1 Calcolo combinatorio

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Calcolo combinatorio"

Transcript

1 1 Calcolo combinatorio In questo capitolo andremo ad introdurre le basi del calcolo combinatorio e le analizzeremo partendo dal caso pratico della risoluzione di un esercizio per poi dare la formulazione generale. 1.1 Raggruppamenti Esempio 1.1. Chiara ha a disposizione due gonne, una blu e una nera e quattro camicette, una celeste, una rosa, una verde e una fucsia. Vorremo sapere in quanti modi diversi può vestirsi abbinando una gonna ad una camicia?(a prescindere dal buongusto!!). Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è quella di elencare tutte le combinazioni possibili, e per comodità schematizziamo in questo modo: 1. le gonne possono essere scelte nell'insieme G = {B, N}, 2. le camicie possono essere scelte nell'insieme C = {C, R, V, F }. Per vestirsi, Chiara, sceglierà quindi una delle due gonne e poi sceglierà una camicia. Una combinazione possibile, sarà, dunque, una coppia (gonna, camicia). Procedendo con ordine abbiamo le seguenti coppie: (B, C), (B, R), (B, V ), (B, F ), con la gonna BLU e (N, C), (N, R), (N, V ), (N, F ), con la gonna NERA. In totale sono otto possibili combinazioni, numero che coincide con la cardinalità del prodotto cartesiano G C, infatti #G C = #G #C, quindi nel nostro caso 2 4 = 8. In generale, per determinare quante scelte si possono formare assegnando al primo posto un elemento dell'insieme A (#A = n), al secondo posto, un elemento dell'insieme B (#B = m), al terzo posto, un elemento dell'insieme C (#C = p), etc... basterà calcolare il numero #A B C = n m p... Esercizio In una scuola di pasticceria, sono iscritte 12 donne e 7 uomini. Quante sono le possibili coppie che si possono formare se vogliamo che le coppie siano formate sempre da un uomo ed una donna? Esercizio La facoltà di Scienze è formata da tre dipartimenti diversi: Matematica e Informatica, Fisica e Chimica. I docenti che fanno parte di Matematica e Informatica sono 23, quelli di Fisica 22 e quelli di Chimica 18. Occorre mandare una rappresentanza 1

2 della facoltà e si decide di mandare un rappresentante per ogni dipartimento. Quante sono le terne di docenti che è possibile formare? Esercizio Quante sono le sigle di tre elementi che si possono formare ponendo al primo posto una delle 5 vocali, al secondo posto una delle 16 consonanti e al terzo posto una delle 10 cifre? 1.2 Disposizioni semplici Esempio 1.2. Francesco possiede 5 foto che ha scattato durante le vacanze di Natale e vorrebbe appenderle sulla parete della sua stanza. Purtroppo però, nella parete scelta ci stanno solo tre foto. In quanti modi diversi può appendere le tre foto?(chiaramente non ci sono foto ripetute ed è importante anche l'ordine con cui le foto vengono appese.) Per capire in quanti modi si può compiere questa scelta, pensiamo al problema come a tre rettangoli vuoti sul muro che devono essere riempiti. Iniziamo con ordine, per riempire il primo rettangolo, possiamo scegliere una delle 5 foto, e quindi abbiamo (per la prima scelta) 5 possibilità. Ora passiamo al secondo rettangolo. Per riempirlo possiamo ora scegliere una delle 4 foto rimaste, quindi abbiamo 4 possibilità (per la seconda scelta), ma ATTENZIONE!!! queste 4 possibilità ci sono per ognuna delle 5 scelte eettuate precedentemente, quindi un totale di 5 4 = 20 scelte possibili. Inne per il terzo rettangolo vuoto, ci sono rimaste 3 foto tra cui scegliere, per ognuna delle 20 scelte possibili. Quindi in conclusione, le scelte eettuabili per ricoprire 3 posti sulla parete sono 5 per il primo spazio, 4 per il secondo e 3 per il terzo, e quindi in totale = 60. In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n (n 1) (n 2)... (n k + 1). Un raggruppamento di questo tipo è detto Disposizione semplice e si indica con D n,k : Denizione 1.1 (Disposizioni semplici). Le disposizioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con k n) sono tutti i gruppi di k elementi (tutti diversi) scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento o per l'ordine con cui sono sistemati: D n,k = n (n 1) (n 2)... (n k + 1) 2

