Note sulle Opzioni Americane

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1 Note sulle Opzioni Americane Wolfgang J. Runggaldier Universitá di Padova June 16, 2007 Si fornisce qui una traccia sull argomento delle opzioni americane a tempo discreto (dette anche Bermudean options) seguendo l esposizione in [1]. Non vengono qui riportate tutte le dimostrazioni dei vari enunciati, per quelle mancanti si rimanda a [1]. 1 Formulazione del problema Si consideri un mercato a tempo discreto con un titolo sottostante rischioso di prezzo S n nel generico periodo n e tale mercato sia completo con l unica misura martingala equivalente Q (occasionalmente, come in qualche esempio, S n può anche rappresentare un vettore di prezzi, cioè S n = [Sn, 1, Sn K ], però il mercato sarà sempre considerato completo). Si consideri poi un opzione su S n che possa essere esercitata in qualsiasi periodo n 0, 1,, N prima o alla scadenza N. Il profitto derivante dall esercizio nel generico periodo n sia rappresentato dalla sequenza di variabili casuali (processo) Z n adattate alla filtrazione Fn S generata da S n. Come esempio si puó pensare a Z n = (S n K) + oppure Z n = (K S n ) + corrispondenti ad una call oppure put americana rispettivamente. Problema 1 : Qual é il valore U n di questa opzione/derivato in n < N? Chiaramente si ha U N = Z N. Poniamoci allora nel periodo n = N 1: qui il venditore dovrá far fronte sia a Z N 1 qualora il detentore eserciti l opzione in n = N 1, sia a B N 1 E Q Z N B N F N 1 qualora il detentore non eserciti; quest ultimo importo permette infatti al venditore di far fronte a (replicare) Z N all ultimo periodo. Per il principio di assenza di opportunitá di arbitraggio l importo, che in n = N 1 permette al venditore di far fronte a tutte le eventualitá, fornisce anche il prezzo equo U N 1. Il ragionamento fatto per n = N 1 puó ora essere ripetuto per un generico n < N e quindi si ottiene la ricorsione all indietro U N = Z N U n 1 = max [Z n 1, B n 1 E Q U n B n F n 1 ] (1) 1

2 Indicando con Ũn, Z n i valori scontati Un B n Ũ N = Z N e Zn B n rispettivamente, si ha pure [ ] (2) Ũ n 1 = max Zn 1, E Ũn Q F n 1 Si noti che le ricorsioni (1) e (2) corrispondono alle ricorsioni all indietro tipiche della Programmazione Dinamica, dove nel presente caso si hanno solo due decisioni possibili : arrestare o continuare. Si ha ora la seguente Proposizione 1.1 Ũn é la piú piccola supermartingala che maggiora Z n. Problema 2 : Trovare il periodo ottimo di esercizio (riguarda principalmente il detentore dell opzione) ed una strategia di copertura (riguarda principalmente chi ha venduto l opzione). Il periodo/tempo di esercizio corrisponde a quello che nella teoria dei processi stocastici si chiama tempo di arresto e che ora richiameremo assieme ad altre nozioni di tipo ottimizzazione probabilistica che permetteranno di risolvere i Problemi 1 e 2. 2 Richiami di nozioni probabilistiche Definizione 2.1 Dato uno spazio di probabilitá (Ω, F, P ) con una filtrazione F n, n = 0, 1,, N, una variabile casuale ν 0, 1,, N si dice tempo di arresto (tempo aleatorio) se ν = n F n ν n F n (3) Definizione 2.2 Dato un processo (sequenza di variabili casuali) X n tempo di arresto ν, la sequenza adattato ed un é la corrispondente sequenza arrestata al tempo di arresto ν. X ν n(ω) := X ν(ω) n (ω) (4) Dalle definizioni segue immediatamente che sull evento ω ν(ω) = j si ha X ν n = Xj se j n X n se j > n (5) ed, inoltre, X ν N = X j. Vale la seguente Proposizione 2.3 Dato il processo adattato X n, anche X ν n é adattato e, se X n é una F n martingala (super-, sub-martingala), lo é pure X ν n. 2

