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1 Successioni numeriche 19 agosto 2015

2 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni

3 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l insieme dei numeri reali, R) il cui dominio é l insieme dei numeri naturali, N. Ogni successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale.

4 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l insieme dei numeri reali, R) il cui dominio é l insieme dei numeri naturali, N. Ogni successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale. Solitamente queste funzioni si descrivono con la seguente notazione: (a n ) n N in cui il pedice n si riferisce al numero naturale a cui a n è associato. (a n ) n N : N R n a n

5 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Rappresentazione analitica Quando è possibile determinare l espressione che permette di determinare l n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato dal valore della funzione f nell n-esimo punto; possiamo scrivere a n = f (n).

6 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Rappresentazione analitica Quando è possibile determinare l espressione che permette di determinare l n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato dal valore della funzione f nell n-esimo punto; possiamo scrivere a n = f (n). Ad esempio a n = 1 n 2 + 1

7 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Elencazione Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza (solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura): a 0 a 1 a 3 a 4...

8 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Elencazione Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza (solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura): a 0 a 1 a 3 a 4... { Ad esempio a n = 1, 1 5, 1 10, 1 17, 1 } 26

9 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette di trovare il{ valore dell n + 1 termine sapendo il valore dell n termine. a0 = 1; (a n ) n N = a n+1 = f (a n ).

10 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette di trovare il valore dell n + 1 termine sapendo il valore dell n termine. (a n ) n N = { a0 = 1; a n+1 = f (a n ). Ad esempio la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun termine, a partire dal terzo, si ottiene come somma dei due termini precedenti: a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n 1 + a n 2

11 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Un altro esempio è l algoritmo di Erone: questo metodo è un procedimento di calcolo che permette di calcolare la radice quadrata di un numero utilizzando solo le operazioni fondamentali dell aritmetica. Esso si basa su considerazioni geometriche e su il metodo delle approssimazioni successive e proprio per questo, ogni termine lo riusciamo ad esprimere solo conoscendone il precedente ed ancora nessuno ha scoperto l espressione del termine n-esimo mediante rappresentazione analitica. La sua rappresentazione per ricorrenza è la seguente (nella quale il numero di cui cerchiamo la radice quadrata lo mettiamo al posto del parametro k): { a1 = 2 a n = 1 2 ( a n 1 + ) k a n 1

12 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni monotòne Una successione si definisce: crescente se a n+1 a n n N decrescente se a n+1 a n n N strettamente crescente se a n+1 > a n n N strettamente decrescente se a n+1 < a n n N

13 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni limitate Il grafico di una successione è rappresentato da un insieme discreto di punti. Come abbiamo visto per le altre funzioni, anche le successioni possono essere: limitate inferiormente se limitate superiormente se inf a n = m > sup a n = M < + limitate se sono limitate sia inferiormente che superiormente.

14 Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi:

15 Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi: Una successione a n si dice convergente se per n si avvicina sempre di più ad un valore l R. Si scrive: che, in termini formali, significa: lim a n = l n ε > 0 n N : n > n, a n l < ε.

16 Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi: Una successione a n si dice convergente se per n si avvicina sempre di più ad un valore l R. Si scrive: che, in termini formali, significa: lim a n = l n ε > 0 n N : n > n, a n l < ε. Se una successione è convergente allora, comunque io scelga un intorno di l sull asse delle ordinate, da un certo valore n in poi la successione a n rimane sempre limitata a quell intorno.

17 Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente:

18 Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente: Una successione a n si dice divergente positivamente se per n la successione va a + ; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente si può definire una successione divergente negativamente. lim a n = + n che, in termini formali, significa: M > 0 n N : n > n, a n > M

19 Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente: Una successione a n si dice divergente positivamente se per n la successione va a + ; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente si può definire una successione divergente negativamente. lim a n = + n che, in termini formali, significa: M > 0 n N : n > n, a n > M Se una successione è divergente positivamente allora, comunque io scelga un un numero M R sull asse delle ordinate grande a piacere, da un certo valore (n) in poi la successione a n sarà sempre più grande di M per ogni n n.

