1 Calcolo combinatorio

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1 1 Calcolo combinatorio In questo capitolo andremo ad introdurre le basi del calcolo combinatorio e le analizzeremo partendo dal caso pratico della risoluzione di un esercizio per poi dare la formulazione generale. 1.1 Raggruppamenti Esempio 1.1. Chiara ha a disposizione due gonne, una blu e una nera e quattro camicette, una celeste, una rosa, una verde e una fucsia. Vorremo sapere in quanti modi diversi può vestirsi abbinando una gonna ad una camicia?(a prescindere dal buongusto!!). Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è quella di elencare tutte le combinazioni possibili, e per comodità schematizziamo in questo modo: 1. le gonne possono essere scelte nell'insieme G = {B, N}, 2. le camicie possono essere scelte nell'insieme C = {C, R, V, F }. Per vestirsi, Chiara, sceglierà quindi una delle due gonne e poi sceglierà una camicia. Una combinazione possibile, sarà, dunque, una coppia (gonna, camicia). Procedendo con ordine abbiamo le seguenti coppie: (B, C), (B, R), (B, V ), (B, F ), con la gonna BLU e (N, C), (N, R), (N, V ), (N, F ), con la gonna NERA. In totale sono otto possibili combinazioni, numero che coincide con la cardinalità del prodotto cartesiano G C, infatti #G C = #G #C, quindi nel nostro caso 2 4 = 8. In generale, per determinare quante scelte si possono formare assegnando al primo posto un elemento dell'insieme A (#A = n), al secondo posto, un elemento dell'insieme B (#B = m), al terzo posto, un elemento dell'insieme C (#C = p), etc... basterà calcolare il numero #A B C = n m p... Esercizio In una scuola di pasticceria, sono iscritte 12 donne e 7 uomini. Quante sono le possibili coppie che si possono formare se vogliamo che le coppie siano formate sempre da un uomo ed una donna? Esercizio La facoltà di Scienze è formata da tre dipartimenti diversi: Matematica e Informatica, Fisica e Chimica. I docenti che fanno parte di Matematica e Informatica sono 23, quelli di Fisica 22 e quelli di Chimica 18. Occorre mandare una rappresentanza 1

2 della facoltà e si decide di mandare un rappresentante per ogni dipartimento. Quante sono le terne di docenti che è possibile formare? Esercizio Quante sono le sigle di tre elementi che si possono formare ponendo al primo posto una delle 5 vocali, al secondo posto una delle 16 consonanti e al terzo posto una delle 10 cifre? 1.2 Disposizioni semplici Esempio 1.2. Francesco possiede 5 foto che ha scattato durante le vacanze di Natale e vorrebbe appenderle sulla parete della sua stanza. Purtroppo però, nella parete scelta ci stanno solo tre foto. In quanti modi diversi può appendere le tre foto?(chiaramente non ci sono foto ripetute ed è importante anche l'ordine con cui le foto vengono appese.) Per capire in quanti modi si può compiere questa scelta, pensiamo al problema come a tre rettangoli vuoti sul muro che devono essere riempiti. Iniziamo con ordine, per riempire il primo rettangolo, possiamo scegliere una delle 5 foto, e quindi abbiamo (per la prima scelta) 5 possibilità. Ora passiamo al secondo rettangolo. Per riempirlo possiamo ora scegliere una delle 4 foto rimaste, quindi abbiamo 4 possibilità (per la seconda scelta), ma ATTENZIONE!!! queste 4 possibilità ci sono per ognuna delle 5 scelte eettuate precedentemente, quindi un totale di 5 4 = 20 scelte possibili. Inne per il terzo rettangolo vuoto, ci sono rimaste 3 foto tra cui scegliere, per ognuna delle 20 scelte possibili. Quindi in conclusione, le scelte eettuabili per ricoprire 3 posti sulla parete sono 5 per il primo spazio, 4 per il secondo e 3 per il terzo, e quindi in totale = 60. In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n (n 1) (n 2)... (n k + 1). Un raggruppamento di questo tipo è detto Disposizione semplice e si indica con D n,k : Denizione 1.1 (Disposizioni semplici). Le disposizioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con k n) sono tutti i gruppi di k elementi (tutti diversi) scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento o per l'ordine con cui sono sistemati: D n,k = n (n 1) (n 2)... (n k + 1) 2

