Dimensionamento di massima di una compressore volumetrico alternativo

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1 Dimensionamento di massima di una compressore volumetrico alternativo Giulio Cazzoli Giugno 2013 v1.0 Si chiede di eettuare il dimensionamento di massima di un compressore volumetrico alternativo che aspiri aria dall'ambiente. Fluido operatore Aria Portata richiesta ṁ 100 g/s Le condizioni operative sono: Pressione di aspirazione (assoluta) 1 atm Temperatura di aspirazione t a 15 C Pressione di mandata (assoluta) p m 7 bar Si ipotizzi: il coeciente di spazio nocivo pari al 5%, la caduta di pressione nell'attraversamento delle valvole uguale per mandata ed aspirazione e pari ad un decimo della pressione atmosferica, il rendimento interno η i 0.75 il rendimento meccanico η m 0.96 Si procederà nel dimensionamento richiesto secondo i seguenti passi: Scelta del tipo di compressore (monofase o polifase inter-refrigerato) Si determini il numero di cilindri e le dimensioni caratteristiche del manovellismo Si valuti il numero di giri e la potenza assorbita dal compressore

2 1 Valutazione del rapporto di compressione 1.1 Rendimento di compressione singolo cilindro La pressione nel collettore di aspirazione espressa in unità SI vale 1 [ ] bar [atm] bar atm Il rapporto di compressione utile vale: r u p m Considerando le perdite sulle qualunque valvola pari al 10% della pressione atmosferica (indicazione progettuale) avremo: Quindi la pressione di aspirazione vale mentre quella di mandata: p m bar 0.1 bar p bar p 2,1 p m + p m bar Il rapporto di compressione che deve soddisfare il compressore vale dunque: r p 2,1 p Valore superiore a quello consigliato per i compressori che manipolano aria Calcolo del rendimento volumetrico Dai dati di progetto si ha la denizione del valore del coeciente di spazio nocivo: µ 5% 0.05 Assumendo che la compressione e la espansione siano descrivibili con politropiche di indice n pari a: n 1.35 il rendimento volumetrico vale η v [ 1 µ ( r 1/n 1 )] p 1 [ ( / )] Valore interessante, ma di poco inferiore al limite desiderato, basta una piccola variazione delle condizioni di rareddamento del cilindro per far variare il coeciente politropico e penalizzare il rendimento. Quindi per sicurezza eseguiamo il frazionamento. Si noti che il valore del rapporto di compressione limite è nettamente più alto del calcolato (circa 61). 1 Ricordando che la pressione ambiente in atmosfere standard (atm) assolute vale 1 e che 1 atm Pa bar. Se fosse espressa in atmosfere tecniche (assolute) sarebbe ata in quanto 1 ata atm. Inoltre ricordiamo che 1 ata Pa. 2

3 1.2 Compressione polifase Scegliamo un frazionamento con progressione geometrica interrefrigerato. Scelti λ 2 stadi, avremo: r I u r II u r u 2.63 e la pressione di collettore tra i due stadi (p i ) varrà: p i r I u bar La verica va, ovviamente, fatta sui rendimenti eettivi Primo stadio Il primo cilindro dovrà raggiungere una pressione di scarico pari a: p 2 p i + p m bar pertanto sarà caratterizzato da un rapporto di compressione eettivo: e da un rendimento volumetrico ( p ) r I p 2 p η I v Secondo stadio Il secondo cilindro avrà una pressione di aspirazione pari a: p 3 p i p m bar quella di scarico è la medesima calcolata per il mono cilindrico: p 4 p m + p m bar pertanto sarà caratterizzato da un rapporto di compressione eettivo: e da un rendimento volumetrico ( p 3 p i 0.962) r II p 4 p η II v L'architettura sarà composta da due cilindri posti a 90 per la migliore equilibratura delle forze alterne del primo e secondo ordine, con interrefrigerazione completa tra i due stadi. 3

