Teoria degli errori. Stefano Brocchi Stefano Brocchi Teoria degli errori 1 / 107

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1 Teoria degli errori Stefano Brocchi Stefano Brocchi Teoria degli errori 1 / 107

2 Errori ed incertezza Ogni qual volta eseguiamo una misura, dobbiamo aspettarci un errore sulla misura ottenuta Per errore non si intende uno sbaglio dello sperimentatore (o almeno, non solo) ma un incertezza inevitabile derivante dall intrisceca imprecisione del processo della misurazione Stefano Brocchi Teoria degli errori 2 / 107

3 Errori ed incertezza L incertezza deriva da molteplici fattori; uno di essi è che la misura reale di una quantità è un numero reale, possibilmente con infinite cifre decimali Una lunghezza di un oggetto non potrà essere mai esattamente, per esempio, 3 metri, ma potrà essere 3, metri Altri errori derivano per esempio dalle limitazioni dello strumento Misurando una lunghezza con un metro graduato, la precisione sarà limitata dalla graduazione del metro stesso Stefano Brocchi Teoria degli errori 3 / 107

4 Misurazioni Per eseguire correttamente una misura, occorre avere inoltre una definizione precisa di come deve essere fatta la misurazione Supponiamo di voler misurare la lunghezza di un tavolo con grande precisione. E possibile che il tavolo non sia perfettamente rettangolare, e lo sperimentatore ottenga risultati diversi a seconda del lato usato per la misurazione Altro esempio: definendo la lunghezza di una sbarra di metallo, questa dipenderà anche dalla temperatura dell ambiente Sebbene nella maggior parte delle misure questi problemi non diano effetti rilevanti, in situazioni particolarmente critiche può essere importante tenerne conto Stefano Brocchi Teoria degli errori 4 / 107

5 Misurazioni Una corretta definizione di come una misura deve essere fatta e delle condizioni ambientali che la possono alterare è importante per garantire la replicabilità della misura In ambito scientifico, se una misura può essere verificata tramite ulteriori misurazioni può essere considerata maggiormente affidabile Stefano Brocchi Teoria degli errori 5 / 107

6 Stima dell incertezza Ogni misura conterrà quindi un margine di incertezza Stimare tale incertezza è un obiettivo importante, in quanto ci consente di capire quanto siano validi i nostri risultati Una stima precisa non è semplice, e deve tenere conto di molteplici fattori descritti in seguito Stefano Brocchi Teoria degli errori 6 / 107

7 Incertezza come intervallo Per una misura, si dovrà specificare non un solo numero ma un intervallo, dove si è certi che la misura reale sia contenuta Un esempio di una misura di una lunghezza l può essere 22mm < l < 24mm Stefano Brocchi Teoria degli errori 7 / 107

8 Ripetizione di una misura Un primo metodo per stimare la grandezza di questo intervallo nel caso di una grandezza ripetibile, è di eseguire molte volte la misura Le misure minime e massime rappresentano una stima ragionevole degli estremi dell intervallo Esempio: ottenendo le misure (in mm) 23,22,25,23,24,25,23 otterremo 22mm < l < 25mm In seguito tramite metodi statistici vedremo come usare le molteplici misure per affinare la precisione Stefano Brocchi Teoria degli errori 8 / 107

9 Cause dell errore Alcune incertezze dipendono dalle limitazioni dello strumento di misurazione La precisione di ogni strumento è limitata, e solitamente è specificata dal produttore Per esempio, in una bilancia potrebbe essere specificato che per ogni kg è previsto un errore fino a 10g Delle incertezze possono anche essere introdotti da errori di lettura Molti altri tipi di errore possono nascere da condizioni ambientali che creano un disturbo Es. nel misurare l intensità di un suono, si può venir influenzati dal rumore di fondo Stefano Brocchi Teoria degli errori 9 / 107

10 Riduzione dell errore su molte misure Ottenere molte misure è un artificio spesso utilizzato per minimizzare l errore Molto utile quando la quantità da misurare è piccola Esempio: un metro ha tacche ogni millimetro, rendendo 1mm il margine di errore minimo. Dovendo misurare lo spessore di un foglio (<< 1mm), questo sarebbe molto più grande della misura stessa. Soluzione: misurare 100 fogli impiliati, in modo che l errore di 1mm si riduca di 100 volte nel calcolo dello spessore di un singolo foglio Stefano Brocchi Teoria degli errori 10 / 107

11 Notazione per intervalli di errore L intervallo dentro cui cade la misura si rappresenta nella forma x ±δx Consideriamo δx sempre positivo, gli errori in negativo sono comunque considerati grazie al simbolo ± x rappresenta la migliore stima della misura, mentre δx la nostra incertezza Nell esempio precedente: 22mm < l < 25mm l = 23,5±1,5mm Stefano Brocchi Teoria degli errori 11 / 107

12 Cifre significative La precisione di una quantità viene spesso indicata anche tramite le sue cifre significative Il numero di cifre definisce la precisione, considerando che quelle non specificate non sono note Esempio: 3, 56m ha tre cifre significative, ed il numero specifica che la quantità di metri, decimetri e centimetri sono noti (3, 5 e 6), mentre il numero di millimetri no Quantità variabile almeno da 3,555 a 3,565 metri In alcune notazioni, l intervallo rappresentato va addirittura da 3,55 a 3,57 In questa notazione, il numero 3,0 è diverso dal numero 3, in quanto rappresenta una maggiore precisione Stefano Brocchi Teoria degli errori 12 / 107

13 Operazioni con cifre significative Quando si eseguono somme e sottrazioni tra numeri con un numero diverso di cifre significative, il risultato dovrà avere un numero di cifre pari all operando meno preciso Esempio: 3,45+2,0332s = 5,48s Usando dei calcolatori, possono venir restituite molte cifre che poi dovranno venir scartate Per esempio, l operazione 4,3/3 restituirà 1, , ma sarà necessario scrivere il risultato come 1, 4 Stefano Brocchi Teoria degli errori 13 / 107

14 Cifre significative vs intervalli Generalmente la notazione x ± δx consente una specificazione più precisa dell intervallo di errore Sebbene la notazione a cifre significative possa essere comoda in alcune situazioni, non verrà usata nel seguito Stefano Brocchi Teoria degli errori 14 / 107