3 Osservazione 1.2. Si noti che gli elementi dei raggruppamenti del paragrafo 1.1 appartengono ad insiemi diversi, mentre nelle disposizioni, appartengono tutti allo stesso insieme. Esercizio All'università è stato organizzato un torneo di scacchi con 15 partecipanti. Quante sono le possibili classiche dei primi 5? Esercizio Quante sigle di 5 elementi si possono formare in modo che i primi tre posti siano occupati da 3 diverse lettere dell'alfabeto italiano (considerate 21 lettere) e gli ultimi due da due cifre diverse. Esercizio Quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro, che si possono formare con le 10 cifre decimali?(attenzione!!! i numeri non possono iniziare per zero, perché i numeri di tre cifre con lo zero inizialie sono in realtà numeri di due cifre.) Esercizio Quanti sono i numeri con 4 cifre tutti diversi? Esercizio In quanti modi diversi possono sedersi 8 persone in 5 posti? Esercizio Quanti numeri pari di tre cifre, tutte diverse, si possono scrivere utilizzando le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Esercizio In quanti modi si possono scegliere 3 persone per fare un presidente, un vice-presidente e un segretario, in un gruppo di 10 persone, se una stessa persona non può ricoprire più ruoli? 1.3 Disposizioni con ripetizione Esempio 1.3. Le targhe italiane sono formate da due lettere iniziali, tre numeri e due lettere nali. Supponendo di poter usare tutte le 21 lettere dell'alfabeto italiano quante sono le possibili combinazioni con cui iniziano le targhe? anche ripetizioni, es. AA.) (Chiaramente sono ammesse Per capire quante stringhe di 2 lettere si possono formare con le 21 lettere procediamo come con le disposizioni semplici. Pensiamo quindi di dover riempire una stringa con 2 posti, ( 2 rettangoli vuoti). Procediamo con ordine, per il primo rettangolo ho 21 scelte possibili, quindi 21 possibilità e con il secondo spazio ho altre 21 possibilità, (sono ammesse targhe AA) per un totale 3

4 di = In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e sono ammesse le ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n n n... n per k volte, ovvero n k. Una disposizione di questo tipo è detta Disposizione con ripetizione e si indica con D n,k : Denizione 1.3 (Disposizioni con ripetizione). Le disposizione con ripetizione di n elementi distinti in gruppi di k sono tutti i gruppi di k elementi (non necessariamente tutti diversi) scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento o per l'ordine con cui sono sistemati: D n,k = n k Esercizio Vogliamo colorare 5 sedie con 7 colori. In quanti modi diversi possiamo farlo se lo stesso colore può essere usato per colorare più sedie? Esercizio Quanti numeri di tre cifre, non necessariamente distinte, si possono formare con gli elementi dell'insieme {3, 5, 6, 7, 8}? Esercizio In un'urna abbiamo 4 palline colorate, una Rossa, una Verde, una Nera e una Blu. Per tre volte si estrae una pallina, rimettendola ogni volta dentro l'urna. Quante sono le possibili terne ordinate che si possono ottenere? Quante sono le possibili terne ordinate nel caso in cui la pallina estratta non venga rimessa nell'urna? Esercizio Calcola quante possibili targhe di 7 elementi si possono formare se le prime due posizioni devono essere occupate da due lettere dell'alfabeto inglese (anche ripetute), il terzo, quarto e quinto posto deve essere occupato da una delle 10 cifre (anche ripetuti) e gli ultimi due posti dalle lettere dell'alfabeto inglese anche ripetute. (Ricorda che le lettere dell'alfabeto inglese sono 26) 1.4 Permutazioni semplici Esempio 1.4. Si calcoli quante sono i possibili anagrammi (anche privi di senso compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C I A O. 4

