I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE)

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1 I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE) Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show some connections between Padovan s numbers and π =3,14 about successively ratio Riassunto In questo lavoro parleremo dei numeri di Padovan, appartenenti ad una serie simile alla serie di Fibonacci, e nota come figlia di Fibonacci Il rapporto successivo tra due numeri consecutivi di tale serie è 1,3247 che però, più che al numero aureo Ф = 1,618, 4 4 sembra più collegato, come vedremo, a π = 3,14=1,33 1,32. Da qui la probabile importanza di questa serie in natura, essendo anche π una costante matematica universale, presente in alcune 1

2 formule fisiche al pari di Ф Riportiamo qualche brano di lavori che la riguardano, per poi trarre le nostre conclusioni provvisorie, in attesa di eventuali approfondimenti in tale direzione. Dal sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/argoment/appunti/ TESTI/Giu_11/Successione-Padovan.htm : La successione di Padovan figlia della successione di Fibonacci Federico Peiretti Certo Leonardo Fibonacci non avrebbe mai pensato che la sua successione potesse avere un così gran successo. Ricordiamo i primi numeri di questa successione: 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Dove ogni termine è la somma dei due precedenti, tranne naturalmente i primi due. Se indichiamo il termine generico della successione con F(n), abbiamo: F(n+ 1) = F(n) + F(n - 1) dove F(0) = F(1) = 1, A studiarla a fondo fu Edouard Lucas, un matematico francese, dell Ottocento, professore di Liceo, che scriveva: L insegnamento scientifico dev essere allegro. vivo, divertente e non freddo, pesante e formale. Conserviamo la nostra autorità per gli appuntamenti universitari. Suo è il gioco della Torre di Hanoi e lo studio di questa celebre successione, in tutte le sue varianti. Una successione che i matematici hanno ritrovato in natura, nell arte e con mille 2

3 collegamenti in campi diversi. E le varianti sono infinite. Ad esempio, cambiando i due numeri iniziali: 2, 1, 3, 5, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... Oppure sommando i primi tre numeri, invece dei primi due: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355,... Sono numeri dalle proprietà straordinarie, sui quali sono stati scritti tanti volumi. Ma non è di questo che vogliamo occuparci. Vogliamo invece segnalare una nuova successione, figlia anch essa della successione di Fibonacci, scoperta di recente da Richard Padovan, un architetto inglese che, per la verità, ne attribuisce la paternità a Hans van der Laan ( ), un originale architetto e monaco benedettino olandese. Padovan la presentò in un suo saggio del 1994 e il matematico Ian Stewart la riprese nella sua rubrica su Scientific American nel Vediamo come si costruisce. Ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti, saltandone però sempre uno, prima di scrivere il risultato. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49,... Ad esempio, il settimo termine, 4 è la somma del quinto e del quarto termine, Il decimo termine, 9 è la somma dell ottavo e del settimo termine, Se indichiamo il termine generico della successione di Padovan con P(n), abbiamo: P(n + 1) = P(n - 1) + P(n - 2), con P(0) = P(1) = P(2) =1. Questa di Padovan, non è una successione così famosa come quella di Fibonacci, anche perché la sua scoperta risale a meno di vent anni fa, ma, come il numero d oro, ha importanti applicazioni in architettura e le sue proprietà sono già numerose e molto interessanti. Osserviamo innanzitutto che il rapporto tra due numeri successivi di Padovan tende a un numero ben preciso. In analogia con la successione di Fibonacci, per la quale il rapporto di due numeri successivi tende al numero d oro, in questo caso tende al numero plastico che indichiamo con r: 1, Per maggiori dettagli si rinvia al sito di Polimath indicato all inizio Da Wikipedia, invece, abbiamo, più brevemente La successione di Padovan è la successione di numeri naturali P(n) definita dai valori iniziali P(0) = P(1) = P(2) = 1 3

4 e dalla relazione ricorsiva P(n) = P(n 2) + P(n 3). I primi valori di P(n) sono: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265,... Nella OEIS di Neil Sloane la successione di Padovan ha la sigla A La successione prende il nome da Richard Padovan. Tale successione somiglia molto alla successione di p(n), i numeri di partizione p(n), connessa, insieme ai numeri di Fibonacci, ai numeri di Lie L(n) di forma 2T+1 =n^2+n+1, con T = numeri Triangolari, e quindi anche la serie di Padovan potrebbe avere anch essa una connessione con tali altre serie numeriche; che vedremo in una apposita tabella. Da Wikipedia, Partizioni di un numero La funzione di partizione indica, per ogni intero positivo n, il numero di partizioni esistenti per n. Per esempio, per quanto mostrato negli esempi, mentre La funzione partizione non è né moltiplicativa né additiva e cresce molto in fretta al crescere di n. Viene solitamente indicata con p(n). I primi valori di p(n), partendo da 0, sono: Padovan 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, (Sequenza A dell'oeis) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265,... Partizioni 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 4

