ess risult quindi integrbile e si h b G(x) dx = sup s(g, P ) = inf S(G, P ), P P dove s(g, P ) e S(G, P ) sono rispettivmente le somme integrli inferiore e superiore di G per un dt prtizione P dell intervllo [, b]. Si può osservre che s e S rppresentno le misure di due pluricilindroidi T s e T S. In generle T s non è contenuto in T, nè T S contiene T. Sussiste tuttvi l diseguglinz s(g, P ) mis(t ) S(G, P ), P. Allor dll integrbilità di G si dovrà necessrimente vere b G(x) dx = mis(t ). Ne segue l formul di riduzione per gli integrli doppi estesi d un dominio normle rispetto ll sse x b β(x) f(x, y) dxdy = dx f(x, y) dy. In modo nlogo, considerto un dominio normle rispetto ll sse y, sotto le corrispondenti ipotesi, si ricv d δ(y) f(x, y) dxdy = dy f(x, y) dx. Se nelle formule precedenti si pone f(x, y) =, (x, y), si ottiene il risultto già noto mis() = dxdy = c α(x) γ(y) { b [β(x) α(x)] dx, se è normle rispetto x d c [δ(y) γ(y)] dy, se è normle rispetto y

12 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Esempi ) Considerimo il dominio compreso tr l rco di ellisse di equzione x2 qudrnte e gli ssi x e y. Voglimo clcolre x dxdy. + y2 2 b 2 = del primo Il dominio risult normle si rispetto ll sse x che rispetto ll sse y. Come dominio normle rispetto ll sse x esso è dto d { x : y b 2 x 2. Medinte l formul di riduzione, ottenimo b 2 x 2 x dxdy = dx x dy = = 2) Clcolimo l integrle doppio b 2 x 2 x dx = b 2 x dx (2x y + 3) dxdy, b 2 x 2 dy 2x 2 x 2 dx = b 3 2. dove è il dominio compreso tr l prbol y = x 2 e l rett y = x. Anche in questo cso il dominio può essere visto come normle rispetto ll sse delle x o ll sse delle y. Considerto come dominio normle rispetto ll sse x si h { x : x 2 y x. Si ottiene così (2x y + 3)dxdy = = = x dx (2x y + 3)dy = [2xy y2 x y ) (2x 2 x x 2x3 + x4 2 3x2 dx (3x 32 ) x2 2x 3 + x4 dx = Considerto come dominio normle rispetto ll sse delle y, si h { y : y x y. ] y=x y=x 2 dx Ne segue che (2x y + 3) dxdy = = dy y y (2x y + 3) dx = (3 y 2y y 3 ) dy = 3 5. [ x 2 xy + 3x ] x= y x=y dy

13 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 9 3) Voglimo clcolre il volume dell regione T dello spzio delimitt dl prboloide di equzione z = x 2 + y 2 ed il pino z = h 2. Tle volume è dto d (h 2 x 2 y 2 ) dxdy, dove è il cerchio di rggio h e centro nell origine del pino x, y. Considerndo come dominio normle rispetto ll sse x si h { h x h : h 2 x 2 y h 2 x 2. Si ottiene llor (h 2 x 2 y 2 ) dxdy = = = h h h h h h h 2 x 2 dx h 2 x 2 (h 2 x 2 y 2 ) dy [(h 2 x 2 )y y3 3 ] h 2 x 2 h 2 x (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx Quest ultimo integrle può essere risolto medinte l sostituzione x = h sin t. Si ottiene h h 4 3 (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx = 4 3 h4 π/2 π/2 cos 4 t dt = h4 2 π. dx 4) Clcolimo l integrle doppio y x 2 dxdy, dove : { x y. A cus del vlore ssoluto, dobbimo distinguere due csi. In si h { y x 2 x (x, y) : y x 2 = { x 2 y x 2 x y (x, y) 2 : y x 2 Utilizzndo l proprietà 2) si ottiene y x 2 dxdy = (y x 2 ) dxdy + (x 2 y) dxdy. 2 Si h y x 2 dxdy = = = dx [ y 2 x 2 (y x 2 ) dy + 2 x2 y ] x 2 dx + (x 4 + ) dx = 2 5. dx x 2 [x 2 y y2 2 (x 2 y)dy ] x 2 dx