4 2 Progetto stadi 2.1 Scelta del motore Si assume che il compressore sia a semplice eetto e sia collegato ad un motore asincrono a 4 poli. Pertanto la velocità di rotazione vale: n m r/min per tenere conto dei fenomeni di scorrimento assumeremo: 2.2 Primo stadio n m 1460 r/min r/s La densità in aspirazione vale, per la legge dei gas perfetti: ρ 1 RT kg/m3 287 ( ) pertanto la portata volumetrica aspirata dal primo stadio vale: V I ṁ ρ m3 /s Per manipolare la portata ad ogni ciclo il cilindro deve aspirare un volume: V I La cilindrata pertanto dovrà valere: V I V I η c V 60 n m 3 V I 0.95η I v con un rendimento di carica pari a η c Assumendo una velocità media pari a: m 3 c mi 5 m/s si denisce una corsa pari a: s I c mi 60 2n Assunto per la corsa un valore comodo: 103 mm s I 100 mm l'alesaggio vale: D I Il rapporto corsa/alesaggio: 4VI πs I π s I /D I 0.43 è soddisfacente (anche se prossimo al limite inferiore) mm 230 mm

5 2.3 Secondo stadio Con l'assunto della completa interrefrigerazione T i T 1, quindi la densità in aspirazione vale, per la legge dei gas perfetti: ρ 2 p i RT kg/m3 287 ( ) pertanto la portata volumetrica aspirata dal secondo stadio vale: V II ṁ ρ m3 /s Avendo supposto i cilindri collegati allo stesso motore, per manipolare la portata ad ogni ciclo il cilindro deve aspirare un volume: La cilindrata pertanto dovrà valere: V II V II 60 n m 3 V II V II η c V II 0.95η II v m 3 con un rendimento di carica pari a η c L'architettura classica dei compressori a due stadi prevede che la corsa dei due stadi sia la medesima s II s I 100 mm garantendo la stessa velocità media ( L'alesaggio pertanto vale: D II 4VII πs II π mm mm Il rapporto corsa/alesaggio: s II /D II 0.73 inferiore al valore consigliato, ma è il primo pistone, viste le maggiori dimensioni è quello a maggior rischio strutturale. 3 Potenza assorbita Per ogni cilindro la potenza assorbita si calcola con: P ṁ η i η m k k 1 RT a (r k 1 k 1 u I due stadi sono soggetti allo stesso rapporto di compressione utile, inoltre si assume per entrambi gli stadi lo stesso valore dei rendimenti interno e meccanico (dati di progetto), quindi la potenza complessiva è pari alla potenza assorbita dal singolo stadio: ) P P I + P II 2P I 5

6 La potenza assorbita dal singolo cilindro vale: P I ṁ k ( (r η i η m k 1 RT ) k 1 ) I k 1 u ( Pertanto il compressore assorbirà: (2.63) P 2P I 25.6 kw ) W 6

7 Figura 1: Diagramma indicatore reale A Rapporto di compressione Il rapporto di compressione utile è il rapporto di compressione visto considerando il sistema a scatola nera, quindi considerando aspirazione e mandata: r u p m deve essere modicato per tener conto delle cadute di pressione che il uido subisce nell'attraversare le valvole (gura 1). Durante la fase di aspirazione la pressione nel cilindro sarà inferiore, a causa delle perdite di carico, di quella nel condotto di aspirazione, indicando le perdite con sarà: p 1 Analogamente per poter far uire il uido dal cilindro alla mandata, la pressione nel cilindro dovrà essere maggiorata delle perdite di carico, indicandole con p m sarà: p 2 p m + p m Pertanto è necessario denire un nuovo rapporto di compressione, detto rapporto di compressione reale (r u ) come rapporto di compressione visto dal cilindro: r p 2 p 1 B Rendimento volumetrico Il rapporto di compressione reale viene limitato dalla condizione di funzionamento a portata nulla, tale condizione è caratterizzata dal valore nullo per il rendimento volumetrico apparente. Deniremo il rendimento volumetrico apparente (η v ) come: η v Volume apparentemente aspirato Volume generato dallo stantuo V e V 7