20 Successioni irregolari Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare.

21 Successioni irregolari Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare. Ad esempio la successione a n = 1 n è convergente al valore 0, la successione a n = n è divergente a + e la successione a n = ( 1) n è oscillante tra 1 e 1 e quindi è irregolare.

22 Permanenza del segno Sia a n una successione convergente a un limite l > 0 allora n : n > n, a n > 0

23 Permanenza del segno Sia a n una successione convergente a un limite l > 0 allora n : n > n, a n > 0 Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la successione sarà sempre negativa.

24 Permanenza del segno Sia a n una successione convergente a un limite l > 0 allora n : n > n, a n > 0 Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la successione sarà sempre negativa. Sia a n : N R una successione numerica. Se a n è monotona crescente e superiormente limitata è sempre convergente. Se a n è monotona crescente e illimitata è sempre divergente a +. Se a n è monotona decrescente e inferiormente limitata è sempre convergente. Se a n è monotona decrescente e illimitata è sempre divergente a +.

25 Limite dell algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad esempio l algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l algoritmo di Erone

26 Limite dell algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad esempio l algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l algoritmo di Erone a 1 = 2 a n = 1 2 ( a n ) a n 1

27 Limite dell algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad esempio l algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l algoritmo di Erone a 1 = 2 a n = 1 2 ( a n ) a n 1 Se il limite esistesse, quale sarebbe il suo valore? Se a n l ovviamente anche a n+1 l per n ; quindi facendo il limite ad ambo i membri della formula ricorsiva otteniamo la seguente equazione in l: l = 1 ( l + 2 ) l = 2 2 l

28 Limite dell algoritmo di Erone Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in particolare che a 2 n > 2: a 1 = 2 a 2 1 = 4

29 Limite dell algoritmo di Erone Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in particolare che a 2 n > 2: a 1 = 2 a 2 1 = 4 Ora occorre provare che a 2 n+1 2 > 0 sfruttando l ipotesi induttiva (a2 n > 2): a 2 n+1 2 = ( )) 1 2 (a n + 2an 2 = = (a2 n 2) 2 2 4an 2 > 0 non può essere nullo perché per ipotesi induttiva a 2 n > 2. La successione è quindi limitata dal basso.

30 Limite dell algoritmo di Erone Ora vediamo che la successione è monotòna decrescente, cioè n N, a n+1 < a n : a n a n+1 = a n 1 ) (a n + 2an = > 0 2 La successione è limitata dal basso e monotòna. Quindi il limite esiste e necessariamente è 2.

31 Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso limite. Siano a n e b n due successioni tali che lim a n = lim b n = l, allora se n n c n è una terza successione tale che a n < c n < b n per ogni n N, lim c n = l n

32 Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso limite. Siano a n e b n due successioni tali che lim a n = lim b n = l, allora se n n c n è una terza successione tale che a n < c n < b n per ogni n N, lim c n = l n Un ragionamento analogo può essere fatto per le successioni divergenti: se a n è una successione divergente a + e c n è una successione tale che c n > a n per ogni n N, allora lim n c n = +

33 La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n N. E definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante;

34 La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n N. E definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a R è il valore iniziale della progressione e d R è quella che si chiama ragione della progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente: { a1 = a a n = a n 1 + d

35 La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n N. E definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a R è il valore iniziale della progressione e d R è quella che si chiama ragione della progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente: { a1 = a Possiede una forma analitica: a n = a n 1 + d a 1 = a a 2 = a + d a 3 = (a + d) + d = a + 2d a 4 =(a + 2d) + d = a + 3d a n = a + (n 1)d

36 E chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto n vale a n, ovvero la somma dei primi n elementi della successione: k=1 n n n n a n = (a + (n 1)d) = a + d (n 1) k=1 k=1 k=1 k=1

