CORSO DI IDRAULICA esercizi svolti di correnti a superficie libera

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1 08/0/000 CORSO DI IDRAULICA esercizi svolti di correnti a superficie libera Prof. E. Larcan - Ing. F. Ballio collaborazione dell'ing. Sara Marcante

2 Sulla base dell'esperienza didattica nell'ambito dei corsi di Idraulica si è sentita l'esigenza di sviluppare una serie di esercizi riguardanti le correnti a superficie libera in moto permanente. Sono qui raccolti una serie di 5 esercizi svolti in maniera puntuale, ce anno lo scopo di guidare lo studente in ogni passo logico della risoluzione del problema, indicandone la metodologia di approccio. Altri 4 esercizi sono svolti invece dando per scontato alcuni dei passi fondamentali già discussi, ponendo l'attenzione sulle condizioni al contorno e sulle difficoltà ce non erano state precedentemente introdotte. Il materiale si presenta in forma provvisoria e riciederà una revisione ed un completamento; ciò nonostante si è ritenuto utile renderlo disponibile agli studenti per la preparazione all'imminente sessione di esame. Sono gradite osservazioni, note e correzioni ce faciliteranno tale revisione. Milano, 6 maggio 1997

3 ESERCIZIO 1 Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nell alveo prismatico a sezione di geometria nota indicato in figura. Sono noti inoltre: la scabrezza, la portata e la pendenza di ogni singolo tratto di alveo i j. i 1 > i c 1 b i i 3 > i 1 > i c Il 1 tratto di alveo è a forte pendenza ed è indefinito verso monte, il tratto è a debole pendenza e di lungezza nota; il 3 tratto è a forte pendenza ed è indefinito verso valle. La pendenza del 3 tratto è maggiore rispetto a quella del 1 tratto. Note la portata e la geometria della sezione, è possibile calcolare l altezza di stato critico, attraverso la relazione: A B = α (1) g 3 nella quale si può porre il coefficiente di ragguaglio per la potenza cinetica α =1. A è l area della sezione e B la largezza dell alveo in corrispondenza del pelo libero. Nel caso della sezione trapezia in esame A e B valgono rispettivamente: A = A( ) = b + () B = B() = b + (3) Sostituendo la () e la (3) nella (1) è possibile ricavare per tentativi. Essendo la sezione dell alveo costante, il valore di è lo stesso per i tre tratti.

4 Esercizio 1 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B B b i 1 > i c i i 3 > i 1 > i c Noti, inoltre, il coefficiente di scabrezza s di Stricler e la pendenza i j di ogni singolo tratto, è possibile calcolare l altezza di moto uniforme 0,j nei tre tratti, mediante la formula di Cézy: = A0 C R i (4) dove C = s R 1/6 Nel caso in esame l area e il raggio idraulico nelle condizioni di moto uniforme valgono: A0 = 0 b+ 0 0 R A 0 b + 0 = = P 0 b (5) 0 0 b + = b + 5 Sostituendo la (5) e la (6) nella (4) è possibile ricavare per tentativi 0. 0 (6) NOTA: l altezza di moto uniforme del 3 tratto è minore rispetto a quella del 1 tratto. Come si può osservare dalle formule sopra scritte, infatti, sia A ce R crescono all aumentare di 0. A parità di portata, dalla formula di Cézy risulta pertanto evidente ce 0 deve diminuire all aumentare della pendenza i.

5 Esercizio 1 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B i 1 > i c 0, i 0,3 i 3 > i 1 > i c Per individuare le condizioni al contorno per il tracciamento del profilo, si può cominciare osservando ce il 1 tratto di alveo è a forte pendenza. In un alveo a forte pendenza, la condizione di moto uniforme viene raggiunta asintoticamente verso valle. Poicé il tratto d alveo è indefinito verso monte (non presenta cioè alcun disturbo a monte), in esso si instaurano condizioni di moto uniforme. In assenza di disturbi da valle in grado di provocare una corrente lenta, nel 1 tratto si a moto uniforme in corrente veloce. A valle della sezione A l alveo è a debole pendenza. L unico profilo di corrente veloce in alveo a debole pendenza è il profilo D3 (ce in questo caso parte da in corrispondenza della sezione A). Esso tende allo stato critico, dove avrebbe una tangente verticale. E possibile tracciare il profilo D3 fino all altezza di stato critico. 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B i 1 > i c D3 0, i 0,3 i 3 > i 1 > i c 3