3 La dimostrazione della Proposizione si basa sulla seguente rappresentazione X ν n = X 0 + n φ j (X j X j 1 ) (6) j=1 dove φ j := 1 j ν. Il risultato segue allora dalla positivitá e predicibilitá di φ j. Per l ultima affermazione si noti infatti che l evento j ν é il complementare dell evento ν j Inviluppo di Snell Lo studio di ricorsioni del tipo (1), (2) viene opportunamente effettuato mediante la nozione di inviluppo di Snell. Definizione 2.4 Sia dato un processo adattato Z n su uno spazio (Ω, F, F n, P ) con n N. Il processo U n definito da U N = Z N (7) U n = max [Z n, E U n+1 F n ] (che, per la Proposizione 1.1, é la piú piccola supermartingala che maggiora Z n ) é detto inviluppo di Snell (del processo Z n ). Dalla Definizione 2.4 segue che, laddove U n > Z n, si ha U n = EU n+1 F n. Questo suggerisce che, arrestando opportunamente U n, si possa ottenere una F n martingala. Vale infatti la seguente Proposizione 2.5 Data la variabile casuale ν 0 := infn 0 U n = Z n (8) che é un tempo di arresto per F n, si ha che U ν0 n é una F n martingala. Diamo qui di seguito una possibile dimostrazione di questa proposizione (si veda anche [1]). Ricordando la notazione U ν 0 n = U ν0 n, dobbiamo far vedere che E U ν 0 n+1 F n = U ν 0 n. Distinguiamo due casi : Se n ν 0 : U ν 0 n+1 = U ν0, U ν 0 n = U ν0 ed, essendo F ν0 F n si ha quindi E U ν 0 n+11 n ν0 F n = E Uν0 1 n ν0 F n = Uν0 1 n ν0 Se n < ν 0 : U ν 0 n+1 = U n+1, U ν 0 n = U n, in più U n > Z n quindi E U ν 0 n+11 n<ν0 F n = E Un+1 1 n<ν0 F n = 1n<ν0 E U n+1 F n = 1 n<ν0 U n dove abbiamo utilizzato il fatto che l evento n < ν 0, essendo il complementare di ν 0 n, sta in F n e che, sull evento n < ν 0, si ha U n = E U n+1 F n essendo ivi U n > Z n. 3

4 Unendo le due cose risulta finalmente E U ν 0 n+1 F n = E U ν 0 n+11 n ν0 F n + E U ν 0 n+11 n<ν0 F n = E U ν0 1 n ν0 F n + E Un+1 1 n<ν0 F n = 1 n ν0 E U ν0 F n + 1 n<ν0 E U n+1 F n = 1 n ν0 U ν0 + 1 n<ν0 U n = 1 n ν0 U ν 0 n + 1 n<ν0 U ν 0 n = U ν 0 n 2.2 Tempo di arresto ottimale ed inviluppo di Snell Vogliamo ora arrivare a stabilire un legame tra la nozione di inviluppo di Snell e tempo di arresto. Allo scopo sia τ n,n l insieme dei tempi di arresto a valori in n,, N ed, in particolare, si consideri τ 0,N. Dal fatto che (vedi Proposizione 1.1) U n é una supermartingala e che quindi (vedi Proposizione 2.3) anche la sequenza arrestata U ν n é una supermartingala, dalla proposizione 2.5 scende come corollario Corollario 2.6 Il tempo di arresto ν 0 soddisfa a U 0 = EZ ν0 F 0 = sup ν τ 0,N EZ ν F 0 (9) Piú in generale, ponendo ν n := infj n U j = Z j, si ha U n = EZ νn F n = sup ν τ n,n EZ ν F n (10) Si noti che la prima uguaglianza in (9) segue facilmente dalla proprietá di martingala di U ν 0 secondo la quale si ha U 0 = U ν 0 0 = E U ν 0 N F 0 = E U ν0 F 0 = E Z ν0 F 0 con l ultima uguaglianza dovuta alla definizione di ν 0 in (8). Per dimostrare la seconda uguaglianza sia ν τ 0,N. Essendo U ν una supermartingala che maggiora Z n, vale U 0 E UN ν F 0 = E U ν F 0 E Z ν F 0 da cui si ha il risultato tenendo conto che U 0 = E Z ν0 F 0. Analoghe considerazioni si possono fare per la (10). Definizione 2.7 Un tempo di arresto ν si dice ottimale per il processo Z n se EZ ν F 0 = sup ν τ 0,N EZ ν F 0 (11) Dal corollario 2.6 segue immediatamente che ν 0 é un tempo di arresto ottimale, ma non é detto che sia l unico. Inoltre l inviluppo di Snell fornisce anche il valore ottimale in quanto si ha U n = sup EZ ν F n. Calcolando quindi l inviluppo di Snell si ottiene sia ν τ n,n il valore ottimale U n, sia un tempo di arresto ottimale, cioé ν 0. Per procedere oltre enunciamo la Proposizione 2.8 Dato il processo Z n ed il suo inviluppo di Snell U n (vedi (7)) si ha che ν é un tempo di arresto ottimale se e solo se Zν = U ν (12) U ν n é una F n martingala 4

