TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

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1 Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

2 NUMERI INTERI

3 QUESITO Un quesito (facile) sulle cifre: Sulla lavagna c'e scritto un numero di 17 cifre composto da soli 1 e 2. Paolo entra e riscrive il numero in sequenza inversa, allineandolo sotto il precedente. Gianni entra e scrive sotto ogni colonna la cifra massima che compare in quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna la cifra minima che compare in quella colonna, poi cancella le prime due righe. Carla entra e trova scritti i numeri e e le viene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e Alberto. Quanti sono i diversi numeri che potevano essere scritti sulla lavagna come primo numero?

4 SUGGERIMENTO Consideriamo le righe che legge Carla: Cifra massima Cifra minima Possiamo prevedere facilmente molte cifre dei numeri cancellati..

5 SOLUZIONE Dall analisi delle ultime due righe ricaviamo: 1 2 * * * 2 1 Cifra massima Cifra minima Nelle posizioni residue abbiamo sempre un 1 e un 2. Ma scelta una cifra se ne determinano univocamente altre 3 Le posizioni sono 4 e il numero è dato dalle permutazioni di 2 cifre: 2 4 = 16

6 NOTAZIONE POSIZIONAE Data una base x il numero..bca in base x vale:..bca base x = a x 0 + b x 1 + c x = a + b x + c x Esempi: 723 base10 = base2 = = 22 base base5 = = = 5 ( ) Un numero in base x che termina con n zeri si può scrivere come x n A

7 QUESITO Sia x il numero di zeri con cui termina 2000! quando è scritto in base 5, e y il numero di zeri con cui termina 2013! quando è scritto in base 10. Calcolare x-y. (Ricordiamo che il numero n!, per n intero positivo, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n.) (A) -2 (B) 0 (C) 2013 (D) 13! (E) Nessuna delle precedenti.

8 SUGGERIMENTO Il numero 2013! = 10 y p (con y = numero di zeri finali del numero). Il fattore p non contiene ulteriori fattori 5 e quindi vale anche 2013! = 5 y 2 y p = 5 y n. Analogamente si ha che 2000! = 5 x m (con y = numero di zeri finali del numero quando è scritto in base 5) Adesso valutiamo

9 SOLUZIONE Il numero 2013! = 10 y p (con y = numero di zeri finali del numero). Il fattore p non contiene ulteriori fattori 5 e quindi vale anche 2013! = 5 y 2 y p = 5 y n. Analogamente si ha che 2000! = 5 x m (con y = numero di zeri finali del numero quando è scritto in base 5) Adesso valutiamo Visto che non contiene fattori 5 il rapporto contiene un numero di fattori 5 contenuti nel prodotto E' facile verificare che essi sono solo 2 (fattori di 2005 e 2010). Quindi y - x = 2. (Risposta A)

10 DIVISIONE Dati due numeri interi a, b con a b è sempre possibile trovare altri 2 numeri interi q ed r tali che: a = b q + r Quoziente della divisione tra a e b Resto della divisione tra a e b a div b = q a mod b = r

11 DIVISIBILITA Si dice che a divide b, o che a è divisore di b, o che b è multiplo di a (in simboli a b) se effettuando la divisione con resto di b per a si ottiene che r = 0. Più esplicitamente a b se esiste un intero q tale che b = aq. Notare che tra i divisori di un numero b sono sempre presenti 1 e b stesso e che tutti i numeri dividono lo 0. Com è facile verificare, la caratteristica di essere multipli si preserva con le combinazioni lineari: in altre parole se a,b sono multipli di d allora h a+k b è anche multiplo di d per qualsiasi scelta di h,k interi.

12 NUMERI PRIMI Si dice inoltre che p è un numero primo se ogni qualvolta divide un prodotto divide anche almeno uno dei fattori, cioè Questa definizione è equivalente a quella più nota, secondo cui un numero è primo se non ha divisori all infuori di 1 e se stesso. Notare che 1 non è considerato un numero primo.

13 QUESITO Determinare il più grande numero di due cifre tale che: a) sia un numero primo; b) scambiando di posto le due cifre resti un numero primo; c) il prodotto delle due cifre sia un numero primo.

14 SUGGERIMENTO Per la condizione c) il prodotto delle due cifre deve essere un numero primo. Perchè questo avvenga è necessario che una delle due cifre sia 1, altrimenti il numero che ne deriva moltiplicando è composto.

