Scelte in condizione di incertezza

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1 Scelte in condizione di incertezza Tutti i problemi di decisione che abbiamo considerato finora erano caratterizzati dal fatto che ogni possibile scelta dei decisori portava a un esito certo. In questo capitolo ci occuperemo invece di problemi di decisione in condizione di incertezza. Studieremo cioè problemi di decisione dove le azioni che gli agenti possono prendere non hanno una conseguenza certa ma implicano solo una certa distribuzione di probabilità su un insieme di esiti possibili. Esempio: Un individuo deve decidere quale carriera intraprendere. Ci sono due scelte possibili: diventare un funzionario del settore pubblico oppure diventare imprenditore. Le seguenti tabelle descrivono le conseguenze (in termini di reddito) di queste due scelte. Scelte in condizione di incertezza 1

2 azione 1: diventare imprenditore probabilità esito (reddito) azione 2: diventare funzionario probabilità esito (reddito) In questo esempio vediamo che un problema di decisione in condizioni di incertezza è descritta dai seguenti elementi 1. un insieme di possibili azioni {A, B,...}; 2. un insieme di possibili esiti; indichiamo gli esiti con x 1, x 2,...; per semplificare la nostra analisi supponiamo che gli esiti siano valori monetari; Scelte in condizione di incertezza 2

3 3. per ogni azione una distribuzione probabilistica sull insieme degli esiti. Le distribuzioni probabilistiche sull insieme degli esiti vengono anche chiamate lotterie. Siccome ogni azione implica una certa lotteria, possiamo interpretare il problema della scelta di unazione come un problema di scelta di una lotteria. Diciamo che una lotteria è degenere se associa ad un esito una probabilità pari a 1 (in altre parole esiste un solo esito possibile). Il valore atteso di una lotteria: Il valore atteso di una lotteria che associa le probabilità p 1, p 2,..., p N agli esiti, x 1, x 2,..., x N è definito come EX = p 1 x 1 + p 2 x N x N = N n=1. Avendo discusso gli oggetti tra i quali l individuo deve scegliere (le lotterie) passiamo ora alla descrizione delle preferenze sull insieme di questi oggetti. Il concetto dell utilità attesa: Un modo per definire preferenze sull insieme delle lotterie è l utilità attesa. Scelte in condizione di incertezza 3

4 La teoria dell utilità attesa è basata sull ipotesi che ogni decisore abbia una funzione di utilità, u, che indica per ogni possibile esito quale sarebbe la sua utilità se ottenesse quell esito con certezza. Cioè se x e x sono due possibili esiti, allora u(x) > u(x ) vuol dire che il decisore preferisce avere x con certezza che avere x con certezza. Data l ipotesi che gli esiti corrispondano a valori monetari, è ragionevole supporre che u(x) sia crescente in x. Consideriamo ora una lotteria con N possibili esiti, x 1, x 2,..., x N. Se p 1, p 2,..., p N sono le probabilità associate a questi esiti, allora l utilità attesa di questa lotteria è definita come EU = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) p N u(x N ) = N n=1 p n u(x n ). Secondo la teoria dell utilità attesa, un decisore sceglie tra le lotterie a sua disposizione quella che gli dà l utilità attesa più alta. Scelte in condizione di incertezza 4

5 NB: L utilità attesa associata a una lotteria non va confusa con l utilità del valore atteso della stessa lotteria. In generale abbiamo che EU = N n=1 p n u(x n ) u( N n=1 p n x n ) = u(ex). Vedremo più avanti che l utilità attesa di una lotteria e l utilità del valore atteso della lotteria coincidono solo quando un individuo è neutrale al rischio. Atteggiamenti verso il rischio La teoria dell utilità attesa ci permette di caratterizzare in un modo molto semplice l attitudine del decisore nei confronti del rischio. In particolare, in quanto segue vedremo che l attitudine nei confronti del rischio può essere descritta in termini della seconda derivata della funzione di utilità (u) del decisore. Scelte in condizione di incertezza 5