14 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI 5) Clcolre l integrle doppio e x+y dxdy, dove è l regione di pino compres tr i due qudrti : Tenuto conto dell proprietà 2) si h Ottenimo così, { x y 2 : { 2 x 2 2 y 2 e x+y dxdy = 2 e x+y dxdy + e x+y dxdy = e x+y dxdy 2 e x+y dxdy = = dx 2 e x dx 2 2 e x+y dy 2 e y dy dx e x+y dxdy. e x dx e x+y dy e y dy = (e 2 e 2 ) 2 (e e ) 2 = 2 cosh 4 2 cosh 2..4 Cmbimento di vribili negli integrli doppi Si K R 2 un dominio con frontier regolre trtti e si Φ : K R 2 un funzione di componenti φ (u, v), φ 2 (u, v), con (u, v) K, tle che Φ C (K), detj(u, v), (u, v) K, essendo J l mtrice jcobin di Φ. ett l immgine di Φ in R 2, ponimo { x = φ (u, v) (u, v) K, (x, y), y = φ 2 (u, v), e supponimo che queste equzioni mettno in corrispondenz biunivoc K con. Allor si può dimostrre che le equzioni precedenti stbiliscono un corrispondenz biunivoc tr tutto K e tutto. Se x e y sono coordinte crtesine in, le funzioni φ e φ 2 individuno nuove coordinte u, v in R 2, che diremo coordinte curvilinee. Preso un punto (u, v ) K le due curve C u : { x = φ (u, v ) y = φ 2 (u, v ), C v : { x = φ (u, v) y = φ 2 (u, v), (u, v) K,

15 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI hnno il grfico in e risultno regolri. Inoltre, i versori tngenti ciscun curv in (u, v ), e u = x / x u u, e v = x / x v v, risultno linermente indipendenti cus dell ipotesi detj. Le curve C u e C v si dicono linee coordinte ed e u, e v, versori del sistem di coordinte u, v. Porremo inoltre detj = J e lo chimeremo jcobino dell trsformzione dlle coordinte u, v lle coordinte x, y. Un esempio già noto di coordinte curvilinee nel pino è quello delle coordinte polri, definite d { x = ρ cos θ K = {(ρ, θ) R 2 : ρ >, θ [, 2π[}. y = ρ sin θ, In tl cso, preso un punto (ρ, θ ) K, le curve C ρ e C θ, pssnti per (ρ, θ ) sono rispettivmente un segmento di rett per l origine ed un rco di circonferenz di centro l origine e rggio ρ. Si h inoltre x x ρ θ J = y y = cos θ { ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ >, e ρ = cos θe + sin θe 2 e θ = sin θe + cos θe 2. ρ θ Ritornndo l cso generle, poichè K è delimitto d un curv regolre trtti, esso risult misurbile. L corrispondenz tr K e e l condizione Φ C (K), implicno che nche è regolre trtti e quindi risult misurbile. Voglimo trovre un formul per esprimere l misur di trmite le nuove coordinte in K. A tle scopo considerimo l insieme R K dei plurirettngoli contenuti in K e l insieme R K dei plurirettngoli contenenti K, ottenuto medinte un prtizione P. Fissto un plurirettngolo di R K considerimo il suo i-esimo rettngolo K i e si (u i, v i ) un suo spigolo (vedi figur). Trmite l trsformzione x = Φ(u, v), K i corrisponderà un qudriltero curvilineo i di vertice (x i, y i ) corrispondente (u i, v i ). ette u e v le misure dei lti di K i si vrà mis(k i ) = u v.