15 SOLUZIONE Supponendo che 1 sia la cifra delle decine, la condizione a) restringe le possibilità ai soli 11, 13, 17, 19, unici numeri primi tra 10 e 19 compresi. Scambiando l ordine delle cifre 11, 31, 71 sono primi mentre 91 = Di conseguenza il più grande numero che soddisfa le tre condizioni a), b), c) è 71.

16 NUMERI PRIMI I numeri primi hanno un ruolo particolare nella teoria dei numeri, soprattutto poiché ogni intero è scrivibile in modo unico come prodotto di potenze di numeri p i primi distinti: Verificare se un numero a è primo o meno è un problema complesso, tuttavia sono note alcune strategie per farlo. Una prima strategia (utile anche per trovare la fattorizzazione di un numero non primo) consiste nel dividere il numero a per tutti i primi noti in ordine crescente, fino ad arrivare a a. A quel punto, se nessuno dei primi che abbiamo provato era un divisore esatto di a, allora a è certamente primo

17 FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO In sintesi: Sia n un numero naturale. L'insieme degli eventuali fattori primi di n è formato da tutti i numeri primi che dividono n n e che sono. Se n non possiede divisori primi < numero primo. n è un

18 FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO Per scomporre un numero provare a dividere per i principali numeri primi (o suoi multipli). Principali criteri di divisibilità: per 2 un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari per 3 un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 per 4 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

19 FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO per 5 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 per 6 un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3 per 7 un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.» per es è divisibile per 7 se lo è il numero *6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero per 8 un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre per 9 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 per 10 un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

20 FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO per 11 un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11» per es è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0 per 12 un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4 per 13 un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13» per es è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91) per 17 un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17» per es è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17 per 25 un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75 per 100 un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

21 QUESITO Un numero si dice moderno se, in base 10, può essere espresso concatenando un pò di scritture decimali di 2006: ad esempio è moderno, mentre e non lo sono. Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto moderno positivo? (A) 32 (B) 64 (C) 100 (D) 1000 (E) non esiste un tale numero.

22 SUGGERIMENTO Un numero moderno è sempre divisibile per 2006, e quindi si può scrivere come 2006 ( ) = ( ). Il terzo fattore è dispari..

23 SOLUZIONE Un numero moderno è sempre divisibile per 2006, e quindi si può scrivere come 2006 ( ) = ( ). Il terzo fattore è dispari e quindi un numero moderno, che è sicuramente pari, non può avere come divisore 4. Pertanto un numero moderno non può essere un quadrato perfetto (E).

24 QUESITO Un folletto vive nel mondo delle fate. Un certo giorno sceglie 12 coppie di numeri positivi: quelli della prima sono dispari, quelli della seconda danno resto 1 se divisi per 3, quelli della terza danno resto 1 se divisi per 4, e così via fino alla dodicesima. Poi calcola la differenza dei quadrati dei numeri di ciascuna coppia e scrive su una lavagna il prodotto di tutte le differenze ottenute. Dalla mattina successiva, divide per 12 il numero sulla lavagna e, se il risultato è intero, scrive questo risultato al posto del numero che era sulla lavagna; se non è intero, cancella tutto e si trasferisce nel mondo degli umani a fare scherzetti. Per quanti giorni (escluso quello iniziale in cui il folletto sceglie i numeri) siamo sicuri che non avremo problemi nel nostro mondo? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 12.

25 SUGGERIMENTO 1 I due numeri dispari danno resto 1 se divisi per 2 Se k-1 è la fila (per 2 k 13) la coppia si può scrivere: (a, b) = (nk+1, mk+1) La differenza dei quadrati vale: a 2 b 2 = (a - b)(a + b) = = (nk-mk)(nk+mk+2) = (n-m)k(nk+mk+2) Di conseguenza il prodotto scritto dal folletto sulla lavagna è sicuramente divisibile per..

26 SUGGERIMENTO 2 Di conseguenza il prodotto scritto dal folletto sulla lavagna è sicuramente divisibile per 13!. Scomponiamo 13! = = Quindi il prodotto è sicuramente divisibile per..

27 SOLUZIONE Quindi il prodotto è sicuramente divisibile per Quindi sicuramente il folletto potrà dividere per 12 almeno per 5 giorni di fila trovando sempre un risultato intero. Ma se il folletto scegliesse ad esempio le coppie (2k+1, k+1) per k = 4,7,10,13 e le coppie (k+1, 1) per i k restanti, le differenze dei quadrati (rispettivamente 3k 2 + 2k e k 2 + 2k = k(k + 2)) conterrebbero in tutto esattamente 5 fattori 3, perciò il loro prodotto risulterebbe divisibile per 12 non più di 5 volte. Ma allora in quel caso il sesto giorno la divisione produrrebbe un numero non intero; quindi possiamo contare su 5 giorni, ma non di più. (B)

28 QUESITO Quattro interi positivi a 1 < a 2 < a 3 < a 4 sono tali che, dati due qualunque di essi, il loro massimo comun divisore è maggiore di 1, ma mcd(a 1, a 2, a 3, a 4 ) = 1. Qual è il minimo valore che può assumere a 4? (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 30 (E) 105.

