PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE

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1 PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE Prof. Domenico RUGGIERO In questa trattazione, esponiamo i pricipali concetti ed applicazioni di particolari successioni meglio note come progressioni (aritmetiche e geometriche). Pertanto il lettore non può esimersi dall'aver già noti i concetti seguenti legati alle successione numeriche: denizione di successione numerica, proprietà delle successioni, limite di una successione, carattere di una successione, successioni denite per ricorrenza (tra cui rientrano le progressioni). Oltre a denire le progressioni, contiamo di dare i principali risultati ad esse legati nonché le principali applicazioni. Approttando dell'applicazione della somma dei termini di una progressione geometrica, che conduce alla serie geometrica, diamo anche la denizione di serie numerica quale una particolare successione. 1

2 Indice 1 Le progressioni aritmetiche 3 Le progressioni geometriche 8 3 Una particolare successione: la serie 1 4 La serie geometrica 13 5 Esempi, problemi, applicazioni ed esercizi riepilogativi Frazione generatrice di un numero periodico I paradossi di Zenone La sezione aurea Esercizi e problemi di riepilogo

3 1 Le progressioni aritmetiche Consideriamo la successione {a n } i cui primi termini sono i seguenti:, 5, 8, 11, 14, 17, 0, 3, 6,... Si nota subito che ciascun termine è ottenuto dal precedente aggiungendovi 3 ovvero che due termini consecutivi dieriscono proprio di 3. Volendo calcolare il successivo di 6, si ha che esso è = 9 e così via. La successione, appena esaminata, è una progressione aritmetica di ragione 3 nel senso della seguente denizione. DEFINIZIONE 1.1 Si denisce progressione aritmetica una successione numerica {a n } in cui è costante la dierenza tra un elemento e il suo predecessore; in simboli La costante d è detta ragione. a n a n 1 = d n N (n > 1) Osservazione 1.1 Supponiamo nel seguito che sia d 0 in quanto il caso d = 0 è poco signicativo poiché porta a considerare una successione costante. Inoltre, dalla denizione, si evince che una progressione aritmetica è una successione denita per ricorrenza nel modo seguente: a n = a n 1 + d ssati l'elemento iniziale a 1 (o a 0 ) e la ragione d. Per indicare che i numeri a 1, a,..., a n,... sono in progressione aritmetica ovvero che la successione {a n } è una progressione aritmetica, utilizziamo una delle notazioni seguenti a 1, a,..., a n,...; {a n }. Per semplicità, indichiamo il primo termine di una progressione {a n } con a 1 (anche nel seguito nel trattare le progressioni geometriche). 3

4 Esempio 1.1 La successione 4, 0, 4, 8, 1, 16,... è una progressione aritmetica di ragione d = 4 come si calcola eseguendo la dierenza tra due elementi consecutivi. Consideriamo una progressione {a n } di ragione d in cui il primo elemento è a 1. Risulta: a = a 1 + d a 3 = a + d = (a 1 + d) + d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 3d.. a n = a n 1 + d =...(shiftando all'indietro di n posizioni)... = = (a 1 + d) + (n )d = a 1 + (n 1)d Abbiamo, pertanto, provato il seguente risultato. PROPOSIZIONE 1.1 Data una progressione aritmetica {a n } di ragione d, si ha: a n = a 1 + (n 1)d (1.1) Osservazione 1. Se l'indice n parte da 0 ovvero se il primo elemento della progressione è a 0, la (1.1) si scrive come a n = a 0 + nd Inoltre, se non si conosce a 1 ma si conoscono a r ed a s elementi di {a n } (s > r), sostituendo nella (1.1) r in luogo di 1 ed (s r + 1) in luogo di n, si prova che a s = a r + (s r)d (1.) Gli esempi seguenti chiariscono meglio i concetti esposti. 4