8 Figura 2: Diagramma indicatore ideale Figura 3: Diagramma indicatore limite Denendo i volumi come dierenze tra i punti estremi (vedi g.: 2): raccogliendo e semplicando: η v V 1 V 4 V 1 V o V 1 V 4 V o + V o V 1 V o η v 1 V o V ( ) V4 1 V o V 1 V o V 4 V o V 1 V o V Il volume al punto 4 si ricava dal volume al punto 3 ricordando che la trasformazione 3 4 è adiabatica (o politropica) e che è lecito confondere volume eettivo e volume specico essendo il sistema chiuso, quindi costante la massa: p 3 V n 3 p 4 V n 4 V 4 V 3 V 4 V o Ricordando la denizione di rapporto di compressione: r p m p 3 p 4 ( ) 1/n p3 e indicando con µ il coeciente di spazio nocivo, rapporto tra il volume al punto morto superiore e la cilindrata: µ V o V si dimostra che il rendimento volumetrico vale: η v 1 µ ( r 1/n 1 ) dove con n si indica il rendimento politropico o adiabatico, a seconda della trasformazione scelta per le fasi di compressione ed aspirazione. p 4 8

9 Figura 4: Correzione del rendimento volumetrico Limiti al rendimento volumetrico Il rendimento volumetrico massimo si ha, ovviamente, per: η v 1 r 1 V o 0 senza alcun senso pratico. La condizione di minimo rendimento volumetrico: η v 0 Molla a gas implica che non avviene trasferimento di uido. Visto che il rendimento volumetrico decresce al crescere del rapporto di compressione (g.:3) o al crescere del coeciente di spazio nocivo, si possono denire due condizioni limite. Il limite dovuto allo spazio morto: η v 0 µ lim 1 r 1/n 1 dicilmente chiamato in causa, in quanto per il normale funzionamento è necessario lasciare del gioco alle valvole, tanto che normalmente µ 5 8% (alcuni autori parlano di µ 2 5%). Più importante è il limite al rapporto di compressione: ( ) n 1 + µ η v 0 r lim µ che evidenzia la necessità di frazionare il rapporto di compressione per mantenere il rendimento volumetrico a valori accettabili. Per non penalizzare il rendimento di carica si vincola il rendimento volumetrico a: η v 0.8 quindi: r 0.8 ( ) n 0.2 µ + 1 9

10 B.1 Rendimento volumetrico corretto Per tener conto degli eetti termici dovuti al miscelamento della carica fresca con il volume rimasto nello spazio morto, si sostituisce il volume aspirato con un valore si denisce riportando alle condizioni di collettore di aspirazione il volume aspirato per mezzo di trasformazioni isoterme (vedi gura 4), quindi: Applicando la legge dei gas perfetti: η v V 5 V 6 V p 5 V 5 p 1 V 1 T 5 T 1 ma per le condizioni isoterme T 5 T 1 e p 5, quindi: p 1 V 5 V 1 p 1 Procedendo analogamente per V 6, si denisce quindi il rendimento volumetrico corretto come: η v [ 1 µ ( r 1/n 1 )] p 1 C Architettura Le motivazioni che impediscono il raggiungimento di elevati rapporti di compressione con un singolo cilindro sono essenzialmente due: 1. elevate temperature nali, queste possono portare ad inceppamenti per dilatazione degli organi meccanici e persino il rischio di accensione dell'olio lubricante; 2. riduzione del rendimento volumetrico a causa della azione preponderante dello spazio morto. Inoltre la possibilità di introdurre una interrefrigerazione permette di ridurre il lavoro necessario per eettuare la compressione ed aumentare il rendimento meccanico (riducendo i carichi). Nel caso di compressione di aria a partire da condizioni ambiente, si è soliti porre il limite al rapporto di compressione a: r lim 6 C.1 Compressione polifase Si dimostra che nel caso di interrefrigerazione completa (quando la temperatura in ingresso ad ogni stadio viene portata alle condizioni di ingresso del primo cilindro), supponendo che la legge di compressione sia la stessa per tutti gli stadi (stesso esponente politropico), allora per minimizzare il lavoro richiesto tutti gli stadi devono avere lo stesso rapporto di compressione. Indicando con λ il numero di stadi sarà: r 1... r λ λ r Si noti come la progressione geometrica sia ottima anche per le altre considerazioni che favoriscono il pluristadio: 10

