Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4"

Transcript

1 ispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 Qurto trimestre del o nno del Corso di Lure in Ingegneri Elettronic ocente: Murizio Romeo Mggio 25

2 ii

3 Indice Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Integrli doppi Formule di riduzione per gli integrli doppi Cmbimento di vribili negli integrli doppi Clcolo di ree di superfici Integrli di superficie Integrli tripli Appliczioni degli integrli doppi e tripli erivzione sotto il segno di integrle Integrli impropri 3 2. Integrli estesi d intervlli non limitti Integrli di funzioni non limitte Integrli impropri di funzioni di più vribili Esempi di clcolo di integrli impropri Forme differenzili Integrli di line Integrli di forme differenzili Forme differenzili estte e cmpi conservtivi Formul di Green Anlisi vettorile Linee di un cmpo vettorile Flusso di un cmpo vettorile Teorem dell divergenz Cmpi solenoidli Teorem di Stokes Cmpi irrotzionli e cmpi conservtivi Opertori differenzili Serie numeriche efinizioni e operzioni sulle serie Criteri di convergenz Serie lternnti e serie ssolutmente convergenti iii

4 iv INICE 6 Serie di funzioni Convergenz uniforme Serie di potenze Serie di Tylor Serie di Fourier Sistemi trigonometrici Serie trigonometriche Criterio di convergenz Serie di funzioni con periodo rbitrrio Rppresentzione compless dell serie di Fourier Funzioni di un vribile compless 7 8. Premesse Funzioni derivbili e funzioni nlitiche Funzioni elementri Integrzione di funzioni nlitiche Formul integrle di Cuchy

5 Cpitolo Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Considerimo il rettngolo R = {(x, y) R 2 : x b, c y d} e denotimo con mis(r) = (b )(d c), l su re. Chimeremo plurirettngolo R l insieme dto dll unione di un numero finito di rettngoli R i, (i =,..., n), privi di punti interni comuni e definiremo mis( R) = n i= mis(r i). Si un insieme limitto di R 2 e denotimo con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenenti e con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenuti in. iremo che è misurbile se si verific uno dei seguenti csi. è privo di punti interni e inf {mis( R)} =. R R Allor è un insieme di misur null ovvero mis() =. è dotto di punti interni e risult Allor mis() = A. inf {mis( R)} = R R sup {mis( R )} = A. R R Se l insieme non è limitto esso si dirà misurbile se risultno misurbili le sue intersezioni con un qulunque cerchio. L estremo superiore delle misure di queste intersezioni srà l misur di. Semplici esempi di insiemi misurbili in R 2 sono i domini normli. Sino α(x) e β(x) due funzioni integrbili in [, b] e tli che α(x) β(x), x [, b]. Considerimo l insieme = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si dice che è un dominio normle rispetto ll sse x. Verifichimo che è un insieme misurbile. Inftti, per ogni prtizione P di [, b] si può costruire l insieme R (P ) dei plurirettngoli R P contenenti e l insieme R (P ) dei plurirettngoli contenuti in tli che R P mis(r P ) = S(β, P ) s(α, P ), mis(r P ) = s(β, P ) S(α, P ). dove S e s indicno rispettivmente le somme integrli superiore e inferiore. Si h inf P sup P mis(r P ) = inf[s(β, P ) s(α, P )] = inf P P mis(r P ) = sup P [s(β, P ) S(α, P )] = sup S(β, P ) sup s(α, P ) P P s(β, P ) inf P S(α, P ).

6 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI M per l integrbilità di α e di β si h inf P S(β, P ) = sup P s(β, P ) e sup P s(α, P ) = inf P S(α, P ), e quindi inf mis(r P ) = sup mis(r P ). P P Ne segue l misurbilità di. Si h inoltre mis() = b [β(x) α(x)] dx. Notimo che se fosse α = β = f in [, b], coinciderebbe con il grfico di f. In tl cso si vrebbe un insieme privo di punti interni e tle che inf P mis(r P ) =. Ciò signific che il grfico di un funzione integrbile h misur null. Anlogmente, dte due funzioni integrbili γ(y), δ(y) definite in [c, d], con γ(y) δ(y), y [c, d], l insieme = {(x, y) R 2 : γ(y) x δ(y), c y d}, si dice dominio normle rispetto ll sse y e risult un insieme misurbile, con mis() = d c [δ(y) γ(y)] dy. Se le funzioni α, β, γ, δ degli esempi precedenti sono nche derivbili con derivte prime continue, llor i loro grfici srnno curve regolri ed i domini si dirnno domini normli regolri. Tutti gli insiemi pini delimitti d curve regolri trtti si possono decomporre nell unione di domini normli regolri privi di punti interni in comune, e quindi risultno misurbili (vedi figur). Concetti nloghi possono essere introdotti in R 3. Si R il prllelepipedo definito d {(x, y, z) R 3 : x, b y b, c z c }. enoteremo con mis(r) = ( )(b b)(c c) il suo volume. iremo pluriprllelepipedo R l insieme dto dll unione di un numero finito di prllelepipedi R i (i =,..., n) privi di punti interni comuni e definimo mis( R) = n i= mis(r i). Si T R 3, limitto.