5 Esempi Si consideri progressione aritmetica, di ragione d = 3, il cui primo termine è a 1 = 5. Calcolare a 1. Risulta, applicando la (1.1), a 1 = = = 5. Della progressione aritmetica {a n }, di ragione d =, è noto l'elemento a 5 = 4. Calcolare a 11. Applicando la (1.), si ha: a 11 = 4 + (11 5)( ) = 4 1 = 8 Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Proponiamoci, adesso, di calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica {a n }. Indicata con S n tale somma, risulta Notiamo che S n = a 1 + a +...a n 1 + a n e, in generale, a 1 + a n = a 1 + (n 1)d = a + a n 1 = a 3 + a n a 1 + a n = a 1 + (n 1)d = a k + a n k+1 (1 < k < n) ovvero la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma di questi ultimi. Dunque, per ottenere S n bisogna sommare la quantità a 1 + a n in numero n/ di addendi ottenendo S n = (a 1 + a n ) n Abbiamo, pertanto, provato il risultato seguente. 5

6 PROPOSIZIONE 1. Data una progressione aritmetica {a n }, la somma S n dei primi n termini è data da S n = n(a 1 + a n ) (1.3) La formula (1.3) ricorda l'area di un trapezio. Infatti, con riferimento alla gura seguente (gura 1), possiamo dire che la somma S n è il numero di pallini neri contenuti nel trapezio rettangolo di basi a 1 ed a n e di altezza n (la gura fa riferimento all'esempio di una progressione aritmetica di ragione d =, a 1 = 3, n = 5). Figura 1: rappresentezione della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Esempi Calcolare la somma dei primi n numeri naturali. Indicata con S n tale somma, risulta, applicando la (1.3), essendo a 1 = 1, a n = n. S n = n(n + 1) 6

7 . Calcolare la somma S n dei primi n numeri dispari. In questo caso, a 1 = 1, a n = 1 + (n 1) in quanto la progressione aritmetica ha ragione. Applicando la (1.3), si ha: S n = n( n ) = n = n 3. Calcolare la somma S n dei primi n numeri pari. In questo caso, a 1 = 0, a n = 0 + (n 1) = (n 1) in quanto la progressione aritmetica ha ragione. Applicando la (1.3), si ha: S n = n (n 1) = n(n 1) 4. Calcolare la soma S 10 dei termini della progressione aritmetica, di ragione d = 4, successivi all'elemento. Posto a 1 =, risulta a 10 = a 1 + (10 1)d = + 36 = 38 cosicché, applicando ancora la (1.3), si ha: S 10 = 10( + 38) = 00 Inserimento di k medi in progressione aritmetica tra due elementi. Considerati due numeri reali α, β (α < β), vogliamo inserire, tra questi, k elementi x 1, x,..., x k in progressione aritmetica. Ciò che vogliamo fare è scrivere gli elementi a 1 = α, a = x 1, a 3 = x 3, a k+1 = x k, a k+ = β della successione {a n }. Per la (1.1), si ha: a k+ = a 1 + (k + 1)d ovvero β = α + (k + 1)d da cui si ottiene la ragione d data da d = β α k + 1 Ne segue, x 1 = α + d, x = x 1 + d = α + d,..., x k = x k 1 + d = α + kd 7 (1.4)

8 Osservazione 1.3 Si noti che, per k = 1, si ottiene l'inserimento del medio x tra i numeri α e β che rappresenta proprio la loro media aritmetica. Esempio 1.4 Inserire 4 elementi in progressione aritmetica tra i numeri e 1. Per la (1.4), si ha: cosicché, i numeri cercati, sono: d = = 3 5 x 1 = + d = 7 4 x = x 1 + d = = 3 0 x 3 = x + d = = 11 0 x 4 = x 3 + d = = 1 0 Le progressioni geometriche Consideriamo la successione {a n },, 10, 50, 50, 150, 650,... in cui il rapporto tra un elemento e il suo predecessore è costante avendosi a n a n 1 = 5. Una successione di questo tipo è detta progressione geometrica di ragione ρ = 5 nel senso della seguente denizione. DEFINIZIONE.1 Si denisce progressione geometrica una successione numerica {a n } in cui è costante il rapporto tra un elemento e il suo predecessore; in simboli a n = ρ n N (n > 1) a n 1 La costante ρ è detta ragione. 8