16 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI I lti corrispondenti di i srnno dti dgli incrementi delle scisse curvilinee su C u e C v pssnti per (u i, v i ), ovvero ui + u s(u i ) = x vi + v u du, s(v i) = x v dv, u i e l misur pprossimt di i si potrà pensre come l re di un prllelogrmm curvilineo, il cui vlore è dto dll norm del prodotto vettorile tr i due vettori tngenti i lti curvilinei in (x i, y i ), di lunghezz pri gli incrementi s(u i ) e s(v i ). Se pprossimimo tli incrementi con i corrispondenti differenzili, vremo, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, x mis( i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = x u v dudv Poichè u v = dudv, vremo = J(u i, v i ) dudv. (ui,v i ) mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ), d cui mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ). i i ltr prte, per ogni prtizione P si può scrivere v i (ui,v i ) s( J, P ) i mis(k i ) J(u i, v i ). Per l integrbilità di J in K segue che sup mis( i ) P i K J(u, v) dudv. Anlogmente, considerndo un plurirettngolo di R K si ottiene mis(k i ) J(u i, v i ) S( J, P ), i

17 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI 3 e, sempre per l integrbilità di J, si h inf mis( i ) P d cui concludimo i mis() = K K J(u, v) dudv, J(u, v) dudv. Spendo che mis() = dxdy, possimo enuncire il seguente risultto Teorem.2 Si K un dominio con frontier regolre trtti e si x = Φ(u, v) un trsformzione di coordinte con Φ C (K), vlori in, con J in K e tle d grntire un corrispondenz biunivoc tr K e. Allor dxdy = J(u, v) dudv. Esempio K Clcolimo l re dell superficie dell regione del primo qudrnte del pino x, y delimitto dlle due iperboli xy = 2 e xy = b 2 con < < b e dlle rette y = αx e y = βx, con < α < β (vedi figur). L re dell superficie è dt d mis() = dxdy. Considerimo l trsformzione di coordinte xy = u, y x = v. Il dominio corrispondente è K = {(u, v) R 2 : 2 u b 2, α v β}. Si può scrivere { x = u v y = (u, v) K, uv, e si h J = 2 uv v 2 u u 2v v u 2 v = 2v >. Quest trsformzione soddisf tutte le ipotesi del teorem.2. Si ottiene llor dxdy = K J(u, v) dudv = b 2 2 β du α 2v dv = b2 2 ln β 2 α. L tesi del teorem.2 sussiste nche nel cso in cui le ipotesi non sino soddisftte in un insieme di misur null. Considerimo d esempio il dominio costituito dll coron circolre di centro l origine, rggio interno r e rggio esterno R, = {(x, y) R 2 : r 2 x 2 + y 2 R 2 }. Trsformndo in coordinte polri si ottiene il dominio K = {(ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ [, 2π[}.

18 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI L frontier K non è in corrispondenz biunivoc con in qunto i vlori θ = e r < ρ < R corrispondono i punti interni di dti d r < x < R, y =. Come ltro esempio considerimo il cerchio di centro l origine e rggio R Trsformndo in coordinte polri, si h = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 }. K = {(ρ, θ) R 2 : ρ R, θ [, 2π[}, e, per ρ =, si h J =. In mbedue i csi si può pensre come il limite di un successione di domini per i quli sussistono le ipotesi del teorem.2. In prticolre, nel cso dell coron circolre considerimo l successione {K n }, dove { [ K n = (ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ, 2π ]}. n Si h mis() = lim n = lim n 2 n ρ dρdθ = lim K ( n 2π n 2π n dθ R r ρ dρ ) (R 2 r 2 ) = π(r 2 r 2 ). Nel cso del cerchio considerimo l successione {K n }, con K n = {(ρ, θ) R 2 : n [ ρ R, θ, 2π ]}, n e si h mis() = lim n = lim n 2 K n ρ dρdθ = lim n ( 2π n 2π n dθ R n ) (R 2 n ) 2 = πr 2. ρ dρ