7 .2. INTEGRALI OPPI 3 enotti con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenenti T e con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenuti in T, diremo che T è misurbile (o cubbile) se si verific uno dei seguenti csi. T è privo di punti interni e si h Allor mis(t ) =. inf mis( R) =. R R T L estremo superiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T coincide con l estremo inferiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T. In tl cso mis(t ) = inf mis( R) = R R T sup mis( R ). R R T Un insieme T R 3 non limitto si dice misurbile se sono misurbili le sue intersezioni con un qulunque sfer. L estremo superiore delle misure di tli intersezioni srà l misur di T. to l insieme R 2 e il numero h R +, diremo cilindro (in senso generlizzto) l insieme T R 3 definito d T = [, h]. Si dimostr fcilmente che se è limitto e misurbile llor T è misurbile e si h mis(t ) = mis() h. Si dice pluricilindro l unione di un numero finito di cilindri privi di punti in comune. L su misur srà l somm delle misure dei singoli cilindri. Si f : R 2 R +. L insieme T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)} si dice cilindroide reltivo. Si può dimostrre che se è limitto e misurbile e se f è continu in, llor il cilindroide T è misurbile..2 Integrli doppi Si R 2 un insieme misurbile e si f(x, y) un funzione limitt e non negtiv in. Effettuimo un prtizione P di in un numero finito di sottoinsiemi i tli che = n i= i e i j = per

8 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI i j. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f in i. Considerimo le somme integrli s(f, P ) = n m i mis( i ), S(f, P ) = i= n M i mis( i ), i= che rppresentno le misure di due pluriprllelepipedi, il primo contenuto ed il secondo contenente il cilindroide di f reltivo. Poichè m i M i, (i =,...n), si h, per ogni prtizione P, s(f, P ) S(f, P ). Inoltre, se si consider un rffinmento P dell prtizione P, d esempio in modo tle che gli insiemi i bbino dimetro inferiore quello degli insiemi nell prtizione P, si h Al vrire di tutte le possibili prtizioni, si vrà s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P Si dice llor che f(x, y) è integrbile in se ccde che e si pone sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I, P P I = f(x, y) dxdy, detto integrle doppio di f esteso l dominio. In form più sintetic si scrive nche I = f(x) dx, dove x = (x, y). In bse quest definizione e l risultto del prgrfo precedente sull misurbilità del cilindroide T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)}, l integrle doppio dell funzione f(x, y) continu in ssume il significto geometrico dell misur di T, ovvero del volume del cilindroide di sezione. mis(t ) = f(x) dx Notimo che, se f(x, y) =, (x, y), llor si h m i = M i = e s(f, P ) = S(f, P ) = n i= mis( i) = mis(). Ne segue dx = mis(). Se f h segno vribile in, si può sempre considerre l funzione usiliri g(x, y) = f(x, y) + k dove, essendo f limitt, k è tle che f(x, y) < k. In tl cso g(x, y) è non negtiv in e si h sup[s(g, P )] inf[s(g, P )] = sup[s(f, P )] + kmis() inf[s(f, P )] kmis() P P P P = sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

9 .2. INTEGRALI OPPI 5 Quindi, se g è integrbile lo srà nche f e si vrà f(x) dx = g(x) dx k mis(). Il seguente teorem, che non dimostreremo, costituisce un importnte condizione sufficiente per l integrbilità. Teorem. Si dt f : R 2 R con limitto e misurbile. Se f è continu in, eccettuto l più un insieme U di misur null, llor f è integrbile in. Come corollrio questo teorem segue nche che se f e g sono due funzioni continue, definite in un insieme limitto e misurbile e risult f(x, y) = g(x, y), (x, y) \ U, llor le due funzioni sono integrbili e i loro integrli estesi coincidono. Gli integrli doppi soddisfno proprietà nloghe quelle degli integrli delle funzioni di un vribile. Le più importnti sono le seguenti. ) te due funzioni f e g integrbili in e dti c, c 2 R si h [c f(x, y) + c 2 g(x, y)] dxdy = c f(x, y) dxdy + c 2 g(x, y) dxdy. 2) Sino e 2 due sottoinsiemi misurbili di tli che 2 = e 2 =. Per ogni f integrbile in si h f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. 2 3) Se f e g sono due funzioni integrbili in e tli che f(x, y) g(x, y), (x, y), si h

10 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. 4) ll proprietà precedente segue che, essendo f(x) f(x) f(x), si h f(x) dx f(x) dx f(x) dx, d cui f(x) dx f(x) dx. 5) (Teorem dell medi). Se f è continu in un insieme misurbile chiuso e limitto, esiste un punto x tle che f(x) dx = f( x) mis(). L dimostrzione di quest proprietà è simile l cso delle funzioni di un vribile. Nel nostro cso, detti m ed M rispettivmente il minimo e il mssimo di f in, scrivimo l diseguglinz m f(x) M, x. Integrndo su e tenendo conto delle proprietà ) e 3) si h m mis() f(x) dx M mis(), d cui m f(x) dx M. mis() Per l su continuità, f ssumerà in tutti i vlori compresi tr m ed M e quindi esisterà un x tle che f( x) = f(x) dx. mis().3 Formule di riduzione per gli integrli doppi Considerimo nel pino crtesino un dominio normle rispetto ll sse x, dto d = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si f(x, y) continu in e quindi integrbile. Fissto x [, b] considerimo l quntità β( x) α( x) f( x, y) dy. Poichè f(x, y) è continu, l su restrizione per x = x è un funzione continu di y. Inoltre, per ogni x [, b] si h α(x) β(x) e quindi α( x) β( x). Queste osservzioni dnno senso ll integrle precedente, comunque si scelg x nell intervllo [, b]. Esso rppresent geometricmente l re dell sezione del cilindroide T di f reltivo, sul pino x = x. efinimo or l funzione G(x) = β(x) α(x) f(x, y) dy.

