MODELLO MEDIO AD AMPI SEGNALI DI UN CONVERTITORE PWM REALE

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1 MODELLO MEDIO AD AMPI SEGNALI DI UN CONVERTITORE PWM REALE Il modello medio di un convertitore PWM è necessario per capirne il comportamento dinamico e progettare un appropriato loop di controllo. MODELLO CANONICO Il ben noto state-space averaging method porta ad un modello circuitale canonico che descrive il comportamento in dc e ai piccoli segnali dell intero convertitore. Tale metodo è molto tedioso a causa delle manipolazioni matriciali che comporta. PWM SWITCH Descrive il comportamento in dc e ai piccoli segnali della sola parte non lineare del convertitore che include switch attivi e passivi (PWM switch). Le caratteristiche dell intero convertitore si ottengono sostituendo il PWM switch con il suo modello circuitale equivalente. 1

2 Il modello medio discusso in questa sezione è ricavato per i soli TRANSFORMERLESS PWM DC-DC CONVERTERS operanti in Continuous Conduction Mode (CCM) fatte le seguenti ipotesi: Perdite switching trascurabili; Il transistor è modellato mediante una resistenza rs nello stato ON e mediante una resistenza infinita nello stato OFF; Il diodo è modellato mediante la serie di un generatore di tensione Vd e resistenza rd nello stato ON e mediante una resistenza infinita nello stato OFF; I componenti passivi sono lineari, tempo-invarianti e indipendenti dalla frequenza; 2

3 PWM SWITCH La parte switching di un convertitore reale può essere rappresentata come la combinazione di una parte switching ideale e di elementi parassiti, quali resistenza di on dello switch controllato rs, resistenza di on del diodo rd e tensione di off-set del diodo Vd. 3

4 PARTE SWITCHING IDEALE Si consideri l intervallo temporale T kt, T periodo switching. Dalle LKC e LKT si ricavano le seguenti equazioni per le correnti e le tensioni della cella: i c i a + i p v ap v ac + v cp 4

5 In regime stazionario: I c I a / D I p / (1-D) V ap V cp / D V ac / (1-D) Figura 1 5

6 Le componenti medie su un singolo periodo switching sono date dalla somma delle componenti dc (mediate su più cicli switching) e delle componenti ac: <x> Ts <x> kts + x ac NOTA Si è indicata con x una generica grandezza caratteristica della cella 6

7 Ritenendo che le componenti ac varino a basse frequenze (< fs/2) si ha: <x> Ts <x> kts ovvero la componente mediata sul periodo switching si può confondere con la componente dc (mediata su più periodi switching). 7

8 Si ha pertanto I c I a / D I p / (1-D) V ap v cp / D v ac / (1-D) A partire da tali equazioni si ricavano 6 configurazioni di base per la rappresentazione della cella switching ideale, a seconda di quale nodo di riferimento si sceglie tra a, c e p. 8

9 I a DI c ; V cp DV ap I c I p /(1-D) ; V ap V ac /(1-D) I p (1-D)I c ; V ac (1-D)v ap I a DI p /(1-D) ; V cp DV ac /(1-D) 9

10 I c I a /D ; V ap V cp /D I p (1-D)I a /D ; V ac (1-D)V cp /D In realtà esistono 24 possibili configurazioni per la rappresentazione della parte switching ideale. Per ognuna delle 6 configurazioni di base, infatti, è possibile pilotare il generatore di corrente con una delle correnti nei rami restanti oltre che con il duty D. Allo stesso modo, il generatore di tensione può essere pilotato da una delle d.d.p. restanti oltre che dal duty D. 10

11 EFFETTO DEI PARAMETRI PARASSITI I componenti non ideali di una cella switch hanno un peso non trascurabile sulla soluzione stazionaria e sulle prestazioni del convertitore. Il modello medio della cella switch reale si ottiene aggiungendo al modello medio della cella switch ideale i componenti medi equivalenti dei parametri non ideali. Si sfrutta a tal proposito il principio di equivalenza della potenza assorbita: la potenza dissipata nel modello medio deve coincidere con la potenza dissipata nel convertitore reale 11

