Limiti di Successione

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1 Nicola Rossi Limiti di Successione Argomento di Portfolio IX Ciclo SSIS, Classe A049, Indirizzo F.I.M. A.A. 2008/2009

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3 Introduzione Il concetto di limite è senza dubbio uno dei più importanti di tutta l analisi matematica. Su di esso, infatti, si basa la definizione di continuità di una funzione e di derivata di una funzione. Questo argomento potrebbe essere formulato a partire da concetti molto astratti, tuttavia così facendo c è il rischio di smarrirne l idea intuitiva che, invece, ha una valenza didattica soprattutto al livello di scuola secondaria. La definizione di limite è, genericamente, di difficile acquisizione, per tale motivo spesso (ovviamente questo percorso non è obbligatorio) si preferisce introdurlo nel contesto delle successioni. Lo studio delle successioni e dei limiti di successione è importante anche perché ogni procedura effettiva di calcolo approssimato - da una semplice divisione con quoziente periodico o dal calcolo di una radice quadrata fino ai più sofisticati calcoli con un calcolatore - consiste nella generazione successiva di infiniti valori sempre più vicini a quello che dovrebbe essere il risultato esatto. In questo breve lavoro tratteremo i limiti di successione prima da un punto di vista teorico, ragionando cioè sulle relazioni dei concetti ad esso associati, e, successivamente, analizzando l argomento dal punto di vista didattico. 3

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5 Considerazioni Teoriche Analizziamo in questa sezione gli aspetti teorici su cui dobbiamo sviluppare la nostra didattica. Una successione è una funzione il cui dominio, strettamente parlando, è un sottoinsieme dei naturali N. Senza perdita di generalità ci occuperemo di successioni reali, ossia a valori in R. Il concetto di limite di una successione a n ha a che fare con il comportamento del generico elemento a n quando n è molto grande (nel gergo tecnico, per intendere questo concetto si usa la parola definitivamente ). L idea che andremo a sviluppare sarà quella di prevedere a che numero assomiglierà a n indipendentemente dal valore di n. Partiamo dal concetto di successioni convergenti. La matematica esprime rigorosamente questo concetto attraverso la seguente definizione. Definizione 1. Sia a n una successione reale. Diciamo che essa è infinitesima quando ε > 0 m n m a n ε. Se L è un numero reale, diciamo che la successione a n converge ad L quando la successione a n L è infinitesima, cioè quando ε > 0 m n m a n L ε. Diciamo, infine, che la successione a n converge quando esiste un numero reale al quale a n converge. E importante sottolineare il fatto che fissato cmq un ε > 0 soltanto per un numero finito di indici n è verificata la disuguaglianza a n ε. Chiaramente ogni successione nulla è infinitesima e ogni successione costante è convergente. A questa definizione si accompagna un teorema importante che specifica il termine L, di cui l enunciato si può esprimere come segue. Teorema 1 (di unicità del limite). Sia a n una successione reale convergente a un numero complesso L. Allora la successione a n non converge a nessun altro valore reale. L si chiama limite della successione a n ed il tutto si denota col simbolo 5

6 lim n a n = L. Alla nozione di limite si accompagna il concetto di intorno. Definizione 2. Siano x 0 un numero reale e I un sottoinsieme di R. Diciamo che I è un intorno di x 0 (in R) quando esiste un intervallo, di centro x 0 e non ridotto ad un punto, incluso in I. In termini matematici possiamo affermare che il simbolo lim si può interpretare come il simbolo di una funzione definita nell insieme delle successioni a valori reali, che ad ogni successione di questo tipo associa il suo limite. Ovviamente, data una successione, non sempre esiste il suo limite. In questi caso introduciamo il concetto di successione divergente e di successione oscillante. Definizione 2. Sia a n una successione reale. Diciamo che a n è divergente quando M > 0 m n m a n M. e diciamo che a n è oscillante, o indeterminata, quando non è né convergente né divergente. Per le successioni divergenti useremo il simbolo lim n a n =. Le successioni divergenti rimanda al problema di definire l intorno di. Questo può essere fatto attraverso il concetto di retta estesa. Definizione 3. Chiamiamo retta estesa l insieme definito da R = R. Per intorno di intendiamo un qualunque sottoinsieme I di R il cui complementare sia limitato. Il simbolo viene spesso letto come infinito reale senza segno. Ovviamente se volgiamo tener conto delle due distinte situazioni ± dovremmo ricorrere alle nozioni di intorno per i due singoli casi e parlare di complementari superiormente e inferiormente limitati. Analogamente nella Definizione 2 dovremmo togliere il modulo e distinguere i due casi M > 0 e M < 0. La definizione di limite può essere data in termini di intorni così da comprendere tutte le definizioni finora date. 6

