Successioni ricorsive

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1 Capitolo 1 Successioni ricorsive Un modo spesso usato per assegnare una successione è quello ricorsivo che consiste nell assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primi due, oppure i primi... ) e una formula che permette di ottenere ogni termine successivo mediante quello che lo precede (oppure quelli che lo precedono) Successioni aritmetiche Definizione 1.1. Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale a 0 e ragione d (con a 0,d R) la funzione a : N R così definita: a(n) = a n = a 0 +nd. Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive: a 0 = a 0, a 1 = a 0 +d, a = a 0 +d, a 3 = a 0 +3d,... La successione aritmetica a n = a 0 + nd si esprime in forma ricorsiva assegnando il termine iniziale a 0 e, per ogni n 1, la formula: a n = a n 1 +d. Abbiamo quindi un modo semplice di caratterizzare le successioni aritmetiche: Una successione a n è aritmetica se e solo se la differenza tra due termini consecutivi è costante ossia a n a n 1 = d.

2 Successioni ricorsive Esempio La successione dei numeri pari 0,,4,6,... è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione, definita dalla legge a n = n. In forma ricorsiva possiamo assegnare questa successione come a n = a n 1 +, (n 1), specificando che il termine iniziale a 0 vale 0.. La successione a n = n dei quadrati dei numeri naturali non è una successione aritmetica poiché, ad esempio, a 4 a 3 = 16 9 = 7 mentre a a 1 = 4 1 = 3 7. Se sappiamo che una certa successione a n è aritmetica, allora la conoscenza di due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l intera successione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti: e quindi a h a k = (a 0 +hd) (a 0 +kd) = (h k)d d = a h a k h k e a 0 = a h hd Esempio 1.3. La successione aritmetica a n tale che a 3 = 5 e a 7 = 1 ha ragione d = 1 5 = 4 e quindi a = a 3 3d = 7 ossia è data da a n = 7+4n. Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n + 1 termini di una successione aritmetica: oppure, iniziando da n = 1: a 0 +a 1 + +a n = (n+1)a 0 + n(n+1) d a 1 + +a n = (n)a 0 + n(n+1) d In particolare, se a 0 = 0 e d = 1, si ottiene a 1 + +a n = 1++ n = n(n+1)

3 3 che fornisce la formula della somma dei primi n numeri naturali. Una storia curiosa racconta che Carl Friedrich Gauss trovò questa formula in terza elementare quando l insegnante, per farli stare buoni, chiese agli alunni di sommare i numeri da 1 a. Gauss, dopo solo un minuto, andò dall insegnante con la risposta. L idea del piccolo Gauss fu la seguente: se invece di sommare tutti i numeri uno dietro l altro sommiamo prima il primo con l ultimo, cioè 1 +, otteniamo 101; allo stesso modo se sommiamo al penultimo, cioè + 99, otteniamo sempre 101. Questo procedimento si può iterare sino a e quindi per 50 volte; si ottiene infine = = Successioni geometriche Definizione 1.4. Si dice successione (o progressione) geometrica di termine iniziale a 0 e ragione q (q R) la funzione a : N R così definita: a(n) = a n = a 0 q n. Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive: a 0, a 1 = a 0 q, a = a 0 q, a 3 = a 0 q 3,... La successione geometrica a n = a 0 q n si esprime in formaricorsiva ponendo a n = a n 1 q, n 1, e assegnando a 0 come termine iniziale. Abbiamo quindi un modo semplice di caratterizzare le successioni geometriche: Una successione a n è geometrica se e solo se il rapporto tra due termini consecutivi è costante ossia a n a n 1 = q. Carl Friedrich Gauss ( ). Matematico, astronomo e fisico tedesco, diede contributi determinanti all analisi matematica, teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, magnetismo e ottica. Talvolta descritto come il più grande matematico della modernità e il principe della matematica, Gauss è ricordato tra i più importanti matematici della storia, avendo contribuito in modo decisivo all evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali.