6 Avversione al rischio Adottiamo la seguente nozione (molto intuitiva) di avversione al rischio Definizione 1 (Avversione al rischio). Diciamo che un decisore è avverso al rischio se, dovendo scegliere tra una lotteria non-degenere e una lotteria degenere il cui unico esito possibile è pari al valore atteso della prima lotteria, sceglie sempre la seconda lotteria. Il seguente risultato ci dice come si può caratterizzare l avversione al rischio in termini della funzione di utilità del decisore. Proposizione 1. Un decisore con una funzione di utilità u è avverso al rischio se e solo se u è strettamente concava (cioè se e solo se u (x) < 0). Non disponendo dei mezzi matematici necessari per provare formalmente questo risultato, ci limitiamo a una verifica grafica della proposizione. Consideriamo la seguente figura. Scelte in condizione di incertezza 6

7 u(x) u(x 2 ) u(ex) EU u(x 1 ) x 1 EX x 2 x Questa figura rappresenta una funzione di utilità (strettamente) concava. Supponiamo che il decisore sia chiamato a scegliere tra una lotteria (non-degenere) con due possibili esiti, x 1 e x 2, (le cui probabilità siano rispettivamente p 1 e p 2 ) e una lotteria degenere con esito certo p 1 x 1 + p 2 x 2 = EX, il valore atteso della prima lotteria. Scelte in condizione di incertezza 7

8 L utilità attesa associata alla lotteria degenere è ovviamente pari a u(ex). Per quanto riguarda la lotteria non-degenere sappiamo che se si dovesse realizzare l esito x 1 il decisore otterrà un utilità di u(x 1 ). Se invece l esito sarà x 2 allora il decisore avrà un utilità di u(x 2 ). L utilità attesa della lotteria è pari alla somma ponderata EU = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ). Come possiamo determinare l utilità attesa, EU, graficamente? Consideriamo il segmento che collega i due punti (x 1, u(x 1 )) e (x 2, u(x 2 )). Questo segmento è descritto dalla seguente retta f(x) = u(x 1 ) + u(x 2) u(x 1 ) x 2 x 1 } {{ } pendenza della retta (x x 1 ). Per verificare che f(x) coincida veramente con il segmento osserviamo che la pendenza di f è una costante (per cui f è una retta). In più il valore di f al punto x = x 1 è u(x 1 ), mentre al punto x = x 2 f assume il valore u(x 2 ). Scelte in condizione di incertezza 8

9 Se valutiamo la funzione f nel punto in corrispondenza del valore atteso della lotteria, EX = p 1 x 1 + p 2 x 2 = p 1 x 1 + (1 p 1 )x 2 otteniamo f(ex) = u(x 1 ) + u(x 2) u(x 1 ) x 2 x 1 (EX x 1 ) = u(x 1 ) + u(x 2) u(x 1 ) x 2 x 1 (1 p 1 )(x 2 x 1 ) = u(x 1 ) + (u(x 2 ) u(x 1 ))(1 p 1 ) = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) = EU Perciò, dal punto di vista grafico, il valore atteso dell utilità corrisponde al valore della retta f nel punto EX. Nel caso di una funzione di utilità concava, il segmento che unisce i punti (x 1, u(x 1 ) e (x 2, u(x 2 )), si trova sempre sotto la curva che descrive la funzione di utilità. Questo implica che l utilità del valore atteso, u(ex), deve essere maggiore dell utilità attesa EU = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) = f(ex). Un esempio tipico di una funzione di utilità concava è la radice quadrata: u(x) = x. Scelte in condizione di incertezza 9

10 Amore per il rischio Definizione 2. Diciamo che un decisore è amante del rischio se, messo di fronte al problema di scegliere tra una lotteria non-degenere e una lotteria degenere il cui unico esito è pari al valore atteso della prima lotteria, sceglie sempre la prima lotteria. Proposizione 2. Un decisore con funzione di utilità u è amante del rischio se e solo se u è (strettamente) convessa (u (x) > 0). u(x) u(x 2 ) EU u(ex) u(x 1 ) x 1 EX x 2 x Scelte in condizione di incertezza 10

11 Un esempio tipico di una funzione convessa è la funzione quadratica: u(x) = x 2. Neutralità al rischio Definizione 3. Diciamo che un decisore è neutrale al rischio se è sempre indifferente tra una lotteria non-degenere e una lotteria degenere il cui unico esito è pari al valore atteso della prima lotteria. Proposizione 3. Un decisore con funzione di utilità u è neutrale al rischio se e solo se u è lineare (u (x) = 0). Nel caso di un decisore con una funzione di utilità lineare il segmento che collega (x 1, u(x 1 )) con (x 2, u(x 2 )) coincide con la funzione di utilità stessa, perciò otteniamo che EU = u(ex). Dato che la funzione u è crescente questo implica che un decisore neutrale al rischio decide tra due lotterie solo in base ai loro valori attesi (sceglie quella con il valore atteso maggiore). Scelte in condizione di incertezza 11

