Capitolo V : Successioni e serie numeriche

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1 Liceo Lugao, 0-0 3N Luca Rovelli) Capitolo V : Successioi e serie umeriche La cosiddetta aalisi matematica, sviluppata iizialmete i maiera idipedete da Newto e Leibitz a partire dalla fie del XVII secolo, si occupa dello studio delle proprietà delle fuzioi reali. I particolare, essa mette a disposizioe della scieza i poteti strumeti del calcolo differeziale e del calcolo itegrale. Tali strumeti vegoo oggi costruiti a partire dal cocetto di limite. Ci occuperemo iazitutto dello studio dei limiti el cotesto di ua famiglia molto particolare di fuzioi, le successioi, defiite ell isieme N dei umeri aturali. Ciò ci permetterà iazitutto di familiarizzarci co alcue ozioi fodametali, e secodariamete di itrodurre alcui risultati che potrao essere geeralizzati alle fuzioi reali per mezzo di u igegoso escamotage formale il cosiddetto pricipio di trasposizioe).. Numeri aturali L eumerazioe cioè il coteggio) è certamete la più atica tra le operazioi matematiche cocepite dall uomo. Appare quidi aturale l ivezioe di simboli e espressioi associate alle quatità itere positive, che el tempo hao dato origie al modero sistema di umerazioe posizioale. Ma è soltato a partire dalla fie del XIX secolo il periodo della crisi dei fodameti ) che la matematica ha iiziato ad iterrogarsi a proposito dell esseza stessa del cocetto di umero, alla ricerca di ua sua defiizioe rigorosa. La più celebre e soddisfacete defiizioe di umero aturale è a tutt oggi quella assiomatica, data da Giuseppe Peao el 889, el saggio Arithmetices pricipia, ova methodo exposita: Defiizioe umero aturale) L isieme dei umeri aturali, deotato co N, è defiito come segue: ) N cotiee u elemeto, deotato co 0. ) È defiita ua fuzioe s : N N che a i N associa il suo successore si). i si) ; Giuseppe Peao ), matematico piemotese, cotribuì i modo determiate alla fodazioe della modera logica e della teoria degli isiemi. Fu professore all Uiversità di Torio e membro dell Accademia dei Licei. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 96 LiLu, 3N Luca Rovelli)

2 3) Se i j, allora si) sj) cioè: umeri diversi hao successori diversi). 4) 0 o è successore di essu umero. 5) Il pricipio d iduzioe: se A è u sottoisieme di N per cui vale i) 0 A; ii) a A sa) A cioè: se u umero aturale è i A, allora lo è ache il suo successore) allora A = N. Osservazioi: i) Nella otazioe corretemete i uso di origie ido-araba), si scrive s0) =, ss0)) = s) =, sss0))) = ss)) = s) = 3 eccetera. Vale quidi N = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,...}. ii) Alcui autori specialmete el campo della teoria dei umeri) o cosiderao lo zero come umero aturale; per essi vale quidi N = {,, 3,...}. Essi utilizzao spesso ache la otazioe N 0 = N {0} = {0,,, 3,...}. iii) L addizioe è defiita come segue: i + 0 = i, e per j 0 i + j = ss... ssi))...)). I particolare, si) = i +. } {{ } j volte All itero della modera teoria degli isiemi, esistoo umerosi modelli per N. Il più celebre, e per certi versi curioso, è forse quello proposto da Vo Neuma, dove il umero zero viee idetificato co l isieme vuoto: 0 := = {}, e il successore di i viee costruito come l uioe dell isieme i co l isieme coteete i: Vale cioè 0 = {} si) = i {i}. = s0) = 0 {0} = {} { {} } = { {} } = {0} = s) = {} = { {} } {{ {} }} = { {}, {{}} } = {0, } 3 = s) = {} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} } = {0,, } e così via cioè: è defiito ricorsivamete come l isieme dei umeri miori di ). No è difficile mostrare che tale modello soddisfa gli assiomi di Peao. Joh Jáos) Vo Neuma ), matematico statuitese di origii ugheresi, viee cosiderato da talui l ultimo dei gradi matematici. Fu u membro del progetto Mahatta e cotribuì i modo determiate allo sviluppo dei primi computer. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 97 LiLu, 3N Luca Rovelli)

3 . Il pricipio d iduzioe matematica Come è facile mostrare, il quito assioma di Peao, il pricipio d iduzioe, può essere riscritto el modo seguete: Lemma : sia 0 N, e sia S u sottoisieme di N tale che 0 S; se S, allora ache + S. Allora vale S 0, cioè { 0, 0 +, 0 +,...} S. I questa forma, esso diveta uo strumeto prezioso per la dimostrazioe di affermazioi sui umeri aturali: suppoiamo di voler dimostrare la validità di ua data affermazioe A per ogi 0, ad esempio: ) A : la somma dei primi umeri aturali è pari a +) per ); ) A : il poliomio x y è divisibile per x y per ). Allora sarà sufficiete mostrare che = 0 la base d iduzioe 3 ) l affermazioe A 0 è valida; + il passo d iduzioe) se A è valida, allora lo è ache A +. I altre parole: sotto l ipotesi d iduzioe A è valida è vera ache la tesi d iduzioe A + è valida. La spiegazioe di questo fatto è molto semplice: basta applicare il Lemma all isieme S dei umeri aturali per cui l affermazioe è valida. Ua metafora comuemete i uso è quella dell effetto domio: la base d iduzioe rappreseta la caduta della prima tessera, metre il passo d iduzioe rappreseta la caduta di ogi successiva tessera. Esempi: ) Mostriamo v.sopra) che vale k = k= + ) per. = k = = k= + ). 3 ella ligua tedesca, per idicare la base d iduzioe viee utilizzato il suggestivo termie Verakerug, acoraggio Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 98 LiLu, 3N Luca Rovelli)

4 + Ipotesi d iduzioe: l affermazioe è vera per, cioè k= + k = Tesi d iduzioe: l affermazioe è vera per +, cioè k = Dimostrazioe: + k = k + + ) ip.id. = k= k= + ) + + ) = k= + ) + + ) ) Mostriamo v.sopra) che x y è divisibile per x y per. = x y = x y è ovviamete divisibile per x y. = + ). + ) + ). + ) + ) + Ipotesi d iduzioe: x y è divisibile per x y. Tesi: x + y + è divisibile per x y. Dimostrazioe: x + y + = x + y x + y x y } {{ } + = x y ) x + y x y) ; } {{ } 0 div. per x y la tesi segue immediatamete dall ipotesi di iduzioe 3) Mostriamo che vale k= kk + ) = + ), cioè ad esempio che = 00 0 = kk + ) = = +. k= + Ipotesi: Tesi: k= + k= Dimostrazioe: + k= kk + ) kk + ) = +. kk + ) = + +. = = k= kk + ) + + ) + ) + ) + + ) + ) = + ) + ) + ) ip.id. = ) + ) Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 99 LiLu, 3N Luca Rovelli)