3 Osservazione 1.2. Si noti che gli elementi dei raggruppamenti del paragrafo 1.1 appartengono ad insiemi diversi, mentre nelle disposizioni, appartengono tutti allo stesso insieme. Esercizio All'università è stato organizzato un torneo di scacchi con 15 partecipanti. Quante sono le possibili classiche dei primi 5? Esercizio Quante sigle di 5 elementi si possono formare in modo che i primi tre posti siano occupati da 3 diverse lettere dell'alfabeto italiano (considerate 21 lettere) e gli ultimi due da due cifre diverse. Esercizio Quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro, che si possono formare con le 10 cifre decimali?(attenzione!!! i numeri non possono iniziare per zero, perché i numeri di tre cifre con lo zero inizialie sono in realtà numeri di due cifre.) Esercizio Quanti sono i numeri con 4 cifre tutti diversi? Esercizio In quanti modi diversi possono sedersi 8 persone in 5 posti? Esercizio Quanti numeri pari di tre cifre, tutte diverse, si possono scrivere utilizzando le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Esercizio In quanti modi si possono scegliere 3 persone per fare un presidente, un vice-presidente e un segretario, in un gruppo di 10 persone, se una stessa persona non può ricoprire più ruoli? 1.3 Disposizioni con ripetizione Esempio 1.3. Le targhe italiane sono formate da due lettere iniziali, tre numeri e due lettere nali. Supponendo di poter usare tutte le 21 lettere dell'alfabeto italiano quante sono le possibili combinazioni con cui iniziano le targhe? anche ripetizioni, es. AA.) (Chiaramente sono ammesse Per capire quante stringhe di 2 lettere si possono formare con le 21 lettere procediamo come con le disposizioni semplici. Pensiamo quindi di dover riempire una stringa con 2 posti, ( 2 rettangoli vuoti). Procediamo con ordine, per il primo rettangolo ho 21 scelte possibili, quindi 21 possibilità e con il secondo spazio ho altre 21 possibilità, (sono ammesse targhe AA) per un totale 3

4 di = In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e sono ammesse le ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n n n... n per k volte, ovvero n k. Una disposizione di questo tipo è detta Disposizione con ripetizione e si indica con D n,k : Denizione 1.3 (Disposizioni con ripetizione). Le disposizione con ripetizione di n elementi distinti in gruppi di k sono tutti i gruppi di k elementi (non necessariamente tutti diversi) scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento o per l'ordine con cui sono sistemati: D n,k = n k Esercizio Vogliamo colorare 5 sedie con 7 colori. In quanti modi diversi possiamo farlo se lo stesso colore può essere usato per colorare più sedie? Esercizio Quanti numeri di tre cifre, non necessariamente distinte, si possono formare con gli elementi dell'insieme {3, 5, 6, 7, 8}? Esercizio In un'urna abbiamo 4 palline colorate, una Rossa, una Verde, una Nera e una Blu. Per tre volte si estrae una pallina, rimettendola ogni volta dentro l'urna. Quante sono le possibili terne ordinate che si possono ottenere? Quante sono le possibili terne ordinate nel caso in cui la pallina estratta non venga rimessa nell'urna? Esercizio Calcola quante possibili targhe di 7 elementi si possono formare se le prime due posizioni devono essere occupate da due lettere dell'alfabeto inglese (anche ripetute), il terzo, quarto e quinto posto deve essere occupato da una delle 10 cifre (anche ripetuti) e gli ultimi due posti dalle lettere dell'alfabeto inglese anche ripetute. (Ricorda che le lettere dell'alfabeto inglese sono 26) 1.4 Permutazioni semplici Esempio 1.4. Si calcoli quante sono i possibili anagrammi (anche privi di senso compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C I A O. 4

5 Per rispondere a questa domanda, possiamo procedere come abbiamo fatto sino ad ora e contare le possibilità di scelta passo passo. Il fatto che si tratti di anagrammi, ci dice implicitamente che non sono ammesse ripetizioni, per cui dobbiamo sistemare le nostre 4 lettere in 4 rettangoli senza ripetizioni di lettere. Per occupare il primo spazio abbiamo 4 scelte possibili, per il secondo spazio avremo 3 possibilità (non possiamo usare la stessa lettera scelta per il primo spazio, qualunque lettere sia), per il terzo spazio avremmo 2 possibilità e per il quarto spazio, avremo 1 scelta obbligata, perché dovremmo usare necessariamente l'unica lettera non ancora utilizzata, per un totale di = 24 possibilità. Osservazione 1.4. Si osservi che le permutazioni semplici sono delle disposizioni semplici di n oggetti in gruppi di n. Le disposizioni semplici, in cui il numero degli oggetti in ogni gruppo corrisponde al numero di oggetti totali, vengono più correttamente chiamate permutazioni semplici, poichè quello che distingue un gruppo da un altro è solamente l'ordine con cui prendiamo gli n oggetti. Prima di dare la denizione di permutazione semplice, ricordiamo un modo compatto di rappresentare il prodotto che useremo nella denizione: Denizione 1.5 (Fattoriale). Dato un numero intero positivo n si chiama fattoriale di n, e si denota con n! il numero n! = n (n 1) (n 2) (n 3) Per denizione si impone che 0! = 1. Per esempio, il fattoriale di 5 è il numero 5! = = 120, il fattoriale di 4 è 4! = = 24. Denizione 1.6 (Permutazioni semplici). Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi costituiti da tutti gli n elementi che dieriscono solamente per l'ordine con cui sono sistemati: P n = n! Esercizio In una gara partecipano 8 concorrenti. In quanti modi può presentarsi la classica nale? 5