11 1. partendo sempre dalla stessa temperatura e comprimendo con la stessa legge e avendo lo stesso rapporto di compressione, le temperature nali saranno uguali e si avrà (in linea di massima) lo stesso comportamento termico 2. se tutti i cilindri hanno lo stesso coeciente di spazio nocivo e l'espansione avviene con la stessa legge, la perdita di rendimento volumetrico rimarrebbe la stessa, quindi la minima compatibile con quel coeciente di spazio nocivo; 3. risulta uguale per tutti i cilindri il rapporto tra la pressione di mandata e quella di aspirazione, rapporto da cui dipende il rendimento meccanico. D Dimensionamento del cilindro Un compressore volumetrico manipola una portata volumetrica: V V asp τω dove ω è la velocità di rotazione dell'albero motore, τ è il numero di fasi utili per rotazione dell'albero motore e V asp è il volume aspirato ad ogni corsa utile. Indicando con n la velocità di rotazione dell'albero in r/min: V V asp τ n 60 dove Il numero di fasi utili dipende dalla velocità di rotazione del motore che alimenta il compressore e dal tipo di architettura scelta. Se il cilindro è a singolo eetto ad ogni rotazione dell'albero motore si avrà una fase utile (tau 1), due se il cilindro è a doppio eetto. La velocità di rotazione dell'albero motore dipende dal tipo di motore collegato. Nella ipotesi che il motore sia un motore elettrico asincrono alimentato con frequenza di rete f 50 Hz e dotato di k coppie polari, come noto, la velocità di rotazione n m in r/min si esprime con: n m 60 f k 3000 k valore che solitamente si riduce di circa il 3% per tener conto degli eetti di scorrimento. A causa del rendimento volumetrico e delle perdite di carico, il compressore non è in grado di sfruttare tutto lo spazio utile rappresentato dalla cilindrata V. Si denisce quindi il rendimento di carica (η c ) come: η c Volume aspirato Volume geometrico V asp V Il rendimento di carica può anche essere scritto come prodotto dei rendimenti: η c η v η t η f dove η v dipende dal rapporto di compressione e dal coeciente di spazio nocivo, η f rappresenta le perdite per riusso, il riusso di gas caldi a sua volta modica le condizioni alla aspirazione, modica che verrà conteggiata mendiante la denizione del rendimento di riscaldamento η t. In prima approssimazione porremo η t η f

12 La cilindrata V viene denita dal prodotto corsa (s) e alesaggio (D): V s πd2 4 La pratica costruttiva consiglia di mantenere il rapporto s/d entro certi limiti per non caricare eccessivamente la biella: Stadi a bassa pressione s/d Stadi ad alta pressione s/d Inoltre la corsa viene limitata attraverso la velocità media del pistone (c m), denita come: c m 2s n 60 per impedire il danneggiamento per carichi inerziali si è soliti limitare la velocità media a: c m 4 6 m/s E Potenza assorbita Per ogni cilindro la potenza assorbita si calcola con: P lṁ η i η m dove ṁ è la portata in massa aspirata dal compressore. η i rappresenta il rendimento interno, scostamento del diagramma reale da quello ideale, η m è il rendimento meccanico. Indicando con il pedice 1 le condizioni all'inizio della fase di compressione e con 2 quella alla ne, il lavoro specico richiesto per eseguire una compressione in condizioni isoentropiche (l), si calcola con: l c p (T 2,iso T 1 ) dove T 2,iso è la temperatura di ne compressione isoentropica. Considerando il uido come gas ideale (quindi vale la legge universale dei gas perfetti e il calore specico è costante), si ha: T 2,iso T 1 r k 1 k con k cp/cv. Ricordando che c p c v + R e sostituendo si ha quindi: l l k ( ) k 1 RT 1 r k 1 k 1 k ( ) k 1 p 1ν 1 r k 1 k 1 con ν 1 volume specico in aspirazione. Nella espressione si è volutamente trascurato il lavoro di espansione, scelta apropriata solo se µ è basso. 12

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