5 4) Dimostriamo la disuguagliaza di Beroulli: per α R, α > e N, vale + α) > + α. = + α) = + α + α > + α perché α 0. + Ipotesi: + α) > + α Tesi: + α) + > + + )α Dimostrazioe: moltiplichiamo etrambi i termii dell ipotesi di iduzioe per + α: ricordado che α >, e quidi + α > 0, vale + α) + > + α) + α) = + α + α + α = + + )α + α > + + )α perché, ovviamete, α > 0 5) Dimostriamo che ua scacchiera di lato dalla quale viee rimossa ua casella può sempre essere ricoperta da figure formate da 3 caselle disposte a L come mostrato a destra per ua scacchiera di lato 4 = ). = Ua scacchiera di lato = da cui viee rimossa ua casella cosiste proprio i ua figura a L vedi disego a destra). + Ipotesi: la tesi è valida per, è cioè possibile ricoprire ua scacchiera di lato a meo di ua casella co figure a L. Tesi: la tesi è valida per +, è cioè possibile agire ello stesso modo co ua scacchiera di lato +. Dimostrazioe: come mostra il disego, ua scacchiera di lato + può essere suddivisa i 4 scacchiere di lato + = ; la casella rimossa appartiee a ua delle quattro. Ricopredo la parte cetrale co ua figura a L come idicato, il problema viee ricodotto al caso per tutte e 4 le scacchiere, per cui l affermazioe è vera per l ipotesi di iduzioe Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 00 LiLu, 3N Luca Rovelli)

6 Ua variate del pricipio d iduzioe è il cosiddetto pricipio d iduzioe forte o completa): per dimostrare la validità di ua data affermazioe A per ogi 0 si procede mostrado che = 0 l affermazioe A 0 è valida; { 0,..., } + se A 0, A 0 +,..., A soo valide, allora lo è ache A +. Esempio 6): mostriamo che ogi umero aturale può essere scomposto el prodotto di umeri primi. = è esso stesso u umero primo. { 0,..., } + Ipotesi d iduzioe: l affermazioe è vera per, 3,...,, vale a dire che ogi umero compreso tra e può essere scomposto i fattori primi. Tesi d iduzioe: l affermazioe è vera per +, cioè + può essere scomposto. Dimostrazioe: se + è u umero primo, o vi è ulla da dimostrare. Se o lo è, allora può essere scritto come prodotto di due umeri a e b co a, b, i quali, per l ipotesi di iduzioe, possoo essere scomposti i fattori primi 3. Successioi reali Defiizioe. Successioe, versioe ituitiva) Ua successioe reale, idicata co a ) N o più brevemete co a ), è ua sequeza di umeri reali a, a, a 3, a 4, a 5,... umerati da u idice. Esempi: ) a = ; si tratta semplicemete della successioe degli iteri positivi a =, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5,... ) b = ; si tratta della successioe dei quadrati perfetti b =, b = = 4, b 3 = 3 = 9, b 4 = 4 = 6, b 5 = 5 = 5,... 3) c = ) + ; si tratta della successioe ) c = =, c = c 4 = ) 3 = 9 4 =, 5, c 3 = ) 3 4 = =, 370, ) 4 5 = =, 44,..., c 0 =, 593,..., c000 =, 78,... Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 0 LiLu, 3N Luca Rovelli)

7 Da u puto di vista più rigoroso, ua successioe può ache essere vista come ua legge che associa i modo uivoco u umero reale a all idice, cioè ua fuzioe: Defiizioe. Successioe, versioe formale) Ua successioe reale, idicata co a ) N u applicazioe o più brevemete co a ), è N \ {0} R a che associa quidi u umero reale ad ogi umero aturale maggiore di zero). I umeri a, a, a 3,... soo i termii della successioe. Ua successioe a ) è quidi uivocamete defiita per mezzo di ua regola che defiisce il valore del termie geerale a ; abitualmete tale regola viee descritta i maiera esplicita, cioè tramite ua formula che permette di calcolare a a partire da come egli esempi ), ), 3)), oppure i maiera implicita o ricorsiva), cioè tramite il primo termie o i primi termii) e ua formula che permetta di calcolare a + a partire da a o da più termii che lo precedoo). Esempi: 4) La regola { d = d + = d + defiisce ricorsivamete la successioe d =, d = + = 3, d 3 = 5, d 4 = 7, d 5 = 9,... dei umeri dispari; è facile vedere che vale d =. { e = 5) La regola defiisce ricorsivamete la successioe e + = e e =, e = =, e 3 = 3 = 6, e 4 = 4 3 = 4,... dei umeri fattoriali; come già sappiamo, essa viee solitamete abbreviata co e =! { f =, f = 6) La regola defiisce ricorsivamete la successioe f + = f + f ) f =, f = ;, f 3 =, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 3,... dei umeri di Fiboacci. Si può dimostrare per iduzioe, v. esercizi) che vale ) f = ) ) Formula di Biet). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 0 LiLu, 3N Luca Rovelli)

8 7) Sia { g =, g = 4 g + = g + g ) Allora vale g 3 = a + a ) = ) = 9 g 4 = a 3 + a ) = ) = 6 g 5 = a 4 + a ) = ) = 5 g 6 = a 5 + a ) = ) = 36 Apparetemete vale g = ; lo dimostriamo co il metodo dell iduzioe forte: = 3 vedi sopra. {3,..., } + Ipotesi: g 3 = 3, g 4 = 4,..., g =. Tesi: g + = + ) Dimostrazioe: vale g + = g + g ) ip.id = + ) ) = ) = + + = + ) 4. Progressioi aritmetiche Defiizioe 3 Progressioe aritmetica) Ua successioe reale a ) N tale che la differeza d tra due termii cosecutivi è costate è detta progressioe aritmetica. Tale differeza è detta ragioe della progressioe aritmetica. Esempi: ) Sia a = 7 e d = 3; otteiamo la successioe a ) = 7, 0, 3, 6, 9,...). ) Sia b = e d = 5 ; otteiamo la successioe b ) =, 3 ), 4, 3, 9,.... Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 03 LiLu, 3N Luca Rovelli)

9 3) Sia c = e d = ; ; otteiamo la successioe dei umeri dispari. c ) =, 3, 5, 7, 9,,...) Osservazioe: dalla defiizioe risulta subito ua formula per ricorreza: dati a e d, basta porre a + = a + d. Osserviamo quidi che vale a ) = a, a + d, a + d, a + 3d, a + 4d,... ) ; deduciamo immediatamete ache la formula esplicita che, a oor del vero, dovrebbe essere dimostrata iduttivamete): Lemma Sia a ) ua progressioe aritmetica di ragioe d. Allora vale Esempi: a = a + ) d. 4) Qual è il decimo membro della successioe a ) dell es. )? Dal mometo che vale a = a + ) d = 7 + ) 3 = 3 + 4, possiamo calcolare a 0 = = 34. 5) Qual è il 00-esimo umero dispari? Dall es. 3) ricaviamo la formula per l -esimo umero dispari: quidi c 00 = 00 = 99. c = + ) = ; Il seguete risultato giustifica l aggettivo aritmetica: Lemma 3 Siao a, a e a + tre termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica. Allora a è la media aritmetica di a e a +. Dimostrazioe: è sufficiete calcolare la media dei termii a e a + teedo coto del Lemma : a + a + ) = a + )d + a + d) = a + )d) = a + )d = a Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 04 LiLu, 3N Luca Rovelli)