6 Esercizio In quanti modi diversi si possono mettere in la tre bambini e quattro bambine? E in quanti modo si possono sistemare se le bambine vogliono stare tutte vicine e devono sistemarsi per prime? Esercizio Quanti anagrammi, anche privi di senso, si possono formare con le lettere della parola S T U F A? e con le lettere della parola M A R E? Esercizio Ad un congresso, 9 professori devono sedersi intorno a un tavolo rotondo. In quanti modi possono prendere posto? Se le stesse persone attendono in la davanti all'ingresso della sala, in quanti modi si possono disporre? 1.5 Permutazioni con ripetizione Esempio 1.5. Si calcoli quante sono i possibili anagrammi (anche privi di senso compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C A S A. Anche in questo caso, poiché stiamo considerando anagrammi, si tratta di capire come sistemare le 4 lettere della parola C A S A in gruppi di 4 lettere. Dobbiamo, però, fare attenzione quando scegliamo la lettera A, che compare due volte. Infatti, non siamo in grado di capire quale delle due A stiamo considerando, perché sono indistinguibili. Se le A fossero distinguibili (diciamo A 1 e A 2 ) le permutazioni (semplici) sarebbero 4! e quindi un totale di 24 anagrammi. Nel nostro caso però, poiché le lettere A sono indistinguibili si avrà, ad esempio, che i due anagrammi C A 2 S A 1 e C A 1 S A 2 sono la stessa permutazione e così anche per A 1 S A 2 C e A 2 S A 1 C, etc... Osservando che la prima si ottiene dalle seconda permutando le A, si può concludere che gli anagrammi uguali sono in numero pari alle permutazioni tra le lettere indistinguibili. Dovremmo quindi dividere il numero di tutte le permutazioni per il numero di permutazioni delle lettere indistinguibili. Nel nostro caso quindi gli anagrammi, tutti diversi, sono 4! 2! = 24 2 = 12. In generale, se dobbiamo contare in quanti modi si possono ordinare n oggetti in gruppi da n, dove k di questi sono indistinguibili, dobbiamo contare tutte le permutazioni di n oggetti e dividere per le permutazioni dei k oggetti indistinguibili. 6

7 Denizione 1.7 (Permutazioni con ripetizione). Le permutazioni con ripetizione di n elementi non necessariamente distinti in gruppi di n con k di questi ripetuti che dieriscono solo per l'ordine con cui sono sistemati si indicano con P n (k) e sono P (k) n = n! k!. Osservazione 1.8. Nel caso in cui gli elementi indistinguibili fossero di più tipi, ad esempio gli anagrammi della parola T R A T T O R E, dove le lettere ripetute sono sia la T (ripetuta 3 volte), sia la R (ripetuta 2) volte, si dividerà sia per 3! (permutazioni della T) sia per 2! (permutazioni della R). In conclusione gli anagrammi della parola T R A T T O R E sono P (3,2) 8 = 8! = = !2! Esercizio Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola D A R I A? e con le lettere della parola D O T T O R E S S A? e con le lettere della parola R A M A R R O? Esercizio Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola S A M A N T A? Esercizio (***). Una moneta viene lanciata otto volte. presentare una successione che contiene 6 teste e 2 croci? In quanti modi si può Esercizio (****). Quanti sono gli anagrammi, anche privi di signicato, della parola C I O C C O L A T A? Quanti niscono per A T A? Quanti iniziano con una consonante? 1.6 Combinazioni semplici Sino ad ora ci siamo occupati sempre di contare gruppi di oggetti in cui era importante l'ordine con cui venivano sistemati, (nelle permutazioni i gruppi si dierenziavano solo per l'ordine), mentre nei prossimi paragra ci occuperemo di contare gruppi in cui l'ordine non ha importanza. Esempio 1.6. Una classe di 10 studenti deve scegliere un gruppo di 3 studenti come rappresentanza della classe alle Olimpiadi di Matematica. In quanti modi diversi si può scegliere questo gruppo di rappresentanza? 7