7 Definizione 4. Siano a n una successione reale ed L appartenga a R. Allora diciamo che a n tende a L quando è verificata la condizione seguente: per ogni intorno I di L esiste un numero m tale che per ogni numero n m il valore a n appartenga ad I. Riportiamo di seguito altre definizioni e gli enunciati di altri teoremi più importanti riguardanti le successioni, utili soprattutto nel calcolo dei limiti. Teorema 2 (della linearità): Siano a n e b n due successioni convergenti e c un numero reale. Allora sono convergenti anche le successioni {a n + b n } e c a n e valgono le uguaglianze lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim n (c a n ) = c lim n a n. Definizione 5. Se a è un numero reale definiamo se a 0 a + = + a = 7 a = a = a = 0, se a 0 a 0 = = e 0 =. Teorema 3. Siano a n e b n due successioni non oscillanti. Se esse non sono entrambe divergenti si ha lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. n n n Se non avviene contemporaneamente che una delle successioni sia divergente e l altra sia infinitesima si ha lim (a nb n ) = lim a n lim b n. n n n Se n b n 0 e se le due successioni non sono entrambe infinitesime, né entrambe divergenti si ha a n lim = n b n lim a n n lim b n n.

8 Teorema 4 (di limitatezza). Sia a n una successione reale convergente. Allora a n è limitata. Proposizione 1. Se a n è limitata e b n diverge allora la successione somma diverge. Proposizione 2. Se a n è limitata e b n è infinitesima allora la successione prodotto è infinitesima. Teorema 5 (della permanenza del segno). Sia a n una successione reale non oscillante e non infinitesima. Allora se se lim a n > 0 allora m n m a n > 0, n lim a n < 0 allora m n m a n < 0, n Teorema 6 (del confronto). oscillanti, tali che Siano a n e b n due successioni reali non a n b n n. Allora si ha che lim a n lim b n. n n Teorema 7 (dei carabinieri). Siano a n, c n e c n tre successioni reali tali che c n a n c n n. Se le successioni c n e c n convergono a uno stesso limite L, allora anche a n converge a L. E, inoltre, interessante mettere in relazione il concetto di successione convergente e divergente con il concetto di successione limitata o illimitata, mettendo in evidenza la forza di questa parte di teoria. A tal fine si possono enunciare i seguenti teoremi Teorema 8 (di Bolzano-Weierstrass). ogni successione estratta da una successione convergente verso il limite L è ancora convergente verso lo stesso limite. 8

9 Si noti come la proposizione inversa sia falsa a meno che la successione estratta da quella data non si sia ottenuta sopprimendo solo un numero finito di termini. Teorema 9. Ogni successione convergente è limitata Si può mostrare che non vale il viceversa: esistono successioni limitate che non convergono (un contro-esempio è dato dalla successione a n = sin n π 2 abbiamo: ). Ed infine Teorema 10. una successione divergente positivamente (negativamente) non è limitata superiormente (inferiormente). Se, infatti, la successione a n è divergente positivamente allora, per un qualunque numero reale K si ha a n > K, quindi la succ a n non è superiormente limitata. È importante sottolineare, come emerge da quanto detto sopra, che una successione a n non limitata superiormente non è necessariamente divergente positivamente, infatti per una tale successione, ogni numero reale K è superato da qualche termine della successione, ma questo non significa che sia definitivamente a n > K. Oltre al concetto di intorno precedentemente discusso abbiamo quello di punto di accumulazione: Definizione 6. Dato un punto x sulla retta reale R ed un sottoinsieme A di questa retta, si dice che x è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di x contiene punti di A distinti da x. Tale concetto, così come quello di intorno, sono utili soprattutto quando si passa allo studio di funzioni. 9