10 Per la somma di ua progressioe aritmetica vale quato segue: Lemma 4 Sia a ) ua progressioe aritmetica. Allora per la somma dei suoi primi termii vale a i = a + a a + a = a + a ). Dimostrazioe: procediamo tramite u cosiddetto doppio coteggio 4 ; allieiamo dapprima su due righe i termii da a a a, i ordie crescete ella riga superiore e decrescete ella riga iferiore: La somma di tutti i valori è chiaramete a a a 3... a a a a a a... a 3 a a a i ; osservado che i termii elle coloe soo a i e a i+ per i =..., e che la somma per ciascua delle coloe è uguale a a i + a i+ = a + i )d) + a + i + )d) = a + a + )d = a + a, deve valere a i = a + a ), e la tesi segue. I alterativa, il lemma può essere dimostrato iduttivamete: = a i = a = a + a ) + suppoiamo ip.id.) che a i = a + a ). Allora + a i = a i + a + = a + a ) = a + a + a + d) = +)a + { }} { = + )a + a + + a + La tesi è quidi valida ache per + + a + = a + a + a + +)a { }} { a + a + a + { }} { a + d + = + )a + a + ) = a +d)=a + { }} { a + d. = 4 tale idea viee per tradizioe fatta risalire al Priceps mathematicorum Carl Friedrich Gauss ) il quale, si dice, dimostrò la formula el caso particolare della somma dei primi umeri aturali esempio 9)) all età di 9 ai Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 05 LiLu, 3N Luca Rovelli)

11 Esempi: 8) Calcoliamo uovamete la somma dell esempio 7), co a = 6 e a 7 = = 36: 7 a = 7a + a 7 ) = ) = 47. 9) Nel caso particolare della somma dei primi umeri, poedo a =, a = e d = otteiamo la be ota formula + ) i =. + ) Osservazioe: la successioe t ) co t = = è detta successioe dei umeri triagolari; il motivo può facilmete essere ituito osservado la seguete figura: t = t = 3 t 3 = 6 t 4 = 0 t 5 = 5 t 6 = 0) Calcolado la somma dei primi umeri dispari si ottiee u altro risultato be oto: + ) i ) = =. 5. Progressioi geometriche Defiizioe 4 Progressioe geometrica) Ua successioe reale a ) N tale che il quoziete q tra due termii cosecutivi è costate è detta progressioe geometrica. Tale quoziete è detto ragioe della progressioe geometrica. Esempi: ) Sia a = 3 e q = ; otteiamo la successioe a ) = 3, 6,, 4, 48,...). ) Sia b = 0 e d = ; otteiamo la successioe b ) = 0, 5, 5, 54, 58 ),.... Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 06 LiLu, 3N Luca Rovelli)

12 Osservazioe: dalla defiizioe risulta subito ua formula per ricorreza: dati a e q, basta porre a + = q a. Osserviamo quidi che vale a ) = a, qa, q a, q 3 a, q 4 a,... ) ; deduciamo immediatamete ache la formula esplicita: Lemma 5 Sia a ) ua progressioe geometrica di ragioe q. Allora vale Esempio: a = a q. 3) Qual è il decimo membro della successioe a ) dell es. )? Dal mometo che vale a = a q = 3, possiamo calcolare a 0 = 3 9 = 3 5 = 536. Ache el caso delle successioi geometriche il ome si giustifica co la media di due termii: Lemma 6 Siao a, a e a + tre termii cosecutivi di ua progressioe geometrica. Allora a è la media geometrica di a e a +. Dimostrazioe: è sufficiete calcolare la media geometrica a a + teedo coto del Lemma 5: a a + = a q a q = a q = a q = a Cosideriamo uovamete il problema della somma dei primi termii: Lemma 7 Sia a ) ua progressioe geometrica. Allora per la somma dei suoi primi termii vale a i = a q. q Dimostrazioe: otiamo iazitutto che vale q) q i = q) + q + q q + q ) = q) + q) q + q) q q) q + q) q = = q +q q +q... q +q q = q, Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 07 LiLu, 3N Luca Rovelli)

13 quidi q i = q q = q q e a i = a q i = a q i = a q q. Icludiamo, come alterativa, ache ua dimostrazioe iduttiva: = a i = a = a q q. + Suppoiamo ip.id.) che a i = a q q. Allora + a i = q a i + a + = a q + q + q + q q a = a q = a q + q. La tesi è quidi valida ache per + Esempi: 4) Calcola la somma dei primi 5 termii della successioe b ) dell esempio ): 5 a = 0 5 ) = = = ) U problema classico: poedo u chicco di riso sulla prima casella di ua scacchiera, sulla secoda, 4 sulla terza, 8 sulla quarta e così via, quati chicchi si troverebbero i totale sulla scacchiera? Calcoliamo iazitutto la somma delle prime poteze di : co a =, q = vale = La risposta al problema è quidi i = = = i = 64 = chicchi circa 9 miliardi di miliardi!). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 08 LiLu, 3N Luca Rovelli)

14 6. Complemeti sui umeri reali Come già sappiamo vedi programma di I), l isieme R dei umeri può essere costruito per successivi ampliameti a partire dall isieme N dei umeri aturali. I particolare: affiacado ad ogi umero aturale il suo opposto ), cioè il umero tale che + ) = 0, si ricava l isieme Z dei umeri iteri, el quale ogi equazioe della forma a + x = b possiede ua soluzioe; affiacado ad ogi umero itero a 0 il suo reciproco = a a, tale che a =, a si ottiee l isieme Q dei umeri razioali della forma b = b a 0), el quale a a ogi equazioe della forma ax = b a 0) possiede ua soluzioe; ogi umero razioale può essere fatto corrispodere a u puto di ua retta, la quale però o può essere totalmete coperta dall isieme Q dei umeri razioali 5. La totalità dei puti della retta corrispode ad u ulteriore ampliameto del campo umerico, l isieme R dei umeri reali. Chiaramete, dal mometo che si procede per ampliameti successivi, varrà N Z Q R, e l isieme R, corrispodedo i maiera aturale ad ua retta, appare come il più adatto tra gli isiemi umerici per operare geometricamete 6. Si tratta ioltre del più piccolo isieme umerico all itero del quale è possibile dare pieamete u seso al cocetto di limite. Prima di approfodire tale cocetto appare quidi opportuo u breve excursus sui umeri reali, che e metta i evideza le caratteristiche esseziali: algebriche, di ordiameto e geometriche o, meglio, topologiche). Iiziamo dalle proprietà di calcolo ell isieme R: Teorema 8 Proprietà algebriche di R) R, +, ) è u corpo commutativo o campo); i particolare i) R, +) è u gruppo abeliao: l addizioe i R è associativa: a + b) + c = a + b + c) a, b, c R; ammette l elemeto eutro lo zero): a + 0 = 0 + a = a a R; ammette l elemeto simmetrico l opposto): a R a) R: a + a) = a) + a = 0; è commutativa: a + b = b + a a, b R. 5 ad esempio, la diagoale di u quadrato avete lato pari ad u uità o può essere espressa ella forma a b co a e b iteri 6 ad esempio, le proprietà di R fao sì che l equazioe parametrica di ua retta e descriva la totalità dei puti Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 09 LiLu, 3N Luca Rovelli)