9 Osservazione.1 Supponiamo nel seguito che sia d 0 d 1 in quanto i casi d = 0 e d = 1 sono poco signicativi poiché portano a considerare una successione di elementi quasi tutti nulli o una successione costante. Inoltre, dalla denizione, si evince che una progressione geometrica è una successione denita per ricorrenza nel modo seguente: a n = a n 1 ρ ssati l'elemento iniziale a 1 (o a 0 ) e la ragione ρ. Per indicare che i numeri a 1, a,..., a n,... sono in progressione geometrica ovvero che la successione {a n } è una progressione geometrica, utiliizziamo una delle notazioni seguenti: a 1, a,..., a n,...; {a n }. Esempio.1 La successione 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3, 1/64,... è una progressione geometrica di ragione ρ = 1/ come si calcola eseguendo il rapporto tra un elemento e il suo predecessore. Consideriamo una progressione {a n } di ragione ρ in cui il primo elemento è a 1. Risulta: a = a 1 ρ a 3 = (a ρ)ρ = a 1 ρ a 4 = a 3 ρ = (a 1 ρ ) = a 1 ρ 3 d.. a n = a n 1 ρ =...(shiftando all'indietro di n posizioni)... = = (a 1 d)ρ n = a 1 ρ n 1 Abbiamo, pertanto, provato il seguente risultato. PROPOSIZIONE.1 Data una progressione geometrica {a n } di ragione ρ, si ha: a n = a 1 ρ n 1 (.1) 9

10 Osservazioni. Se l'indice n parte da 0 ovvero se il primo elemento della progressione è a 0, la (.1) si scrive come a n = a 0 ρ n Inoltre, se in una progressione geometrica non si conosce a 1 ma si conoscono a r ed a s elementi di {a n } (s > r), sostituendo nella (.1) r in luogo di 1 ed (s r + 1) in luogo di n, si dimostra che a s = a r ρ s r (.) Esempi. 1. Si consideri progressione geometrica, di ragione ρ =, il cui primo termine è a 1 = 1. Calcolare a 11. Risulta, applicando la (.1), a 11 = ( 1)( ) 10 = 10 = 104. Della progressione geometrica {a n }, di ragione ρ =, è noto l'elemento a 5 = 4. Calcolare a 10. Applicando la (.), si ha: a 10 = 4() 10 5 = 4() 5 = 7 = 18 Prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica. Proponiamoci, adesso, di calcolare il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica {a n }. Per una progressione geometrica, di ragione ρ > 1, si può determinare una formula per il calcolo del prodotto dei primi n termini. Indicato con P n tale prodotto, risulta P n = a 1 a a 3...a n 3 a n 1 a n da cui, invertendo completamente l'ordine dei fattori, P n = a n a n 1 a n...a 3 a a 1 10

11 Moltiplicando le ultime due relazioni, si ha: P n = (a 1 a n )(a a n 1 )(a 3 a n )...(a n 3 a 3 )(a n 1 a )(a n a 1 ) Il prodotto (a 1 a n )(a n a 1 ) = (a 1 a n ) degli estremi al secondo membro dell'ultima relazione scritta è uguale al prodotto di ogni coppia di fattori equidistanti dagli estremi avendosi (a 1 a n ) = a 1(a 1 q n 1 ) = (a k a n k+1 ) per cui P n è il prodotto, n volte, degli estremi appunto ovvero P n = (a 1 a n ) n da cui P n = (a 1 a n ) n Abbiamo, pertanto, provato il risultato seguente. PROPOSIZIONE. Data una progressione geometrica {a n }, il prodotto P n, dei primi n termini, è dato da P n = (a 1 a n ) n (.3) Inserimento di k medi geometrici tra due estremi. Considerati due numeri reali α, β (α < β), vogliamo inserire, tra questi, k elementi x 1, x,..., x k in progressione geometrica. Ciò che vogliamo fare è scrivere gli elementi a 1 = α, a = x 1, a 3 = x 3, a k+1 = x k, a k+ = β della successione {a n }. Per la (.1), si ha: a k+ = a 1 ρ k+ 1 ovvero β = αρ k+1 da cui si ottiene la ragione ρ: data da ρ = k+1 β α (.4) Ne segue, x 1 = αρ, x = x 1 ρ = αρ,..., x k = x k 1 ρ = αρ k Si noti che, nel caso di k =, l'elemento inserito è proprio la media geometrica di α e β. 11