5 Per rispondere a questa domanda, possiamo procedere come abbiamo fatto sino ad ora e contare le possibilità di scelta passo passo. Il fatto che si tratti di anagrammi, ci dice implicitamente che non sono ammesse ripetizioni, per cui dobbiamo sistemare le nostre 4 lettere in 4 rettangoli senza ripetizioni di lettere. Per occupare il primo spazio abbiamo 4 scelte possibili, per il secondo spazio avremo 3 possibilità (non possiamo usare la stessa lettera scelta per il primo spazio, qualunque lettere sia), per il terzo spazio avremmo 2 possibilità e per il quarto spazio, avremo 1 scelta obbligata, perché dovremmo usare necessariamente l'unica lettera non ancora utilizzata, per un totale di = 24 possibilità. Osservazione 1.4. Si osservi che le permutazioni semplici sono delle disposizioni semplici di n oggetti in gruppi di n. Le disposizioni semplici, in cui il numero degli oggetti in ogni gruppo corrisponde al numero di oggetti totali, vengono più correttamente chiamate permutazioni semplici, poichè quello che distingue un gruppo da un altro è solamente l'ordine con cui prendiamo gli n oggetti. Prima di dare la denizione di permutazione semplice, ricordiamo un modo compatto di rappresentare il prodotto che useremo nella denizione: Denizione 1.5 (Fattoriale). Dato un numero intero positivo n si chiama fattoriale di n, e si denota con n! il numero n! = n (n 1) (n 2) (n 3) Per denizione si impone che 0! = 1. Per esempio, il fattoriale di 5 è il numero 5! = = 120, il fattoriale di 4 è 4! = = 24. Denizione 1.6 (Permutazioni semplici). Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi costituiti da tutti gli n elementi che dieriscono solamente per l'ordine con cui sono sistemati: P n = n! Esercizio In una gara partecipano 8 concorrenti. In quanti modi può presentarsi la classica nale? 5

6 Esercizio In quanti modi diversi si possono mettere in la tre bambini e quattro bambine? E in quanti modo si possono sistemare se le bambine vogliono stare tutte vicine e devono sistemarsi per prime? Esercizio Quanti anagrammi, anche privi di senso, si possono formare con le lettere della parola S T U F A? e con le lettere della parola M A R E? Esercizio Ad un congresso, 9 professori devono sedersi intorno a un tavolo rotondo. In quanti modi possono prendere posto? Se le stesse persone attendono in la davanti all'ingresso della sala, in quanti modi si possono disporre? 1.5 Permutazioni con ripetizione Esempio 1.5. Si calcoli quante sono i possibili anagrammi (anche privi di senso compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C A S A. Anche in questo caso, poiché stiamo considerando anagrammi, si tratta di capire come sistemare le 4 lettere della parola C A S A in gruppi di 4 lettere. Dobbiamo, però, fare attenzione quando scegliamo la lettera A, che compare due volte. Infatti, non siamo in grado di capire quale delle due A stiamo considerando, perché sono indistinguibili. Se le A fossero distinguibili (diciamo A 1 e A 2 ) le permutazioni (semplici) sarebbero 4! e quindi un totale di 24 anagrammi. Nel nostro caso però, poiché le lettere A sono indistinguibili si avrà, ad esempio, che i due anagrammi C A 2 S A 1 e C A 1 S A 2 sono la stessa permutazione e così anche per A 1 S A 2 C e A 2 S A 1 C, etc... Osservando che la prima si ottiene dalle seconda permutando le A, si può concludere che gli anagrammi uguali sono in numero pari alle permutazioni tra le lettere indistinguibili. Dovremmo quindi dividere il numero di tutte le permutazioni per il numero di permutazioni delle lettere indistinguibili. Nel nostro caso quindi gli anagrammi, tutti diversi, sono 4! 2! = 24 2 = 12. In generale, se dobbiamo contare in quanti modi si possono ordinare n oggetti in gruppi da n, dove k di questi sono indistinguibili, dobbiamo contare tutte le permutazioni di n oggetti e dividere per le permutazioni dei k oggetti indistinguibili. 6