15 ii) R, ) è ach esso gruppo abeliao: la moltiplicazioe i R è associativa: a b) c = a b c) a, b, c R; ammette l elemeto eutro l uo): a = a = a a R; ammette l elemeto simmetrico il reciproco): a R \ {0} a R \ {0}: a a = a a = ; è commutativa: a b = b a a, b R. iii) Vale la proprietà distributiva dell addizioe rispetto alla moltiplicazioe): Osservazioi: a b + c) = a b + a c a, b, c R. i) Ache Q, provvisto di addizioe e moltiplicazioe, possiede la struttura di campo. I Z, ivece, soltato + e possiedoo u reciproco, e i N soltato +. I N, ioltre, soltato lo zero possiede l elemeto opposto. ii) Dagli assiomi di campo, elecati el Teorema, seguoo tutte le regole di calcolo utilizzate per semplificare espressioi algebriche o per la risoluzioe di equazioi. Passiamo ora ad u altro aspetto dell isieme R, quello dell ordiameto. Per ordiare i umeri reali, possiamo procedere come segue: iazitutto distiguiamo i R i sottoisiemi R + dei umeri positivi e R dei umeri egativi, co R = R R + e R R + = {0} lo zero è l uico umero sia positivo che egativo), e defiiamo la relazioe a b b = a + x co x R +. I particolare, vale a 0 se a è egativo e 0 a se a è positivo 7. Teorema 9 Ordie totale i R) L isieme R, muito della relazioe, è totalmete ordiato. Vale cioè i) a a a R proprietà riflessiva); ii) se a b e b a, allora a = b proprietà atisimmetrica); iii) se a b e b c, allora a c proprietà trasitiva); iv) dati a, b R, allora vale a b, oppure b a; due umeri reali soo cioè sempre cofrotabili. Le proprietà i)-iii) cotraddistiguoo ua cosiddetta relazioe d ordie; l ordie è totale se vale ache iv). 7 ciò ci può apparire ovvio, ma ricordiamo che i questa defiizioe la ozioe di positività precede la defiizioe della relazioe Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 0 LiLu, 3N Luca Rovelli)

16 Osservazioi: i) La relazioe d ordie è evidete se R viee idetificato co la retta dei umeri: vale a b se a o viee rappresetato a siistra di b. ii) Cosiderado N, Z e Q come sottoisiemi di R, è evidete che la relazioe ha seso ache al loro itero. iii) La relazioe defiisce i modo aturale ache ua relazioe, ad esempio mediate la regola a b a b. Defiizioe 5 Sia A u sottoisieme di R. i) x R è u miorate di A, se vale x a a A; ii) x R è u maggiorate di A, se vale x a a A; iii) se x A è miorate di A, allora x è il miimo di A, deotato mi A; iv) se x A è maggiorate di A, allora x è il massimo di A, deotato max A. Esempi: ) Sia A =], 5] = {x R x > e x 5} , 0, 0,, soo miorati di A; 00 5, π, 0, 00, 0 00 soo maggiorati di A; mi A o esiste: è facile vedere che per ogi a A vale < +a < a cioè che, dato u umero i a A, esiste sempre u umero miore di a i A); max A = 5. ) Sia B = {x R x =, N\{0}} = {,,,,...} l isieme 3 4 dei termii della successioe b = +. 00, 0,,, 0 soo miorati di B; 00,, 0, 00, 000 soo maggiorati di B; mi B = b = 0 dal mometo che la successioe è crescete: b < b + ); max B o esiste, dal mometo che vale b < b + <. Defiizioe 6 Sia A u sottoisieme di R. i) A è limitato superiormete se ammette u maggiorate; ii) A è limitato iferiormete se ammette u miorate; iii) A è limitato se è limitato superiormete e iferiormete. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) LiLu, 3N Luca Rovelli)

17 Esempi: ) A e B v. sopra) soo limitati; ) C =], 5[ è limitato superiormete, ma o limitato; 3) D = { + N} = {, 3, 5, 7,...} è limitato iferiormete ma o limitato; 4) E = { ) N} = {0,,, 3, 4, 5,...} o è limitato. Prima di passare ad u altra fodametale proprietà di R dobbiamo itrodurre acora due ozioi. Defiizioe 7 Sia A u sottoisieme di u isieme totalmete ordiato. i) Se l isieme dei miorati di A possiede u massimo, esso è l ifimum o estremo iferiore) di A, deotato if A; ii) se l isieme dei maggiorati di A possiede u miimo, esso è il supremum o estremo superiore) di A, deotato sup A. I altre parole: if A è il più piccolo maggiorate, sup A è il più grade miorate. Esempi: ) per A =], 5] vale if A = e sup A = max A = 5; ) per B = {x R x =, N \ {0}} vale if B = mi B = 0 e sup B = ; 3) C =], 5[ o ammette ifimum, e sup C = 5; 4) per D = { + N} vale if D = mi D = ; sup D o esiste. Osservazioe: come mostrao gli esempi, se A ammette il miimo vale if A = mi A, e se A ammette il massimo vale sup A = max A. Defiizioe 8 Sia F u corpo totalmete ordiato; allora F è completo se ogi sottoisieme o vuoto A F limitato superiormete ammette il supremum i F. Cotro-)Esempio: l isieme Q dei umeri razioali o è completo. Cosideriamo ad esempio il sottoisieme A = {x Q + x < } ; allora dal mometo che i Q + la fuzioe x x è crescete) l isieme dei suoi maggiorati è B = {x Q + x } ; esso o possiede u miimo: dato x B, è sempre possibile esibire y < x tale che y cioè u umero più piccolo di x i B), ad esempio y = x + x, e il umero tale che x = o appartiee, come mostrato i I Liceo, all isieme Q. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) LiLu, 3N Luca Rovelli)

18 Ivece, Teorema 0 L isieme R dei umeri reali è completo. È ad esempio ituitivamete chiaro che, utilizzado la ozioe ituitiva di R come retta dei umeri, l isieme à = {x R + x < } possiede u supremum: si tratta del umero idicato co, otteuto geometricamete come diagoale di u quadrato di lato uitario. La completezza di R si può esprimere ache mediate la cosiddetta proprietà degli itervalli icapsulati: Teorema Data i R ua successioe di itervalli chiusi [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ]... tale che a a + e b + b per ogi, allora esiste almeo u x R comue a tutti gli itervalli. Dimostriamo che il Tm. segue direttamete dal Tm. 0 al quale è, i realtà, equivalete): sia A = {a N} l isieme di tutti gli a. Dal mometo che A è limitato superiormete vale ad esempio a b ), per il Tm. 0 esso ammette il supremum x = sup A. Dalla defiizioe di supremum segue immediatamete che x a ; ioltre, dato che a i b j i, j deve ache valere x b. Di cosegueza, x [a, b ] N, come volevasi dimostrare La ozioe di R come isieme dei puti di ua retta o è certo soddisfacete dal puto di vista matematico. Ua costruzioe rigorosa dell isieme dei umeri reali può essere otteuta i svariati modi. Ne acceiamo due. L approccio sitetico) Come abbiamo già visto, R è u campo, totalmete ordiato e completo. Si può dimostrare che due isiemi aveti tali proprietà possoo essere idetificati tra loro i modo aturale. Esiste quidi soltato u isieme che le soddisfa tutte e tre: ciò permette ua defiizioe assiomatica di R. Icapsulameti) L isieme R può essere costruito come l isieme degli icapsulameti di umeri razioali, cioè delle successioi di itervalli [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ]... co a, b Q, a a + e b + b. I tal modo, R viee costruito come l isieme che soddisfa il Teorema. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 3 LiLu, 3N Luca Rovelli)