12 L equivalente certo e il premio al rischio Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che un decisore avverso al rischio preferisce sempre ottenere con certezza il valore atteso di una lotteria alla lotteria stessa. Allora se per una certa lotteria x è l ammontare di denaro che - se ricevuto con certezza - un decisore avverso al rischio considera equivalente alla lotteria, dobbiamo avere che x < EX. x viene chiamato l equivalente certo della lotteria. Formalmente, l equivalente certo, x di una lotteria composta dagli esiti x 1,..., x N e le corrispondenti probabilità p 1, p 2,..., p N è definito dall equazione u( x) = N n=1 p n u(x n ) = EU La differenza tra il valore atteso di una lotteria, EX e l equivalente certo della lotteria, x, viene chiamato premio al rischio. Scelte in condizione di incertezza 12

13 Il premio al rischio ci dice a quale parte del valore atteso della lotteria il decisore sarebbe disposto a rinunciare se in cambio potesse liberarsi del rischio associato alla sua lotteria. In altre parole, il premio al rischio può essere interpretato come il costo che il rischio associato ad una lotteria ha per l individuo (espresso in termini del valore atteso della lotteria). NB: Le lotterie che abbiamo rappresentato graficamente erano lotterie con solo due possibili esiti. È importante sottolineare che i concetti che abbiamo definito e i risultati che abbiamo ottenuto si generalizzano facilmente al caso di lotterie con N > 2 esiti. Assicurazione Tipicamente gli individui sono avversi al rischio. Nel paragrafo precedente abbiamo visto che un agente avverso al rischio che possiede una lotteria nondegenere sarebbe disposto a rinunciare a parte del valore atteso della lotteria se in cambio riuscisse ad annullare il rischio associato alla sua lotteria. Scelte in condizione di incertezza 13

14 Questa osservazione implica che uno scambio di lotterie tra due individui con diversi livelli di avversione al rischio può creare benefici per entrambe le parti. Per capire meglio questo punto, consideriamo il seguente esempio. Vi sono due individui di cui uno avverso al rischio e uno neutrale al rischio. L individuo avverso al rischio possiede una lotteria non-degenere con valore atteso EX e equivalente certo x (< EX). L individuo neutrale al rischio invece possiede una lotteria degenere il cui unico esito è y. Se i due individui si scambiano le lotterie, allora il primo individuo avrà un guadagno se e solo se y > x (cioè se l equivalente certo della lotteria alla quale rinuncia è inferiore dell equivalente certo della lotteria che riceve). L individuo che è neutrale al rischio invece migliorerà la sua situazione se e solo se y < EX (cioè se il valore atteso della lotteria alla quale rinuncia è minore del valore atteso della lotteria che ottiene). Scelte in condizione di incertezza 14

15 Ergo: lo scambio crea benefici per entrambe le parti se e solo se y soddisfa la condizione x < y < EX. Sostanzialmente, il beneficio della riallocazione delle due lotterie sta nel fatto che con lo scambio il rischio della lotteria non-degenere viene trasferito all individuo che non associa nessun costo al rischio, mentre l individuo che è avverso al rischio riceve in cambio un ammontare di denaro certo. Il principio del miglioramento dell allocazione del rischio sta alla base dei contratti di assicurazione che osserviamo nel mondo reale. Un semplice contratto di assicurazione: Un individuo possiede una casa di valore V. Se si dovesse verificare un terremoto il valore della casa si ridurrebbe di L (a causa dei danni creati dal terremoto). La probabilità di un terremoto è p. La situazione di questo individuo può essere interpretata come una lotteria: Scelte in condizione di incertezza 15

16 p V L 1 p V Supponiamo ora che un impresa d assicurazione, che è neutrale al rischio, offra all individuo il seguente contratto: Se l individuo paga all impresa un premio pari a I, allora l impresa gli rimborserà interamente i danni causati da un eventuale terremoto. Accettando questo contratto l individuo trasforma la sua lotteria originale in una lotteria degenere (assicurazione completa): p V L I + L = V I 1 p V I Scelte in condizione di incertezza 16