11 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 7 Si può dimostrre che, se α(x) e β(x) sono continue in [, b], llor G(x) è continu in [, b]. Ess risult quindi integrbile e si h b G(x) dx = sup s(g, P ) = inf S(G, P ), P P dove s(g, P ) e S(G, P ) sono rispettivmente le somme integrli inferiore e superiore di G per un dt prtizione P dell intervllo [, b]. Si può osservre che s e S rppresentno le misure di due pluricilindroidi T s e T S. In generle T s non è contenuto in T, nè T S contiene T. Sussiste tuttvi l diseguglinz s(g, P ) mis(t ) S(G, P ), P. Allor dll integrbilità di G si dovrà necessrimente vere b G(x) dx = mis(t ). Ne segue l formul di riduzione per gli integrli doppi estesi d un dominio normle rispetto ll sse x b β(x) f(x, y) dxdy = dx f(x, y) dy. In modo nlogo, considerto un dominio normle rispetto ll sse y, sotto le corrispondenti ipotesi, si ricv d δ(y) f(x, y) dxdy = dy f(x, y) dx. Se nelle formule precedenti si pone f(x, y) =, (x, y), si ottiene il risultto già noto mis() = dxdy = c α(x) γ(y) { b [β(x) α(x)] dx, se è normle rispetto x d c [δ(y) γ(y)] dy, se è normle rispetto y

12 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Esempi ) Considerimo il dominio compreso tr l rco di ellisse di equzione x2 qudrnte e gli ssi x e y. Voglimo clcolre x dxdy. + y2 2 b 2 = del primo Il dominio risult normle si rispetto ll sse x che rispetto ll sse y. Come dominio normle rispetto ll sse x esso è dto d { x : y b 2 x 2. Medinte l formul di riduzione, ottenimo b 2 x 2 x dxdy = dx x dy = = 2) Clcolimo l integrle doppio b 2 x 2 x dx = b 2 x dx (2x y + 3) dxdy, b 2 x 2 dy 2x 2 x 2 dx = b 3 2. dove è il dominio compreso tr l prbol y = x 2 e l rett y = x. Anche in questo cso il dominio può essere visto come normle rispetto ll sse delle x o ll sse delle y. Considerto come dominio normle rispetto ll sse x si h { x : x 2 y x. Si ottiene così (2x y + 3)dxdy = = = x dx (2x y + 3)dy = [2xy y2 x y ) (2x 2 x x 2x3 + x4 2 3x2 dx (3x 32 ) x2 2x 3 + x4 dx = Considerto come dominio normle rispetto ll sse delle y, si h { y : y x y. ] y=x y=x 2 dx Ne segue che (2x y + 3) dxdy = = dy y y (2x y + 3) dx = (3 y 2y y 3 ) dy = 3 5. [ x 2 xy + 3x ] x= y x=y dy

13 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 9 3) Voglimo clcolre il volume dell regione T dello spzio delimitt dl prboloide di equzione z = x 2 + y 2 ed il pino z = h 2. Tle volume è dto d (h 2 x 2 y 2 ) dxdy, dove è il cerchio di rggio h e centro nell origine del pino x, y. Considerndo come dominio normle rispetto ll sse x si h { h x h : h 2 x 2 y h 2 x 2. Si ottiene llor (h 2 x 2 y 2 ) dxdy = = = h h h h h h h 2 x 2 dx h 2 x 2 (h 2 x 2 y 2 ) dy [(h 2 x 2 )y y3 3 ] h 2 x 2 h 2 x (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx Quest ultimo integrle può essere risolto medinte l sostituzione x = h sin t. Si ottiene h h 4 3 (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx = 4 3 h4 π/2 π/2 cos 4 t dt = h4 2 π. dx 4) Clcolimo l integrle doppio y x 2 dxdy, dove : { x y. A cus del vlore ssoluto, dobbimo distinguere due csi. In si h { y x 2 x (x, y) : y x 2 = { x 2 y x 2 x y (x, y) 2 : y x 2 Utilizzndo l proprietà 2) si ottiene y x 2 dxdy = (y x 2 ) dxdy + (x 2 y) dxdy. 2 Si h y x 2 dxdy = = = dx [ y 2 x 2 (y x 2 ) dy + 2 x2 y ] x 2 dx + (x 4 + ) dx = 2 5. dx x 2 [x 2 y y2 2 (x 2 y)dy ] x 2 dx