19 Termiiamo il paragrafo co alcue defiizioi di carattere tecico. Defiizioe 9 Itori) i) Sia x R; u itervallo aperto Ix) =]a, b[ coteete x è u itoro aperto di x; il corrispodete itoro putato è Ix) = Ix) \ {x} =]a, x[ ]x, b[. ii) Sia x R e sia ε > 0; l ε-itoro epsilo-itoro ) di x è l itervallo I ε x) =]x ε, x+ε[; il corrispodete ε-itoro putato è I ε x) = I ε x)\{x}. Ad esempio, vale I ) = ] 9, 0 0 0[ e I ) = ] 9, [ ] \ {} = 9, [ ], 0 0[. Osservazioe: a R giace ell ε-itoro di x se la distaza tra a e x è iferiore a ε: a I ε x) x a < ε, e a R giace ell ε-itoro putato di x se la distaza tra a e x è superiore a zero e iferiore a ε: a Ix) 0 < x a < ε. Defiizioe 0 Puto di accumulazioe) Sia S R u sottoisieme di R. x R è u puto di accumulazioe di S se per ogi ε > 0 vale S Ix). I altre parole: se per ogi ε > 0 piccolo a piacere ) esiste s S la cui distaza da x è iferiore a ε. Nota che u puto di accumulazioe di S può ache essere estero a S. Esempi: ) Ogi x R è puto di accumulazioe di R. ) Sia I =]a, b[; allora l isieme dei puti di accumulazioe di I è l itervallo chiuso [a, b] dal mometo che ache a e b soo p.d.a. di I). 3) Ogi x R è puto di accumulazioe di Q, dal mometo che u umero reale può essere approssimato a piacere da umeri razioali ad esempio per mezzo di trocameti successivi del suo sviluppo decimale). 4) Cosidera l isieme S = { N \ {0}} = {,,,...}. Allora 3 0 è p.d.a. di S, dal mometo che per ogi ε > 0 esiste tale che < ε; o è p.d.a. di S, dal mometo che vale ad esempio I ) S =. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 4 LiLu, 3N Luca Rovelli)

20 7. Covergeza e divergeza Esempi itroduttivi: cofrotiamo il comportameto delle successioi a) a = + = + b) b =, c) c = ) + al crescere di : a) a ) =, 3, 4 3, 5 4, 6 5, 7 6,...) ;, al crescere di il valore di a si avvicia arbitrariamete a ; scriveremo lim a = il limite di a per tedete a ifiito è uguale a ) e diremo che la successioe è covergete. Nota che è p.d.a. della successioe 8. b) b ) =,, 7, 4, 3, 34, 47,...); al crescere di il valore di b diveta arbitrariamete grade; scriveremo lim b = + b tede a ifiito per tedete a ifiito ) e diremo che la successioe è divergete determiata. c) c ) =, 5 4, 7 8, 7 6, 3 3,...) ; al crescere di il valore di c si avvicia alterativamete a + e -; diremo che il limite di tale successioe o esiste, e quidi che essa à divergete idetermiata. I umeri reali + e, attoro ai quali ifiiti valori di c si accumulao, soo p.d.a della successioe. Prededo sputo dal primo esempio, euciamo la seguete Defiizioe. Limite fiito, versioe qualitativa) Sia a ) ua successioe reale. Allora a R è il limite di a per tedete a ifiito), deotato a = lim a se a si avvicia arbitrariamete ad a quado è sufficietemete grade. Osservazioe: soo i uso ache le otazioi a a per e a a. 8 per semplicità, chiameremo puto di accumulazioe di ua successioe u puto di accumulazioe dell isieme dei suoi termii Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 5 LiLu, 3N Luca Rovelli)

21 Esempio ) cosidera la successioe a = + ) ; essa assume i valori a ) = 0, +, 3, + 4, 5 ),... ; rappresetiamo graficamete i puti, a ) per i primi valori di : ituitivamete è chiaro che i valori di a oscillao attoro al valore limite a = +, avviciadosi sempre di più ad esso. Varrà quidi ) lim + ) =. Ragioado i modo più quatitativo, possiamo affermare quato segue: lim a = perché, scelto u qualsiasi scarto massimo ε > 0 epsilo maggiore di zero ), esiste u valore N dell idice a partire del quale i termii a si troverao el ε-itoro di ; graficamete, poedo ad esempio ε = 0, 5 = 3 : 0 Dal disego possiamo ituire che a partire da a 7 = + 7 =, 4 ogi termie della successioe si troverà itrappolato ell itoro ] I 3 ) = 3 0 0, + 3 [ = ]0, 85 ;, 5[, 0 ossia che per > 6 si avrà a < 0, 5 N = 6, quidi), e che u comportameto simile si potrà osservare sostituedo a 0, 5 qualsiasi valore ε > 0 piccolo a piacere). I termii algebrici, cerchiamo i valori per cui vale a < ε: a < ε + ) < ε < ε e quidi > 3. Poedo come sopra) ε = otteiamo > 0 ε 0 3 = 6, 67; è quidi chiaro che deve valere > N = 6. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 6 LiLu, 3N Luca Rovelli)

22 Geeralizzado quato visto, siamo proti a compredere la seguete Defiizioe. Limite fiito, versioe rigorosa) Sia a ) ua successioe reale. Allora a R è il limite di a, deotato a = lim a se, scelto ε >, esiste N > 0 dipedete da ε) tale che la distaza tra a e a è miore di ε quado > N. I simboli: ε > 0 N > 0 : > N a a < ε cioè a I ε a). ) Osservazioe: è immediatamete chiaro che a è u puto di accumulazioe di a ). Esempio ) ituitivamete, è chiaro che lim = 0, cioè che a = è ua cosidetta successioe ulla, dal mometo che essa assume i valori a ) =, 4, 8, 6, ) 3,... tedeti a zero. Verifichiamolo rigorosamete: come sopra, poiamo ε > 0 e risolviamo la disequazioe: 0 < ε < ε < ε < log ε > log ε. Quidi: per > log ε vale 0 < ε. Illustrazioe co ε = 0 log ε = 3, 3, quidi N = 3): Teorema Uicità del limite) Il limite di ua successioe, se esiste, è uico. Dimostrazioe: suppoiamo che valga lim a = A e lim a = B. Per la disuguagliaza triagolare v. sotto) vale, per ogi, A B = A a + a } {{ B A a } + a B. 0 Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 7 LiLu, 3N Luca Rovelli)

23 Sia ε > 0 piccolo a piacere ). Per la defiizioe di limite, esiste N tale che A a < ε per > N ; esiste N tale che a B < ε per > N. Poedo > max{n, N } si mostra che vale A B < ε: A B A a + a B < ε + ε = ε ; cioè: la distaza tra A e B è più piccola di ogi umero reale positivo. I altre parole, A = B Osservazioe: ella dimostrazioe abbiamo fatto uso della cosiddetta disuguagliaza triagolare x + y x + y, valida per ogi coppia x, y di umeri reali facilmete dimostrabile ad esempio elevado al quadrato i due termii). Passiamo ora al caso dei limiti ifiiti; prededo sputo dal secodo esempio a pag. 5, possiamo euciare la seguete Defiizioe. Limite ifiito, versioe qualitativa) Sia a ) ua successioe reale. Allora vale lim a = + risp. lim a = se il valore di a diveta arbitrariamete grade i seso positivo risp. egativo) quado è sufficietemete grade. Osservazioe: potremmo ache affermare che vale lim a = + risp. ) se la successioe cresce risp. decresce) oltre ogi limite. Esempio 3) cosidera la successioe a = ; essa assume i valori a ) = 0,, 6,, ) 0,... ; risulta ituitivamete chiaro che vale lim a = +, dal mometo che il valore di a supera, per sufficietemete grade, qualsiasi barriera. I effetti, scegliedo M > 0, è sempre possibile trovare tale che a > M > M M > 0 ; risolvedo la disequazioe quadratica teedo coto del fatto che a > 0 è facile vedere che vale a > M per > + 4M + ). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 8 LiLu, 3N Luca Rovelli)