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11 Aspetti Didattici Finora abbiamo richiamato gli argomenti più importanti che riguardano il concetto di limite di successioni. Parlare in questi termini ad una scuola secondaria risulta essere molto astratto. Si pensi ad esempio alla definizione di successione convergente (Def.1): al livello logico-matematico è impeccabile, ma dal punto di vista pratico è poco intuitivo. Inoltre, i concetti stessi di limite e di infinito matematico rappresentano senza dubbio degli ostacoli di tipo epistemologico, a tal punto da richiedere l analisi dettagliata degli argomenti da parte dell insegnante al fine di evitare che negli allievi si creino concezioni errate a riguardo (misconcezioni). Riprendiamo i punti più importanti analizzati nella sezione precedente facendo attenzione agli aspetti didattici. L idea è quella di partire da un esempio concreto, ad esempio dalla successione a n = 1/n 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,, 1 n, Tale successione ha per limite 0 al crescere di n. E facile infatti far comprendere che il valore della successione diventa sempre più piccolo e si avvicina a 0 al crescere di n. Infatti diciamo che 1 0 per n. n Dopo il decimo termine tutti i termini sono minori di 1/10, dopo un centesimo tutti i termini sono minori di 1/100 e così via. Nessun termine sarà effettivamente nullo ma ci si rende conto che, se si va abbastanza lontano, i termini differiranno da 0 tanto poco quanto si vuole. Occorre chiarire con precisione queste espressioni. Aiutiamoci a tal fine con una rappresentazione geometrica. Fissiamo su una retta un intervallo unitario e ai suoi estremi riportiamo i numeri 0 ed 1. I termini della successione saranno tutti punti che si addenseranno verso lo 0. A questo punto possiamo scegliere un segmento di lunghezza 2ε centrato in 0. Se ε = 1 allora tutti i punti saranno all interno di questo segmento, ma se ε = 1/10 allora solo i punti fino a partire da 1/11 saranno all interno. Analogamente accade se si sceglie ε = 1/100 e così via. In generale diremo che, fissato ε = 1/m, ogni termine della successione n m apparterrà all intervallo di ampiezza 2ε e soltanto un numero finito di 11

12 termini m 1 può cadere all esterno. Quindi prima si può scegliere ε, non importa quanto piccolo, poi si stabilisce quale sia il corrispondente m oltre il quale i termini della successioni differiscono da 0 meno del valore scelto. Da qui segue il significato della relazione di limite (cfr Definizione 1). Si possono fare molti altri esempi di questo tipo, come la successione a n = n n + 1, lim a n = 1. n Ciò che bisogna trasmettere è che non possiamo avere un idea dinamica del limite, perché non siamo in grado di controllare gli infiniti termini della successione, ma bisogna trovare l esistenza di una regola che ci permette di fare la distanza tra il limite e un termine della successione piccolo quanto si vuole. E importate osservare che non necessariamente tutti i termini della successione debbano essere differenti: alcuni, e perfino tutti, potrebbero essere uguali. Ad esempio, potremmo avere, per ogni n potremmo avere a n = L, cioè ogni termine della successione coincide con il valore del limite stesso. A questo punto è necessario insistere su alcuni esempi tipici che lascino comprendere cosa si intende per successione convergente, divergente e oscillate. Ad esempio, si potrebbe proporre, rispettivamente: a n = n 1 + n 2, b n = 1 + n3 1 + n 2, c n = ( 1) n. L errore tipico che si può commette in questa fase è quello di sostituire direttamente n = nel termine della successione. Per esempio, 1/n 0 perché 1/ = 0. Occorre stare attenti, perché non è un numero. Pensare che n = sia l ultimo termine della successione può essere fuorviante, soprattutto quando ci si imbatte in una forma indeterminata. Per tale motivo è necessario presentare esempi scelti su misura, sulla base di quelli visti, che possano costituire per lo studente dei veri e propri incontri cruciali atti a suscitare nello stesso sorprese produttive con i suoi caratteri previsionale, metaforico e formale. Il conseguimento del concetto di limite, per tale ragione, deve avvenire attraverso giuste sollecitazioni che possono contribuire alla formazione di immagini mentali sempre più organiche e complete. 12