14 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI 5) Clcolre l integrle doppio e x+y dxdy, dove è l regione di pino compres tr i due qudrti : Tenuto conto dell proprietà 2) si h Ottenimo così, { x y 2 : { 2 x 2 2 y 2 e x+y dxdy = 2 e x+y dxdy + e x+y dxdy = e x+y dxdy 2 e x+y dxdy = = dx 2 e x dx 2 2 e x+y dy 2 e y dy dx e x+y dxdy. e x dx e x+y dy e y dy = (e 2 e 2 ) 2 (e e ) 2 = 2 cosh 4 2 cosh 2..4 Cmbimento di vribili negli integrli doppi Si K R 2 un dominio con frontier regolre trtti e si Φ : K R 2 un funzione di componenti φ (u, v), φ 2 (u, v), con (u, v) K, tle che Φ C (K), detj(u, v), (u, v) K, essendo J l mtrice jcobin di Φ. ett l immgine di Φ in R 2, ponimo { x = φ (u, v) (u, v) K, (x, y), y = φ 2 (u, v), e supponimo che queste equzioni mettno in corrispondenz biunivoc K con. Allor si può dimostrre che le equzioni precedenti stbiliscono un corrispondenz biunivoc tr tutto K e tutto. Se x e y sono coordinte crtesine in, le funzioni φ e φ 2 individuno nuove coordinte u, v in R 2, che diremo coordinte curvilinee. Preso un punto (u, v ) K le due curve C u : { x = φ (u, v ) y = φ 2 (u, v ), C v : { x = φ (u, v) y = φ 2 (u, v), (u, v) K,

15 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI hnno il grfico in e risultno regolri. Inoltre, i versori tngenti ciscun curv in (u, v ), e u = x / x u u, e v = x / x v v, risultno linermente indipendenti cus dell ipotesi detj. Le curve C u e C v si dicono linee coordinte ed e u, e v, versori del sistem di coordinte u, v. Porremo inoltre detj = J e lo chimeremo jcobino dell trsformzione dlle coordinte u, v lle coordinte x, y. Un esempio già noto di coordinte curvilinee nel pino è quello delle coordinte polri, definite d { x = ρ cos θ K = {(ρ, θ) R 2 : ρ >, θ [, 2π[}. y = ρ sin θ, In tl cso, preso un punto (ρ, θ ) K, le curve C ρ e C θ, pssnti per (ρ, θ ) sono rispettivmente un segmento di rett per l origine ed un rco di circonferenz di centro l origine e rggio ρ. Si h inoltre x x ρ θ J = y y = cos θ { ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ >, e ρ = cos θe + sin θe 2 e θ = sin θe + cos θe 2. ρ θ Ritornndo l cso generle, poichè K è delimitto d un curv regolre trtti, esso risult misurbile. L corrispondenz tr K e e l condizione Φ C (K), implicno che nche è regolre trtti e quindi risult misurbile. Voglimo trovre un formul per esprimere l misur di trmite le nuove coordinte in K. A tle scopo considerimo l insieme R K dei plurirettngoli contenuti in K e l insieme R K dei plurirettngoli contenenti K, ottenuto medinte un prtizione P. Fissto un plurirettngolo di R K considerimo il suo i-esimo rettngolo K i e si (u i, v i ) un suo spigolo (vedi figur). Trmite l trsformzione x = Φ(u, v), K i corrisponderà un qudriltero curvilineo i di vertice (x i, y i ) corrispondente (u i, v i ). ette u e v le misure dei lti di K i si vrà mis(k i ) = u v.

16 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI I lti corrispondenti di i srnno dti dgli incrementi delle scisse curvilinee su C u e C v pssnti per (u i, v i ), ovvero ui + u s(u i ) = x vi + v u du, s(v i) = x v dv, u i e l misur pprossimt di i si potrà pensre come l re di un prllelogrmm curvilineo, il cui vlore è dto dll norm del prodotto vettorile tr i due vettori tngenti i lti curvilinei in (x i, y i ), di lunghezz pri gli incrementi s(u i ) e s(v i ). Se pprossimimo tli incrementi con i corrispondenti differenzili, vremo, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, x mis( i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = x u v dudv Poichè u v = dudv, vremo = J(u i, v i ) dudv. (ui,v i ) mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ), d cui mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ). i i ltr prte, per ogni prtizione P si può scrivere v i (ui,v i ) s( J, P ) i mis(k i ) J(u i, v i ). Per l integrbilità di J in K segue che sup mis( i ) P i K J(u, v) dudv. Anlogmente, considerndo un plurirettngolo di R K si ottiene mis(k i ) J(u i, v i ) S( J, P ), i

17 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI 3 e, sempre per l integrbilità di J, si h inf mis( i ) P d cui concludimo i mis() = K K J(u, v) dudv, J(u, v) dudv. Spendo che mis() = dxdy, possimo enuncire il seguente risultto Teorem.2 Si K un dominio con frontier regolre trtti e si x = Φ(u, v) un trsformzione di coordinte con Φ C (K), vlori in, con J in K e tle d grntire un corrispondenz biunivoc tr K e. Allor dxdy = J(u, v) dudv. Esempio K Clcolimo l re dell superficie dell regione del primo qudrnte del pino x, y delimitto dlle due iperboli xy = 2 e xy = b 2 con < < b e dlle rette y = αx e y = βx, con < α < β (vedi figur). L re dell superficie è dt d mis() = dxdy. Considerimo l trsformzione di coordinte xy = u, y x = v. Il dominio corrispondente è K = {(u, v) R 2 : 2 u b 2, α v β}. Si può scrivere { x = u v y = (u, v) K, uv, e si h J = 2 uv v 2 u u 2v v u 2 v = 2v >. Quest trsformzione soddisf tutte le ipotesi del teorem.2. Si ottiene llor dxdy = K J(u, v) dudv = b 2 2 β du α 2v dv = b2 2 ln β 2 α. L tesi del teorem.2 sussiste nche nel cso in cui le ipotesi non sino soddisftte in un insieme di misur null. Considerimo d esempio il dominio costituito dll coron circolre di centro l origine, rggio interno r e rggio esterno R, = {(x, y) R 2 : r 2 x 2 + y 2 R 2 }. Trsformndo in coordinte polri si ottiene il dominio K = {(ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ [, 2π[}.