5 Le due serie hanno alcuni numeri in comune nella parte iniziale, per esempio 1, 2, 3, 5, 7, mentre i numeri successivi divergono con differenze crescenti I primi numeri triangolari sono invece: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253 pure essi inizialmente vicini a quelli della serie di Padovan. Nella seguente Tabella confrontiamo tutte le serie sopra nominate: TABELLA 1 SERIE DI PADOVAN Partizioni di numeri Numeri Triangolari T 5 Numeri di Lie 2T+1 Numeri di Fibonacci F

6 , , , , ,136, 153, , , , , In grassetto rosso i numeri delle serie che coincidono Con quelli delle altre serie, in rosso le coppie di numeri che differiscono di una o due unità da quelli delle altre serie Come si vede, sono molte le coincidenze e le prossimità tra i numeri delle diverse serie, specialmente nella prima parte 3 e 21 sono quelli con maggiori coincidenze. Il rapporto tra un termine e il precedente, in tutte le serie è importante, perché potrebbe essere connesso a qualcuna delle note costanti matematiche. 6

7 Per esempio: 1,375 per le partizioni ( per la parte iniziale della serie, poiché alla fine tende a 1 per n tendente all infinito) 4 1,375 3,14 = 1,3311 1,375 1,3311 = 0,04 differenza soli 4 centesimi 32 1,375 0,331 =1,044 1,036 = 3, Quindi 1, 375 3, ,14 Analogamente : 1,3247 per la serie di Padovan 4 1,3247 3,14 = 1, ,3247 1,3311 = - 0,0064 differenza di soli 6 millesimi Per i numeri di Lie invece il rapporto non tende ad un numero fisso, ma, come per le partizioni, tende a 1, come da seguente calcolo: Calcolo 1 come per la partizioni p(n) 7

8 Numeri di Lie TABELLA 2 Rapporti successivi L(n)/L(n-1) Valori ottenuti 1 3 3/1 = 3 7 7/3= 2, /7= 1, /157= 1, /553= 1, /993 = 1,064 ( Lo stesso succede per le partizioni di numeri: p(n)/p(n-1) 1 al crescere di n) per esempio: partizioni di numeri p(n): 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, /56 = 1,375, 231/176 = 1,3125 ecc. 8

9 (con p(n)/p(n-1) 1 per n sempre più grandi) Come infatti si vede chiaramente, il rapporto successivo tra due numeri di Lie consecutivi tende a 1 al crescere di n (come del resto accade anche per le partizioni di numeri), per cui non c è un numero particolare, maggiore di 1, a cui tendere, come per esempio 1,618 per la serie di Fibonacci oppure 1,3247 come per i numeri di Padovan Fino a L(n) = 1057, prossimo a 1000, il rapporto è 1, che è circa 1,074 = 3,14, o meglio ancora 2,728=1,064 8 mentre per 1,618 abbiamo 1,061. Qui ci interessa però solo la serie di Padovan, con il rapporto successivo medio 1,3247 collegabile a: 4 1,3247 3,14 mentre con 1,618 avremo 9

10 8 1,3247 = 1, ,0527 1,333 = 1,618 + ( 1,618-1) 8 con ( 1,618-1) = 0,061 ; solo in questo caso i numeri della serie di Padovan potrebbero avere un significato in natura, essendo correlati a Ф =1,618; ma anche la relazione con π potrebbe essere interessante, essendo questa un altra costante matematica universale presente in alcune formule di fisica, come Ф. I rapporti successivi dei numeri di Lie L(n) e le partizioni p(n), pur essendo molto importanti in natura, al pari della serie di Fibonacci, invece tendono lentamente a 1 al crescere di n. Conclusioni Concludendo, possiamo ben dire che anche la serie di Padovan è una serie ricorsiva, o ricorrente, e anche per essa Vale quanto scritto in Rif. 1 sulla ricorsività, molto 10

11 importante in natura, poiché questa sembra servirsene per dare stabilità e anche regolarità a molti dei suoi fenomeni, nel cui studio fisico matematico appaiono molto spesso il numero Ф = 1,618, ma anche π = 3,14 ed e = 2,728. Quindi possiamo aspettarci che in qualche fenomeno naturale non ancora bene studiato a fondo, in seguito potrebbero apparire anche i numeri della serie di Padovan, anche e soprattutto con il loro numero 1,3247 (rapporto tra due termini successivi, e cioè P(n) / P(n-1) 1,3247), proprio come F(n)/F(n-1) 1,618 per i numeri di Fibonacci. Per i numeri di Lie L(n) e le partizioni di numeri p(n), come abbiamo visto, i rispettivi rapporti tra due termini consecutivi (il maggiore diviso il minore) tendono invece a 1, il che però non impedisce loro di essere altrettanto importanti in natura. 11