19 .5. CALCOLO I AREE I SUPERFICI 5 L conseguenz di questi risultti è che il teorem.2 continu d essere vlido se le ipotesi sono soddisftte per un coppi di successioni di domini {K n } e { n } e se ccde che lim n mis(k n ) = mis(k) e lim n mis( n ) = mis(). Con un dimostrzione nlog quell del teorem.2 si può provre l formul di trsformzione degli integrli doppi per cmbimento di vribili. Sussiste il seguente risultto. Teorem.3 Sotto le stesse ipotesi del teorem.2, dt l funzione f(x, y), continu in, si h f(x, y) dxdy = f[x(u, v), y(u, v)] J(u, v) dudv. Esempio K Clcolre l integrle doppio + x 2 + y dxdy, con = {(x, y) 2 R+ R + : x 2 + y 2 }. Pssndo coordinte polri ottenimo { K = (ρ, θ) R 2 : ρ, θ π }. 2 Poichè J = ρ, si h J = per ρ =. Anche nel cso del teorem.3 vle però l osservzione ftt proposito dell vlidità del teorem.2 e l formul di clcolo per cmbimento di coordinte vle ncor. Si ottiene dxdy + x 2 + y = 2 K π ρ dρdθ = 2 + ρ 2 ρ dρ dθ = π + ρ 2 2 ( 2 )..5 Clcolo di ree di superfici Considerimo un superficie regolre S, definit d x = φ (u, v) S : y = φ 2 (u, v) z = φ 3 (u, v), (u, v) K, dove K R 2 è chiuso, limitto e connesso e Φ C (K). Preso un punto (u, v ) K, si x il punto corrispondente di S. Sppimo che, fissto v = v e fcendo vrire u le equzioni precedenti descrivono un curv regolre C u pssnte per x, il cui versore tngente in x è dto d e u = Φ u (u,v )/ Φ u (u,v ). Anlogmente, fissto u = u e fcendo vrire v si ottiene un curv regolre C v per x, il cui versore tngente è e v = Φ v (u,v )/ Φ v (u,v ).

20 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Per l regolrità di S i prmetri u e v costituiscono un sistem di coordinte curvilinee sull superficie S. In modo nlogo qunto visto per il cmbimento di vribili negli integrli doppi, possimo fre un prtizione P dell superficie S in un numero finito di porzioni S i (i =,..., n), tutte contenute in S e delimitte d rchi di curve C u e C v. Se indichimo con ds(u i ) e ds(v i ) le lunghezze di un coppi di tli rchi, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, l re dell superficie dell porzione S i srà dt d A S (S i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv. Sommndo i contributi di tutte le porzioni di superficie, l vrire dell prtizione P su S, ottenimo un insieme di ree che mmette come estremo superiore l re dell superficie di S. In ltri termini ottenimo A S (S) = sup A S (S i ) = Φ u Φ v dudv. P i Se l superficie è dt in form esplicit z = f(x, y) dove f è un funzione continu con derivte przili continue in un dominio A R 2 chiuso, limitto e connesso, llor, ponendo x = u S : y = v (u, v) A. z = f(u, v), Si ottiene Φ u Φ v = A + K ( ) f 2 + u ( ) f 2, v e di conseguenz l formul per il clcolo dell superficie divent ( ) f 2 ( ) f 2 A S (S) = + + dxdy. x y Esempi ) Clcolre l re dell superficie di un sfer di rggio R. Le equzioni prmetriche dell sfer di rggio R sono x = R sin θ cos ψ S y = R sin θ sin ψ (θ, ψ) K, z = R cos θ, dove K = [, π] [, 2π[. Si ottiene Φ θ = (R cos θ cos ψ, R cos θ sin ψ, R sin θ), Φ ψ = ( R sin θ sin ψ, R sin θ cos ψ, ), d cui Si ricv così, A S (S) = 2π Φ θ Φ ψ = R 2 sin θ. π dψ R 2 sin θ dθ = 2πR 2 [ cos θ] π = 4πR 2.