37 E chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto n vale a n, ovvero la somma dei primi n elementi della successione: k=1 n a n = k=1 n (a + (n 1)d) = k=1 n a + d k=1 n (n 1) k=1 sfruttando la formula della somma dei primi n numeri naturali, n a + d k=1 n (n 1) = na + d k=1 n(n 1) 2 ( = n a + d n 1 ) = 2 ( ) 2a + (n 1)d n = n 2 2 (a + a + nd) = n 2 (a 1 + a n )

38 Abbiamo così ottenuto: n a n = n 2 (a 1 + a n ) k=1

39 Somma dei dispari Con tale formula possiamo mostrare che la somma dei primi numeri dispari è sempre un quadrato. Infatti, ponendo a = 1 e d = 2 come parametri della progressione aritmetica, otteniamo la sequenza a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, a 4 = 7,... cioè la sequenza di tutti i numeri dispari. Calcoliamo la somma dei primi n termini della progressione (utilizzando la formula vista sopra): n k=1 a k = n 2 (a 1 + a n ) = n (1 + (1 + 2(n 1))) = n2 2

40 Progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a R è il valore iniziale della progressione e q R è quella che si chiama ragione della progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente: { a0 = a a n = q a n 1

41 Progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a R è il valore iniziale della progressione e q R è quella che si chiama ragione della progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente: { a0 = a a n = q a n 1 Se elenchiamo i primi elementi della progressione ci accorgiamo che essa possiede una forma analitica: a 0 = a a 1 = a q 1 a 2 = (a q) q = a q 2 a 3 = a q 3 a n = a q n

42 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi:

43 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0

44 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0 se q = 1, allora lim n a n = 1

45 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0 se q = 1, allora lim n a n = 1 se q > 1, allora lim n a n = +

46 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0 se q = 1, allora lim n a n = 1 se q > 1, allora lim n a n = + se q = 1, la successione oscilla sempre tra 1 e 1.

47 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0 se q = 1, allora lim n a n = 1 se q > 1, allora lim n a n = + se q = 1, la successione oscilla sempre tra 1 e 1. se q < 1, la successione oscilla in modo illimitato tra e +.

48 Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: se q < 1, allora lim n a n = 0 se q = 1, allora lim n a n = 1 se q > 1, allora lim n a n = + se q = 1, la successione oscilla sempre tra 1 e 1. se q < 1, la successione oscilla in modo illimitato tra e +.

49 Progressione geometrica Somma dei primi termini E interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente: n k=0 q k = 1 qn+1 1 q

50 Progressione geometrica Somma dei primi termini E interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente: n k=0 q k = 1 qn+1 1 q Tale formula ci sarà utile quando dovremo stabilire il carattere della cosiddetta serie geometrica. Dimostriamola per induzione:

51 Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1 q1 1 q, abbiamo 1 ad entrambi i membri. Supponiamo ora che l ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che n+1 q k = 1 qn+2 1 q k=0

52 Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1 q1 1 q, abbiamo 1 ad entrambi i membri. Supponiamo ora che l ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che Partendo dal primo membro n+1 q k = 1 qn+2 1 q k=0 n+1 q k = k=0 n q k + q n+1 k=0

53 Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione per ipotesi induttiva n k=0 q k + q n+1 = 1 qn+1 1 q + q n+1 = 1 qn+2 1 q che è uguale al secondo membro e quindi l affermazione è provata.