12 Dall andamento della corrente i a segue: i a I c per 0 < t < DTs i a 0 per DTs < t < Ts da cui: DTs 1 D I a I a rms 2, iadt I c D I p T 1 D 0 D La resistenza dello switch dissiperà dunque la potenza: 2 2 rs D 2 P d rs I a, rms DrS I c I 2 p (1 D) rs D I 2 a 12

13 che coincide con quella dissipata nella Resistenza Media Equivalente dello switch controllato: r Seq r S D Procedendo in maniera analoga per il diodo si ricava: Resistenza Media Equivalente del diodo r deq r d ( 1 D) 13

14 Tensione Media Equivalente di Vd V V deq d Per completare il modello è necessario includere anche l effetto di dissipazione del ripple di corrente prodotto nelle resistenze serie (ESR) dei condensatori di ingresso e di uscita e nella resistenza di uscita del generatore. 14

15 Si consideri un BOOST CONVERTER a regime: i d i p I p + i p Nota: ip valore istantaneo della corrente di diodo; Ip valore dc della corrente di diodo; ip componente ac di ripple della corrente di diodo. 15

16 i p -Ip per 0 < t < DTs i p Ic-Ip per DTs < t < Ts 16

17 La componente ac della corrente di diodo attraversa la resistenza (rc//r) e dissipa in essa la potenza: P d con I p, rms D // p c p rms (1 D) 2 2 ( r R) I ( r // R) I c 1 T Ts 0 i 2 p dt Resistenza Media equivalente di (rc//r) r ad (1 D D) ( r c // R) 17

18 Utilizzando i coefficienti di riflessione è possibile trasportare un componente da un ramo all altro k xy I I y x V V x y r r x y k k k ca cp ap Ia Ic Ip Ic Ip Ia D 1 D (1 D) D r c V c D 2 r DV a a (1 (1 D) 2 r D) V d p 18

19 BUCK CONVERTER DERIVO MODELLO MEDIO PER AMPI SEGNALI 19

20 USO I COEFFICIENTI DI RIFLESSIONE 20

21 V eq (1-D)V d R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L 21

22 SCELGO PER LA PARTE IDEALE IL MODELLO PIU IDONEO PER IL CONVERTITORE IN ESAME I a DI c V cp DV ap 22

23 MODELLO MEDIO PER AMPI SEGNALI DEL BUCK CONVERTER V eq (1-D)V d R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L I a DI c V cp DV ap 23

24 MODELLO IN AC Il modello per piccoli segnali si deriva a partire dal modello in dc introducendo una perturbazione di piccola entità sulle variabili in gioco e procedendo alla linearizzazione. D D + d; i c I c + i c ; i a I a + i a ; i p I p + i p ; v ap V ap + v ap ; v cp V cp + v cp ; NOTA : i termini sottolineati rappresentano le variazioni lente dei valori medi 24

25 I termini del tipo d i c si trascurano essendo infinitesimi del secondo ordine LINEARIZZAZIONE I a DI c I a + i a DI c + Di c + dic V cp DV ap V cp + v cp DV ap + Dv ap + dv ap i a Di c + dic v cp Dv ap + dv ap V eq (1-D)V d V eq +v eq V d (1-D) dv d v eq -dv d 25

26 R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L R eq + r eq D(r s +r g -r d )+r d +r L +d(r s +r g -r d ) r eq d(r s +r g -r d ) dr 1 Valutiamo l effetto di questa resistenza variabile: r eq i c (R eq + r eq )(I c + i c ) R eq I c + R eq i c + r 1 d R eq I c termine statico; R eq i c c.d.t. su R eq dovuta a i c ; r 1 d generatore di tensione pilotato da d 26

27 MODELLO AI PICCOLI SEGNALI DEL BUCK CONVERTER i a Di c + dic v cp Dv ap + dv ap R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L v 1 (r 1 I c -V d )d r 1 r s +r g -r d 27