21 .6. INTEGRALI I SUPERFICIE 7 Osservzione. Si deve notre che θ, ψ perdono il requisito di coordinte curvilinee su S per θ =, π cus dell non biunivocità dell corrispondenz coi punti dell sse z. Tuttvi, se si considerno i domini K n = [ n, π n] [, 2π[, con n N rbitrrio, le coordinte θ, ψ sono effettive coordinte curvilinee in S ed inoltre, dett A n l re dell porzione di S ottenut per (θ, ψ) K n, si h lim n A n = A S (S). Ciò giustific l vlidità dell formul del clcolo dell re di un superficie nche in tl cso. 2) Clcolre l re dell superficie del cilindro di equzione y 2 + z 2 = R 2 contenut nell regione di spzio individut d z, x y, y. In questo cso possimo esprimere l superficie in form esplicit scrivendo z = f(x, y) = R 2 y 2, (x, y) A, A = {(x, y) R 2 : y R, x y}. Poichè si h si ottiene = A R f x =, f y = + y2 R 2 y 2 dxdy = R y R 2 y 2, ( y y ) R R 2 y dx dy 2 2Ry R 2 y 2 dy = [ 2R R 2 y 2 ] R = 2R2..6 Integrli di superficie Si S un superficie regolre definit d Φ : K R 2 R 3 con K limitto, chiuso e connesso e si f(x) un funzione definit in un dominio T R 3 contenente S, continu in T. Fccimo un prtizione di K in un numero finito di domini K i, non venti punti interni in comune. A questi K i corrispondernno ltrettnte superfici S i, prive di punti interni in comune, l cui re, meno di infinitesimi di ordine superiore in dudv è A S (S i ) = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv, essendo (u i, v i ) K, con Φ(u i, v i ) S i. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore dell restrizione di f in S i. Se l vrire dell prtizione P su S si h llor si pone sup P i m i A S (S i ) = inf P I S = S M i A S (S i ) = I S, i f(x) ds, che si chim integrle di superficie dell funzione f. Sotto le condizioni dte, l integrle di superficie di f esiste e si h f(x) ds = f[φ (u, v), φ 2 (u, v), φ 3 (u, v)] Φ u Φ v dudv. S K

22 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Nel cso in cui l superficie mmett l rppresentzione crtesin z = φ(x, y), si h S f(x) ds = dove A è un dominio limitto e connesso. Esempio A f[x, y, φ(x, y)] + ( ) φ 2 + x ( ) φ 2 dxdy, y t l funzione f(x) = x 2 + y 2 + z 2 e l porzione S di prboloide di equzione z = 2 (x2 + y 2 ) con z, clcolre l integrle di superficie di f su S. Si h S f(x) ds = A [ x 2 + y (x2 + y 2 ) 2 ] + x 2 + y 2 dxdy, dove A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2}. Pssndo in coordinte polri si ottiene S f(x) ds = 2π dθ 2 ( ρ ρ4 ) + ρ 2 ρ dρ. Medinte l sostituzione + ρ 2 = t, si h ρ 2 = t 2, ρdρ = tdt, d cui S f(x) ds = 2π 3 [t (t2 ) 2 ] t 2 dt = 2π 35 ( )..7 Integrli tripli L definizione di integrle triplo si può introdurre in modo nlogo l cso dell integrle doppio. Si trtt di estendere domini tridimensionli e funzioni in R 3 qunto è stto detto circ gli integrli di funzioni di due vribili in domini di R 2. Si T R 3 un insieme cubbile ed f : T R un funzione limitt in T. Effettundo un prtizione P T i T j=, di T in un numero finito di insiemi T i (per esempio dei prllelepipedi) tli che T = n i= T i, per i j, denotimo con m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f(x) in T i. efinimo le somme integrli inferiore e superiore, s(f, P ) = n m i mis(t i ), S(f, P ) = i= n M i mis(t i ). i= Per ogni prtizione P si h s(f, P ) S(f, P ) ed ogni rffinmento P di P è tle che s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). Al vrire di tutte le possibili prtizioni di T si vrà sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