54 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite):

55 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n

56 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) = a b n n n

57 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) = a b n n n a n se b n 0 per ogni n N, lim = lim n a n = a n b n lim n b n b

58 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) = a b n n n se b n 0 per ogni n N, lim n se c R, lim n c a n = c lim n a n = c a a n b n = lim n a n lim n b n = a b

59 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) = a b n n n a n se b n 0 per ogni n N, lim = lim n a n = a n b n lim n b n b se c R, lim c a n = c lim a n = c a n n se c R, lim n (a n) c = ( lim n a n ) c = a c

60 Siano a n e b n due successioni convergenti, in particolare lim n a n = a R e lim n b n = b R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite): lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) = a + b n n n lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) = a b n n n a n se b n 0 per ogni n N, lim = lim n a n = a n b n lim n b n b se c R, lim c a n = c lim a n = c a n n se c R, lim n (a n) c = ( lim n a n ) c = a c Questi calcoli non si possono generalizzare alle successioni divergenti.

61 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Forme indeterminate Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti:

62 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Forme indeterminate Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti: Tali forme sono indeterminate quando si pensa ad esse come comportamento di una successione cioè quando sono ottenute come limite della successione: la progressione geometrica a n = 1 n è una successione costante sempre uguale a 1, non è una forma indeterminata. Lo sarebbe stata se al posto( di 1 avessimo avuto una successione che tende a 1, come ad esempio ) n n che vedremo nella prossima sezione.

63 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0:

64 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0: Una successione a n si dice infinitesima se lim n a n = 0

65 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0: Una successione a n si dice infinitesima se lim a n = 0 n Esempi: lim n 1 n = 0, quindi a n = 1 n è una successione infinitesima. è una successione infinitesima. Dato α > 0 a n = 1 n α

66 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio:

67 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio: 4n 1. La successione a n = 4 + n + 1 2n per n molto grande, cioè si n 1 comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è divergente e quindi anche a n è divergente.

68 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio: 4n 1. La successione a n = 4 + n + 1 2n per n molto grande, cioè si n 1 comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è divergente e quindi anche a n è divergente. n La successione a n = 1 per n molto grande, cioè si n n comporta come una potenza di n di grado 1 2 che è infinitesima e quindi convergente a 0.

69 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione a n è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine a n e il suo successivo:

70 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione a n è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine a n e il suo successivo: a n+1 se lim = l < 1 allora la successione è infinitesima. n a n

71 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione a n è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine a n e il suo successivo: se lim n se lim n a n+1 a n a n+1 a n = l < 1 allora la successione è infinitesima. = l > 1 allora la successione è divergente.

72 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione a n è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine a n e il suo successivo: se lim n se lim n a n+1 a n a n+1 a n = l < 1 allora la successione è infinitesima. = l > 1 allora la successione è divergente. Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della successione.

73 Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione a n è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine a n e il suo successivo: se lim n se lim n a n+1 a n a n+1 a n = l < 1 allora la successione è infinitesima. = l > 1 allora la successione è divergente. Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della successione. Tale teorema ci permette di stabilire che a n = nα con c > 1 è infinitesima cn cioè una successione esponenziale va più velocemente all infinito di qualsiasi polinomio. Lo stesso si può fare per la successione a n = cn n!

74 Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la seguente: ( a n = ) n n

75 Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la seguente: ( a n = ) n n Esistono varie dimostrazioni che provano l esistenza del limite di questa successione, una di queste dimostrazioni prova che a n è limitata superiormente dal valore 3 e che è monotona crescente. Tale dimostrazione si può fare per induzione utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli e la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica.

76 Il fatto di sapere che il limite di questa successione esista non ci permette di trovarlo facilmente. L estremo superiore di tale successione infatti non è 3 ma il numero di Nepero e = 2, che viene definito proprio mediante: ( lim ) n := e n n

77 Il limite sopra citato è un limite notevole e si può scrivere in forma più generale nel modo seguente: data una successione a n tale che lim a n = + n allora vale ( lim ) an := e n a n

78 Consideriamo ad esempio la successione b n = quella iniziale nel modo seguente: b n = ( n ) n = [ ( n 2 ( n ) n si può ricondurre a ) n ] 2 2 e 2 per n Utilizzando il limite notevole e il criterio del rapporto per le successioni, si può provare anche che la successione a n = nn n! è divergente e che quindi nn va all infinito molto più velocemente di n!.

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