12 3 Una particolare successione: la serie Sia {a n } una sucessione numerica (n = 0, 1,, 3, 4,...) e costruiamo una successione S n di cui ogni elemento è ottenuto sommando i primi n termini di {a n }: S 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 = s 0 + a 1, s n = a 0 + a a n = n a k = s n 1 + a n Il carattere della successione delle somme {S n }), si ottiene come per qualsiasi successione ovvero calcolando e si indica anche come lim S n = lim n n Formalizziamo la denizione di serie. a k k=0 DEFINIZIONE 3.1 Si denisce serie numerica o, semplicemente, serie la coppia di successioni ({a n }, {S n }) che si indica col simbolo n=0 dove a n è detto termine generico della serie mentre le S n si chiamano somme parziali o ridotte della serie. Il carattere della serie dipende, dunque, dal limite delle ridotte e si ha: lim S n = S < = serie convergente che ha S come somma n a n n k=0 a k lim S n = ± = serie divergente n k=0 lim S n non esiste = serie oscillante o indeterminata n 1

13 4 La serie geometrica Sia {a n } una progressione geometrica di ragione ρ e di primo elemento a 0 (gli elementi della progressione, sono, pertanto, a 0, a 0 ρ, a 0 ρ,..., a 0 ρ n,...). Calcoliamo la somma S n dei termini a 0, a 1,..., a n della progressione: S n = a 0 + a 0 ρ + a 0 ρ a 0 ρ n (4.1) da cui, moltiplicando ambo i membri per ρ, si ha: ρs n = ρa 0 + a 0 ρ + a 0 ρ a 0 ρ n + a 0 ρ n+1 (4.) Sottreanedo dalla (4.1) la (4.), si ha: S n ρs n = a 0 a 0 ρ n+1 da cui, mettendo in evidenza S n al primo membro, a 0 al secondo membro e dividendo ambo i membri per 1 ρ, S n = a 0 1 ρ n+1 1 ρ (4.3) che rappresenta la somma dei primi n + 1 (n se si fa partire l'indice da 1) termini nonché la ridotta n-esima della serie La serie a 0 ρ k = a 0 k=0 k=0 ρ k k=0 ρ k (4.4) è detta serie geometrica di ragione ρ. Studiamo, al variare di ρ, il carattere della serie geometrica. Se ρ = 1, la somma di inniti 1 non può che divergere mentre, se ρ = 1, il carattere risulta indeterminato avendosi S n = 1 per n pari ed S n = 0 per n dispari cosicché non esiste il limite delle somme parziali. Per ρ > 1, passando al limite nella (4.3) con a 0 = 1, si ha: lim n 1 ρ n+1 1 ρ = lim n ρ n = + cosicché la serie risulta divergente ed, analogamente, se ρ < 1. 13