15 Misure compatibili Un altro concetto importante riguarda la compatibilità di due misure Due misure si dicono compatibili se esiste un valore che rientra in entrambi gli intervalli delle misure Esempio: le due misure 10cm±2cm e 7cm±2,5cm sono compatibili, perché le misure tra 8cm e 9, 5cm soddisfano entrambi gli intervalli Al contrario, le due misure 10cm±1cm e 7cm±1,5cm non sono compatibili, perché la prima indica che la misura vera al minimo vale 9cm, mentre la seconda dice che al massimo vale 8,5cm La differenza tra le migliori stime delle due misure si dice discrepanza Tra 10cm±2cm e 7cm±2,5cm la discrepanza è di 3cm Stefano Brocchi Teoria degli errori 15 / 107

16 Misure compatibili: esempio Vediamo alcuni altri esempi di coppie di misure compatibili e non cm 5 4 Misure compatibili (2,9 + 0,8) cm Misure non compatibili (2,9 + 0,4) cm Misure compatibili 3 (2,3 + 0,4) cm 2 1 (1,6 + 0,5) cm (1,6 + 0,5) cm 0 (1,6 + 1) cm Stefano Brocchi Teoria degli errori 16 / 107

17 Misure non compatibili In un esperimento scientifico, trovare due misure non compatibili rappresenta un problema: sicuramente c è stato un errore nel processo di misurazione In alcuni casi, potrebbe essere stata semplicemente sottostimata l incertezza In questi casi potrebbe essere necessario scartare le vecchie misure, individuare l errore e ripetere le misurazioni dall inizio Stefano Brocchi Teoria degli errori 17 / 107

18 Precisione e compatibilità In un esperimento quindi è necessaro innanzitutto eseguire misurazioni in modo che il margine di errore sia minimo, ma occorre valutare attentamente quale sia l errore massimo che possiamo ottenere In caso contrario, da un lato si rischia di ottenere misure poco significative (con margini di errore troppo grandi), dall altro si potrebbero ottenere misure incompatibili che invalidano l esperimento Stefano Brocchi Teoria degli errori 18 / 107

19 Compatibilità con relazioni In alcuni casi può essere necessario verificare se una serie di misure sono compatibili con una legge fisica Immaginiamo per ora di voler verificare una relazione di proporzionalità diretta Un semplice esempio: presupponiamo che un oggetto si muova a velocità costante, e verifichiamo innanzitutto che lo spazio percorso sia proporzionale al tempo Misuriamo lo spazio percorso ad intervalli regolari, per verificare la formula s = vt Se le misure risultano compatibili con la formula, possiamo stimare la velocità v, altrimenti possiamo supporre che la nostra ipotesi sia errata ed il corpo sia soggetto ad accelerazione Stefano Brocchi Teoria degli errori 19 / 107

20 Compatibilità con relazioni Vediamo un esempio di alcune misure dove le barre rappresentano i relativi intervalli 4m 3m 2m 1m s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s t Stefano Brocchi Teoria degli errori 20 / 107

21 Compatibilità con relazioni Un modo per verificare la compatibilità, è di rappresentare le misure su di un grafico con le rispettive barre di errore Essendo tutte le misure soggette ad errore, è inverosimile pensare che i punti ottenuti siano perfettamente allineati Se può essere tracciata una retta che tocca tutte le barre, le misure sono compatibili con l ipotesi di proporzionalità, ed il coefficiente angolare della retta è una possibile costante di proporzionalità Nell esempio, il coefficiente angolare è una possibile velocità Stefano Brocchi Teoria degli errori 21 / 107

22 Compatibilità con relazioni Nell esempio, una retta compatibile con tutte le misure può essere facilmente tracciata 4m 3m 2m 1m s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s t Stefano Brocchi Teoria degli errori 22 / 107

23 Verifica grafica di compatibilità Generalmente, l incertezza è relativa ad entrambe le quantità nel grafico (sia ordinate che ascisse) Nell esempio, avremo un margine di errore sia nel misurare lo spazio percorso che l istante di tempo in cui lo misuriamo Nel grafico, l incertezza nelle due direzioni si rappresenta o con delle croci o con dei rettangoli Nel verificare relazioni di proporzionalità, la retta dovrà toccare almeno un punto all interno di ogni rettangolo Stefano Brocchi Teoria degli errori 23 / 107

24 Relazioni non lineari e compatibilità Nel caso in cui la relazione tra le due misure non sia lineare ma quadratica, risulta più complesso verificare se per tutti gli intervalli passa una parabola Soluzione: cambiare la scala in modo da rappresentare una quantità al quadrato, in modo che la relazione continui a essere rappresentata con una retta Lo stesso ragionamento può essere applicato a altre possibili relazioni (spesso usata per esempio la scala esponenziale) Stefano Brocchi Teoria degli errori 24 / 107

25 Compatibilità con relazioni: esempio Vediamo un grafico rappresentante una relazione che dovrebbe risultare quadratica, quindi rappresentabile con una parabola 4m 3m 2m 1m s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s t Stefano Brocchi Teoria degli errori 25 / 107

26 Compatibilità con relazioni: esempio Rappresentando nell asse x il tempo al quadrato, possiamo verificare la relazione di nuovo tracciando una retta compatibile con tutti gli intervalli 4m 3m 2m 1m s 2 1s 4s 2 9s s 25s 36s 49s 2 64s t 2 Stefano Brocchi Teoria degli errori 26 / 107

27 Compatibilità con relazioni: esempio Rappresentando nell asse x il tempo al quadrato, possiamo verificare la relazione di nuovo tracciando una retta compatibile con tutti gli intervalli 4m 3m 2m 1m s 1s24s 2 9s2 2 16s 25s2 36s2 49s2 64s2 t 2 Stefano Brocchi Teoria degli errori 26 / 107

28 Errori relativi In molti casi, la precisione del nostro intervallo di incertezza non può essere valutata in senso assoluto dal mero errore su di essa Un margine di errore è buono o meno buono a seconda della grandezza stessa della misura Un errore di 1 m su una lunghezza di 1 km potrebbe essere buono, mentre su 10 o 20 metri potrebbe risultare come un errore abbastanza grande Stefano Brocchi Teoria degli errori 27 / 107

29 Errori relativi Definito per questo l errore relativo, dato dalla formula δx/ x x è specificato in valore assoluto in modo da avere errori relativi sempre positivi Si può specificare l errore relativo nella notazione standard degli intervalli di errore Esempio: 2m±5% corrisponde a 2m±(2m 5%) = 2m±0.1m Stefano Brocchi Teoria degli errori 28 / 107

30 Errori relativi e cifre significative Nella notazione a cifre significative, si può fare una stima dell errore relativo a partire dal numero di cifre significative Il numero di cifre significative va contato partendo dalla prima cifra diversa da zero e procedendo verso destra Esempi: 38,2 ha 3 cifre significative, 34,50 ne ha 4, 0,0825 ne ha 3. Stefano Brocchi Teoria degli errori 29 / 107