4 4 Successioni ricorsive Esempio 1.5. La successione delle potenze di, ossia 1,,4,8,16,... è la successione geometrica di termine iniziale 1 e ragione, definita dalla legge a(n) = n. In forma ricorsiva possiamo scrivere a n = a n 1, (n 1), specificando che il termine iniziale a 0 vale 1. Se sappiamo che una certa successione a n è geometrica, allora la conoscenza di due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l intera successione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti: e quindi a h a k = a 0q h a 0 q k = qh k q = h k ah a k e a 0 = a h q h Esempio 1.6. La successione geometrica a n tale che a 3 = 8 e a 7 = 3 ha ragione q = 4 a7 a 3 = 4 4 = e quindi a 0 = a 3 = 8 q 3 3 = ossia è data da a n = ( ) n = ( ) n+3. La formula che dà la somma dei primi n + 1 termini di una successione geometrica (di ragione q 1) è: a 0 +a 1 + +a n = a 0 1 q n+1 1 q Applicazioni delle successioni Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di tipo economico, biologico, medico. Esempio 1.7. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio S(n) = S n di un lavoratore dopo n anni, dato il valore iniziale S 0 e l aumento annuale pari al % di S 0. Procedendo ricorsivamente, abbiamo: stip. iniziale: S(0) = S 0 stip. dopo 1 anno: S(1) = S 0 + S 0 stip. dopo anni: S() = S(1)+ S 0 = (S 0 + S 0)+ S 0 = S 0 + stip. dopo n anni: S(n) = S(n 1)+ S 0 = S 0 +n S 0 S 0

5 5 Il problema è descritto dà una successione aritmetica di termine iniziale S 0 e ragione S 0: in tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in modo lineare. Esempio 1.8. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio Q(n) = Q n di un lavoratore dopo n anni, dato il valore iniziale S 0 e l aumento annuale pari al % dello stipendio dell anno precedente. Procedendo ricorsivamente, abbiamo: stip. iniziale: Q(0) = S 0 stip. dopo 1 anno: Q(1) = S 0 + S 0 = 10 stip. dopo anni: Q() = Q(1)+ stip. dopo n anni: Q(n) = Q(n 1)+ S 0 Q(1) = 10 Q(1) = (10 ) S 0 10 Q(n 1) = Q(n 1) = (10 )n S 0 Il problema è descritto da una successione geometrica di termine iniziale S 0 e ragione q = 10. In tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in modo esponenziale. Esempio 1.9. Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo. Alcune sostanze decadono nel tempo, trasformandosi in altre sostanze; si dice tempo di dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi. Assumendo come unità di misura dei tempi il periodo T e indicando con N 0 il numero degli atomi presenti inizialmente si ha: numero iniziale: N(0) = N 0 dopo 1 periodo: N(1) = 1 N 0 dopo periodi: N() = 1 N(1) = 1 (1 N 0) = 1 4 N 0 dopo n periodi: N(n) = 1 N(n 1) = (1 )n N 0 Otteniamo una successione geometrica di termine iniziale N 0 e ragione 1. Esempio In condizioni ideali la crescita di una popolazione di batteri ha un andamento di tipo esponenziale. Se rileviamo il numero di batteri presenti in quella popolazione e ripetiamo il conteggio a distanza regolare di tempo, i numeri ottenuti formano una successione geometrica a n = Bq n

6 6 Successioni ricorsive dove a 0 = B è il numero di batteri inizialmente presenti, mentre q dipende dal tipo di batteri e dalle condizioni ambientali. Il tempo T necessario perché il numero di batteri di quella popolazione raddoppi si dice appunto tempo di raddoppio. Assumendo come intervallo di tempo tra una rilevazione e l altra proprio T, la successione assume la forma a n = B n dove a n è il numero di batteri presenti dopo un periodo nt pari a n tempi di raddoppio. Più in generale, se l intervallo tra due rilevazioni è un qualsiasi tempo t, allora la successione a n che fornisce il numero di batteri presenti dopo n rilevazioni, ossia dopo un tempo nt è dove la ragione è q = t T. Si osservi che a n = q n B Se q è minore di 1, la popolazione diminuisce al passare del tempo. Se q è maggiore di 1, la popolazione tende all infinito. Esempio Esprimere un rapporto tra due grandezze omogenee in forma percentuale significa scegliere per il rapporto la frazione con denominatore. Se, per esempio, analizzando una soluzione, su 75 grammi di sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel sale ha nella soluzione una concentrazione di ; esprimere questo rapporto in forma percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente di denominatore, cioè 9 75 = 1 Diciamo allora che la concentrazione del sale è pari al 1%. Per fare il passaggio alla forma percentuale basta risolvere una proporzione, cioè una uguaglianza di rapporti. Nell esempio precedente: : 75 = x : da cui x = 1. Così, calcolare un ventesimo di una grandezza significa calcolarne il 5% perché 1 0 = 5.