8 La prima osservazione da fare, è che chiaramente non ha importanza l'ordine con cui si scelgono i rappresentanti, ed è chiaro anche che ogni ragazzo può essere scelto una sola volta come componente della rappresentanza (non sono ammesse ripetizioni.) Iniziamo a contare in quanti modi possiamo scegliere i 3 studenti come abbiamo fatto nel caso delle disposizioni e delle permutazioni (nelle quali però contava l'ordine). Per visualizzare la scelta, pensiamo di dover occupare 3 sedie vuote. Per occupare la prima sedia, abbiamo in tutto 10 possibilità. Scelto il primo studente, per occupare la seconda sedia, abbiamo 9 possibilità ed in inne per la terza sedia ci sono rimaste 8 possibilità di scelta. In totale le possibilità sono , ma non stiamo tenendo conto del fatto che se ad esempio ho scelto Marco per la prima sedia, Luca per la seconda e Irene per la terza, la rappresentanza è la stessa di scegliere prima Irene poi Marco e poi Luca, o prima Luca poi Irene e per ultimo Marco. Quello che dobbiamo fare, (poiché non ci interessa l'ordine) è dividere per le permutazioni dei 3 elementi scelti (che sono esattamente 3!). Quindi i modi di scegliere 3 studenti in un gruppo di 10 senza tener conto dell'ordine, sono Si osservi che tale numero può essere scritto anche come = ! = 10! 3! 3! 3! 7! 7!3!. In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in modo che non sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n! (n k)!k!. Un raggruppamento di questo tipo è detto Combinazione semplice e si indica con C n,k. Prima di dare la denizione di combinazione semplice, vediamo un modo molto importante di rappresentare il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k: Denizione 1.9 (Coeciente Binomiale). Dati due numeri interi positivi n e k (con k n) si chiama coeciente binomiale o combinazione di n elementi a gruppi di k, e si ( n denota con k) il numero ( ) n k = n! (n k)!k!. Prima di dire qualcosa in più su questo coeciente binomiale, diamo la denizione di combinazione semplice: Denizione 1.10 (Combinazioni semplici). Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con k n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento e per i quali non è importante l'ordine con cui sono sistemati: C n,k = 8 ( ) n k

9 Osservazione Abbiamo visto che il numero ( n k) è chiamato Coeciente binomiale, il nome deriva dal fatto che questi numeri entrano in gioco quando si considerano gli sviluppi delle potenze dei binomi. In particolare, i numeri ( n k) sono proprio i coecienti di questo sviluppo. Consideriamo, ad esempio, il binomio (a + b) e consideriamo le sue potenze: (a + b) 0 = 1, (a + b) 1 = a + b, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 3, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 2 + b 4, (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5, (a + b) 6 = Consideriamo lo sviluppo di (a+b) 5, si osservi che i coecienti ( ordinati sono 1, 5, 10, 10, 5, 1, ( 5 i quali corrispondono esattamente ai coecienti binomiali 0), 5 ( 1), 5 ( 2), 5 ( 3), 5 ( 4), 5 5), infatti ( 5 ) ( 0 = 1, 5 ) ( 1 = 5, 5 ) ( 2 = 10, 5 ) ( 3 = 10, 5 ) ( 4 = 5, 5 ) 5 = 1. Più in generale, lo sviluppo di un binomio alla potenza n è dato da n ( ) n (a + b) n = a n k b k k k=0 ( ) n =a n + a n 1 b Nella quale, ( n 0) = ( n n) = 1. ( ) ( ) ( ) n n n a n 2 b a 2 b n 2 + a 1 b n 1 + b n. 2 n 2 n 1 (1) Ad esempio, se si vuole calcolare la potenza (x + y) 7, utilizzando la formula (1) si avrà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) 7 =a 7 + a 6 b 1 + a 5 b 2 + a 4 b 3 + a 3 b 4 + a 2 b 5 + a 1 b 6 + b =a 7 + 7a 6 b + 21a 5 b a 4 b a 3 b a 2 b 5 + 7ab 6 + b 7. Si osservi che alcuni coecienti binomiali risultano essere uguali. Infatti, si può dimostrare, che vale la seguente ( ) ( ) n n = k n k Per convincersi di questo, si pensi al fatto che, se abbiano n oggetti e vogliamo sapere quanti gruppi di k oggetti si possono fare, per ogni gruppo, restano n k oggetti e quindi potremmo equivalentemente contare quanti gruppi di n k oggetti si possono fare. 9