14 Se, invece, ρ < 1, poiché ρ n+1 0, risulta (ancora passando al limite nella (4.3) con a 0 = 1) lim S n = 1 1 ρ cosicché la serie converge ed ha come somma 1/(1 ρ). Riepilogando, la serie geometrica converge a 1/(1 ρ) se ρ < 1; diverge se ρ > 1 ρ = 1; ha carattere indeterminato se ρ = 1. Osservazione 4.1 Se l'indice di sommazione della serie geometrica non parte da 0 ma da α > 1, i criteri per stabilire la convergenza restanno gli stessi mentre, per quanto riguarda la somma, bisogna tener conto della formula ρ n = n=α α 1 ρ n da cui, indicata con S la somma della serie al primo membro, risulta: S = 1 1 ρ (1 + ρ + ρ ρ α 1 ) Esempi La serie geometrica n=0 n=0 n=0 ( ) n 3 ha ragione ρ = /3 (0, 1) e, pertanto, converge ed ha per somma S = 1/(1 /3) = 3.. La serie geometrica è esprimibile come n= n= ( ) n 1 5 ( ) n 1 3 ed è convergente avendo una frazione propria come ragione. La sua somma, tenendo conto dell'osservazione 4.1, è S = ( 1 1 1/ ) = 14 ρ n ( ) = 0 = 1 10

15 5 Esempi, problemi, applicazioni ed esercizi riepilogativi 5.1 Frazione generatrice di un numero periodico Facciamo un'applicazione della serie geometrica che permette di esprimere i numeri peridici mediante frazioni (frazione generatrice di un numero periodico). Consideriamo, ad esempio, il numero 0, 34 (numero periodico semplice). Risulta ovvero 0, 34 = n ( ) n 1 0, 34 = n=1 Per le considerazioni svolte nella sezione 4 (in particolare per l'osservazione 4.1), si ha: ( 0, 34 = /100 1 ) ( ) 100 = da cui 0, 34 = Consideriamo, adesso, il numero, 015 (numero periodico composto). Essendo solo il 5 periodico dalla terza cifra decimale, si ha: ovvero, 015 = n +..., 015 = Procedendo come nel caso precedente, si ha:, 015 = + 1 ( da cui Notiamo che n= ) , 015 = = ( ) n 1 10 = 01 ( ) = =

16 Gli esempi proposti mostrano come sia possibile rappresentare un numero decimale periodico sotto forma di frazione ovvero di ricavare la formula secondo cui la frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene mettendo al numeratore il numero privato della virgola meno il numero formato dalla parte intera e dall'antiperiodo (se c'è) e al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo. 5. I paradossi di Zenone Si racconta che nel V secolo a.c. il losofo greco Zenone di Elea inventò alcuni paradossi che poi diventarono famosi. Fra questi sicuramente primeggiano il paradosso della dicotomia e di Achille e la tartaruga. Il paradosso della dicotomia. In una gara campestre, Achille deve percorrere la distanza di 1 Km. Zenone, attraverso un ragionamento sottile, conclude che Achille non raggiungerà mai la ne della corsa. Achille, prima di percorrere il chilometro che lo separa dal traguardo, deve percorrere mezzo chilometro. Dopo che ha percorso il mezzo chilometro, prima di arrivare in fondo, deve percorrere 1/4 di Km, dopo di questo 1/8 di Km, poi 1/16 di Km e così via. Siccome per ogni tratto che percorre ci mette un tempo nito (perché ciascun tratto per quanto piccolo è sempre nito) e dato che i tratti sono in numero innito il tempo totale è innito ed Achille non raggiungerà mai la ne. Il paradosso sta nel fatto che, ovviamente, Achille taglierà il traguardo in un tempo dato da s/v dove s =1 Km e v la sua velocità (costante) lungo la gara. Allora dove sta l'errore? Alla luce di quanto detto è facile dare la risposta. Achille, del chilometro che lo separa dalla meta, percorre i tratti: 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3,... che sono una serie geometrica di termine iniziale 1/ e di ragione 1/. Se, per semplicità, ammettiamo che la sua velocità sia di 1 Km/minuto, Achille impiega proprio mezzo minuto per il primo tratto, 1/4 di minuto per il secondo, ecc. La somma di questa serie non è innita, come sosteneva Zenone, pur essendo costituita da un numero innito di termini tutti niti. Essa può essere, infatti, scritta come n=1 che è convergente ed ha per somma S = ( ) n / 1 = 1 = 1 16