29 SUGGERIMENTO Ovviamente esiste almeno un valore a k dispari. Infatti se fossero tutti pari non avrebbero MCD = 1 Prova che almeno uno dei 4 numeri ha 2 fattori primi distinti. Se, per assurdo, tutti e quattro avessero un solo fattore primo..

30 SOLUZIONE Ovviamente esiste almeno un valore a k dispari. Infatti se fossero tutti pari non avrebbero MCD = 1 Proviamo che almeno uno dei 4 numeri ha 2 fattori primi distinti. Se, per assurdo, tutti e quattro avessero un solo fattore primo (a k = p s ) l ipotesi che il MCD di due dei numeri è>1 non potrebbe essere soddisfatta perché i due numeri dovrebbero avere un fattore in comune. Quindi c è almeno un numero a k che ha almeno due fattori primi diversi da due, e quindi vale almeno 3 5 = 15. D altra parte, si verifica che la quaterna 6, 10, 12, 15 soddisfa tutte le ipotesi del problema, quindi 15 è veramente il minimo che cerchiamo.

31 INSIEME DELLE PARTI

32 QUESITO Caboyara, famoso circense australiano, si esibisce anche quest'anno in un gran trucco. Predispone una scala spettacolare con N = p 1 p 2... p 2015 gradini, dove p 1, p 2,...,p 2015 sono numeri primi distinti; i gradini che corrispondono a divisori di N (compresi il primo e l'n-esimo gradino) sono speciali e sono inizialmente illuminati di verde. Durante lo spettacolo, 2015 canguri ammaestrati salgono uno dopo l'altro la scala; per i = 1,2,...,2015, l'i-esimo canguro salta p i gradini alla volta, partendo ai piedi della scala (salta sul gradino p i, poi sul 2p i, e così via finché non raggiunge il gradino N). Ogni volta che un canguro salta su un gradino speciale, questo cambia colore: da verde diventa rosso, da rosso verde. Quanti saranno i gradini speciali illuminati di verde alla fine dell'esibizione? (A) (B) (C) (D) (E)

33 SUGGERIMENTO 1 Se d è un divisore di N esso è il prodotto di k tra i divisori primi di N: { p 1, p 2,...,p 2015 }. L'i-esimo canguro passerà sul gradino speciale posto nella posizione d se p i è uno dei k divisori. Se k è pari segue che.., se k è dispari segue che..

34 SOLUZIONE 1 Se d è un divisore di N esso è il prodotto di k tra i divisori primi di N: { p 1, p 2,...,p 2015 }. L'i-esimo canguro passerà sul gradino speciale posto nella posizione d se p i è uno dei k divisori. La luce cambierà quindi colore tante volte quanti sono i fattori primi di d: se k è pari sarà verde, se k è dispari sarà rossa.

35 SUGGERIMENTO 2 Supponiamo che k sia pari, essendo 2015 dispari, esiste un divisore d' formato da 2015-k fattori (dispari).. Analogamente se k è dispari.. Quindi il numero dei k pari è..

36 SOLUZIONE 2 Supponiamo che k sia pari, essendo 2015 dispari, esiste un divisore d' formato da 2015-k fattori (dispari). Analogamente se k è dispari siste un divisore d' formato da 2015-k fattori (pari). Quindi per ogni possibile combinazione pari di fattori ne corrisponde una dispari e viceversa. Segue che il numero delle combinazioni pari (che ricordiamo lascia il gradino speciale di colore verde) è uguale a quello delle combinazioni dispari ed entrambi sono uguali alla metà del numero dei sottoinsiemi di {p 1, p 2,...,p 2015 } = (Risposta B)

37 SUCCESSIONI

38 SUCCESSIONI Una successione è una sequenza ordinata di numeri appartenenti ad un insieme assegnato: ad esempio, si possono avere successioni di numeri interi, razionali, reali, complessi. Il primo elemento della sequenza viene, convenzionalmente, chiamato a 0, il secondo a 1 e così via discorrendo: a 0, a 1,., a n,