7 Denizione 1.7 (Permutazioni con ripetizione). Le permutazioni con ripetizione di n elementi non necessariamente distinti in gruppi di n con k di questi ripetuti che dieriscono solo per l'ordine con cui sono sistemati si indicano con P n (k) e sono P (k) n = n! k!. Osservazione 1.8. Nel caso in cui gli elementi indistinguibili fossero di più tipi, ad esempio gli anagrammi della parola T R A T T O R E, dove le lettere ripetute sono sia la T (ripetuta 3 volte), sia la R (ripetuta 2) volte, si dividerà sia per 3! (permutazioni della T) sia per 2! (permutazioni della R). In conclusione gli anagrammi della parola T R A T T O R E sono P (3,2) 8 = 8! = = !2! Esercizio Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola D A R I A? e con le lettere della parola D O T T O R E S S A? e con le lettere della parola R A M A R R O? Esercizio Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola S A M A N T A? Esercizio (***). Una moneta viene lanciata otto volte. presentare una successione che contiene 6 teste e 2 croci? In quanti modi si può Esercizio (****). Quanti sono gli anagrammi, anche privi di signicato, della parola C I O C C O L A T A? Quanti niscono per A T A? Quanti iniziano con una consonante? 1.6 Combinazioni semplici Sino ad ora ci siamo occupati sempre di contare gruppi di oggetti in cui era importante l'ordine con cui venivano sistemati, (nelle permutazioni i gruppi si dierenziavano solo per l'ordine), mentre nei prossimi paragra ci occuperemo di contare gruppi in cui l'ordine non ha importanza. Esempio 1.6. Una classe di 10 studenti deve scegliere un gruppo di 3 studenti come rappresentanza della classe alle Olimpiadi di Matematica. In quanti modi diversi si può scegliere questo gruppo di rappresentanza? 7

8 La prima osservazione da fare, è che chiaramente non ha importanza l'ordine con cui si scelgono i rappresentanti, ed è chiaro anche che ogni ragazzo può essere scelto una sola volta come componente della rappresentanza (non sono ammesse ripetizioni.) Iniziamo a contare in quanti modi possiamo scegliere i 3 studenti come abbiamo fatto nel caso delle disposizioni e delle permutazioni (nelle quali però contava l'ordine). Per visualizzare la scelta, pensiamo di dover occupare 3 sedie vuote. Per occupare la prima sedia, abbiamo in tutto 10 possibilità. Scelto il primo studente, per occupare la seconda sedia, abbiamo 9 possibilità ed in inne per la terza sedia ci sono rimaste 8 possibilità di scelta. In totale le possibilità sono , ma non stiamo tenendo conto del fatto che se ad esempio ho scelto Marco per la prima sedia, Luca per la seconda e Irene per la terza, la rappresentanza è la stessa di scegliere prima Irene poi Marco e poi Luca, o prima Luca poi Irene e per ultimo Marco. Quello che dobbiamo fare, (poiché non ci interessa l'ordine) è dividere per le permutazioni dei 3 elementi scelti (che sono esattamente 3!). Quindi i modi di scegliere 3 studenti in un gruppo di 10 senza tener conto dell'ordine, sono Si osservi che tale numero può essere scritto anche come = ! = 10! 3! 3! 3! 7! 7!3!. In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in modo che non sia importante l'ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte eettuabili sono n! (n k)!k!. Un raggruppamento di questo tipo è detto Combinazione semplice e si indica con C n,k. Prima di dare la denizione di combinazione semplice, vediamo un modo molto importante di rappresentare il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k: Denizione 1.9 (Coeciente Binomiale). Dati due numeri interi positivi n e k (con k n) si chiama coeciente binomiale o combinazione di n elementi a gruppi di k, e si ( n denota con k) il numero ( ) n k = n! (n k)!k!. Prima di dire qualcosa in più su questo coeciente binomiale, diamo la denizione di combinazione semplice: Denizione 1.10 (Combinazioni semplici). Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con k n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che dieriscono per almeno un elemento e per i quali non è importante l'ordine con cui sono sistemati: C n,k = 8 ( ) n k