17 Ci chiediamo ora per quali valori di I il contratto di assicurazione descritto sopra crea benefici positivi per entrambe le parti (il contratto ovviamente verrà firmato solo in questo caso). Consideriamo prima il consumatore. Nella situazione originale (o se non firma il contratto) la sua utilità attesa è (1 p)u(v ) + pu(v L). Firmando il contratto invece ottiene un utilità (attesa) pari a u(v I). Il consumatore firmerà il contratto se e solo se (1 p)u(v ) + pu(v L) = u( V ) u(v I), dove V è l equivalente certo della lotteria originale. Siccome u è una funzione crescente questa condizione è equivalente a V V I. La situazione originale dell impresa può essere vista come una lotteria degenere il cui unico esito è Scelte in condizione di incertezza 17

18 zero. Firmando il contratto questa lotteria originale si trasforma nella seguente lotteria p 1 p I L I Essendo neutrale al rischio, l impresa offrirà il suddetto contratto se e solo se il valore atteso della sua lotteria originale è minore del valore atteso della lotteria che acquista con il contratto: (1 p)i + p(i L) = I pl 0. pl è il valore atteso dei danni creati da un terremoto. Poiche il contratto di assicurazione prevede un rimborso completo di tutti i danni, pl rappresenta anche il valore atteso dei pagamenti dall impresa al consumatore. Scelte in condizione di incertezza 18

19 Se il premio dell assicurazione è pari al rimborso atteso, I = pl, l impresa realizza un profitto (atteso) pari a zero. In questo caso diciamo che il premio è attuarialmente equo. Osserviamo che la precedente condizione è equivalente a V I V pl. Quindi possiamo concludere che entrambe le parti saranno disposte a firmare il contratto se e solo se I soddisfa V V I V pl. Scelte in condizione di incertezza 19

20 u(x) u(v ) u(v pl) pu(v L)+ (1 p)u(v ) u(v L) V V L } {{ } a) } {{ } b) V pl } {{ V } c) x Se I è tale che V I cade nell intervallo, allora: a) il consumatore non è disposto a firmare il contratto; c) l impresa farebbe profitti negativi (di conseguenza un contratto del genere non verrebbe mai offerto); b) sia il consumatore che l impresa guadagnano firmando il contratto. Scelte in condizione di incertezza 20

21 Un contratto di assicurazione più generale: Consideriamo ora una versione di un contratto assicurativo leggermente più generale: L impresa offre ogni unità di rimborso (copertura) in caso di sinistro a un prezzo di α, (dove 0 < α < 1) e il consumatore sceglie il livello di copertura (che indichiamo con C). Chiaramente il prezzo α deve soddisfare la condizione α p perchè altrimenti l impresa farebbe profitti negativi (per un generico livello di copertura, C, l impresa riceve un premio di αc e deve affrontare un rimborso atteso di pc; αc pc 0 α p). Quale livello di copertura sceglierà il consumatore? Per un generico valore di C, la lotteria del consumatore diventa p V L αc + C 1 p V αc Scelte in condizione di incertezza 21

22 Una tale lotteria genera un utilità attesa di (1 p)u(v αc) + pu(v L + (1 α)c). Per ottenere il livello di copertura ottimale dobbiamo massimizzare questa espressione scegliendo il grado di copertura, la variabile C. La condizione di primo ordine per il livello di copertura ottimale è α(1 p)u (V αc)+(1 α)pu (V L+(1 α)c)=0 o equivalentemente u (V αc) u (V L + (1 α)c) = p(1 α) α(1 p). Caso 1: α = p. In questo caso il lato destro della precedente equazione è pari a uno. Siccome la funzione u è strettamente decrescente (ricordiamo che nel caso di una funzione di utilità concava abbiamo u (x) < 0) la frazione sul lato sinistro è pari a uno solo se V αc = V L + (1 α)c C = L. Interpretazione: Se l impresa per ogni unità di copertura chiede un prezzo attuarialmente equo, allora il consumatore vuole assicurarsi completamente. Scelte in condizione di incertezza 22

23 Caso 2: α > p. In questo caso il lato destro della condizione d ottimalità è minore di uno. Per ottenere un valore inferiore anche sul lato sinistro deve essere soddisfatta la condizione V αc > V L + (1 α)c C < L. Interpretazione: Se il prezzo della copertura non è attuarialmente equo, allora al consumatore conviene assicurarsi solo parzialmente. Scelte in condizione di incertezza 23

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