31 Errori relativi e cifre significative L incertezza relativa, detto c il numero di cifre significative, varia tra 10%/10 c 1 e 100%/10 c 1 Alcuni esempi, dove si verificano queste due condizioni agli estremi Esempio con 1 cifra significativa: 1 rappresenta un intervallo che arriva fino a 1, (errore: 0, su 1 = 100%) 9 rappresenta un intervallo che arriva fino a 9, (errore: 0, su 9 uguale circa al 10%) Con 3 cifre: 1,00 può reppresentare fino a 1, , con un errore di 0,01 su 1, quindi dell 1% Con 3 cifre: 9,99 può reppresentare fino a 9, , con un errore di 0,01 su 9,99, quindi dello 0,1% Per semplificare e dare una formula che non dipende dal numero (ma molto meno precisa), si può stimare un errore medio pari a 30%/10 c 1 Stefano Brocchi Teoria degli errori 30 / 107

32 Propagazione dell errore Un ulteriore problema con le incertezze nelle misure è che dovendo eseguire dei calcoli, le incertezze possono propagarsi ed aumentare ad ogni calcolo Dover eseguire calcoli sulle misure ottenute è comune, necessario per esempio in qualsiasi misura indiretta Capire come le incertezze si propagano consente di calcolare quanta precisione è necessaria nelle misurazioni per ottenere un margine di errore accettabile nel risultato finale Stefano Brocchi Teoria degli errori 31 / 107

33 Propagazione dell errore: esempio Supponiamo di voler effettuare la somma tra due misure con errore Prendiamo a = (16,3±0,5)kg e b = (15,4±0,3)kg La somma dei due pesi vale al minimo (16,3 0,5)kg +(15,4 0,3)kg = 15,8kg +15,1kg = 30,9kg La somma dei due pesi vale al massimo (16,3+0,5)kg +(15,4+0,3)kg = 16,8kg +15,7kg = 32,5kg Quindi a+b = (31,7±0,8)kg: eseguendo la somma, l incertezza è aumentata rispetto ai due addendi Stefano Brocchi Teoria degli errori 32 / 107

34 Propagazione in somme e sottrazioni La regola che definisce formalmente la propagazione dell errore in somme e sottrazioni è quindi che le incertezze degli addendi si sommano per ottenere quella del risultato Se q = x +y +z +..., allora δq = δx +δy +δz +... Una facile verifica: il valore minimo per q potrà essere x +y +z +... δx δy δz..., mentre il valore massimo potrà essere x +y +z +...+δx +δy +δz +..., da cui la formula data Stefano Brocchi Teoria degli errori 33 / 107

35 Propagazione in prodotti e divisioni La regola che stabilisce come si propagano gli errori nei prodotti viene ottenuta in modo un po più complesso, e coinvolge delle approssimazioni Condideriamo un generico prodotto (x ±δx) (y ±δy), di cui il risultato senza considerare l errore sarà q = x y (x±δx) (y ±δy) = xy ±yδx±xδy ±δyδx = q±yδx±xδy ±δyδx Quindi δq = yδx +xδy +δyδx Non abbiamo ancora ottenuto un espressione facilmente applicabile Stefano Brocchi Teoria degli errori 34 / 107

36 Propagazione in prodotti e divisioni Di fatto, otteniamo un espressione più semplice calcolando l errore relativo δq/q δq/q = yδx/q +xδy/q +δyδx/q = yδx/xy +xδy/xy +δyδx/xy = δx/x +δy/y +(δy/y)(δx/x) Considerando gli errori relativi (δx/x e δy/y) come numeri piccoli, il loro prodotto sarà trascurabile rispetto al loro valore Es. con δx/x = δy/y = 0,01 = 1%, δx/x δy/y = 0,0001 = 0,01% << δx/x Per semplificare, con una piccola approssimazione rimuoviamo (δy/y)(δx/x) dall equazione Stefano Brocchi Teoria degli errori 35 / 107

37 Propagazione in prodotti e divisioni Otteniamo δq/q = δx/x +δy/y La regola quindi dice che l errore relativo sul risultato finale è uguale alla somma degli errori relativi sui moltiplicandi Es. (10±4%) (12±6%) = 120±10% = 120±12 Se gli errori sono dati in assoluto, occorrerà convertirli Es. (16±2) (10±1) = (16±12, 5%) (10±10%) = 160±22, 5% = 160±36 Stefano Brocchi Teoria degli errori 36 / 107

38 Propagazione in elevamenti a potenza Iterando la regola per la moltiplicazione, si ottiene la regola per l elevamento a potenza Se q = x n, allora δq/q = n δx/x La regola vale anche per n frazionario, utile considerando che x = x 1/2 Vediamo una semplice riprova senza dimostrazione q = (30,5±5,5) = (30,5±18%), q (30,5 5,5) = 25 = 5, q (30,5+5,5) = 36 = 6, q = 5,5±0,5 = 5,5±9% Stefano Brocchi Teoria degli errori 37 / 107

39 Gestione della propagazione degli errori Consideriamo cosa succede quando eseguiamo calcoli tra misure con errore e valori senza incertezza Questo può succedere quando un numero non è dato da una misura ma deriva magari da una formula Es. volendo calcolare l area di un triangolo da base e altezza. nella formula A = b h/2, 2 è un numero esatto Una quantità può anche essere considerata in buona approssimazione esatta quando la sua precisione è molto maggiore dell altro operando Es. utilizzando formule che coinvolgono il valore dell accelerazione di gravità, possiamo ottenere per questa valori con errori talmente piccoli da poter essere spesso trascurati Stefano Brocchi Teoria degli errori 38 / 107

40 Operazioni con numeri esatti Nel caso di somme e sottrazioni, l errore assoluto resta uguale Es. (8,2±0,5)+2 = 10,2±0,5 Nel caso di moltiplicazioni e divisioni, l errore relativo resta uguale Es. (10±10%) 2 = 20±10% L errore assoluto può aumentare o diminuire: (10±2) 2 = 20±4, mentre (10±2)/2 = 5±1 Stefano Brocchi Teoria degli errori 39 / 107

41 Operazioni con numeri esatti Nel caso si debbano eseguire diversi calcoli consecutivi, l errore dovrà essere propagato ad ogni operazione L ordine di questa propagazione passo per passo corrisponde a quello delle operazioni Es. per d = a (b +c) il procedimento corretto per il calcolo dell errore sarà: δ(b +c) = δb +δc (errore assoluto su b +c) Calcolare δ(b +c)/(b +c) (errore relativo su b +c) δd = δa/a+δ(b +c)/(b +c) (l errore complessivo corrisponde alla somma dei due errori relativi) Stefano Brocchi Teoria degli errori 40 / 107