10 Esercizio Un'urna contiene 9 palline numerate di cui 6 rosse e 3 bianche. estraggono contemporaneamente 5 palline. Calcoliamo: Si quanti gruppi diversi di cinque palline si possono avere; quanti di cinque palline tutte rosse; quanti di quattro rosse e una bianca; quanti di tre rosse e due bianche; quanti di due rosse e tre bianche. Esercizio Quante terne e quanti ambi si possono fare con i novanta numeri del lotto? Esercizio Ho due camion e un'automobile e devo formare una squadra di tre autisti che guidino ciascuno uno degli automezzi. Posso scegliere fra 10 persone, di cui 6 hanno la patente B e 4 hanno la patente C. Chi ha la patente C può guidare sia i camion che le automobili; chi ha la patente B può guidare le automobili, ma non può guidare camion. Quante squadre diverse posso formare? Esercizio Un gruppo di 10 professori devono scegliere 3 di loro per formare un direttivo, costituito da un presidente, un vice-presidente e un segretario. Devono inoltre, scegliere tra i restanti una commissione di tre membri. In quanti modi diversi possono essere fatte queste scelte? Esercizio Devo preparare 8 vaschette di gelato, con gusti tutti diversi tra loro: tra essi, stracciatella e pistacchio. In quanti modi diversi posso servire gelati con tre gusti dierenti, se non voglio mettere insieme stracciatella e pistacchio nella stessa vaschetta? 1.7 Combinazioni con ripetizione Consideriamo inne il seguente problema, Esempio 1.7. Supponiamo di lanciare una moneta per 4 volte consecutive, e segnano su un foglio una T se la moneta è atterrata sulla faccia con la testa oppure C se la moneta è caduta con la faccia che rappresenta la croce. Quante sono le possibili stringe di 4 lettere che rappresentano i 4 lanci, a prescindere dall'ordine con cui si sono presentate le facce? 10

11 Per trovare quante sono le possibili combinazioni, possiamo iniziare a contare le possibilità lancio per lancio. Con il primo lancio, abbiamo 2 possibili risultati: T C. Passiamo al secondo lancio, (ricordando che non ci interessa l'ordine) possiamo ottenere i 3 seguenti risultati: TT TC CC. Nel terzo lancio, le possibilità diventano 4 e sono: TTT TTC TCC CCC ed inne, sempre per lo stesso principio, con il 4 lancio abbiamo un totale di 5 risultati possibili: TTTT TTTC TTCC TCCC CCCC. Quindi, con il calcolo esplicito, sappiamo che le combinazioni possibili che si possono ottenere con 2 elementi (T o C) in gruppi di 4, dove sono ammesse ripetizioni e non ci interessa l'ordine sono esattamente 5. In generale, il calcolo esplicito può essere particolarmente laborioso. Utilizzeremo a tal proposito la seguente formula che non dimostreremo, ma rappresenta la generalizzazione dell'esempio appena trattato. Un raggruppamento di questo tipo è detto Combinazione con ripetizione e si indica con C n,k. Denizione 1.12 (Combinazioni con ripetizione). Le combinazioni con ripetizioni di n elementi distinti in gruppi di k (con k < n oppure k > n oppure k = n) sono tutti i gruppi di k elementi che si possono formare nel quale ogni elemento può essere ripetuto al massimo k volte, non ci interessa l'ordine con cui si ripetono ed ogni elemento è ripetuto un numero diverso di volte. ( ) n + k 1 C n,k = k Ad esempio, nel caso precedente, se vogliamo fare gruppi di 4 oggetti (lancio la moneta 4 volte) dovrò porre k = 4. Gli oggetti tra cui scelgo sono 2, poiché posso scegliere solamente T oppure C avrò che n = 2. Utilizzando la formula si avrà che i raggruppamenti di 2 oggetti a gruppi di 4 che si possono ottenere sono ( ) C 2,4 = = 4 11 ( ) 5 = 5! 4 1!4! = 5,

12 esattamente come avevamo trovato con il calcolo esplicito. ATTENZIONE!!! Se avete dubbi su chi sia k e chi sia n (sopratutto nel caso di oggetti indistinguibili) k è sempre il numero massimo di ripetizioni per ogni elemento. (vedi Esercizio ) Esercizio Una pasticceria produce 5 tipologie di pasticcini, a, b, c, d, e. In quanti modi diversi si può confezionare un vassoio con 8 di queste paste? (Qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni tipo di pasticcino?) Esercizio Lanciando contemporaneamente quattro dadi uguali, quante sono le combinazioni con cui si possono presentare le sei facce?(qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni faccia del dado?) Esercizio In quanti modi possiamo collocare sei palline uguali in quattro urne? Qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni pallina?) 12