24 Ad esempio, per M = 6 vale + ) 4M + = + 45) = 6, 5 e quidi a > 6 per > 6, come mostra l illustrazioe a fiaco. Perveiamo quidi ad ua defiizioe più rigorosa: Defiizioe. Limite ifiito, versioe rigorosa) Sia a ) ua successioe reale. Allora vale lim a = + risp. lim a = se, scelto M > 0, esiste N > 0 dipedete da M) tale che a > M risp. a < M quado > N. I simboli: M > 0 N > 0 : > N a > M risp. a < M. Esempio 4) mostriamo che vale lim log = : sia M > 0; allora risolviamo a < M log < M log < M log > M > 0M. Per > 0 M vale quidi a < M. Defiizioe 3 Covergeza e divergeza) Ua successioe a ) è detta covergete, se ammette u limite fiito; divergete determiata, se vale lim a = + oppure lim a = ; divergete idetermiata ei casi restati. Esempi di successioi divergeti idetermiate: a) a = ) ; b) b = ) ; c) c = si ) π 0 Per esercizio, descrivi il comportameto di ogua di esse.). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 9 LiLu, 3N Luca Rovelli)

25 8. Successioi limitate e successioi covergeti Per covezioe ua successioe a ) si dice limitata se l isieme dei suoi termii è limitato. Nella ligua italiaa, si tratta di ua scelta di termii piuttosto ifelice 9 : ua successioe limitata o possiede per forza u limite, come mostra l esempio a = ) +. Per cotro, se esiste il limite la successioe è certamete limitata: Teorema 3 Ua successioe covergete è limitata. Dimostrazioe: sia a = lim a ; scegliedo ε = ella defiizioe di limite, segue che esiste N > 0 tale che a a < > N ; di cosegueza, per > N vale a = a a } {{ + a } a a + a < + a. } {{ } 0 < Ciò dimostra che solo u umero fiito di termii della successioe può avere valore assoluto maggiore di + a ; i particolare, scegliedo c = max{ a, a,..., a N, + a } varrà certamete c a c per ogi : la successioe è quidi limitata Come abbiamo già rimarcato, ua successioe limitata o possiede sempre u limite. Ituitivamete è però chiaro che i suoi ifiiti!) termii debbao addesarsi da qualche parte: Teorema 4 Bolzao-Weierstrass) Ua successioe limitata ammette almeo u puto di accumulazioe. Dimostrazioe: sia a ) ua successioe limitata. Allora l isieme dei suoi termii ammette u miorate A e u maggiorate B. Costruiamo ricorsivamete ua successioe di itervalli [α, β ] el modo seguete: [α, β ] = [A, B] ; sia C = A+B il puto medio dell itervallo [A, B]; allora almeo uo degli itervalli [A, C] e [C, B] cotiee u ifiità di termii di a ; poiamo [α, β ] = [A, C] se [A, C] cotiee u ifiità di termii di a, altrimeti poiamo [α, β ] = [C, B]; dato l itervallo [α, β ] ) poiamo [α +, β + ] = [α, α+β ] se [α, α+β cotiee u ifiità di termii di a e [α +, β + ] = [ α+β, β ] i caso cotrario. 9 ad esempio, i iglese limite si traduce i limit, ma limitato si traduce i bouded ] Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 0 LiLu, 3N Luca Rovelli)

26 Così facedo, abbiamo ricavato ua successioe di itervalli icapsulati [α, β ] [α, β ] [α 3, β 3 ]... tale che α α + e β + β per ogi. Allora, per il Teorema pag. 3) esiste x R comue a tutti gli itervalli. Per costruzioe, ogi itoro di x cotiee almeo u termie di a : si tratta quidi di u p.d.a. di a ) Esempio: la successioe a = ) + mezioata sopra è limitata vale ad esempio < a < ) e possiede due puti di accumulazioe, + e. Osservazioe: il Tm di Bolzao-Weierstrass o è u equivaleza: ogi successioe limitata ammette almeo u p.d.a., ma esistoo successioi che, pur ammettedo u p.d.a., o soo limitate. Cosidera ad esempio la successioe a = ), vale a dire { ) = a =,,,,... se è dispari = 4, 6, 64, 56,... se è pari Essa ammette 0 quale p.d.a. i termii di idice dispari si avviciao arbitrariamete a 0), ma è chiaramete illimitata i termii di idice pari crescoo arbitrariamete). Per essere covergete, ua successioe limitata a ) deve soddisfare u ulteriore codizioe: essere mootoa o, meglio, mootòa). Defiizioe 4 Mootoia) Ua successioe a ) è detta Esempi: mootoa crescete, se vale a + > a ; mootoa decrescete, se vale a + < a ; mootoa, se è mootoa crescete oppure decrescete. ) Ua progressioe aritmetica a ) di ragioe d > 0 è crescete: a + = a + d > a ; è ivece decrescete se d < 0. ) Ua progressioe geometrica a ) di ragioe q > è crescete: a + = q a > a ; è ivece decrescete se 0 < q <. 3) cotroesempio) Come è facile verificare esplicitamete, la successioe a = ) o è mootoa. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) LiLu, 3N Luca Rovelli)

27 Teorema 5 U criterio di covergeza) Ua successioe limitata e mootoa coverge. Dimostrazioe: sia a ) mootoa crescete, e sia a := sup{a N \ {0}} l estremo superiore dell isieme dei suoi termii. Nota che a esiste i virtù della completezza di R Teorema 0), dal mometo che A = {a } è limitato superiormete. Sia ε > 0; allora vale I ε a) A i caso cotrario, a ε sarebbe u maggiorate di A e quidi a o sarebbe il supremum di A). I particolare, esiste N tale che a N I ε a) e, dato che la successioe è crescete, vale a ε < a N < a < a N. Abbiamo mostrato che, dato ε > 0, esiste N > 0 co a I ε a) > N, cioè che lim a = a = sup{a N \ {0}}. I maiera aaloga, si mostra che se a ) è limitata e mootoa decrescete, vale lim a = if{a N \ {0}} Il Teorema 5 è u utile criterio per dimostrare l esisteza di u limite. A titolo di esempio, lo utilizziamo per dimostrare la covergeza di ua celebre successioe e quidi l esisteza di ua fodametale costate, la base del logaritmo aturale). Teorema 6 Il umero di Eulero) La successioe e ) defiita da e = + ) è covergete; il suo limite e := lim + =, ) è oto come umero di Eulero. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) LiLu, 3N Luca Rovelli)