42 Un altro approccio Vista la propagazione degli errori, è necessario cercare di minimizzare il numero di calcoli che da queste ottengono il risultato finale Se gli errori sono indipendenti tra di loro e casuali (caratteristiche non sempre facili da verificare), vedremo che l incertezza da considerare può essere minore di quella ricavata applicando le formule viste Stefano Brocchi Teoria degli errori 41 / 107

43 Somma in quadratura degli errori Sotto le ipotesi citate (indipendenza e casualità degli errori), eseguendo delle somme l errore si può stimare come x = a+b +c +... δx = (δa) 2 +(δb) 2 +(δc) Si ottengono così errori sempre minori che con la formula vista precedentemente (δa) 2 +(δb) 2 +(δc) < δa+δb +δc +... Ricordarsi che si assume che le quantità δa,δb,δc,... siano sempre positive Stefano Brocchi Teoria degli errori 42 / 107

44 Somma in quadratura degli errori Una regola analoga si può utilizzare per somme e sottrazioni x = a b c... δx/x = (δa/a) 2 +(δb/b) 2 +(δc/c) Anche in questo caso, si ottengono così errori sempre minori che con la formula vista precedentemente (δa/a) 2 +(δb/b) 2 +(δc/c) < δa/a+δb/b +δc/c +... Stefano Brocchi Teoria degli errori 43 / 107

45 Somma in quadratura: esempio Vediamo un esempio con confronto tra i due metodi sulla somma di tre pesi a = (50±5)kg, b = (80±2)kg, c = (70±1)kg, x = a+b +c =? Il valore medio per a+b +c risulta 200kg Con il primo metodo (somma degli errori) si ottiene δx = (5+2+1)kg = 8kg Con il secondo metodo (somma in quadratura) si ottiene δx = kg = kg = 30kg 5,5kg Stefano Brocchi Teoria degli errori 44 / 107

46 Somma in quadratura: giustificazione Utilizzando la somma in quadratura, si tende a considerare maggiormente l errore (o gli errori) maggiori e a trascurare quelli più piccoli Metodologia meno rigida: si calcola un intervallo in cui molto probabilmente il risultato sarà contenuto Con l altra metodologia, assumendo che gli operandi siano contenuti nei rispettivi intervalli, il risultato sarà sicuramente contenuto nell intervallo calcolato Giustificazione: essendo gli errori indipendenti e casuali, in parte tenderanno a bilanciarsi a vicenda In altre parole, i valori reali dagli operandi saranno, con buona probabilità, a volte maggiori e a volte minori del valore medio Stefano Brocchi Teoria degli errori 45 / 107

47 Errori casuali e sistematici Tornando alle misurazioni, si definiscono due tipi di errori, la cui somma darà l errore totale su ogni misura Gli errori sistematici sono quelli che si ripetono sistematicamente ad ogni misura effettuata Sono solitamente legati a cause di errore intrinseche nel processo di misurazione Esempio: consideriamo un metro graduato lungo un 1% più del necessario (quindi dove c è la tacca corrispondente a 1m, in realtà la lunghezza sarà 1, 01m) Ogni misura fatta con questo metro sarà inevitabilmente sottostimata Gli errori sistematici comprendono quindi anche quelli dovuti ad errori umani nella definizione della procedura di misurazione e calcolo Stefano Brocchi Teoria degli errori 46 / 107

48 Errori casuali e sistematici Gli errori casuali variano di misurazione in misurazione in modo non prevedibile Ci si aspetta solitamente che con uguale probabilità causino sovrastime e sottostime Generati da imprecisioni legate alla singola misurazione Es. rumori di fondo variabili o errori di lettura dello strumento Stefano Brocchi Teoria degli errori 47 / 107

49 Errori casuali e analisi statistica La distinzione è molto importante, in quanto con un numero sufficiente di misure è possibile individuare gli errori casuali Metodologia detta di analisi statistica Necessario che una misura sia ripetuta molte volte Gli errori sistematici non sono rilevabili, ed è quindi importante stimarne la grandezza in modo accurato Per quanto riguarda i vari strumenti, solitamente una stima degli errori sistematici compiuti è fornita dal produttore Stefano Brocchi Teoria degli errori 48 / 107

50 Errori casuali e sistematici: esempio Vediamo degli esempi di errori casuali e sistematici più o meno grandi Errori sistematici piccoli Errori sistematici grandi Errori casuali piccoli Valore vero misurazione Valore vero Errori casuali grandi Valore vero Valore vero Stefano Brocchi Teoria degli errori 49 / 107

51 Errori casuali e sistematici: esempio Senza conoscere il valore vero della misura, non possiamo sapere se ci sono stati errori sistematici, ma a seconda della distribuzione delle misure ci si può fare un idea degli errori casuali Errori sistematici? Errori sistematici? Errori casuali piccoli Errori casuali grandi Stefano Brocchi Teoria degli errori 50 / 107

52 Errori casuali e analisi statistica Consideriamo quindi di poter effettuare molte misurazioni di una quantità Vogliamo sfruttare il grande numero di misurazioni per stimare al meglio il valore vero di tale quantità Desideriamo minimizzare l errore (casuale), ed avere una quantificazione accurata dell errore stesso Chiameremo le varie misurazioni x 1,x 2,...,x n Stefano Brocchi Teoria degli errori 51 / 107

53 Media come stima migliore Come si può intuire, la stima migliore per la misura è la media delle misurazioni x = ( i x i)/n Un semplice esempio: date le misurazioni 54,56,55,54,55,57,54 la nostra stima migliore della misura è ( )/7 = 385/7 = 55 Stefano Brocchi Teoria degli errori 52 / 107

54 Precisione della stima tramite media Più complessa risulta la stima di quanto valga l errore casuale Il principio utilizzato, informalmente, è il seguente: la misura sarà tanto più precisa, tanto più le singole misure si avvicinano alla media Immaginiamo che la media valga 100, e che anche tutte le misure risultino uguali a 100: siamo pressoché sicuri che questo è il valore corretto Se avessimo invece, con la stessa media, misure molto distanti da questo valore, dovremo stimare una precisione più bassa Stefano Brocchi Teoria degli errori 53 / 107

55 Scarto medio Calcolando la differenza tra una misura e la media si ottiene il cosidetto scarto Non si può utilizzare la somma degli scarti per stimare la distanza delle misure dalla nostra stima: per definizione di media, quest operazione restituisce sempre 0 Nell esempio precedente (media 55, misure 54,56,55,54,55,57,54): = = 0 In termini forse un po semplicistici, questo accade perché la media è una quantità centrata rispetto alle misure Stefano Brocchi Teoria degli errori 54 / 107