5 Notiamo che é facile vedere la parte se dell enuciato. Infatti, se U ν é una martingala, allora vale che U 0 = U ν 0 = E U ν N F 0 = E U N ν F 0 = E U ν F 0. Per la prima relazione della (12) quest ultima espressione é uguale a E Z ν F 0 per cui, essendo U 0 il valore ottimo, si ha l ottimalitá anche di ν. Per il solo se si rimanda a [1]. Dalla proposizione 2.8 scende immediatamente che ν 0 é il piú piccolo tempo di arresto ottimale. Lo stesso risultato permette anche di ottenere il piú grande tempo di arresto ottimale, ma per questo ci serve ancora la seguente proposizione, che successivamente ci sará utile anche per lo studio della copertura di opzioni americane in mercati completi. Proposizione 2.9 Ogni supermartingala U n puó decomporsi in modo univoco come U n = M n A n (13) dove M n é una martingala e A n é un processo predicibile, crescente e con A 0 = 0. Una volta calcolate le U n, la (13) permette di ottenere una relazione ricorsiva per le M n e così anche per le A n. Abbiamo infatti il seguente Corollario 2.10 Valgono le seguenti relazioni ricorsive M n+1 = M n + U n+1 E Q U n+1 F n A n+1 = A n + U n E Q U n+1 F n Per quanto riguarda la prima relazione, da U n+1 = M n+1 A n+1 si ha infatti da un lato (condizionando a F n e ricordando che A n è predicibile) A n+1 = M n EU n+1 F n, dall altro M n+1 = U n+1 + A n+1. Analogamente, per la seconda relazione da U n+1 = M n+1 A n+1 e U n = M n A n si ha EU n+1 F n = M n A n+1 = U n + A n A n+1. Si noti infine che, una volta determinate le U n, se si è già calcolata o la sequenza delle M n o quella delle A n sulla base delle relazioni ricorsive al Corollario 2.10, allora in base alla (13) si ottiene immediatamente anche l altra. Passiamo ora a determinare i possibili tempi di arresto ottimali. Dato sempre il processo Z n ed il suo inviluppo di Snell U n, la Proposizione 2.9, in particolare la predicibilità di A n, permette di concludere che il tempo aleatorio ν max = è un tempo di arresto. Inoltre esso è tale che U νmax = Z νmax N se AN = 0 infn, con A n+1 0 se A N 0 U νmax é una martingala (14) (15) e quindi per la Proposizione 2.8 é un tempo di arresto ottimale. Si noti che la martingalitá di U νmax é immediata : dalla (13) e dal fatto che per j ν max si ha A j = 0 segue infatti U νmax = M νmax. Per l uguaglianza U νmax = Z νmax si rimanda a [1]. Da qui é poi facile concludere che ν max é il piú grande tempo di arresto ottimale facendo vedere che, qualora fosse ν > ν max, il processo arrestato U ν non sarebbe una 5