13 Soluzioni Esercizi: Es Es Es Es Es Es Es Es Es Es Es = Es = 125. Es = 64 e 24. Es = Es ! = Es ! = 5040 e 4! 3! = 144. Es ! = 120 e 4! = 24. Es ! 9 Es ! 2! = 60, 10! 2!2!2! Es ! 3! = 840. Es ! 6!2! = 28. = e 9! = = e 7! 3!2! =

14 Es ! 3!2!2! = e 7! 3!2! = 420 e 9! 2!2!2! + 9! 3!2!2! + 9! 3!2!2! Es ( 9 5) = 126, ( 6 5) = 6, ( 6 4) ( 3 1) = 45, ( 6 3) ( 3 2) = 60, ( 6 2) ( 3 3) = 15. Es ( 90 3 ) = e ( 90 2 ) = 4005 Es ( 4 2) ( 8 1) = 48 Es (7 3) = Es ( 6 3) + ( 6 2) + ( 6 2) = = 50. Es ( 12 8 ) = 495, (8) Es ( 9 4) = 126, (4). Es ( 9 6) = 84, (6). = =

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Cenni di calcolo combinatorio

Cenni di calcolo combinatorio Cenni di calcolo combinatorio 1 Introduzione Calcolare quanti sono i diversi modi di ordinare un insieme di oggetti è un problema interessante. Quante sigle diverse si possono fare con le tre lettere RST?

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

3. Formare tutte le parole (anche prive di senso) che si possono ottenere utilizzando tre lettere della parola AROMI. Quante sono? [R.

3. Formare tutte le parole (anche prive di senso) che si possono ottenere utilizzando tre lettere della parola AROMI. Quante sono? [R. 1. Scrivere tutti gli anagrammi della parola ARTO. [R. 24] 2. Scrivere tutti gli anagrammi della parola ORE. [R. 6] 3. Formare tutte le parole (anche prive di senso) che si possono ottenere utilizzando

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Calcolo combinatorio (da un file della Prof.ssa Marchisio, con alcune modifiche e integrazioni) Calcolo combinatorio branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare, secondo date

Dettagli

LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO

LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 31 Ottobre 2012 Cos è il calcolo combinatorio?

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Giochiamo a dadi Nel XVII secolo il cavaliere De Meré, forte giocatore, come spesso accadeva fra la nobiltà di quel tempo, si pose questo quesito: Che cosa è più conveniente, scommettere

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Esempio II.1.2. Esempio II.1.3. Esercizi

Esempio II.1.2. Esempio II.1.3. Esercizi Calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio consiste nello sviluppo di nozioni e tecniche per contare i possibili ordinamenti di un insieme e le possibili scelte di sottoinsiemi di un insieme Ha numerosi

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO A cosa serve???? Wiki says: Il calcolo combinatorio studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. In altre parole.

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo B. Russell - Cles (TN) Classe 3D Insegnante di riferimento: Claretta Carrara Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Alessio, Christian, Carlo, Daniele, Elena, Filippo, Ilaria,

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Raggruppamenti. Esercizio 1

Raggruppamenti. Esercizio 1 Raggruppamenti Nelle prossime lezioni ci occuperemo delle basi del calcolo combinatorio. Per semplicità partiremo da un esercizio e poi analizzeremo il caso generale con la definizione e la formula da

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio Capitolo S-09 Calcolo Combinatorio Autore: Mirto Moressa Contatto: mirtomo@tiscali.it Sito: www.mirtomoressa.altervista.org Data inizio: 16/10/2010 Data fine: 21/10/2010 Ultima modifica: 21/10/2010 Versione:

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro Appunti ed esercizi di combinatoria Alberto Carraro December 2, 2009 01 Le formule principali per contare Disposizioni Sia A un insieme di n 1 elementi distinti Le sequenze di 1 k n elementi scelti senza

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Dagli insiemi al calcolo combinatorio

Dagli insiemi al calcolo combinatorio Dagli insiemi al calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio è una parte della matematica che si occupa di contare gli elementi di un insieme finito, ottenuto a partire da altri insiemi, dei quali si

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

CALCOLO COMBIN I A N T A O T RIO

CALCOLO COMBIN I A N T A O T RIO CALCOLO COMBINATORIO Disposizioni Si dicono disposizioni di N elementi di classe k tutti quei gruppi che si possono formare prendendo ogni volta k degli N elementi e cambiando ogni volta un elemento o

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI NUMERI INTERI QUESITO Un quesito (facile) sulle cifre:

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ] IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ].. 3... 6. 7. 8. Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/

Dettagli

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2009-2010, II semestre 8 luglio, 2010 CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010 Testo e soluzione 1. (6 pts 12 monete da 1 euro vengono distribuite tra

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. G. Ciaschetti Fin dall antichità, l uomo ha avuto il bisogno di rappresentare le quantità in modo simbolico. Sono nati

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme.