18 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI L frontier K non è in corrispondenz biunivoc con in qunto i vlori θ = e r < ρ < R corrispondono i punti interni di dti d r < x < R, y =. Come ltro esempio considerimo il cerchio di centro l origine e rggio R Trsformndo in coordinte polri, si h = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 }. K = {(ρ, θ) R 2 : ρ R, θ [, 2π[}, e, per ρ =, si h J =. In mbedue i csi si può pensre come il limite di un successione di domini per i quli sussistono le ipotesi del teorem.2. In prticolre, nel cso dell coron circolre considerimo l successione {K n }, dove { [ K n = (ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ, 2π ]}. n Si h mis() = lim n = lim n 2 n ρ dρdθ = lim K ( n 2π n 2π n dθ R r ρ dρ ) (R 2 r 2 ) = π(r 2 r 2 ). Nel cso del cerchio considerimo l successione {K n }, con K n = {(ρ, θ) R 2 : n [ ρ R, θ, 2π ]}, n e si h mis() = lim n = lim n 2 K n ρ dρdθ = lim n ( 2π n 2π n dθ R n ) (R 2 n ) 2 = πr 2. ρ dρ

19 .5. CALCOLO I AREE I SUPERFICI 5 L conseguenz di questi risultti è che il teorem.2 continu d essere vlido se le ipotesi sono soddisftte per un coppi di successioni di domini {K n } e { n } e se ccde che lim n mis(k n ) = mis(k) e lim n mis( n ) = mis(). Con un dimostrzione nlog quell del teorem.2 si può provre l formul di trsformzione degli integrli doppi per cmbimento di vribili. Sussiste il seguente risultto. Teorem.3 Sotto le stesse ipotesi del teorem.2, dt l funzione f(x, y), continu in, si h f(x, y) dxdy = f[x(u, v), y(u, v)] J(u, v) dudv. Esempio K Clcolre l integrle doppio + x 2 + y dxdy, con = {(x, y) 2 R+ R + : x 2 + y 2 }. Pssndo coordinte polri ottenimo { K = (ρ, θ) R 2 : ρ, θ π }. 2 Poichè J = ρ, si h J = per ρ =. Anche nel cso del teorem.3 vle però l osservzione ftt proposito dell vlidità del teorem.2 e l formul di clcolo per cmbimento di coordinte vle ncor. Si ottiene dxdy + x 2 + y = 2 K π ρ dρdθ = 2 + ρ 2 ρ dρ dθ = π + ρ 2 2 ( 2 )..5 Clcolo di ree di superfici Considerimo un superficie regolre S, definit d x = φ (u, v) S : y = φ 2 (u, v) z = φ 3 (u, v), (u, v) K, dove K R 2 è chiuso, limitto e connesso e Φ C (K). Preso un punto (u, v ) K, si x il punto corrispondente di S. Sppimo che, fissto v = v e fcendo vrire u le equzioni precedenti descrivono un curv regolre C u pssnte per x, il cui versore tngente in x è dto d e u = Φ u (u,v )/ Φ u (u,v ). Anlogmente, fissto u = u e fcendo vrire v si ottiene un curv regolre C v per x, il cui versore tngente è e v = Φ v (u,v )/ Φ v (u,v ).

20 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Per l regolrità di S i prmetri u e v costituiscono un sistem di coordinte curvilinee sull superficie S. In modo nlogo qunto visto per il cmbimento di vribili negli integrli doppi, possimo fre un prtizione P dell superficie S in un numero finito di porzioni S i (i =,..., n), tutte contenute in S e delimitte d rchi di curve C u e C v. Se indichimo con ds(u i ) e ds(v i ) le lunghezze di un coppi di tli rchi, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, l re dell superficie dell porzione S i srà dt d A S (S i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv. Sommndo i contributi di tutte le porzioni di superficie, l vrire dell prtizione P su S, ottenimo un insieme di ree che mmette come estremo superiore l re dell superficie di S. In ltri termini ottenimo A S (S) = sup A S (S i ) = Φ u Φ v dudv. P i Se l superficie è dt in form esplicit z = f(x, y) dove f è un funzione continu con derivte przili continue in un dominio A R 2 chiuso, limitto e connesso, llor, ponendo x = u S : y = v (u, v) A. z = f(u, v), Si ottiene Φ u Φ v = A + K ( ) f 2 + u ( ) f 2, v e di conseguenz l formul per il clcolo dell superficie divent ( ) f 2 ( ) f 2 A S (S) = + + dxdy. x y Esempi ) Clcolre l re dell superficie di un sfer di rggio R. Le equzioni prmetriche dell sfer di rggio R sono x = R sin θ cos ψ S y = R sin θ sin ψ (θ, ψ) K, z = R cos θ, dove K = [, π] [, 2π[. Si ottiene Φ θ = (R cos θ cos ψ, R cos θ sin ψ, R sin θ), Φ ψ = ( R sin θ sin ψ, R sin θ cos ψ, ), d cui Si ricv così, A S (S) = 2π Φ θ Φ ψ = R 2 sin θ. π dψ R 2 sin θ dθ = 2πR 2 [ cos θ] π = 4πR 2.