17 cosicché fornisce come risultato risultato 1 (minuto)! E' questa la grande scoperta dei greci: scrivere 1 come la somma innita di potenze di 1/. Il paradosso di Achille e la tartaruga. Il secondo e più noto paradosso di tutta l'antichità è una variante del primo. Achille sda una tartaruga in una gara di velocità lungo un percorso di 1 km. La tartaruga parte con 100 m. di vantaggio rispetto ad Achille che, come è noto, era il più veloce di tutti gli Achei. Nella realtà Achille raggiunge e supera con facilità la lenta tartaruga ma Zenone, con un ragionamento simile a quello precedente, dimostra che ciò non può accadere. Infatti, quando Achille raggiunge il punto s 0 da cui è partita la tartaruga, essa si sarà spostata nel punto s 1, quando Achille avrà raggiunto il punto s 1, la tartaruga si sarà spostata nel punto s e così via (quando Achille raggiunge il punto s k, la tartruga si è già spostata nel punto s k+1 ). In questo modo, anche se Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga, non la raggiungerà mai! Ancora una volta c'è il tranello delle somme innite che intuitivamente fanno pensare ad un risultato innito. Supponiamo, ancora per semplicità, che Achille viaggi ad una velocità di 1 m/s e che sia 10 volte maggiore di quella della tartaruga. Dopo 100 secondi Achille sarà nella posizione s 0 = 100 m mentre la tartaruga si sarà spostata nella posizione s 1 = ( ) m = 110 m avendo percorso 1/10 di Km. Dopo altri 10 s, Achille avrà percorso 10 m raggiungendo la posizione s 1 ma la tartaruga si sarà spostata nella posizione s 1 = ( ) = 111 m. In 1 solo secondo Achille colmerà questo metro ma la tartaruga si sarà spostata di altri 1/10 di m che Achille percorrerà in 1/10 sec. ma la tartaruga si sarà spostata di altri 1/100 di m. che Achille percorrerà in 1/100 di sec. ma la tartaruga si sarà spostata di altri 1/1000 di m. che Achille percorrerà in 1/1000 di sec. e così via. E' chiaro che, la serie dei tempi di percorrenza di Achille con cui abbiamo a che fare, è: = n=0 ( ) n 1 10 e la serie numerica che interviene è una geometrica di ragione ρ = 1/10. 17

18 Ne segue n=0 ( ) n 1 = ρ = = = cosicché dopo /9 = 111, 1 sec. dalla partenza Achille raggiunge la tartaruga e, all'istante successivo, la supera. 5.3 La sezione aurea Un'applicazione delle progressioni geometriche ed, in paricolare, dei medi geometrici consiste nella determinazione della sezione aurea di un segmento. La sezione aurea è la parte x di un segmento, lungo l, che sia medio proporzionale fra il tutto e la parte rimanente. Dunque, x è la media geometrica fra la lunghezza l e la parte rimanente del segmento data da l x. Questo problema classico permette di trovare la cosiddetta sezione aurea di un segmento. Dai dati del problema, si ha: da cui l : x = x : (l x) x = l lx ovvero x + lx l = 0 che è una equazione di secondo grado la cui soluzione positiva (quella che ci interessa trattandosi di lunghezze) è x = l da cui, dividendo ambo i membri per l, x l = , Questo numero (numero aureo) è di straordinaria importanza soprattutto nell'arte (architettura, scultura, pittura, musica) perché esprime in sé una proporzione armonica fra le parti. Esso era già ben noto ai popoli antichi dagli egiziani ai greci no a tutto il medioevo e al rinascimento. 18