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Esercizi difficili sul calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Le parole a caso

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

SCHEDA M MOSAICI CLASSIFICARE CON LA SIMMETRIA

SCHEDA M MOSAICI CLASSIFICARE CON LA SIMMETRIA SCHEDA M MOSAICI CLASSIFICARE CON LA SIMMETRIA Qui sotto avete una griglia, che rappresenta una normale quadrettatura, come quella dei quaderni a quadretti; nelle attività che seguono dovrete immaginare

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Terza Edizione Giochi di Achille (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria E4 (Alunni di quarta elementare)

Terza Edizione Giochi di Achille (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria E4 (Alunni di quarta elementare) Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel. 0871 6584 (cell.: 40 47 47 952) e-mail:agostino_zappacosta@libero.it Terza Edizione Giochi di Achille (1-12-07) - Olimpiadi

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN 1 CIRCOLO SPINEA ANNO SCOLASTICO 2005-06. Prog. MATEMATICA Gruppo ANNI 5 Periodo MARZO Documentazione di MIELE GIOVANNA

SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN 1 CIRCOLO SPINEA ANNO SCOLASTICO 2005-06. Prog. MATEMATICA Gruppo ANNI 5 Periodo MARZO Documentazione di MIELE GIOVANNA SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN 1 CIRCOLO SPINEA ANNO SCOLASTICO 2005-06 Prog. MATEMATICA Gruppo ANNI 5 Periodo MARZO Documentazione di MIELE GIOVANNA Il progetto sulla Terza Dimensione Queste attività si

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS - 2007 Lezione 3

Dettagli

LABORATORIO DI ALGEBRA. Elementi di calcolo combinatorio

LABORATORIO DI ALGEBRA. Elementi di calcolo combinatorio UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PALERMO SCUOLA INTERUNIVERSITARIA SICILIANA DI SPECIALIZZAZIONE PER L INSEGNAMENTO SECONDARIO LABORATORIO DI ALGEBRA Elementi di calcolo combinatorio Specializzandi : Dott.ssa

Dettagli

Terza Edizione Giochi di Achille (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M1 (Alunni di prima media)

Terza Edizione Giochi di Achille (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M1 (Alunni di prima media) Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel. 087 65843 (cell.: 340 47 47 95) e-mail:agostino_zappacosta@libero.it Terza Edizione Giochi di Achille (3--07) - Olimpiadi

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Ecolier Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Ecolier Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria Testi_07.qxp 16-04-2007 12:02 Pagina 5 Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria I quesiti dal N. 1 al N. 8 valgono 3 punti ciascuno 1. Osserva

Dettagli

SIMULAZIONE TEST INVALSI

SIMULAZIONE TEST INVALSI SIMULAZIONE TEST INVALSI STATISTICA E PROBABILITA Nel sacchetto A ci sono 4 palline rosse e 8 nere mentre nel sacchetto B ci sono 4 palline rosse e 6 nere. a. Completa correttamente la seguente frase inserendo

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4)

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4) Esercizi tratti dai problemi del Bac delle scuole europee (ordinati per difficoltà: dai più semplici, senza asterisco, a quelli di media difficoltà, con 1 asterisco, a quelli difficili, con due asterischi)

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Obiettivo Principale: Spiegare come la stessa cosa possa essere realizzata in molti modi diversi e come, a volte, ci siano modi migliori di altri.

Obiettivo Principale: Spiegare come la stessa cosa possa essere realizzata in molti modi diversi e come, a volte, ci siano modi migliori di altri. 6 LEZIONE: Algoritmi Tempo della lezione: 45-60 Minuti. Tempo di preparazione: 10-25 Minuti (a seconda che tu abbia dei Tangram disponibili o debba tagliarli a mano) Obiettivo Principale: Spiegare come

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se.

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se. I Polinomi Michele Buizza 1 Insiemi In questa prima sezione ricordiamo la simbologia che useremo in questa breve dispensa. Iniziamo innanzitutto a ricordare i simboli usati per i principali insiemi numerici.