56 Deviazione standard Vengono quindi considerati gli scarti elevati al quadrato La quantità che misura la distanza dei valori x i dalla media si chiama deviazione standard o σ x Perché la deviazione standard sia dello stesso ordine di grandezza degli scarti, viene estratta la radice dalla somma dei quadrati La formula risulta quindi σ x = (xi x) 2 /n Stefano Brocchi Teoria degli errori 55 / 107

57 Deviazione standard Questa definizione per la deviazione standard, di cui è stata data solo una giustificazione informale, conferisce a σ x proprietà fondamentali descritte in seguito A causa dell elevamento al quadrato degli scarti, grandi distanze dalla media hanno grande peso nella sommatoria Senza estrarre la radice quadrata, si otterrebbe un altra quantità fondamentale della distribuzione detta varianza (σ 2 x) Stefano Brocchi Teoria degli errori 56 / 107

58 Deviazione standard: formula perfezionata Di fatto, la deviazione standard è spesso calcolata con una formula lievemente diversa, che divide gli errori quadratici per n 1 invece che per n: σ x = (xi x) 2 /(n 1) Non approfondiamo la motivazione esatta Si può osservare che per n = 1, si ottiene il rapporto indeterminato 0/0 Risultato coerente con il significato di σx : con una sola misura, non si può determinare uno scarto medio Per un grande numero di misure, che effettivamente dovrebbero essere fatte, si ottengono comunque differenze molto piccole tra le formule Per distinguere i due valori, il primo si chiama deviazione standard della popolazione, il secondo deviazione standard del campione Stefano Brocchi Teoria degli errori 57 / 107

59 Deviazione standard: esempio Calcoliamo la deviazione standard relativa all ultimo esempio, usando le due formule: Riepilogando i dati sono x = 55, x 1,...,x n = 54,56,55,54,55,57,54 σ x = ((54 55) 2 +(56 55) 2 +(55 55) )/7 = ( )/7 = 8/7 1,14 1,07 Con la seconda formula: σ x = 8/6 1,67 1,29 Stefano Brocchi Teoria degli errori 58 / 107

60 Deviazione standard dalla media Come utilizzare σ x per stimare un intervallo dove è contenuta la misura vera? Per questo scopo, si può usare la deviazione standard dalla media (SDOM) Quantità rappresentata con il simbolo σ x definita come σ x = σ x / n L intervallo di errore della misura può essere definito come x ±σ x Secondo il concetto di confidenza descritto in seguito, l intervallo è valido con una confidenza del 68%; utilizzando 2σ x si ottiene una confidenza del 95% Stefano Brocchi Teoria degli errori 59 / 107

61 Deviazione standard dalla media: proprietà La SDOM decresce quindi con il numero di misurazioni Questo viene fatto in modo da ottenere valori minori per un numero maggiore di misure, che garantiscono una stima più precisa La divisione viene fatta per la radice di n, e questo vuol dire che la precisione cresce lentamente con il numero di misurazioni Per dimezzare l errore, occorre eseguire il quadruplo delle misurazioni La definizione della SDOM ed il suo utilizzo descritto derivano da proprietà matematiche di cui non approfondiremo l analisi Stefano Brocchi Teoria degli errori 60 / 107

62 Deviazione standard dalla media: esempio Rivediamo l esempio con dati x = 55, x 1,...,x n = 54,56,55,54,55,57,54, σ x = 1,29 Calcoliamo la SDOM: σ x = σ x / 7 = 1,29/ 7 = 1,29/2,65 0,5 Grazie alle proprietà viste, possiamo stimare la misura come 55±0,5 Stefano Brocchi Teoria degli errori 61 / 107

63 Deviazione standard dalla media: esempio Supponendo che prendendo altre misure la deviazione standard resti uguale, quante ne dovremmo prendere per avere δx 0,1? Imponiamo σ x = σ x / n = 1,29/ n 0,1, cerchiamo n Otteniamo n 1,29/0,1 = 12,9, quindi n (12,9) 2 166,41 Dobbiamo prendere almeno 167 misure Richiedendo una precisione circa 5 volte maggiore (da circa 0,5 a 0,1), abbiamo bisogno approssimativamente di 5 5 volte più misure (7 5 5 = 175) Stefano Brocchi Teoria degli errori 62 / 107

64 Combinazione di errori casuali e sistematici Tutte le procedure viste per gestire gli errori casuali non possono essere utilizzate per ridurre gli errori sistematici L errore finale su una quantità sarà quindi rappresentato dalla somma dell errore casuale e di quello sistematico Detti δx c e δx s, l intervallo di errore sarà x ±(δx c +δx s ) Stefano Brocchi Teoria degli errori 63 / 107

65 Gestione errori sistematici Dal momento che gli errori sistematici non possono essere ridotti tramite metodi statistici, è necessario predisporre gli strumenti in modo che questi siano ridotti al minimo Usare strumenti ad alta precisione ed assicurarsi che siano calibrati e tarati attentamente Effettuando un numero molto grande di misurazioni, si può far tendere a zero l errore casuale, ma questo risulterebbe inutile se l errore sistematico fosse grande Stefano Brocchi Teoria degli errori 64 / 107

66 Riepilogo: media, deviazione standard, SDOM Riepilogando le principali formule viste: x = x i /n è la media, il valore centrale rispetto alle misure La nostra stima della misura sarà x ±δx per un certo δx σ x = (xi x) 2 /(n 1) è la deviazione standard, una quantificazione di quanto le misure si discostano dalla media σ 2 x è detta varianza σ x = σ x / n è la deviazione standard dalla media (SDOM) Può essere utilizzata come stima di δx per gli errori casuali L errore totale si calcola sommando errore casuale e sistematico: δx = δx c +δx s Stefano Brocchi Teoria degli errori 65 / 107

67 Analisi degli errori, sperimentazioni e statistica Vedremo adesso dei richiami di alcune proprietà studiate in statistica Astraiamo momentaneamente dal concetto di misura e di errore sulla misura; trattiamo invece lo studi di processi casuali generici Di fatto, un errore casuale di misurazione è esattamente un processo casuale Stefano Brocchi Teoria degli errori 66 / 107