19 Notiamo, adesso, come la sezione aurea di un segmento possa essere determinata calcolando il limite: x n 1 lim n x n della successione di Fibonacci denita da x n = x n 1 + x n (n ), x 0 = 1, x 1 = I primi termini di questa successione sono: e si ha: 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144,... x 9 = 89 x in cui 4 cifre decimali già sono stabili. = 0, Esercizi e problemi di riepilogo 1. Date le seguenti progressioni, stabilire se sono aritmetiche o geometriche e determinarne la ragione: (a) 1, 4, 16, 64, 56,...; (b) 1, 10, 1, 3, 43,...; (c) 9, 7, 45, 63, 81, 99, 117,...; (d), 4, 8, 16, 3, 64,... Passiamo alla risoluzione. (a) La progressione è geometrica di termine iniziale 1 e ragione ρ = = 4 e può essere anche scritta come 1, ρ, ρ, ρ 3,..., ρ n 1,... = 1, 4, 4, 4 3,..., 4 n 1,... (b) La progressione è aritmetica di termine iniziale 1 e ragione e può essere anche scritta come d = 43 ( 3) = 11 1, 1 + d, 1 + d, 1 + 3d,..., 1 + (n 1)d,... (d = 11) 19

20 (c) 9, 7, 45, 63, 81, 99, 117,...; La progressione è aritmetica di termine iniziale 9 e ragione d = = 18 e può essere anche scritta come 9, 9 + d, 9 + d, 9 + 3d,..., 9 + (n 1)d,... (d = 18) (d) La progressione è geometrica di termine iniziale e ragione negativa come ci suggerisce l'alternanza dei segni: ρ = 64 3 = e può essere anche scritta come, ρ, ρ, ρ 3,..., ρ n 1,... (ρ = ). Consideriamo i seguenti problemi. (a) Un muratore intonaca 1, 5 m di parete al minuto. Sapendo che egli riceve aiuti in modo da raddoppiare la supercie intonacata ad ogni minuto, quanto intonaca al quinto minuto e qual è la supercie totale intonacata dopo 5 minuti? (b) Determinare il numero n dei termini, la cui somma è 0, di una progressione aritmetica di ragione ed ultimo termine 16. Passiamo alla risoluzione. (a) Il problema è risolvibile considerando la situazione rappreresentabile mediante una serie geometrica di ragione ρ = e di termine iniziale a 1 = 1, 5. Così facendo ed applicando la (.1), si ha che la supercie intonacata al quinto minuto è a 5 = a 1 ρ 4 = 3 4 = 3 3 e, in denitiva, a 5 = 4 m La supercie totale, intonacata dopo 5 minuti, è la somma S 5 dei primi cinque termini della progressione: 1 ρ n S 5 = a 1 1 ρ = = 3 31 = 63 0

21 ovvero 31, 5 m avendo utilizzato la (4.3) con i dati del problema. (b) Indicata con S n la somma dei primi termini e tenuto conto che, per la (1.1), deve risultare a n = a 1 + (n 1)d, si ha, nel nostro caso, a 1 + (n 1) = 16 S n = 0 Essendo S n = n(a ) per la (1.3), si ha: a 1 + (n 1) = 16 n(a ) = 0 che è un sistema di secondo grado nelle incognite n, a 1. Dalla prima equazione, si ricava a 1 = 16 (n 1) che, sostituita nella seconda, conduce a da cui n(16 (n 1) + 16) n(17 n) = 0 = 0 che ha per soluzioni n = 0 n = 17 ed è accettabile solo n = Consideriamo i seguenti esercizi puramente di analisi matematica. (a) Calcolare il seguente limite lim n S n n + 1 essendo S n la soma dei primi n numeri naturali. (b) Stabilire, per quali valori reali di x, converge la serie geometrica (x 7 1) n n=0 e, per tali valori, calcolare la somma S(x). 1

22 Passiamo alla risoluzione. (a) Risulta S n = n(n+1) cosicché lim n S n n + 1 = lim n(n + 1) n n + = lim n n + n n + = lim n n n = 1 (b) La serie geometrica ha ragione ρ = ρ(x) = x 7 1 e converge se e solo se ρ < 1 da cui x 7 1 < 1 od anche 1 < x 7 1 < 1 che è risolta da 0 < x < 7 Per tali x, si ha: S(x) = 1 1 ρ(x) = 1 1 (x 7 1) = 1 x. 7