Dettagli

Esercizi di Excel. Parte terza

Esercizi di Excel. Parte terza Esercizi di Excel Parte terza Questa settimana verranno presentati alcuni esercizi sull'uso delle funzioni e della formattazione condizionale. In caso di domande, richieste od altro ancora non esitate

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

LAVORO ESTIVO DI INFORMATICA CLASSE 2O

LAVORO ESTIVO DI INFORMATICA CLASSE 2O LAVORO ESTIVO DI INFORMATICA CLASSE 2O PER COLORO CHE HANNO AVUTO LA SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO, GLI ESERCIZI SVOLTI DEVONO ESSERE CONSEGNATI TASSATIVAMENTE IL GIORNO DELL'ESAME SCRITTO. A CHI È STATO ASSEGNATO

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Franco Taggi Reparto Ambiente e Traumi Dipartimento Ambiente e connessa Prevenzione Primaria Istituto Superiore di Sanità

Franco Taggi Reparto Ambiente e Traumi Dipartimento Ambiente e connessa Prevenzione Primaria Istituto Superiore di Sanità Il metodo del Rispondente Cancellato (ERM) per i controlli su strada della guida sotto l influenza di alcol o sostanze (e non solo): un paradigma illustrativo. Franco Taggi Reparto Ambiente e Traumi Dipartimento

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile

Dettagli

TANTO,POCO,NIENTE zero. PROGETTO MATEMATICA INS. MARTINIS MARGHERITA A.S. 2007/08 4 ANNI Scuola infanzia COLLODI

TANTO,POCO,NIENTE zero. PROGETTO MATEMATICA INS. MARTINIS MARGHERITA A.S. 2007/08 4 ANNI Scuola infanzia COLLODI TANTO,POCO,NIENTE zero PROGETTO MATEMATICA INS. MARTINIS MARGHERITA A.S. 2007/08 4 ANNI Scuola infanzia COLLODI Favorire strategie personali di pensiero Cominciare ad usare segni per rappresentare quantità

Dettagli

I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 27 novembre 2014

I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 27 novembre 2014 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 7 novembre 0 Risoluzione dei problemi (l ordine si riferisce

Dettagli

1. Elementi di Calcolo Combinatorio.

1. Elementi di Calcolo Combinatorio. . Elementi di Calolo Combinatorio. Prinipio Base del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere due esperimenti. Se l esperimento uno può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n

Dettagli

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è

Dettagli

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell Davide Penazzi 2 Funzioni tra insiemi niti: i numeri di Stirling e Bell 1 Contare il numero delle funzioni tra insiemi 1.1 Denizioni e concetti preliminari

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

Soluzioni Giochi di Archimede 2015 Fase Istituto GARA BIENNIO

Soluzioni Giochi di Archimede 2015 Fase Istituto GARA BIENNIO Soluzioni Giochi di Archimede 05 Fase Istituto GARA BIENNIO. Nel paese Gnallucci circolano quattro monete: dobloni, zecchini, talleri e fufignezi. Un doblone vale quanto uno zecchino più un tallero e un

Dettagli

Modulo didattico sulla misura di grandezze fisiche: la lunghezza

Modulo didattico sulla misura di grandezze fisiche: la lunghezza Modulo didattico sulla misura di grandezze fisiche: la lunghezza Lezione 1: Cosa significa confrontare due lunghezze? Attività n 1 DOMANDA N 1 : Nel vostro gruppo qual è la matita più lunga? DOMANDA N

Dettagli

Teoria dei Giochi. In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali:

Teoria dei Giochi. In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali: Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 1 1 Nozioni introduttive La teoria

Dettagli

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE -MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontro del 15.02.07

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE -MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontro del 15.02.07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE -MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontro del 15.02.07 CODICI MONOALFABETICI E ANALISI DELLE FREQUENZE (organizzata da Francesca Visentin) Riprendiamo

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo Scientifico Pascal Merano (BZ) Classe 2 Liceo Scientifico Tecnologico Insegnante di riferimento: Maria Elena Zecchinato Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Jacopo Bottonelli,

Dettagli

No titolo 3 4 5 6 7 8 9 10 Ar. Alg. Ge. Lo. Orig.

No titolo 3 4 5 6 7 8 9 10 Ar. Alg. Ge. Lo. Orig. 14 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO PRIMA PROVA No titolo 3 4 5 6 7 8 9 10 Ar. Alg. Ge. Lo. Orig. 1 Sudoku 3 x RZ 2 Il ventaglio di Giulia 3 4 x LO 3 I pacchi di Babbo Natale 3 4 x x SR 4 Tavoletta da ricoprire

Dettagli