68 Conteggio per frequenze Una distribuzione di numeri può essere rappresentata con un istogramma (diagramma a barre) Per ogni valore nella distribuzione, l altezza della barra rappresenta la frequenza delle sue occorrenze Chiamiamo n i il numero delle occorrenze del valore x i, ed N il numero totale di occorrenze per ogni valore Notazione diversa da quella vista precedentemente: non ammettiamo ripetizioni fra gli x i, ma in compenso ne contiamo le occorrenze in n i Per i valori 54,56,55,54,55,57,54, si ottiene x 1 = 54,n 1 = 3,x 2 = 55,n 2 = 2,x 3 = 56,n 3 = 1,x 4 = 57,n 4 = 1 Stefano Brocchi Teoria degli errori 67 / 107

69 Istogrammi Nell istogramma, rappresentiamo nelle ascisse gli x i e nelle ordinate n i /N 3/7 2/7 1/ Stefano Brocchi Teoria degli errori 68 / 107

70 Media come somma pesata Chiaramente vale n i /N = 1 Scegliendo a caso un valore x i da quelli iniziali, x i /n i rappresenta la probabilità che sia selezionato x i Partendo da questi x i ed n i, si può ottenere la media effettuando una somma pesata: x = ( (x i n i /N)) Stefano Brocchi Teoria degli errori 69 / 107

71 Distribuzione di Gauss Per lo studio delle proprietà dei valori studiati, è importante capire come generalmente dobbiamo aspettarci che questi siano distribuiti La distribuzione che descrive la quasi totalità dei fenomeni casuali che ci capita di affrontare è la distribuzione detta Gaussiana o normale Vediamo innanzitutto perché questa distribuzione descrive eventi generati da una combinazione di processi casuali; daremo poi una giustificazione del perché possa essere utilizzata in ambiti che possono apparire diversi Stefano Brocchi Teoria degli errori 70 / 107

72 Esempio: lancio di un dado Consideriamo un semplice esempio di processo casuale: il lancio di un dado La probabilità dei valori da 1 a 6 sarà equamente distribuita tra i possibili valori Il risultato medio (anche detto atteso) è di 3,5, media dei sei possibili valori Di tutte le distribuzioni dove valori vicini alla media debbano essere non meno probabili di quelli più distanti, la varianza (e quindi la deviazione standard) è massima Stefano Brocchi Teoria degli errori 71 / 107

73 Esempio: lancio di un dado Vediamo l istogramma per le probabilità del lancio di un dado: 1/ Stefano Brocchi Teoria degli errori 72 / 107

74 Lancio di due dadi Consideriamo il lancio di due dadi e la somma dei valori ottenuti Il risultato atteso è 3,5 2 = 7 La probabilità non è più uniformemente distribuita: abbiamo probabilità 1/6 di ottenere il valore medio 7 e solo 1/36 di ottenere uno dei valori agli estremi (2 o 12) Stefano Brocchi Teoria degli errori 73 / 107

75 Esempio: lancio di due dadi Vediamo l istogramma per le probabilità del lancio di due dadi: 1/6 5/36 4/36 3/36 2/36 1/ Stefano Brocchi Teoria degli errori 74 / 107

76 Lancio di due dadi: osservazioni 6 combinazioni di lanci ci danno un totale di 7 (1 e 6, 2 e 5,...), ma solo una ci restituisce il valore 2 (1 e 1) Essendo ogni combinazione equiprobabile, la probabilità di ottenere 7 è 6 volte maggiore di quella di ottenere 2 Stefano Brocchi Teoria degli errori 75 / 107

77 Lancio di quattro dadi Iteriamo il procedimento per construire la distribuzione di valori per il lancio di 4 dadi In questo caso, le probabilità tendono ad accumularsi vicino al valore medio (14), ed i valori agli estremi diventano sempre meno probabili Stefano Brocchi Teoria degli errori 76 / 107

78 Esempio: lancio di due dadi Vediamo l istogramma per le probabilità del lancio di 4 dadi: 11,3% 8,0% 4,3% 0,8% Stefano Brocchi Teoria degli errori 77 / 107

79 Lancio di molti dadi: proprietà La probabilità di ottenere esattamente il valore medio è minore di quella con due dadi (11,3% contro 16,7%) Essendo possibili molti più valori, anche la probabilità di ottenere il risultato più probabile scende Calcoliamo tuttavia quanto è la probabilità che il valore ottenuto v da un lancio rientri nell intervallo x (1/7)x v x +(1/7)x 1 dado: P(3)+P(4) = 1/6+1/6 = 1/3 33% 2 dadi: P(6)+P(7)+P(8) = 5/36+6/36 = 5/36 = 16/36 44% 4 dadi: P(12)+P(13)+P(14)+P(15)+P(16) 52% Stefano Brocchi Teoria degli errori 78 / 107

80 Lancio di molti dadi: proprietà La probabilità di rientrare in un intervallo di grandezza proporzionale al valore medio cresce con il numero di variabili casuali (in questo esempio, di dadi) Proprietà fondamentale della statistica Fondamentale per individuare il valore medio della distribuzione Stefano Brocchi Teoria degli errori 79 / 107

81 Ricerca del valor medio Supponiamo che per qualche motivo non conosciamo il valore medio del tiro di un dado, e lo vogliamo individuare tramite sperimentazione Lanciamo n dadi ed otteniamo una stima del valor medio dividendo il totale per n Immaginiamo che ci accontentiamo di un errore relativo di 1/7 Lanciando un dado, abbiamo il 33% di probabilità che la nostra stima sia soddisfacente. Con 2 dadi, saliamo al 44% e con 4 si arriva al 52% Lanciando un numero sufficientemente grande, possiamo essere pressoché sicuri di ottenere una stima accurata Stefano Brocchi Teoria degli errori 80 / 107

82 Legge dei grandi numeri Questa proprietà è descritta dalla legge dei grandi numeri Questa ci dice che la media di un numero sufficientemente grande di campioni di un processo casuale tende al valore atteso Nel nostro esempio, un campione corrisponde al lancio di un dado Ipotesi fondamentale è l indipendenza dei vari campioni: un risultato non deve influenzare gli altri Stefano Brocchi Teoria degli errori 81 / 107

83 Legge dei grandi numeri: esempio Consideriamo un esempio pratico di applicazione della legge dei grandi numeri: gli exit poll per la stima dei risultati delle votazioni Consideriamo n persone che contribuiranno con c 1 voti per un candidato e c 2 per un altro Vogliamo stimare la probabilità definita come c 1 /n che una persona voti per il candidato 1 Essendo n noto, questo ci consente di calcolare c1 Formulazione aderente alla stima del valor medio descritta precedentemente Stefano Brocchi Teoria degli errori 82 / 107