7 7 Percentuali del tipo 6.4% sono il rapporto 6.4. Quest ultima si denota anche con 64 0 / 00 e si legge 64 per mille. Naturalmente per i rapporti espressi in forma percentuale valgono le solite regole sulle frazioni; per non sbagliare è opportuno, negli esercizi, trasformare le percentuali nelle corrispondenti frazioni. Vediamo un esempio. Un certo capitale iniziale C 0, che possiamo considerare pari a 1, è investito al tasso di interesse del % annuo; inoltre gli interessi vengono pagati a intervalli regolari di tempo più volte l anno; tali interessi vengono aggiunti al capitale e su di essi vengono quindi pagati gli interessi per i periodi successivi. Se indichiamo con C n il capitale che si ottiene a fine anno, nel caso in cui gli interessi siano pagati n volte all anno, otteniamo la seguente successione: ( C 1 = 1, C = 1+ 1 ) + 1 (..., C n = 1+ 1 ) n n ( 1+ 1 ) ( = 1+ 1 (, C 3 = 1+ ) 3) 1 3, La successioni di Fibonacci Leonardo Pisano propose nel tredicesimo secolo il seguente problema: Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto. Sapendo che per ogni coppia di conigli valgono le seguenti condizioni inizia a generare dal secondo mese di età; genera una nuova coppia ogni mese; non muore mai; quante coppie di conigli ci saranno nel recinto dopo un anno? Leonardo da Pisa( ). Matematico italiano, figlio di Guglielmo Bonacci da cui il soprannome di Fibonacci (fillius Bonacci). Assieme ad altri matematici del tempo, contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell ultima parte dell età classica e del primo Medioevo. Con la sua opera più importante, il Liber abaci, introduce in Europa occidentale la numerazione indo-arabica tuttora in uso.

8 8 Successioni ricorsive Figura 1.1: La crescita dei conigli. Osservando la Figura 1.1 si deduce immediatamente che, denotato con f n il numero delle coppie di conigli dopo n mesi, si ottiene la successione, chiamata successione di Fibonacci, i cui primi termini sono: f 0 = 1, f 1 = 1, f =, f 3 = 3, f 4 = 5,... Una osservazione attenta mostra che la successione di Fibonacci può essere definita in modo ricorsivo dalla formula: f n = f n 1 +f n In altre parole la successione di Fibonacci è definita assegnando i primi due valori, 1,1, e richiedendo che il generico elemento f n, n >, della successione sia dato dalla somma dei due che lo precedono. A questo punto possiamo dare la risposta al quesito di Fibonacci, infatti il numero delle coppie di conigli dopo un anno è f 1 = 144. Oltre che alla crescita dei conigli la successione di Fibonacci e legata ad un numero sorprendente di fenomeni della natura. Per una descrizione dettagliata di questi legami vi suggerisco di visitare il sito: In questo testo mi limiterò ad illustrarvi il numero di fibonacci nelle pigne. Nella Figura 1. si può osservare che il numero delle spirali che ruotano in senso orariosono8mentrequelle cheruotanoinsenso antiorariosono13. I numeri 8 e 13 sono due termini consecutivi della successione di Fibonacci.

9 9 Figura 1.: Le spirali delle pigne. b a La sezione Aurea Figura 1.3: Il rettangolo aureo. La successione di Fibonacci ha un particolare legame con il numero Aureo. Per dare la definizione del numero aureo si consideri un rettangolo (si veda la Figura 1.3) di base a e altezza b e si ponga φ = a/b. Un rettangolo si dice aureo (φ = a/b aureo) se i lati a e b soddisfano alla proporzione a b = a+b a. Segue che φ = a/b è soluzione dell equazione φ φ 1 = 0 le cui radici sono φ = 1± 5. Essendo a e b positivi (lunghezze di segmenti) si avrà che il numero aureo è φ = 1+ 5.