21 .6. INTEGRALI I SUPERFICIE 7 Osservzione. Si deve notre che θ, ψ perdono il requisito di coordinte curvilinee su S per θ =, π cus dell non biunivocità dell corrispondenz coi punti dell sse z. Tuttvi, se si considerno i domini K n = [ n, π n] [, 2π[, con n N rbitrrio, le coordinte θ, ψ sono effettive coordinte curvilinee in S ed inoltre, dett A n l re dell porzione di S ottenut per (θ, ψ) K n, si h lim n A n = A S (S). Ciò giustific l vlidità dell formul del clcolo dell re di un superficie nche in tl cso. 2) Clcolre l re dell superficie del cilindro di equzione y 2 + z 2 = R 2 contenut nell regione di spzio individut d z, x y, y. In questo cso possimo esprimere l superficie in form esplicit scrivendo z = f(x, y) = R 2 y 2, (x, y) A, A = {(x, y) R 2 : y R, x y}. Poichè si h si ottiene = A R f x =, f y = + y2 R 2 y 2 dxdy = R y R 2 y 2, ( y y ) R R 2 y dx dy 2 2Ry R 2 y 2 dy = [ 2R R 2 y 2 ] R = 2R2..6 Integrli di superficie Si S un superficie regolre definit d Φ : K R 2 R 3 con K limitto, chiuso e connesso e si f(x) un funzione definit in un dominio T R 3 contenente S, continu in T. Fccimo un prtizione di K in un numero finito di domini K i, non venti punti interni in comune. A questi K i corrispondernno ltrettnte superfici S i, prive di punti interni in comune, l cui re, meno di infinitesimi di ordine superiore in dudv è A S (S i ) = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv, essendo (u i, v i ) K, con Φ(u i, v i ) S i. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore dell restrizione di f in S i. Se l vrire dell prtizione P su S si h llor si pone sup P i m i A S (S i ) = inf P I S = S M i A S (S i ) = I S, i f(x) ds, che si chim integrle di superficie dell funzione f. Sotto le condizioni dte, l integrle di superficie di f esiste e si h f(x) ds = f[φ (u, v), φ 2 (u, v), φ 3 (u, v)] Φ u Φ v dudv. S K

22 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Nel cso in cui l superficie mmett l rppresentzione crtesin z = φ(x, y), si h S f(x) ds = dove A è un dominio limitto e connesso. Esempio A f[x, y, φ(x, y)] + ( ) φ 2 + x ( ) φ 2 dxdy, y t l funzione f(x) = x 2 + y 2 + z 2 e l porzione S di prboloide di equzione z = 2 (x2 + y 2 ) con z, clcolre l integrle di superficie di f su S. Si h S f(x) ds = A [ x 2 + y (x2 + y 2 ) 2 ] + x 2 + y 2 dxdy, dove A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2}. Pssndo in coordinte polri si ottiene S f(x) ds = 2π dθ 2 ( ρ ρ4 ) + ρ 2 ρ dρ. Medinte l sostituzione + ρ 2 = t, si h ρ 2 = t 2, ρdρ = tdt, d cui S f(x) ds = 2π 3 [t (t2 ) 2 ] t 2 dt = 2π 35 ( )..7 Integrli tripli L definizione di integrle triplo si può introdurre in modo nlogo l cso dell integrle doppio. Si trtt di estendere domini tridimensionli e funzioni in R 3 qunto è stto detto circ gli integrli di funzioni di due vribili in domini di R 2. Si T R 3 un insieme cubbile ed f : T R un funzione limitt in T. Effettundo un prtizione P T i T j=, di T in un numero finito di insiemi T i (per esempio dei prllelepipedi) tli che T = n i= T i, per i j, denotimo con m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f(x) in T i. efinimo le somme integrli inferiore e superiore, s(f, P ) = n m i mis(t i ), S(f, P ) = i= n M i mis(t i ). i= Per ogni prtizione P si h s(f, P ) S(f, P ) ed ogni rffinmento P di P è tle che s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). Al vrire di tutte le possibili prtizioni di T si vrà sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