84 Legge dei grandi numeri: esempio Interrogando un piccolo numero di votanti, non si avrebbe alcuna garanzia che i loro voti rispecchino quelli dell intera popolazione Se si possono consultare invece molte persone scelte a caso, grazie alla legge dei grandi numeri siamo pressoché sicuri che i loro voti rispecchino quelli dell intero paese Grazie a delle proprietà descritte di seguito, si può stimare la precisione del risultato ottenuto L ipotesi spesso difficile da soddisfare è quella della completa casualità delle persone interrogate Ipotesi non soddisfatta se per esempio vengono interrogate persone solo in una determinata zona Stefano Brocchi Teoria degli errori 83 / 107

85 Distribuzione Gaussiana Le distribuzioni di probabilità che rispecchiano le ipotesi descritte vengono rappresentate tramite una distribuzione detta Gaussiana o normale Informalmente, la distribuzione è anche chiamata campana di Gauss per la sua forma E una distribuzione limite di quelle viste nell esempio del lancio di dadi Con tanti processi casuali coinvolti nel processo si ottiene una distribuzione discreta molto simile ad una Gaussiana E a valori continui: non c è un numero finito di valori possibili, e qualunque numero reale (eventualmente in un intervallo) è considerato Stefano Brocchi Teoria degli errori 84 / 107

86 Distribuzione Gaussiana Vediamo come una curva gaussiana possa essere una buona approssimazione continua delle probabilità sul lancio di 4 dadi 11,3% 8,0% 4,3% 0,8% Stefano Brocchi Teoria degli errori 85 / 107

87 Probabilità su distribuzioni continue La probabilità in questa curva va calcolata su di un determinato intervallo Questa sarà rappresentata dall area della curva compresa fra le due rette che delimitano l intervallo Estensione del caso discreto, dove la probabilità era data dalla somma di varie barre adiacenti rappresentanti i singoli valori Essendo una distribuzione di probabilità, l area totale deve essere uguale ad 1 Stefano Brocchi Teoria degli errori 86 / 107

88 Probabilità su distribuzioni continue Nell esempio, una distribuzione normale con valor medio 1, con evidenziata l area corrispondente alla probabilità su un intervallo 1 1,1 1,3 Stefano Brocchi Teoria degli errori 87 / 107

89 Valor medio e deviazione standard in gaussiane La distribuzione normale sarà caratterizzata da due valori: Il valor medio x, che rappresenta il valore più probabile sul quale è centrata la curva La deviazione standard σ x, che definisce la forma della curva σx elevato rappresenta curve con un picco più basso ed estremità più alte (pensare al valore totale del lancio su 1 o 2 dadi) σx basso rappresenta curve con un picco più alto ed estremità più basse (pensare al valore totale del lancio su 4 o più dadi) Stefano Brocchi Teoria degli errori 88 / 107

90 Gaussiane: esempio Vediamo varie curve gaussiane con uguale valor medio ma diversa deviazione standard: Gaussiane con devianzione standard piu alta, bassa o intermedia Stefano Brocchi Teoria degli errori 89 / 107

91 Gaussiana: espressione analitica L equazione analitica di una gaussiana è G x,σ (x) = e (x x)2 /2σ 2 σ 2π Compaiono le due costanti irrazionali pigreco (π = 3,14...) ed il numero di Eulero (e = 2,71...) L equazione ci dice che la funzione ha valore massimo in x Lontano da questo valore, la funzione non assume mai il valore 0, ma ci si avvicina in modo esponenziale Per valori lontani da x, i valori della funzione saranno numeri molto piccoli Stefano Brocchi Teoria degli errori 90 / 107

92 Distribuzione Gaussiana: proprietà ed utilizzo Una grande parte dei fenomeni complessi deriva da una combinazione di molti fattori casuali, e quindi può essere descritto accuratamente con una gaussiana Spesso anche se i fattori non sono del tutto indipendenti, in buona approssimazione la distribuzione resta quella normale Alcuni esempi di distribuzioni in buona approssimazione normali sono altezza e peso di una persona adulta Esempio: l altezza della popolazione americana (maschi adulti) ha media 176cm e deviazione standard di circa 8cm Tutte queste distribuzioni possono essere completamente descritte da media e deviazione standard Da questi due soli valori si può calcolare la probabilità di un evento in un qualsiasi intervallo Stefano Brocchi Teoria degli errori 91 / 107

93 Distribuzione Gaussiana: esempio La distribuzione normale è definita su qualsiasi valore, mentre spesso la nostra distribuzione ha delle limitazioni Esempio con le altezze: non possono esistere altezze negative Essendo i valori lontani dalla media però estremamente piccoli, l approssimazione resta molto buona Non imporre dei limiti rigidi può essere vantaggioso quando effettivamente non sappiamo quanto un valore si possa discostare dalla media Uno dei casi in cui la distribuzione Gaussiana non è un buon modello è quando esiste un valore limite vicino alla media Es. una distribuzione con media 1 che non ammette valori minori di 0, con deviazione standard elevata (>> 1) Stefano Brocchi Teoria degli errori 92 / 107

94 Distribuzione Gaussiana: proprietà ed utilizzo La distribuzione di Gauss è solitamente un buon modello per l errore casuale su una misurazione Il valore medio della distribuzione rappresenterà il valore vero della misura Questo giustifica la scelta della media delle misurazioni come migliore stima della misura stessa Per ora stiamo assumendo di non avere errori sistematici La deviazione standard ci rappresenterà la precisione con cui eseguiamo la misurazione Valori alti indicano che verosimilmente otterremo errori grandi Stefano Brocchi Teoria degli errori 93 / 107

95 Adozione della distribuzione normale Alcune giustificazioni per l uso di questa distribuzione: L errore casuale dipende da molti fattori imprevedibili indipendenti tra loro Errori di lettura dello sperimentatore, piccole vibrazioni, rumore di fondo... Difficile stabilire un limite massimo all errore, ma errori molto grossolani sono di fatto molto improbabili Queste caratteristiche rispecchiano quelle della distribuzione normale Infine, un grande numero di esperimenti scientifici confermano che questa distribuzione è molto verosimile per quanto riguarda misurazioni ed errori Stefano Brocchi Teoria degli errori 94 / 107

96 Confidenza In una deviazione gaussiana, la deviazione standard può essere utilizzata per definire un intervallo nel quale la misura esatta sarà presente con una certa probabilità Tale probabilità è detta confidenza, e verrà scelta dallo sperimentatore in base a quello che ritiene ragionevolmente improbabile Tramite la deviazione standard ed il concetto di confidenza, si potranno trarre conclusioni del tipo la misura esatta è compresa al 95% di certezza in questo determinato intervallo Esempio numerico: la misura cade nell intervallo definito da 87±2kg con una confidenza del 99,7% Stefano Brocchi Teoria degli errori 95 / 107