6 Esercizio 1 Nella figura precedente il profilo D3 è stato tratteggiato in quanto, come si vedrà in seguito, non è detto si verifici effettivamente. Si può inoltre notare ce nella sezione B si a il passaggio da debole a forte pendenza; questa è normalmente una condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico. Nel tratto di alveo (sez. A - sez. B) si avrà quindi un profilo D di corrente lenta, ce può essere tracciato partendo dalla sezione B e risalendo verso monte. Tale profilo D tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. Se il profilo raggiunge la sezione A, esso determina la condizione al contorno per il tracciamento, nel tratto a monte, dell unico profilo di corrente lenta nell alveo a forte pendenza (F1), ce tende allo stato critico ove avrebbe tangente verticale. Il tracciamento del profilo F1 va quindi eseguito a partire dall altezza raggiunta dal profilo D in corrispondenza della sezione A e procedendo verso monte. Ance in questo caso il profilo F1 è stato tratteggiato, in quanto non è detto ce debba verificarsi. Il 3 tratto di alveo è a forte pendenza e indefinito verso valle. Si a quindi un profilo F di corrente veloce accelerata, ce parte da nella sezione B e tende asintoticamente al moto uniforme verso valle. 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B F1 D i 1 > i c D3 0, F i 0,3 i 3 > i 1 > i c La figura seguente mostra qualitativamente il profilo completo. Sono inoltre segnalate le posizioni dei due possibili risalti (a monte o a valle della sezione A). In seguito verrà discusso il problema della localizzazione del risalto stesso. 4

7 Esercizio 1 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B F1 D i 1 > i c D3 0, F i 0,3 i 3 > i 1 > i c DEFINIZIONE UANTITATIVA DEL PROFILO L andamento qualitativo del profilo prima trovato e le considerazioni ce lo anno determinato permettono di conoscere da quale sezione bisogna partire per il suo tracciamento quantitativo (in pratica per il calcolo dell altezza d acqua in ogni sezione dell alveo) e con quali condizioni al contorno ( di partenza nel calcolo del profilo). 1 tratto: moto uniforme. = =cost tratto: il calcolo del profilo D viene eseguito utilizzando un procedimento alle differenze finite. Si ricorda ce il tracciamento di una corrente lenta va eseguito da valle verso monte. In questo caso si parte dalla sezione B, in cui è nota e pari a. Si impone quindi come condizione al contorno: = Il tracciamento per differenze finite si effettua imponendo un passo (positivo in quanto l altezza cresce verso monte) e calcolando E e E ad ogni passo tramite le formule: E = + g A E = E(+ ) - E() Dove A = A(). Si calcola quindi E s = i J dove i è la pendenza dell alveo e J è la cadente ce si calcola con la formula di Cézy: 5

8 J = C R A Esercizio 1 La cadente J può essere calcolata ad esempio in corrispondenza dell altezza media dell intervallo in studio (sono valide ance altre approssimazioni). In tal caso risulta: A = A + e B = B + L integrazione prosegue fino a quando la somma dei s calcolati uguaglia la lungezza del tratto d alveo (in pratica fino a quando si raggiunge la sezione A). Ciamiamo * l altezza d acqua ce si verifica nella sezione A. Per il completamento del profilo nell intorno della sezione A si rimanda al paragrafo seguente. Il profilo F nel 3 tratto si traccia in maniera analoga, a partire dalla sezione B (=). CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO Dal momento ce si conoscono le altezze dei due profili (di corrente lenta di valle * e di corrente veloce di monte ) in corrispondenza della sezione A, si calcolano le rispettive spinte totali con la formula: S = γ A G + ρ A Dove G = G () è l affondamento del baricentro sotto il pelo libero. Si possono avere due casi: 1) S veloce < S lenta => il risalto è spinto a monte. La corrente veloce in questo caso è in moto uniforme, quindi: Sveloce S0, 1 = γ A0, 1 G + ρ A 0, 1 Per quanto riguarda la corrente lenta di valle, bisogna tracciare il profilo F1, partendo dalla sezione A e proseguendo verso monte. La condizione di partenza è l altezza * (calcolata precedentemente) raggiunta dal profilo D in corrispondenza della sezione A. Ad ogni passo (per ogni ) si calcola ance la spinta S lenta fino a raggiungere un valore pari alla S veloce. Tale operazione può essere effettuata graficamente, dopo aver tracciato il diagramma delle spinte totali: 6