6 martingala e quindi, per la per la Proposizione 2.8, non potrebbe essere un tempo di arresto ottimale. Allo scopo, essendo ν max < ν N, si noti che si ha E U ν N F 0 = E U ν F 0 = E M ν F 0 E A ν F 0 < E M ν F 0 = E M ν N F 0 = M ν 0 = U ν 0 dove l ultima uguaglianza segue dal fatto che è A 0 = 0 e questo è sufficiente per concludere che U ν non può essere una martingala. Si noti infine che ν 0 é il primo istante in cui Z n = U n, mentre ν max é l ultimo istante in cui U n stesso é una martingala. 3 Ritorno alle opzioni americane Dopo i richiami probabilistici e lo studio, in generale, dell inviluppo di Snell e dell arresto ottimale, torniamo ora alle opzioni Americane e precisamente al loro prezzaggio (di interesse per l acquirente ed il venditore), al loro esercizio ottimale (di interesse per l acquirente) e alla loro copertura (di interesse per il venditore). Per prima cosa notiamo che, tipicamente, avremo Z n = γ(n, S n ) per una opportuna funzione γ( ), p.es. γ(n, S n ) = (S n K) +, e dove S n è il prezzo (vettore dei prezzi), nel periodo n, di uno o più titoli sottostanti per il quale ipotizziamo una dinamica del tipo S n+1 = S n ξ n+1 (il prodotto a destra è da intendersi un prodotto scalare nel caso che i due fattori sono dei vettori) con ξ n una successione di v.c. i.i.d. che assumono un numero finito di possibili valori (siccome opereremo sempre in un contesto di mercato completo il numero di questi possibili valori sarà uno più il numero dei titolo sottostanti). Dalla indipendenza degli ξ n segue che la sequenza S n forma una catena di Markov per cui, dato S n, il futuro dei prezzi è indipendente dai loro valori passati. Immaginando che tutti i valori siano già scontati (equivalente ad assumere B n 1), l inviluppo di Snell (7) per la determinazione dei valori ottimali secondo la (2) diventa (indichiamo con s il generico valore di S n nel generico periodo n) U(N, s) = γ(n, s) U(n, s) = max [ γ(n, s), E Q U(n + 1, S n+1 ) S n = s ] (16) = max [ γ(n, s), E Q U(n + 1, sξ n+1 ) ] 3.1 Esercizio ottimale In base alla sezione 2, per determinare il momento (aleatorio) ottimale per esercitare l opzione, basta determinare il tempo di arresto ottimale per le (16) viste come inviluppo di Snell per la sequenza Z n = γ(n, S n ). Di conseguenza, avendo determinato ν 0 e ν max corrispondenti alla (16), un qualunque tempo di arresto ν con ν 0 ν ν max conduce ad un tempo di esercizio ottimale. Il risultato trova anche una interpretazione intuitiva come segue : Se fosse ν < ν 0 avremmo U(ν, S ν ) > γ(ν, S ν ) e quindi in ν l opzione varrebbe di più di quanto potremmo realizzare con l esercizio immediato. 6

7 Per vedere che nemmeno ν > ν max andrebbe bene, possiamo procedere come segue. Siccome il mercato è completo, il venditore dell opzione può trovare una strategia autofinanziante φ tale che, partendo con un valore del portafoglio uguale a 0 = U 0 = M 0 (si tenga presente la decomposizione della supermartingala U n secondo la (13) nella Proposizione 2.9), egli riesca a replicare M N, cioè avere N = M N. Essendo, nella misura Q, la successione Vn φ una martingala con valore terminale M N, essa coincide con la successione martingala M n stessa. Infatti Vn φ = E V Q φ N F n = E Q M N F n = M n. Di conseguenza, per qualunque tempo di arresto ν abbiamo ν γ(ν, S ν ) = M ν γ(ν, S ν ) = U ν + A ν γ(ν, S ν ) (17) Se ora fosse ν > ν max avremmo A ν > 0 ed, essendo inoltre U ν γ(ν, S ν ), risulta ν γ(ν, S ν ) > 0 (18) Siccome la parte sinistra in (18) indica il profitto per il venditore dell opzione, con l esercizio da parte dell acquirente in un istante ν > ν max il venditore realizzerebbe un guadagno certo senza rischio. 3.2 Copertura Vogliamo qui determinare la strategia di copertura per un agente che abbia venduto un opzione Americana. Come già discusso nella precedente sottosezione 3.1, dato che il mercato è supposto essere completo, il venditore può trovare una strategia autofinanziante φ per la quale, partendo da 0 = U 0 = M 0, egli riesce a replicare perfetamente M N (cioè avere N = M N). Sempre nella precedente sottosezione 3.1 abbiamo anche già visto che, dalla martingalità in Q sia di Vn φ sia di M n, segue Vn φ = M n n = 0,, N. Facciamo ora vedere che proprio questa strategia φ è una strategia di copertura nel senso che n = 0,, N si ha n γ(n, S n ). Infatti, dalla (13) della proposizione 2.9 si ha allora U n = M n A n = n A n (19) da cui, essendo A n 0, n = U n + A n U n γ(n, S n ) (20) Concludiamo questo paragrafo ricordando dalla ottimizzazione di portafoglio che il valore scontato Ṽn di un portafoglio autofinanziante, in cui é ammesso un consumo, é una supermartingala in qualsiasi misura martingala. Considerando qui tutti i valori già scontati, vale infatti che possiamo riscrivere come V n = V 0 + G n n 1 m=0 V n = M n A n con A n = 7 C m n 1 m=0 C m