13 Di particolare interesse risultano essere le successioni monotone crescenti e decrescenti. Tali successioni tendono al limite avvicinandosi da una sola parte. Si dimostra che una successione monotona superiormente o inferiormente limitata è convergente. Il teorema afferma che il limite esiste e dipende fortemente dall introduzione dei numeri irrazionali, senza i quali non sarebbe sempre vero. Infatti, si dimostra che ogni numero irrazionale è il limite di una successione monotona crescente e limitata di frazioni decimali razionali, ottenute troncando all n-esima cifra un certo numero decimale infinito. Ecco che il concetto di limite risulta fondamentale in matematica proprio per il fatto che molti numeri sono definiti soltanto come limiti. Questo aspetto, molto importante, può contribuire alla comprensione profonda dell insieme numerico degli irrazionali e, più in generale, dei reali. A tale proposito si possono introdurre i numeri e e π come limiti di successioni monotone. Per quanto riguardo e si può pensare ad una legge fisica in cui la variazione istantanea di una quantità osservabile è proporzionale alla quantità stessa, come ad esempio alla scarica di un condensatore, in cui la variazione di carica è ΔQ t ~Q t. Scrivendo ΔQ t = Q t + Δt Q(t) ed iterando si arriva alla definizione del numero di Nepero e = lim n n n. Per quanto riguarda π, esso può essere ottenuto approssimando la circonferenza con poligoni regolari, o tramite il limite delle somme parziali (Eulero) n π = lim ( 1) n 1. n 2n + 1 k=0 Con questo ultimo esempio abbiamo implicitamente introdotto il concetto di serie convergente. Infatti, le serie stesse sono riconducibili a limiti di successioni si somme parziali s n. A tal proposito si può presentare l esempio della serie n=0 1 2 n = 2. 13

14 Il risultato di questa serie, oltre ad essere mostrato come il limite della somma parziale per una serie geometrica, può essere mostrato anche graficamente attraverso un disegno che mostri la somma degli infiniti termini, come nell immagine seguente Se il triangolo più grande misura 1, allora il quadrato misura 2 ed la somma degli infiniti triangoli che rappresentano tutti i termini della suddetta serie. I limiti di successioni sono legati anche agli integrali. A tal riguardo è interessante osservare come, applicando il metodo di esaustione, l integrale della parabola y = x 2 nell intervallo (0,1) sia riconducibile al limite della succesione a n = 1 + n (1 + 2n) 6n 2, Che converge, appunto, a 1/3. Analogamente si può dimostrare che il volume della piramide è un terzo del prodotto tra la superficie di base e l altezza, il tutto immaginando la piramide come il limite di tanti parallelogrammi di superficie decrescente sovrapposti. Esempi di questo tipo, oltre a sviluppare la creatività dell allievo, giocano un ruolo importante per quanto riguarda l affettività verso la matematica, stimolando la curiosità e l interesse verso tale disciplina. Nelle dimostrazioni dei teoremi della sezione precedente occorre evidenziare il cosiddetto albero deduttivo la cui unità di base dallo schema ternario seguente: 14

15 Consideriamo, ad esempio la dimostrazione del teorema 7 della sezione precedente. Dimostrazione (Teorema 7). Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni ε > 0 esistono N, N tali che L ε < a n < L + ε L ε < c n < L + ε n > N n > N Quindi per ogni n maggiore di M = max{n,n } si ottiene che Quindi per ogni ε > 0 esite M tale che L ε < a n b n c n < L + ε L ε < b n < L + ε n > M In altre parole, la successione b n tende ad L. L albero deduttivo di questa dimostrazione è dato dal seguente schema. 15

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17 Di interesse didattico risultano infine essere le successioni per ricorrenza come ad esempio la celeberrima successione di Fibonacci che ha importanza rilevante nella modellizzazione matematica dei processi biologici. Si può ad esempio mostrare come il limite del rapporto a n /a n+1 di tale successione converga ad una costante chiamata sezione aurea. 17

18 Riferimenti Bibliografici [1] Gianni Gilardi, Analisi Uno. McGraw-Hill, Milano [2] Richard Courant e Herbert Robbins, Che cos è la matematica? Universale Bollati Boringhieri, Torino [3] Lorenzo Bencini, Complementi di matematica. Editrice Ferraro, Napoli [4] C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica (Volume 1). Zanichelli, Bologna