9 Osservazione Abbiamo visto che il numero ( n k) è chiamato Coeciente binomiale, il nome deriva dal fatto che questi numeri entrano in gioco quando si considerano gli sviluppi delle potenze dei binomi. In particolare, i numeri ( n k) sono proprio i coecienti di questo sviluppo. Consideriamo, ad esempio, il binomio (a + b) e consideriamo le sue potenze: (a + b) 0 = 1, (a + b) 1 = a + b, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 3, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 2 + b 4, (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5, (a + b) 6 = Consideriamo lo sviluppo di (a+b) 5, si osservi che i coecienti ( ordinati sono 1, 5, 10, 10, 5, 1, ( 5 i quali corrispondono esattamente ai coecienti binomiali 0), 5 ( 1), 5 ( 2), 5 ( 3), 5 ( 4), 5 5), infatti ( 5 ) ( 0 = 1, 5 ) ( 1 = 5, 5 ) ( 2 = 10, 5 ) ( 3 = 10, 5 ) ( 4 = 5, 5 ) 5 = 1. Più in generale, lo sviluppo di un binomio alla potenza n è dato da n ( ) n (a + b) n = a n k b k k k=0 ( ) n =a n + a n 1 b Nella quale, ( n 0) = ( n n) = 1. ( ) ( ) ( ) n n n a n 2 b a 2 b n 2 + a 1 b n 1 + b n. 2 n 2 n 1 (1) Ad esempio, se si vuole calcolare la potenza (x + y) 7, utilizzando la formula (1) si avrà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) 7 =a 7 + a 6 b 1 + a 5 b 2 + a 4 b 3 + a 3 b 4 + a 2 b 5 + a 1 b 6 + b =a 7 + 7a 6 b + 21a 5 b a 4 b a 3 b a 2 b 5 + 7ab 6 + b 7. Si osservi che alcuni coecienti binomiali risultano essere uguali. Infatti, si può dimostrare, che vale la seguente ( ) ( ) n n = k n k Per convincersi di questo, si pensi al fatto che, se abbiano n oggetti e vogliamo sapere quanti gruppi di k oggetti si possono fare, per ogni gruppo, restano n k oggetti e quindi potremmo equivalentemente contare quanti gruppi di n k oggetti si possono fare. 9

10 Esercizio Un'urna contiene 9 palline numerate di cui 6 rosse e 3 bianche. estraggono contemporaneamente 5 palline. Calcoliamo: Si quanti gruppi diversi di cinque palline si possono avere; quanti di cinque palline tutte rosse; quanti di quattro rosse e una bianca; quanti di tre rosse e due bianche; quanti di due rosse e tre bianche. Esercizio Quante terne e quanti ambi si possono fare con i novanta numeri del lotto? Esercizio Ho due camion e un'automobile e devo formare una squadra di tre autisti che guidino ciascuno uno degli automezzi. Posso scegliere fra 10 persone, di cui 6 hanno la patente B e 4 hanno la patente C. Chi ha la patente C può guidare sia i camion che le automobili; chi ha la patente B può guidare le automobili, ma non può guidare camion. Quante squadre diverse posso formare? Esercizio Un gruppo di 10 professori devono scegliere 3 di loro per formare un direttivo, costituito da un presidente, un vice-presidente e un segretario. Devono inoltre, scegliere tra i restanti una commissione di tre membri. In quanti modi diversi possono essere fatte queste scelte? Esercizio Devo preparare 8 vaschette di gelato, con gusti tutti diversi tra loro: tra essi, stracciatella e pistacchio. In quanti modi diversi posso servire gelati con tre gusti dierenti, se non voglio mettere insieme stracciatella e pistacchio nella stessa vaschetta? 1.7 Combinazioni con ripetizione Consideriamo inne il seguente problema, Esempio 1.7. Supponiamo di lanciare una moneta per 4 volte consecutive, e segnano su un foglio una T se la moneta è atterrata sulla faccia con la testa oppure C se la moneta è caduta con la faccia che rappresenta la croce. Quante sono le possibili stringe di 4 lettere che rappresentano i 4 lanci, a prescindere dall'ordine con cui si sono presentate le facce? 10