8 dove, per la sua stessa definizione, la sequenza A n risulta predicibile e crescente con A 0 = 0. Ne segue che esiste una strategia di investimento autofinanziante e con consumo ( φ, C) ( φ, C) tale che per il valore (scontato) del corrispondente portafoglio si abbia V n = U n ( φ, C) (il consumo C n corrisponde evidentemente a A n+1 A n ). In piú V n Z n e, per ogni strategia autofinanziante con consumo (φ, C) per cui V n (φ,c) Z n si ha V n (φ,c) ( φ, C) V n = U n. 3.3 Opzioni americane ed europee Sia dato un processo di profitto Z n (n N). Sia C n il prezzo in n di un opzione americana relativa a Z n e sia c n il prezzo in n di un opzione europea con scadenza N e claim H N = Z N. Presentiamo qui due maniere per far vedere che un opzione call Americana si riduce (in assenza di dividendi) alla corrispondente call Europea. La prima procedura si basa sulla seguente Proposizione 3.1 Si ha sempre C n c n e, se c n Z n, allora C n = c n, n N. Quindi nelle ipotesi fatte l opzione americana viene esercitata solo alla scadenza n = N. Si noti infatti che la relazione C n c n é ovvia. D altra parte, dall ipotesi che c n Z n risulta che c n é una martingala/supermartingala che maggiora Z n. Essendo peró C n la piú piccola supermartingala che maggiora Z n, si ha l uguaglianza C n = c n e quindi anche C n = c n. Corollario 3.2 Se Z n = (S n K) + e B n è deterministica, allora c n (S n K) + e quindi C n = c n cosicchè il prezzo di una call americana coincide con quello di un europea. Si ha infatti (torniamo ( ad indicare) con un i valori scontati) c n = E Q B 1 N (S N K) + F n E Q S N B N K B N F n = S n K B N da cui c n S n K Bn B N S n K ed, essendo c n 0, vale anche c n (S n K) +. La seconda procedura si basa sulla seguente Proposizione 3.3 Dato il processo di profitto, si supponga che il suo valore scontato Z n sia una Q submartingala, cioè E Q Zn+1 F n Z n Z n E Q ZN F n (21) allora un tempo di arresto ottimal è ν opt = N, cioè il valore dell opzione Americana viene a coincidere con quello della corrispondente Europea. La submartingalità implica infatti che per ogni tempo di arresto ν si abbia E Q Zν = N E Q Zn 1 ν=n n=1 D altra parte sappiamo che N n=1 Ũ 0 = sup ν τ 0,N E Q Zν F 0 8 E Q E Q ZN 1 ν=n F n

9 Le precedenti due relazioni conducono a U 0 = Ũ0 = sup E Q Zν E Q ZN ν τ 0,N cioè al fatto che ν = N è un tempo di arresto ottimale. A questo punto, per far vedere che Z n = Bn 1 (S n K) + è una Q submartingala per concludere che un opzione call Americana si riduce alla corrispondente Europea. Allo scopo si ha le seguente sequenza di disuguaglianze (usando il fatto che B n+1 B n ) E Q Bn+1(S 1 n+1 K) + F n E Q Sn+1 F n K B S n K n+1 B n Possiamo ora procedere in analogia a quanto fatto nella giustificazione del precedente corollario notando che il membro di sinistra della catena di disuguaglianze sopra è positivo. Questo infatti implica che allora vale anche E Q B 1 n+1(s n+1 K) + F n ( S n K B n ) + cioè abbiamo ottenuto la submartingalità di Z n = B 1 n (S n K) +. 4 Esempi References [1] D. Lamberton, B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipses, Paris 1992/97. Versione inglese : Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall, London,

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