28 Dimostrazioe: mostriamo iazitutto che e è mootoa crescete. + ) co la formula biomiale, e ricordado che )! ) )... k + ) = = k k! k)! k! Sviluppado si ottiee e = + ) = ) + 0 ) + ) ) + ) 3 3 ) = + + )! + ) ) 3! ) )...! = + +! + 3! !... = +! ) + 3! I modo simile otteiamo e + = + + ) + = +! ) )! ) ! ) )... ) ) + ) ) ! + + ) )... ) L espressioe per e ha termii tutti positivi), metre l espressioe per e + e ha +. Ioltre, è facile mostrare che vale k ) k ) + e quidi che i primi termii dello sviluppo di e + soo maggiori dei corrispodeti termii dello sviluppo di e. Ciò dimostra che e + > e. Dimostriamo ora che e è limitata : cosiderado di uovo lo sviluppo e = ++! ) ) + ) ) ) )... ) 3!! e sfruttado le disuguagliaze k chiaro) e k! > k vedi Serie, es..), ricaviamo e ++! + 3! +...+! = + ) ) = + ) < + = 3, dove abbiamo sfruttato la formula per la somma di ua progressioe geometrica co primo termie e ragioe ). Ciò dimostra che e < 3 per ogi, e quidi, dal mometo che tutti i termii soo positivi, che e è limitata. Assieme al Teorema 5, ciò dimostra l esisteza del limite e. ) Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 3 LiLu, 3N Luca Rovelli)

29 9. Calcolo co i limiti Iiziamo co alcui limiti elemetari, a partire dai quali sarà poi possibile trattare successioi più complesse. Il caso più baale è, ovviamete, quello delle successioi costati: Lemma 7 Successioi costati) Sia ua successioe costate. Allora vale a = k lim a = k. Dimostrazioe: ella def.. pag.7) scegliamo N = per qualsiasi ε > 0 Lemma 8 Progressioi aritmetiche) Sia a = a + )d ua progressioe aritmetica di ragioe d. Allora vale +, se d > 0 lim a = a, se d = 0, se d < 0. Dimostrazioe: otiamo iazitutto che il caso d = 0 corrispode ad ua successioe costate. Sia quidi d > 0. Verifichiamo la validità della defiizioe. pag. 9). Sia M > 0; allora vale a > M a + )d > M > M a d +. La defiizioe è quidi soddisfatta co N = M a +. d Per d < 0 si procede aalogamete a < M ecc.) Lemma 9 Progressioi geometriche) Sia a = a q ua progressioe geometrica di ragioe q co a 0. Allora vale +, se q > e a > 0, se q > e a < 0 lim a = a, se q = 0, se < q < o esiste, se q. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 4 LiLu, 3N Luca Rovelli)

30 Dimostrazioe: semplice esercizio. Nota che per q = si tratta di ua successioe costate e per q di ua successioe divergete idetermiata. Lemma 0 Poteze) Vale lim α = +, se α > 0, se α = 0 0, se α < 0. Dimostrazioe: per α > 0, sia M > 0; allora vale α > M > M α =: N ; per α = si tratta di ua successioe costate; per α < 0, sia ε > 0; allora α 0 < ε α < ε > ε α =: N Passiamo ora alle regole di calcolo per le quattro operazioi : Teorema Operazioi fodametali) Siao a ) e b ) due successioi covergeti, co Allora vale lim a = a e lim b = b. a) lim a + b ) = lim a + lim b = a + b ; b) lim a b ) = lim a lim b = a b ; c) lim a b ) = lim a lim b = ab ; d ) se b 0 e b 0 : lim = b a d ) se b 0 e b 0 : lim = b lim b lim a lim b = b ; = a b. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 5 LiLu, 3N Luca Rovelli)

31 Dimostrazioe: a) sia ε > 0; per defiizioe esistoo N e N tali che a a < ε per > N e b b < ε per > N. Sia N = max{n, N } il maggiore dei due umeri; allora per > N etrambe le disuguagliaze soo valide, e quidi 0 a + b ) a + b) = a a) + b b) a a + b b < ε + ε = ε quado > N; vale cioè lim a + b ) = a + b. b) Aalogo ota che vale ache x y x + y ). c) Dal mometo che b ) è covergete, essa è pure limitata Tm. 3). Esiste quidi M > 0 tale che b < M > 0. M può ioltre essere scelto i modo tale che valga a < M. Sia ε > 0; allora a b ab = a b ab + ab } {{ ab = a } a)b + ab b) 0 a a)b + ab b) = a a b + a b b < a a M + M b b. Procediamo ora aalogamete ad a): esistoo N e N tali che a a < ε M per > N e b b < ε M per > N. Co N = max{n, N } vale, per ogi > N, a b ab < a a M + M b b < ε M M ε + M M = ε. d ) Sia ε > 0; allora vale b b = b b bb = b b b b scegliamo N i modo tale che valga b > b > N ; allora per > N vale b b < b b b b = b b. b Per la defiizioe di limite, esiste N > 0 tale che b b < εb > N ; allora, per > N = max{n, N }, vale b b < εb = ε. b 0 ricorda che il valore assoluto soddisfa la disuguagliaza triagolare x + y x + y ; Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 6 LiLu, 3N Luca Rovelli)

32 d ) segue da c) e d : a lim = lim a ) = a b b b = a b Osservazioe: dal Teorema segue, i particolare, che per a ) covergete e k R vale Esempi: ) lim 5 + ) = = 5 ; lim k a ) = k lim a. 7 ) lim 3 = lim ) { }} { 7 3 = lim ) 3 = 7 3 ; + 3 3) lim = lim ) + 5) = lim = lim + 5 = 0 = 0; { }} { 3 4) lim = lim + 5 ) ) = 3 9 = 3 } {{ 3 } 0 0 ; 5 5) lim 3 = lim + 0 6) lim = lim 5 { }} { ) ) } {{ } 3 { }} { + 3 ) ) } {{ } 7 5 = lim 3 = + ; = 7 lim = 0. Osservazioe: gli esempi 3) - 6) rappresetao quozieti di successioi divergeti determiate che più tardi idicheremo co l espressioe simbolica ). Come mostrao tali esempi, o è possibile stabilire a priori il comportameto del quoziete, ma el caso di umeratore e deomiatore poliomiali risulta efficace la messa i evideza dei termii di grado più elevato. Potremmo riassumere quato visto come segue: Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 7 LiLu, 3N Luca Rovelli)

33 Corollario Successioi razioali) Siao a = A k k + A k k A + A 0 e b = B l l + B l l B + B 0 due successioi poliomiali. Allora vale e quidi: a A k k + A k k A + A 0 lim = lim b B l l + B l l B + B 0 a k > l lim = ± ; b a k = l lim = A k ; b B k a k < l lim = 0. b = A k B l lim k l, Quidi: i termii di grado iferiore o hao alcu iflusso sul valore del limite. Esempi: 7) lim 3x 7 x 6 x 5 + 7x 4 9x + 9x 8) lim = + ; ) 5 + ) ) ) 5 = lim Dal Teorema segue ioltre il ) ) ) ) = lim = 8. Corollario 3 Poteze e radici) Sia a ) ua successioe covergete, co lim a = a, e sia k N \ {0}. Allora vale ) k a) lim a ) k = lim a = a k ; b) se a 0 : lim k a = k lim a = k a. Dimostrazioe: a) Iduzioe rispetto a k: k = : chiaro; k k + : lim a ) k+ = lim a ) k a = lim a ) k } {{ } a k ip.id.) lim a = a k a = a k+. } {{ } a Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 8 LiLu, 3N Luca Rovelli)