12 Riferimenti 1) Ricorsività (o ricorrenza) nelle somme di numeri particolari successivi (caso generale a, b) casi particolari a=b=1 (numeri di Fibonacci, F, e a=b=2 (le dimensioni coinvolte nelle teorie di stringa, 2F) (e relativi riferimenti finali) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, su questo sito 2) Prof. Oriana Pagliarone Strani numeri, paragrafo I numeri di Padovan dal sito numeri/primastraninumeri.htm 3) EXE per i numeri di Padovan, dal suddetto sito Padovan.com NOTA 1 Paradosso di Padovan Per il paradosso di Fibonacci, abbiamo che presa una terna di numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto dei due 12

13 numeri esterni è uguale al quadrato del numero centrale, +1 alternativamente. Per es. terna 3,5,8 abbiamo 3*8=24, 5^2 = 25 =24 +1 Terna successiva 5, 8, 13, con 5*13=65, 8^2 = 64 =65-1 Vediamo ora cosa succede per i numeri di Padovan: Per es. per terna 7, 9, 12 abbiamo 7*12=84, 9*9 =81 =84-3 Per la terna successiva 9, 12, 16 abbiamo invece 9*16= 144 = 12^2=144, con differenza nulla; per la terna ancora successiva 12, 16, 21 abbiamo 12*21= 252, 16 ^2= 256 =252 diff =4; la differenza tra quadrati e prodotti sembra aumentare al crescere della terna; ma vediamo meglio con un apposita tabella Ricordiamo la successione di Padovan 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, Tabella con terne, prodotti e quadrati e loro differenze 13

14 Terne successive Prodotti P tra i numeri esterni TABELLA 3 Quadrati Q dei numeri centrali Differenze consecutive P-Q 1, 1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 4, , 5, , 7, , 9, = 9 9, 12, , 16, = , 21, , 28, = - 28/4 28, 37, , 200, =14,1 Non c è quindi un andamento molto regolare delle differenze P - Q, ma un alternanza di piccoli numeri 14

15 negativi e positivi (con qualche raro zero), spesso uguali o prossimi alla radice quadrata del numero centrale della terna. Ma niente di veramente utile ad una migliore conoscenza della serie di Padovan. NOTA 2 Distribuzione logaritmica Circa la distribuzione logaritmica, evidenziamo che per la serie di Fibonacci abbiamo riscontrato, per ogni potenza di n di 10, 5n numeri di Fibonacci (per esempio fino a 10^4 ci sono circa 5*4= 20 numeri di Fibonacci (in effetti ce ne sono 21). Vediamo ora cosa succede per la serie di Padovan. Essendo più piccola la frequenza media ( 1,3247 contro 1,616) i numeri a(n) di Padovan sono più numerosi dei numeri a (n) di Fibonacci e dei numeri a (n) delle partizioni: 15

16 N 10^n P(n) TABELLA 3 F(n) p(n) a (n) 10n a (n) 5n a (n) 7n ? ? ? La stima logaritmica per i numeri di Padovan è dunque a(n) 10*Log N con i logaritmi decimali e a(n) 5*ln(N) con i logaritmi naturali, con leggero eccesso, infatti: N Log N*10 ln N*5 a(n) 10 1*10= 15 2,30*5= 11, *10=20 4,60*5= *10=30 6,90*5= *10=40 9,21*5=46, *10=50 11,51*5=57,

17 È possibile notare una maggiore precisione con la formula a(n) 10*Log(N), che con 5 *ln(n); in questo secondo caso, si hanno risultati migliori con 4,5*ln(N), per esempio 11,51*4,5 = 51,7, più vicino a 48 che 57,5 Ora si che c è qualche regolarità che ci permetterebbe, per esempio, di stimare il numero a(n) fino a , quindi con n = 9, che, moltiplicato per 10, fa 90, circa a(10^9), mentre per i numeri di Fibonacci avremmo 5*n = 5*9 = 45 circa a (N), il numero dei numeri di Fibonacci fino ad N = un miliardo, cosa che si potrebbe controllare con liste più grandi dei numeri di Fibonacci. Una nuova relazione (che si sappia) che lega i numeri di Padovan ai numeri di Fibonacci, è quindi a (N) 2*a(N). Mentre, rispetto al numero di partizioni, abbiamo che 17

18 essendo: 10*n > 7*n, e che 10/7 = 1,42, si ha che a(n) a(n)*1,42 p(n)* 2; Per esempio, per N=1000, p (1000) = 22, e 22*1,42 = 31,24 31 = a(1000); questo è l esempio migliore, gli altri si discostano leggermente da tale relazione, dando risultati comunque attendibili. 18