11 Per trovare quante sono le possibili combinazioni, possiamo iniziare a contare le possibilità lancio per lancio. Con il primo lancio, abbiamo 2 possibili risultati: T C. Passiamo al secondo lancio, (ricordando che non ci interessa l'ordine) possiamo ottenere i 3 seguenti risultati: TT TC CC. Nel terzo lancio, le possibilità diventano 4 e sono: TTT TTC TCC CCC ed inne, sempre per lo stesso principio, con il 4 lancio abbiamo un totale di 5 risultati possibili: TTTT TTTC TTCC TCCC CCCC. Quindi, con il calcolo esplicito, sappiamo che le combinazioni possibili che si possono ottenere con 2 elementi (T o C) in gruppi di 4, dove sono ammesse ripetizioni e non ci interessa l'ordine sono esattamente 5. In generale, il calcolo esplicito può essere particolarmente laborioso. Utilizzeremo a tal proposito la seguente formula che non dimostreremo, ma rappresenta la generalizzazione dell'esempio appena trattato. Un raggruppamento di questo tipo è detto Combinazione con ripetizione e si indica con C n,k. Denizione 1.12 (Combinazioni con ripetizione). Le combinazioni con ripetizioni di n elementi distinti in gruppi di k (con k < n oppure k > n oppure k = n) sono tutti i gruppi di k elementi che si possono formare nel quale ogni elemento può essere ripetuto al massimo k volte, non ci interessa l'ordine con cui si ripetono ed ogni elemento è ripetuto un numero diverso di volte. ( ) n + k 1 C n,k = k Ad esempio, nel caso precedente, se vogliamo fare gruppi di 4 oggetti (lancio la moneta 4 volte) dovrò porre k = 4. Gli oggetti tra cui scelgo sono 2, poiché posso scegliere solamente T oppure C avrò che n = 2. Utilizzando la formula si avrà che i raggruppamenti di 2 oggetti a gruppi di 4 che si possono ottenere sono ( ) C 2,4 = = 4 11 ( ) 5 = 5! 4 1!4! = 5,

12 esattamente come avevamo trovato con il calcolo esplicito. ATTENZIONE!!! Se avete dubbi su chi sia k e chi sia n (sopratutto nel caso di oggetti indistinguibili) k è sempre il numero massimo di ripetizioni per ogni elemento. (vedi Esercizio ) Esercizio Una pasticceria produce 5 tipologie di pasticcini, a, b, c, d, e. In quanti modi diversi si può confezionare un vassoio con 8 di queste paste? (Qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni tipo di pasticcino?) Esercizio Lanciando contemporaneamente quattro dadi uguali, quante sono le combinazioni con cui si possono presentare le sei facce?(qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni faccia del dado?) Esercizio In quanti modi possiamo collocare sei palline uguali in quattro urne? Qual è il numero massimo di ripetizioni per ogni pallina?) 12

13 Soluzioni Esercizi: Es Es Es Es Es Es Es Es Es Es Es = Es = 125. Es = 64 e 24. Es = Es ! = Es ! = 5040 e 4! 3! = 144. Es ! = 120 e 4! = 24. Es ! 9 Es ! 2! = 60, 10! 2!2!2! Es ! 3! = 840. Es ! 6!2! = 28. = e 9! = = e 7! 3!2! =

14 Es ! 3!2!2! = e 7! 3!2! = 420 e 9! 2!2!2! + 9! 3!2!2! + 9! 3!2!2! Es ( 9 5) = 126, ( 6 5) = 6, ( 6 4) ( 3 1) = 45, ( 6 3) ( 3 2) = 60, ( 6 2) ( 3 3) = 15. Es ( 90 3 ) = e ( 90 2 ) = 4005 Es ( 4 2) ( 8 1) = 48 Es (7 3) = Es ( 6 3) + ( 6 2) + ( 6 2) = = 50. Es ( 12 8 ) = 495, (8) Es ( 9 4) = 126, (4). Es ( 9 6) = 84, (6). = =

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