10 10 Successioni ricorsive D C b A M a B H Figura 1.4: Costruzione del rettangolo aureo. Si noti che 1 5 = 1 φ. Il numero Aureo è un numero irrazionale la cui rappresentazione decimale inizia così: φ = Complemento 1.1. Esiste una costruzione geometrica piuttosto semplice del rettangolo aureo come mostra la Figura 1.4. Si costruisce per primo un quadrato di vertici A,B,C,D e di lato b. Sulla base del quadrato si traccia il punto medio M e si considera la circonferenza centrata in M e raggio M C. La circonferenza interseca il prolungamento della base del quadrato in un punto H. Mostriamo che a = AH e b sono in rapporto aureo. Per costruzione a = AM +MH = b/+mc. Per calcolare MC applichiamo il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo M BC. Si ottiene MC = ( b 5b ) +b = 4 = b 5. Segue che a = b( 1+ 5 ) da cui, dividendo per b, si ottiene a b = 1+ 5 = φ. Il legame tra la successione di fibonacci e la sezione aurea è il seguente. Consideriamo la successione r n = f n /f n 1 ottenuta dividendo ogni numero della successione di Fibonacci per il precedente. I primi quattordici elementi di r n sono 1,, 1.5, , 1.6, 1.65, , , , , , , , Se adesso confrontiamo questi numeri con la rappresentazione decimale di φ ci accorgiamo che r n si avvicina sempre di più a φ man mano che cresce

11 1.1 Esercizi sulle successioni ricorsive 11 n. Si può infatti dimostrare che la successione r n tende a φ per n molto grande. Osservazione Tramite il numero aureo è anche possibile descrivere il generico elemento f n della successione di Fibonacci. Denotiamo, per comodità, α = 1+ 5 ; β = 1 5. Si può verificare che la successione f n = αn β n α β descrive tutti i numeri della successione di Fibonacci (provate!). 1.1 Esercizi sulle successioni ricorsive 1. Dimostrare che la successione a n = n 1 è geometrica e determinare la ragione ed il termine iniziale.. Dire se la successione a n = log( n+1 ) è aritmetica o geometrica. 3. Dire se la successione a n = 3(1+n) è aritmetica o geometrica. 4. Determinare la successione aritmetica sapendo che a = 7 e a 5 = Determinare la successione geometrica sapendo che a = 1/ e a 4 =. 6. Il tempo di dimezzamento del 14 C è di circa 5730 anni. (a) Determinare l età approssimativa di un reperto fossile nel quale la concentrazione di 14 C risulta il 5% di quella dell analogo organismo vivente. (b) Determinare l età approssimativa di un reperto fossile nel quale la concentrazione di 14 C risulta il 1.5% di quella dell analogo organismo vivente. (b) Determinare la concentrazione di 14 C in un reperto fossile di circa 3000 anni.

12 1 Successioni ricorsive 7. In una coltura batterica ci sono inizialmente N 0 batteri, che raddoppiano ogni 160 ( sta per minuti). (a) Quanti batteri ci saranno dopo h? (b) Dopo quanti minuti ci sono nella coltura il 5% del numero finale di batteri trovato al punto (a)? 8. Il tempo di dimezzamento dell ossigeno 15 O è 14. (a) Indicata con Q 0 la concentrazione iniziale, trovare quella che si ha dopo 9. (b) Dire dopo quanti secondi si ha il 5% di Q. 9. Calcolare il 3% del 10% di una quantità a. 10. Determinare il termine generale della successione a n nei seguenti casi: a 1 = 0, a = 1 4, a 3 = 6, a 4 = 3 8 a 1 = 1, a = 0, a 3 = 3, a 4 = 8, a 5 = 15 a 1 = 1, a = 4 3, a 3 = 9 4, a 4 = Dimostrare che se f n è la successione di Fibonacci allora lim n f n f n 1 = φ 1. Una libreria asimmetrica ha degli scaffali che contengono in sequenza un libro, due libri, quattro libri, otto libri e cosi via. Quanti scaffali servono per collocare 104 libri? e per collocarne ?

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