23 .7. INTEGRALI TRIPLI 9 Si dice che f(x) è integrbile in T se ccde che e si pone I T = T sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I T, P P f(x, y, z) dxdydz, o nche I T = T f(x) dx. iversmente dl cso degli integrli doppi, l integrle I T non h, in generle, lcun significto geometrico. Tuttvi, nel cso prticolre in cui f(x) = identicmente in T, si h m i = M i =, per ogni T i e, in bse ll definizione di insieme cubbile, si h dx = mis(t ). T In nlogi con il cso degli integrli doppi, vle l seguente condizione di integrbilità. Teorem.4 Si f : T R 3 R con T limitto e misurbile e si f continu in T eccettuto l più un insieme V di misur null, llor f è integrbile in T. Si h nche, come corollrio, che se f e g sono continue in T limitto e misurbile e se f(x) = g(x), x T \ V, llor le due funzioni sono integrbili in T e i loro integrli coincidono. Per gli integrli tripli si possono provre proprietà nloghe quelle dte per gli integrli doppi. Vlgono, in prticolre, con le dovute modifiche, le proprietà ) 5) del prgrfo.2. Per qunto rigurd il clcolo, gli integrli tripli mmettono formule di riduzione nloghe quelle degli integrli doppi. to un insieme limitto e misurbile e due funzioni φ (x, y) e φ 2 (x, y) continue in e tli che φ (x, y) φ 2 (x, y) (x, y), l insieme T = {x R 3 : (x, y), φ (x, y) z φ 2 (x, y)}, si dice dominio normle rispetto l pino x, y. qunto detto ll fine del prgrfo., essendo T l differenz tr due cilindroidi reltivi, esso risulterà misurbile. Per domini di questo tipo vle l seguente formul di riduzione ( ) φ2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. T φ (x,y) In questo modo, dopo un prim integrzione su z ci si riduce l clcolo di un integrle doppio. Nturlmente vlgono nloghe formule di riduzione per domini normli rispetto gli ltri pini coordinti. ecomponendo un generico dominio T misurbile in domini normli, l uso delle formule di riduzione e dell proprietà di dditività rispetto l dominio, permette il clcolo di un integrle triplo su T. Esempi ) Clcolre il volume del tetredro T delimitto di tre pini coordinti e dl pino di equzione x + 2y + z 6 =.

24 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Considerto come dominio normle rispetto l pino x, y, si h T = {x R 3 : (x, y), z 6 x 2y}, = {x R 2 : x 6, y 3 x/2}. Poichè, in questo cso dobbimo porre f(x) =, identicmente, si h ( 6 x 2y ) [ 6 3 x 2 mis(t ) = dz dxdy = = = 4 6 [ 3 x 2 6 (6 x 2y) dy (6 x) 2 dx = 4 [ ] dx = 6 ] 6 (6 x)3 = 8, 3 in ccordo con il risultto ottenibile dll geometri elementre. 2) Clcolre l integrle triplo T y dxdydz, ( 6 x 2y ) ] dz dy dx [ 6y xy y 2 ] 3 x 2 dx dove T è l regione di R + R + R + delimitt dl cilindro di equzione x 2 + z 2 =, di pini coordinti e dl pino y = 2. Si può pensre T come un dominio normle rispetto l pino x, z, ovvero Si ottiene così, T y dxdydz = T = {x R 3 : (x, z), y 2}, = {(x, z) R + R + : x 2 + z 2 } ( 2 ) y dy dxdz = 2 dxdz = 2mis() = π 2.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

Macchine elettriche in corrente continua

Macchine elettriche in corrente continua cchine elettriche in corrente continu Generlità Può essere definit mcchin un dispositivo che convert energi d un form un ltr. Le mcchine elettriche in prticolre convertono energi elettric in energi meccnic

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più

Dettagli

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1 M.Blconi e R.Fontn, Disense di conomi: 3) quilirio del consumtore L scelt di equilirio del consumtore ntegrzione del C. 21 del testo di Mnkiw 1 Prte 1 l vincolo di ilncio Suonimo che il reddito di un consumtore

Dettagli

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010 Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- Dt un circonrnz di cntro O rggio unitrio, si prndno

Dettagli

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data...

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data... I numeri rzionli Cpitolo Numeri rzionli Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è: Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w

Dettagli

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L

Dettagli

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro.

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro. Viett l pubbliczione, l riprouzione e l ivulgzione scopo i lucro. GA00001 Qul è l mpiezz ell ngolo che si ottiene ) 95 b) 275 c) 265 ) 5 b sottreno 85 un ngolo giro? GA00002 Due ngoli ll circonferenz che

Dettagli

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo Istituto di Antropologi dell Regi Università di Rom Vrizioni di sviluppo del lobo frontle nell'uomo pel Dott. SERGIO SERGI Libero docente ed iuto ll cttedr di Antropologi. Il problem dei rpporti di sviluppo

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI LE INTERSEZIONI Dispense didttiche di TOOGRFI r M unto di ollins O s θ 00 O d O d 00 θ θ ω ' ω θ c'

Dettagli

L ELLISSOIDE TERRESTRE

L ELLISSOIDE TERRESTRE L ELLISSOIDE TERRESTRE Fin dll scond mtà dl XVII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di rifrimnto pr l Trr è stt individut in un ELLISSOIDE DI ROTAZIONE. E l suprfici

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso.