23 .7. INTEGRALI TRIPLI 9 Si dice che f(x) è integrbile in T se ccde che e si pone I T = T sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I T, P P f(x, y, z) dxdydz, o nche I T = T f(x) dx. iversmente dl cso degli integrli doppi, l integrle I T non h, in generle, lcun significto geometrico. Tuttvi, nel cso prticolre in cui f(x) = identicmente in T, si h m i = M i =, per ogni T i e, in bse ll definizione di insieme cubbile, si h dx = mis(t ). T In nlogi con il cso degli integrli doppi, vle l seguente condizione di integrbilità. Teorem.4 Si f : T R 3 R con T limitto e misurbile e si f continu in T eccettuto l più un insieme V di misur null, llor f è integrbile in T. Si h nche, come corollrio, che se f e g sono continue in T limitto e misurbile e se f(x) = g(x), x T \ V, llor le due funzioni sono integrbili in T e i loro integrli coincidono. Per gli integrli tripli si possono provre proprietà nloghe quelle dte per gli integrli doppi. Vlgono, in prticolre, con le dovute modifiche, le proprietà ) 5) del prgrfo.2. Per qunto rigurd il clcolo, gli integrli tripli mmettono formule di riduzione nloghe quelle degli integrli doppi. to un insieme limitto e misurbile e due funzioni φ (x, y) e φ 2 (x, y) continue in e tli che φ (x, y) φ 2 (x, y) (x, y), l insieme T = {x R 3 : (x, y), φ (x, y) z φ 2 (x, y)}, si dice dominio normle rispetto l pino x, y. qunto detto ll fine del prgrfo., essendo T l differenz tr due cilindroidi reltivi, esso risulterà misurbile. Per domini di questo tipo vle l seguente formul di riduzione ( ) φ2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. T φ (x,y) In questo modo, dopo un prim integrzione su z ci si riduce l clcolo di un integrle doppio. Nturlmente vlgono nloghe formule di riduzione per domini normli rispetto gli ltri pini coordinti. ecomponendo un generico dominio T misurbile in domini normli, l uso delle formule di riduzione e dell proprietà di dditività rispetto l dominio, permette il clcolo di un integrle triplo su T. Esempi ) Clcolre il volume del tetredro T delimitto di tre pini coordinti e dl pino di equzione x + 2y + z 6 =.

24 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Considerto come dominio normle rispetto l pino x, y, si h T = {x R 3 : (x, y), z 6 x 2y}, = {x R 2 : x 6, y 3 x/2}. Poichè, in questo cso dobbimo porre f(x) =, identicmente, si h ( 6 x 2y ) [ 6 3 x 2 mis(t ) = dz dxdy = = = 4 6 [ 3 x 2 6 (6 x 2y) dy (6 x) 2 dx = 4 [ ] dx = 6 ] 6 (6 x)3 = 8, 3 in ccordo con il risultto ottenibile dll geometri elementre. 2) Clcolre l integrle triplo T y dxdydz, ( 6 x 2y ) ] dz dy dx [ 6y xy y 2 ] 3 x 2 dx dove T è l regione di R + R + R + delimitt dl cilindro di equzione x 2 + z 2 =, di pini coordinti e dl pino y = 2. Si può pensre T come un dominio normle rispetto l pino x, z, ovvero Si ottiene così, T y dxdydz = T = {x R 3 : (x, z), y 2}, = {(x, z) R + R + : x 2 + z 2 } ( 2 ) y dy dxdz = 2 dxdz = 2mis() = π 2.

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