97 Confidenza Le formule viste per il calcolo di media e deviazione standard da un numero finito di campioni sono mezzi per trovare delle stime di questi valori per la distribuzione normale La stima sarà tanto più accurata tante più misure verranno utilizzate Stefano Brocchi Teoria degli errori 96 / 107

98 Confidenza e suo uso Vediamo alcuni intervalli in funzione di x e σ x e le relative confidenze: x ±σx ha confidenza pari al 68% x ±2σx ha confidenza pari al 95,4% x ±3σx ha confidenza pari al 99,7% x ±4σx ha confidenza maggiore del 99,99% Esistono strumenti e tabelle per calcolare la confidenza di un qualsiasi intervallo in funzione di σ x Stefano Brocchi Teoria degli errori 97 / 107

99 Confidenza e suo uso Vediamo graficamente questi intervalli e le relative aree nella curva di Gauss: Area = 68% x - x x + Stefano Brocchi Teoria degli errori 98 / 107

100 Confidenza: esempio Utilizziamo questi intervalli per fare delle osservazioni sull altezza di una popolazione Consideriamo una media di 176cm ed una deviazione standard di 8cm, assumendo che la distribuzione sia normale Il 68% della popolazione (circa 2/3) ha altezza compresa tra 168cm e 184cm Il 95, 4% della popolazione (circa 19/20) ha altezza compresa tra 160cm e 192cm Il restante 4, 6% della popolazione (circa 1/20) ha altezza minore di 160cm o maggiore di 192cm Stefano Brocchi Teoria degli errori 99 / 107

101 Confidenza come indice di credibilità La confidenza è una quantità scelta dallo sperimentatore e definisce in un certo senso la credibilità dei risultati Deve essere selezionata in funzione dell importanza e della criticità dei risultati forniti Chiaramente, prendendo intervalli più grandi le misure sono meno precise ma la confidenza aumenta Stefano Brocchi Teoria degli errori 100 / 107

102 Confidenza e SDOM Data una serie di misure con errori casuali, la media e la deviazione standard dalla media definiscono la gaussiana che specifica le probabilità di distribuzione della misura vera Poter affermare che la misura vera è nell intervallo x ±σ x con confidenza del 68% (o nell intervallo x ±2σ x con confidenza del 95, 4%) deriva proprio dalle proprietà della distribuzione normale Stefano Brocchi Teoria degli errori 101 / 107

103 Esperimenti di conteggio Altre proprietà delle distribuzioni di probabilità ci consentono di effettuare una stima della varianza per esperimenti di conteggio Supponiamo di voler stimare la probabilità di un evento contando quante volte questo avviene in un periodo di tempo L avvenire dei vari eventi deve essere indipendente Esempio: contiamo il numero di nascite di una città per stimare il tasso di nascita nella nazione Presupponiamo che le nascite in questa città rispecchino ragionevolmente quelle dell intero paese Stefano Brocchi Teoria degli errori 102 / 107

104 Esperimenti di conteggio: media e deviazione standard La stima migliore corrisponde chiaramente al valore misurato Se abbiamo 10 nascite in 30 giorni su una popolazione di 1000, stimiamo che in questo periodo nasca mediamente una persona per ogni 100 abitanti (10/1000 = 1/100) Più difficile capire l incertezza su questa quantità δx si può calcolare tramite la regola δx = n, dove n è il numero conteggiato n ha il ruolo di σ x, e definisce una confidenza del 68% (2 n ha confidenza del 95%, 3 n ha confidenza del 99,7%...) Nell esempio: n = 10 3,2 Precisione bassa: con confidenza del 95% possiamo affermare che il numero di nascite medio su 1000 persone vada da 10 6,4 = 3,6 a 10+6,4 = 16,4 Stefano Brocchi Teoria degli errori 103 / 107

105 Esperimenti di conteggio: affinamento Come al solito, aumentando il numero di misurazioni l incertezza relativa n/n tende a 0 Nell esempio, immaginiamo di continuare a contare le nascite per giorni, ottenendo 120 nascite Per semplicità, in questo esempio fortuitamente il conteggio medio di nascite coincide nei due casi. Spesso questo non avviene, ed il conteggio sul periodo più lungo risulta quello più credibile Otteniamo n = Con confidenza del 95% in 360 giorni abbiamo 120±22 (22 = 2 n corrispondente a 2σ x ) nascite per 1000 persone; riportandoci ai 30 giorni, otteniamo un intervallo di (120±22)/12 10±1,8 Con questa confidenza, ci aspettiamo che il numero di nascite medio su 1000 persone vada da 10 1,8 = 8,2 a 10+1,8 = 11,8: la nostra precisione è notevolmente migliorata Stefano Brocchi Teoria degli errori 104 / 107

106 Conteggio ed errori sistematici Come al solito se abbiamo errori sistematici non li possiamo rimuovere aumentando il tempo di conteggio. Un esempio di errore sistematico nell esempio: la città su cui stiamo facendo il conteggio potrebbe avere una natalità media diversa da quella della nazione Se possiamo stimare l errore, questo va sommato all errore casuale Per qualche motivo, stimiamo che la differenza di natalità tra la città ed il nostro campione non superi una nascita su 1000 abitanti ogni 30 giorni. Otteniamo un intervallo di 10±(1+1,8) Per cercare di rimuovere questo errore sistematico, si potrebbe contare le nascite invece che nelle 1000 persone di un certo paese in 1000 persone scelte a caso nella nazione Perché assumiamo sia improbabile che questo campione scelto a caso non sia più o meno prolifico della media? Con un numero grande, facciamo affidamento sulla legge dei grandi numeri Stefano Brocchi Teoria degli errori 105 / 107

107 Domande di riepilogo Come si possono rappresentare gli errori con la notazione a cifre significative? Come si traduce questa notazione in un intervallo di errore? Cosa si intende per discrepanza tra due misure e compatibilità? Come si può verificare la consistenza di una serie di misure con una regola di proporzionalità? Quali sono le regole per la propagazione dell errore? Sotto che ipotesi si può utilizzare la formula con quadratura? Come si distinguono errori casuali e sistematici? Come si possono gestire nel processo di stima di una misura? Stefano Brocchi Teoria degli errori 106 / 107

108 Domande di riepilogo In una sequenza di misurazioni, come si definiscono media, deviazione standard e deviazione standard dalla media? Come possono essere utilizzate queste quantità? Che caratteristiche ha la distribuzione Gaussiana, e perché viene frequentemente utilizzata? Perché la legge dei grandi numeri è utile per l individuazione degli errori casuali? Cosa è un intervallo di confidenza, e quali sono le sue proprietà? Stefano Brocchi Teoria degli errori 107 / 107

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