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso. I vettor B Un segmento orentto è un segmento su cu è stto fssto un verso B d percorrenz, d verso oppure d verso. A A Il segmento orentto d verso è ndcto con l smolo. Due segment orentt che hnno l stess

Dettagli

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino: Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono

Dettagli

Integrali di superficie: esercizi svolti

Integrali di superficie: esercizi svolti Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici

Dettagli

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Dispense CHIMICA GENERALE E ORGANICA (STAL) 010/11 Prof. P. Crloni EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Qundo si prl di rezioni di equilirio dei composti inorgnici, un considerzione prticolre viene rivolt lle

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :,

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Un rsforzione geoeric del pino in sé è un corrispondenz iunivoc r i puni del pino P P, P P P è l igine di P rispeo ll rsforzione. Ad ogni puno P(,) corrisponde uno ed un solo

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

METODO VOLTAMPEROMETRICO

METODO VOLTAMPEROMETRICO METODO OLTAMPEOMETCO Tle etodo consente di isrre indirettente n resistenz elettric ed ipieg l definizione stess di resistenz : doe rppresent l tensione i cpi dell resistenz e l corrente che l ttrers coe

Dettagli

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo 232 Definizione ed ttitudini 232 Serie 233 Vrinti 233 Tollernze e giochi 234 Elementi di clcolo 236 Crtteristiche

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

Note integrative ed Esercizi consigliati

Note integrative ed Esercizi consigliati - a.a. 2006-07 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile (CIS) Note integrative ed consigliati Laura Poggiolini e Gianna Stefani Indice 0 1 Convergenza uniforme 1 2 Convergenza totale 5 1 Numeri

Dettagli

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio *

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio * www.solmp.it Le : gestione contbile ed iscrizione in bilncio * Piero Pisoni, Fbrizio Bv, Dontell Busso e Alin Devlle ** 1. Premess Le sono esminte nei seguenti spetti: Il presente elborto è trtto d: definizione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di Lure Specilistic in Mtemtic Codici ifissi ed insiemi Sturmini Studente Frncesco Dolce Reltore Prof. Antonio Restivo Anno Accdemico

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2 L. Pandolfi Lezioni di Analisi Matematica 2 i Il testo presenta tre blocchi principali di argomenti: A Successioni e serie numeriche e di funzioni: Cap., e 2. B Questa parte consta di due, da studiarsi

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI

FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI FORME DIFFERENZIALI IN R 3 E INTEGRALI CLADIO BONANNO Contents 1. Spazio duale di uno spazio vettoriale 1 1.1. Esercizi 3 2. Spazi tangente e cotangente 4 2.1. Esercizi 6 3. Le forme differenziali e i

Dettagli

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine YOGURT FATTO IN CASAA CON YOGURTIERA Lo yogurt ftto in cs è senz ltro un modoo sno per crere un limento eccezionlee per l nostr slute. Ricco di ltticii iut intestino fermenti il nostroo lvorre meglioo

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

10 Progetto con modelli tirante-puntone

10 Progetto con modelli tirante-puntone 0 Progetto con modelli tirnte-puntone 0. Introduzione I modelli tirnte-puntone (S&T Strut nd Tie) sono utilizzti per l progettzione delle membrture in c.. che non possono essere schemtizzte come solidi

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Antonio Paradies Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Università degli studi di Napoli Federico II Napoli, 25 Febbraio

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE.

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE. FCA D UN CCUTO SSTO CONTNNT PÙ GNATO CON UN TMNAL COMUN SNZA TMNAL COMUN. Si verifino quttro iruiti on due genertori: genertori on polrità onorde e un terminle omune genertori on polrità disorde e un terminle

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie?

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie? ESERCITZIONI. I 1)Un coppi h già due figlie. Se pinificssero di vere 6 figli, con qule probbilità vrnno un fmigli di tutte figlie? ) 1/4 b)1/8 c)1/16 d)1/32 e)1/64 2)In un fmigli con 3 bmbini, qul e l

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata Comprzione delle performnce di 6 cloni di Gmy d ltitudine elevt 1 / 46 Motivzioni Selezione clonle IAR-4 Lo IAR-4 è stto selezionto in mbiente montno d un prticolre popolzione di mterile stndrd, dll qule

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea

Dettagli

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni:

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni: Mod. RED Sede di Domnd n. del Pensione n. ct. nto il stto civile bitnte Prov. CAP vi n. DICHIARA, sotto l propri responsbilità, che per gli nni: A B (brrre l csell reltiv ll propri situzione) NON POSSIEDE

Dettagli

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione 07 Guid ll progettzione Scelt tubzioni e giunti 2 tubi di misur [mm] Dimetro tubzioni unità esterne (A) Giunti 12Hp 1Hp 1Hp Selezionre il dimetro delle unità esterne dll seguente tbell Giunto Y tr unità

Dettagli

0. Funzioni di variabile complessa

0. Funzioni di variabile complessa . Funzioni di variabile complessa In questo capitolo esporremo le linee essenziali della teoria delle funzioni di variabile complessa. Questa teoria è una tra le più compiutamente sviluppate da un puntodivista

Dettagli

MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI

MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI DEFINIZIONE: Due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice

Dettagli

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it Ftturimo Versione 5 Mnule per l utente Active Softwre Corso Itli 149-34170 Gorizi emil info@ctiveweb.it Se questo documento ppre nell finestr del vostro browser Internet di defult, richimte il comndo Registr

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine

Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine Valter Moretti Dipartimento di Matematica Università di Trento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine Corso di Fondamenti

Dettagli

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio. Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 http://www.dmmm.uniroma.it/~fabio.camilli/ (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof.

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

Integrazione numerica

Integrazione numerica Integrazione numerica Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 6-20-26 ottobre 2009 Indice 1 Formule di quadratura semplici e composite Formule di quadratura

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di

Dettagli

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI CAMPI SCALARI Sono dati: un insieme aperto A Â n, un punto x = (x, x 2,, x n )T A e una funzione f : A Â Si pone allora il PROBLEMA

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli