SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si chiama successione anche una funzione definita su un insieme del tipo {n IN : n n 0 } (per esempio, n a n = ln(n 3), con n 4). I valori di una successione sono indicati con i simboli a 0, a 1, a 2, a 3,..., a n,... che vengono detti termini della successione. Il generico termine a n verrà detto termine generale. Ogni termine a n ha un successivo a n+1. Per indicare una successione si usano le notazioni equivalenti {a n } n=0 o, semplicemente, {a n} a 0, a 1, a 2,..., a n,... a n, n = 0, 1, 2,... Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati con ascissa intera di successioni reali 1 n, n = 1, 2,... (successione armonica) e n, n = 0, 1,... ( 1) n e n, n = 0, 1,... ( 1) n n2 n 2 +1, n = 0, 1,... ( n) n, n = 1, 2,... Una successione {a n } si dice Proprietà di una successione positiva (non negativa) se a n > 0 (a n 0) n IN; negativa (non positiva) se a n < 0 (a n 0) n IN; 1

2 costante se a n = c n IN; limitata superiormente se K : limitata inferiormente se H : a n < K n IN; a n > K n IN; limitata se H, K : H < a n < K n IN; monotona crescente (in senso stretto) se a n a n+1 (a n < a n+1 ) n IN; monotona decrescente (in senso stretto) se a n a n+1 (a n > a n+1 ) n IN. Proprietà valida definitivamente Nello studio delle successioni molto spesso accade di essere interessati a valori grandi dell indice n. Per indicare che una certa proprietà P vale da un certo indice n 0 in poi, si usa dire che la successione a n ha definitivamente la proprietà P. Definizione: Sia {a n } una successione. Si dice che {a n } soddisfa definitivamente una proprietà P se esiste n 0 tale che {a n } soddisfa la proprietà P per n n 0. Es. {n 2 9} è definitivamente positiva (n 4); Es. {( 1) n 1 n 2 } non è definitivamente crescente né decrescente; Es. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,...} è definitivamente costante. Limite di una successione N.B.: L unico punto di accumulazione dell insieme IN è +. Sia L IR {+ } { }. Definizione: Si dice che la successione {a n } ammette limite L, per n +, e si scrive lim a n = L n + (o, più semplicemente, lim a n = L) se per ogni intorno U(L) di L esiste un indice n 0, tale che a n U(L), n n 0, ossia se a n appartiene definitivamente ad U(L). Una successione che ammette limite, finito o infinito, si dice regolare. In particolare, sia lim a n = L : se L IR, la successione si dice convergente. In questo caso per ogni ε > 0 esiste un indice n 0 (ε) tale che a n L < ε, n n 0 ; se L = +, la successione si dice divergente a +. In questo caso per ogni M IR esiste un indice n 0 (M) tale che a n > M, n n 0 ; 2

3 se L =, la successione si dice divergente a. In questo caso per ogni M IR esiste un indice n 0 (M) tale che a n < M, n n 0. Una successione che non ammette limite si dice irregolare. lim 1 n = 0+ lim e n = + n lim( 1) n n 2 +1 = 0 lim(1 + 1 n )n = e (e numero di Nepero) lim{( 1) n } non esiste. Osservazione importante: Sia f : A IR IR con IN A tale che f(n) = a n. Se esiste lim x + f(x) = L, allora lim a n = L. Teorema di unicità. Il limite di una successione, se esiste, è unico. Teoremi sui limiti. Teorema di limitatezza delle successioni convergenti. Una successione convergente è limitata. Il viceversa, in generale, non vale (esempio: {( 1) n } è limitata ma non converge). Teorema di permanenza del segno. Se una successione ha limite positivo, finito o +, allora è definitivamente positiva. Se una successione ha limite negativo, finito o, allora è definitivamente negativa. Il viceversa, in generale non vale (esempi: {2 + ( 1) n } è positiva, ma non è regolare; { 1 n} è positiva ma converge a 0). Teoremi del confronto. Si considerino tre successioni {a n }, {b n }, {c n } tali che a n b n c n, n n 0. Se lim a n = lim c n = L IR = lim b n = L. Se lim a n = + = lim b n = +. lim c n = = lim b n =. 3

4 Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Se {a n } è monotona non decrescente, allora lim a n = sup{a n, n IN}. Se {a n } è monotona non crescente, allora lim a n = inf{a n, n IN}. N.B. Una successione monotona crescente (decrescente) risulta quindi convergente se è limitata superiormente (inferiormente), e divergente a + ( ) se è illimitata superiormente (inferiormente). Una successione {a n } si dice infinitesima se Una successione {a n } si dice infinita se Successioni infinitesime ed infinite lim a n = 0. lim a n =, oppure lim a n = +. successioni infinitesime { } 1, {e n }, n { } n + 1 n 2 4 successioni infinite {n 2 }, {e n }, { n 2 } + 1, {n n }, {n!} n + 5 Criterio della radice Sia {a n } una successione definitivamente non negativa. Se esiste 0 < ρ < 1 tale che, definitivamente, n a n ρ, allora la successione {a n } risulta infinitesima. Se esiste ρ > 1 tale che, definitivamente, n a n ρ, allora la successione {a n } risulta infinita. Corollario. Se esiste il lim( n a n ) = L 1, si può concludere che la successione è infinitesima se L < 1, infinita se L > 1. Criterio del rapporto Sia {a n } una successione definitivamente positiva. Se esiste 0 < ρ < 1 tale che definitivamente a n+1 a n infinitesima. ρ, allora la successione {a n } risulta Se esiste ρ > 1 tale che definitivamente a n+1 a n infinita. ρ, allora la successione {a n } risulta 4

5 Corollario. Se esiste il lim a n+1 a n = L 1, si può concludere che la successione è infinitesima se L < 1, infinita se L > 1. lim αn n! = 0. lim nn n! = + lim αn n n = 0 Successioni definite da a n+1 = f(a n ) (per ricorrenza) Sia f una funzione reale di variabile reale ed a 0 IR assegnato. Si definisce per ricorrenza una successione nel modo seguente { dato a n+1 = f(a n ) Es.: { = 2 a n+1 = 3(a n 2 an ) Casi particolari di successioni definite per ricorrenza: Successione in progressione aritmetica a n+1 = a n + d, n = 0, 1,... Assegnando il valore del primo termine a 0 si ottiene a n = a 0 + nd, n = 1, 2,... La costante d viene detta ragione della progressione aritmetica. Successione in progressione geometrica a n+1 = qa n, n = 0, 1,... Assegnando il valore del primo termine a 0 si ottiene a n = a 0 q n, n = 1, 2,... La costante q viene detta ragione della progressione geometrica. In generale, non è possibile determinare in modo esplicito il termine a n. o: a n+1 = 1 + a n, n = 0, 1,... 2 Assegnando il primo termine a 0 = 0, si ottiene 0, 1, 3 2, 7 4, 15 8, 31 16,... 5

6 Sia f una funzione reale di variabile reale ed a 0 IR assegnato, e si definisca per ricorrenza la successione a n+1 = f(a n ), n = 0, 1, 2,... Cosa si può dire del lim a n? Bisogna stabilire se il limite esiste (finito o infinito), in caso affermativo, calcolarlo. Esistenza del limite In certi casi, si può utilizzare il teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Sia f monotona crescente (strettamente crescente). Allora: {a n } è crescente (strettamente crescente) se a 0 < a 1, {a n } è decrescente (strettamente decrescente) se a 1 < a 0. Il limite esisterà, finito o infinito, a seconda della limitatezza o meno della successione. Calcolo del limite Definizione: Sia f : D IR. Il punto x D si dice punto fisso di f se f(x) = x. Si può provare che: se f è continua e {a n } è limitata, allora, se esiste lim a n = L, L è un punto fisso di f, cioè f(l) = L. Si deduce che il limite della successione {a n } va ricercato tra gli eventuali punti fissi di f. Discussione grafica Si traccia il grafico di f e si determinano i suoi punti fissi. Questi sono le soluzioni dell equazione f(x) = x e graficamente sono le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico di f e la bisettrice del primo e terzo quadrante. f(x) = (x 1) ha tre punti fissi x = 0, x = 1 e x = 2. f(x) = 2xe x 2 ha due punti fissi: x = 0 e x = 2 ln(2). Come si procede: Fissato a 0 si determina a 1 = f(a 0 ). Si riporta a 1 sull asse delle ascisse tracciando una parallela all asse delle ordinate fino ad incontrare la bisettrice y = x. L ascissa di questo punto è a 1. Si ripete il procedimento. Se f è crescente si distinguono tre casi a seconda del valore iniziale a 0 : f(a 0 ) = a 0, allora a 0 è un punto fisso di f e la successione {a n } è costante; f(a 0 ) < a 0, allora la successione {a n } è decrescente e tende alla ascissa del primo punto di intersezione con la bisettrice o diverge a ; 6

7 f(a 0 ) > a 0, allora la successione {a n } è crescente e tende alla ascissa del primo punto di intersezione con la bisettrice o diverge a +. o f(x) = (x 1) Quando la funzione f non è decrescente, si può ancora effettuare una discussione grafica procedendo nello stesso modo. In questo caso però non è sempre garantita l esistenza del limite. Ad esempio se f(x) = x e a 0 0 si genera la successione indeterminata a 0, a 0, a 0, a 0, a 0,... 7

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