34 b) Presuppoedo la covergeza di k a, vale Esempi: e quidi lim k a = k a 9) lim 5 + = lim ) lim = 3 lim ) lim lim ) lim lim lim 5 + ) = 5 ; = 3 k a ) k = k a ) k = a, 7 = 3 ; ) = lim + ) ) = = 3 ; = lim ) ) = 3 ) ) ) = = = lim +. Osservazioe: gli esempi ) e ) mostrao che ache el caso di u quoziete di fuzioi irrazioali può essere coveiete mettere i evideza i termii di grado più elevato dopo averli estratti dai radicali). 3) lim + ) + 5 = lim + ) = +5 + ) + 5) lim = lim = lim 5 ) ) = = = Osservazioe: l esempio 3) cosiste i ua differeza di successioi divergeti determiate che più tardi idicheremo co l espressioe simbolica ). I casi del geere o è possibile stabilire a priori il valore del limite. Nel caso della differeza di successioi irrazioali, può però essere utile amplificare l espressioe facedo uso del prodotto otevole x + y)x y) = x y, per poi ridursi al calcolo di u limite del tipo descritto dai due esempi precedeti. Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 9 LiLu, 3N Luca Rovelli)

35 0. Forme simboliche e forme di idecisioe Passiamo ora ai limiti ifiiti, e quidi allo studio dei limiti delle successioi costruite a partire da successioi sia covergeti che divergeti determiate. Esempio itroduttivo: cosideriamo le successioi a ), b ), c ) e d ) co a = +, b = +, c =, d = 3. È facile vedere che per tutte e quattro il limite per vale +. Cosideriamo ora i limiti di alcui quozieti; co l aiuto del Corollario vediamo immediatamete quato segue: a + lim = lim b + = + ; a + lim = lim = c ; a + lim = lim = 0. d 3 Nel caso del quoziete di due successioi divergeti determiate o è possibile stabilire a priori il comportameto del quoziete, ma occorre stabilirlo volta per volta per mezzo di metodi ad hoc. Descriveremo tale situazioe dicedo che è ua forma di idecisioe. Descriviamo ora, sotto forma di teoremi, alcue situazioi i cui il limite può essere stabilito a priori: Teorema 4 Somma e sottrazioe) a) Sia lim a = a R e lim b = ± ; allora vale I breve: a ± = ±. lim a + b ) = ±. b) Sia lim a = lim b = ± ; allora vale lim a + b ) = ±. I breve: + ) + + ) = +, ) + ) =. Nota che, dal mometo che o è u umero reale, le forme simboliche utilizzate soo semplicemete delle abbreviazioi e o rappresetao delle vere e proprie operazioi algebriche! Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 30 LiLu, 3N Luca Rovelli)

36 Dimostrazioe: a) Siao lim a = a R e lim b = +. Per il Tm. 3, a ) è limitata iferiormete): esiste A R co a > A. Sia ε > 0; allora esiste N tale che b > N A > N, e di cosegueza a + b > A + N A = N > N, cioè lim a + b ) = +. Il caso a si dimostra aalogamete. b) Siao lim a = + e lim b = +. Sia M > 0; allora esistoo N e N tali che a > M risp. b > M per > N risp. > N. Sia N = max{n, N }: per > N vale a + b > M + M = M, cioè lim a + b ) = +. Il caso si dimostra aalogamete Osservazioe: ella parte a) abbiamo di fatto dimostrato u affermazioe più geerale di quella dell euciato del Teorema: se a ) è limitata e lim b = ±, allora vale lim a + b ) = ±. Esempi: ) lim + ) = + = + ; ) lim 3) = 0 = ; 3) lim si) + ) = +, dal mometo che si tratta della somma di ua successioe limitata e di ua successioe tedete a +. Osservazioe: il caso della differeza di due successioi tedeti etrambi allo stesso ifiito idicato co + ) + ) risp. ) ) ) è più problematico, dal mometo che o è possibile stabilire a priori quato valga il limite. Si tratta di u ulteriore forma di idecisioe. Soo ad esempio di questo tipo i limiti ) lim ) e lim + v. sotto). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 3 LiLu, 3N Luca Rovelli)

37 Teorema 5 Prodotto) a) Sia lim a = a R e lim b = ± ; allora vale se a > 0: lim a b ) = ±, i breve: a ± ) = ± ; se a < 0: lim a b ) =, i breve: a ± ) =. b) Sia lim a = lim b = ± ; allora vale lim a b ) = + I breve: + ) + ) = ) ) = +. Sia lim a = ± e lim b = ; allora vale lim a b ) = I breve: + ) ) = ) + ) =. Dimostrazioe: svolgiamo, a titolo di esempio, u solo caso di a). Siao lim a = a > 0 e lim b = + ; allora, dato che a ) è limitata, esiste A > 0 co a > A. Sia M > 0; per defiizioe, esiste N > 0 co b > M > N. Allora, sempre per > N, A vale cioè lim a b = + a b > A M A = M, Nota che, di fatto, abbiamo dimostrato u affermazioe più geerale: se a ) è positiva e limitata e lim b = +, allora vale lim a b ) = +. Esempi: 4) lim 3 x + ) = = + ; 5) lim x) = 3 ) = ; 6) lim e l = + ) ) = ; 7) lim 3 5) = lim 3 5 ) = + ) 3 = +. Osservazioe: soo ivece di idecisioe le forme 0 + ) e 0 ). Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 3 LiLu, 3N Luca Rovelli)

38 L idea utilizzata ell esempio 7 può essere geeralizzata alle successioi poliomiali, della forma a = p) = A k k + A k k A + A 0 co A 0, A,..., A k R ; mettedo i evideza la poteza più alta di, si ottiee lim p) = k A k + 0 { }} { A k A + A ) 0 k k = lim A k k. Il comportameto per di ua successioe di questo tipo dipede quidi soltato dal termie di grado più alto. Vale il Corollario 6 Successioi poliomiali) Siao A 0, A,..., A k R, co A k 0, e sia Allora vale p) = A k k + A k k A + A 0. dove il sego del limite è lo stesso di A k. lim p) = lim A k k = ±, Il seguete teorema, di cui omettiamo la dimostrazioe, precisa il comportameto dei quozieti di successioi covergeti e divergeti determiate: Teorema 7 Quoziete) a) Sia lim a = a R {± } e lim b = 0; allora vale lim a b I breve: a = +, ± = = +. b) Sia lim a = a R e lim b = ± ; allora vale Osservazioi: I breve: a ± = 0. a lim = 0. b i) Il caso ± a può essere ricodotto al caso a ± ) poedo a = a ; Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 33 LiLu, 3N Luca Rovelli)

39 ii) I geerale, ella parte a), il termie a b o può essere sostituito dal semplice quoziete a b : cosidera ad esempio le successioi a = cost.) e b = ) ; allora il limite a lim = lim ) b o esiste, metre vale lim a b = lim = +. a iii) per quato riguarda il sego del limite lim b, esso dev essere determiato teedo coto dei segi di a e di b ammesso che il limite del quoziete esista); iv) le forme ± e 0 soo di idecisioe. ± 0 Esempi: + 8) lim = = 0 ; e x + 9) lim log e = + 0 = +. Osservazioe: per quato riguarda le successioi ulle, a volte è comodo precisare il seso della covergeza da destra risp. da siistra ) come segue: lim a = 0 + se esiste 0 per cui a > 0 > 0 ; lim a = 0 se esiste 0 per cui a < 0 > 0. Esempi: 0) lim = 0+ ; ) lim = 0. Ciò può essere utile per la forma simbolica a 0 : potremmo precisarla distiguedo 0 = + ; + 0 = a parole: se a si avvicia a 0 da destra, a avvicia a 0 da siistra, a tede a ). tede a +, rispettivamete se a si Esempi: 3 3 ) lim = = ; Successioi e serie umeriche, corso scietifico V0.) 34 LiLu, 3N Luca Rovelli)

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