39 SUCCESSIONI I modi in cui vengono di norma descritte le successioni sono due: 1. con una legge: ciascun termine a n è assegnato mediante una funzione che, in generale, dipende da n. Ad esempio, a n = 2n+1, n N è la successione dei numeri dispari; 2. ricorsivamente: ciascun termine a n è assegnato mediante una funzione ricorsiva che, in generale, dipende dai termini precedenti a n-1,a n-2,..,a 1,a 0. Ad esempio, la successione definita da è la celeberrima successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

40 SUCCESSIONI I modi in cui vengono di norma descritte le successioni sono due: 1. con una legge: ciascun termine a n è assegnato mediante una funzione che, in generale, dipende da n. Ad esempio, a n = 2n+1, n N è la successione dei numeri dispari; 2. ricorsivamente: ciascun termine a n è assegnato mediante una funzione ricorsiva che, in generale, dipende dai termini precedenti a n-1,a n-2,..,a 1,a 0. Ad esempio, la successione definita da è la celeberrima successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

41 PROGRESSIONI ARITMETICHE Una successione di numeri a 0, a 1,., a n, si dice progressione aritmetica se è definita ricorsivamente nel seguente modo: Cioè se la differenza tra due termini consecutivi è costante ed uguale alla ragione d della progressione. Sulle progressioni aritmetiche si possono dimostrare facilmente le seguenti formule: Il generico termine a r si può esprimere come La somma dei termini da a r a a s è:

42 PROGRESSIONI GEOMETRICHE Una successione di numeri a 0, a 1,., a n, si dice progressione geometrica se è definita ricorsivamente nel seguente modo: Cioè se il rapporto tra due termini consecutivi è costante ed uguale alla ragione k della progressione. Il generico termine a r si può esprimere come La somma dei termini da a r a a s è: Il prodotto dei termini da a r a a s è:

43 QUESITO Una sequenza a 1... a 100 di numeri reali è tale che la media aritmetica fra due termini consecutivi sia sempre uguale all'indice del secondo termine (ad esempio, si ha ). Quanto vale la somma dei 100 numeri della sequenza? (A) 2550 (B) 5050 (C) 5100 (D) (E) Non si può determinare: dipende da a 1

44 La somma richiesta è SUGGERIMENTO

45 SOLUZIONE La somma richiesta è = 2 ( ) = 4 ( ). La somma dei primi n numeri naturali è: segue che = 5100 (Risposta C)

46 QUESITO DIMOSTRATIVO Determinare tutte le terne di interi strettamente positivi (a,b,c) tali che - a b c ; - MCD(a, b, c) = 1; - a è divisore di b+c, b è divisore di c+a e c è divisore di a+b.

47 SOLUZIONE Cominciamo a dimostrare che i 3 numeri sono a due a due coprimi: Infatti sia d = MCD(a,b) d/a d/b+c Ma d/b quindi d/b+c-b d/c Dunque d è il MCD di tutti e tre che per ipotesi è 1 Analogamente si dimostra per le altre coppie Adesso dimostra che ogni numero divide a+b+c.. Infatti a/b+c a/(b+c)+a e così via per gli altri.

48 SOLUZIONE Ma i numeri sono a due a due coprimi quindi il prodotto abc.. è un divisore di a+b+c Visto che abc/(a+b+c) abc a+b+c Ma essendo a b c abc a+b+c 3c ab 3

49 SOLUZIONE Abbiamo ottenuto la condizione ab 3, ma sappiamo anche che c a + b quindi le terne non saranno molte: CASO 1 a = 1 e b = 1 Abbiamo due terne possibili: (1,1,1) (1,1,2) Entrambe soddisfano le condizioni richieste

50 SOLUZIONE CASO 2 a = 1 e b = 2 L unica terna possibile è: (1,2,3) che soddisfa le condizioni richieste CASO 3 a = 1 e b = 3 L unica terna possibile è: (1,3,4) che NON soddisfa le condizioni richieste

51 GRIGLIA DI VALUTAZIONE Elencare le soluzioni: 1 punto. Affermare che i numeri sono a due a due coprimi: 2 punti. Dimostrare la precedente asserzione: 2 punti. Dedurre che allora abc divide a + b + c: 4 punti. A chi deduce (erroneamente) la divisibilità dalla sola informazione MCD(a,b,c) = 1 assegnare comunque 2 punti. Passare dall'informazione di divisibilità (abc divide a+b+c) alla disuguaglianza abc a+b+c: 2 punti. Dedurne la disuguaglianza abc 3c: 2 punti. Elencare correttamente i casi possibili e trattarli: 2 punti. TOT = 15 PUNTI

52 2016 = =

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

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