9 Esercizio 1 S S lenta, A Andamento della spinta totale per = cost A S vel S 0,1 veloce lenta * ) S veloce > S lenta => il risalto è spinto a valle. In questo caso bisogna tracciare, per differenze finite, il profilo D3, partendo dall altezza di moto uniforme in corrispondenza della sezione A e procedendo verso valle. Ad ogni passaggio (per ogni ) si calcola la spinta e la si confronta con quella della corrente lenta nella stessa sezione, la cui altezza è già stata precedentemente calcolata (profilo D). Si prosegue nel calcolo del profilo D3, fino a quando S veloce =S lenta (punti B e B del grafico seguente). S Andamento della spinta totale per = cost A A B B A sez. A B D A B D3 0, 1 * A questo punto rimane da tracciare il profilo del 3 tratto. Si noti come nel caso (1) nel calcolo del risalto l altezza di corrente veloce (e quindi S veloce ) è nota a priori, e rimane da calcolare solo l altezza di corrente lenta e l ascissa in cui il risalto si verifica. Nel caso () sono invece variabili e quindi incognite entrambe le altezze. 7

10 Esercizio 1 PROFILO ALTERNATIVO Il profilo D3 può ance protrarsi fino alla sezione B, senza raggiungere lo stato critico e senza ce si verifici un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è sempre maggiore di quella della corrente lenta D. uesta ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il tratto di alveo sia molto corto. Il profilo del 3 tratto è sempre di tipo F, ma in questo caso la condizione iniziale per il suo tracciamento non è più, bensì l altezza raggiunta dal profilo D3 in corrispondenza della sezione B. Com è ovvio, la tangente al profilo in corrispondenza di quest ultima sezione non è verticale. Si può quindi osservare come in questo caso il passaggio da debole a forte pendenza non sia condizione sufficiente per determinare il passaggio attraverso lo stato critico. Il profilo alternativo è il seguente: 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B i 1 > i c D3 F i i 3 > i 1 > i c NOTA: è utile sottolineare ce nel 3 tratto di alveo non può verificarsi un profilo F3, in quanto B > 0, 1 > 0, 3. 8

11 ESERCIZIO Tracciamento dei possibili profili di moto permanente per l alveo prismatico a sezione di geometria nota indicato in figura. Sono noti inoltre: la pendenza i, i coefficienti di Stricler di ogni singolo tratto di alveo s, j e la portata. 1 b s, 1 = 80 s, = 40 i s, 3 = s, 1 = 80 La pendenza è costante nei tre tratti in cui può essere suddiviso l alveo. Ance la sezione, di geometria nota, non varia. Il parametro ce varia è il coefficiente di Stricler. Dal momento ce la sezione è costante, l altezza di stato critico è la stessa nei tre tratti ed è ricavabile (come visto nell esercizio 1) dalla formula: A B = α g 3 dove A = A() e B = B() sono note. L altezza di moto uniforme si calcola mediante la formula di Cézy: = A0 C R i Il coefficiente di scabrezza C dipende linearmente dal coefficiente di Stricler s, mediante la formula di Stricler: C = s R 1/6 E opportuno ricordare ce il coefficiente s, è tanto più grande quanto minore è la scabrezza dell alveo. Con riferimento al disegno iniziale, si può quindi affermare ce il tratto intermedio a una scabrezza maggiore degli altri due. L area A = A( 0 ) e il raggio idraulico R = R( 0 ) (ce sono funzioni note di 0 ) aumentano all aumentare di 0. Dalla formula di Cézy si può quindi dedurre ce, se s (e quindi C) diminuisce, A e R (e quindi 0 ) devono aumentare, a parità di portata.

12 Esercizio Tramite la formula di Cézy si ottiene, per tentativi: 0, 1 = 0, 3 0, > 0, 1, 0, 3 A seconda ce 0 sia maggiore o minore dell altezza di stato critico, si avranno tratti a debole o a forte pendenza. In funzione dei valori ottenuti sono possibili tre casi: A) I tre tratti di alveo sono a forte pendenza. = 0,3 < e 0, < i > i c, 1 = i c, 3 e i > i c, 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, s, 1 = 80 i s, = 40 0,3 s, 3 = s, 1 = 80 Il 1 tratto di alveo è a forte pendenza. In un alveo a forte pendenza la condizione di moto uniforme viene raggiunta asintoticamente verso valle. Dal momento ce l alveo è indefinito verso monte (non presenta cioè alcun disturbo a monte), si instaurano condizioni di moto uniforme, ce si propaga verso valle indisturbato. E quindi possibile affermare ce, se non ci sono disturbi da valle ce impongono il passaggio a corrente lenta, nel 1 tratto si a moto uniforme in corrente veloce. 10

13 Esercizio 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, s, 1 = 80 i s, = 40 0,3 s, 3 = s, 1 = 80 Il tratto è ancora in forte pendenza, ma l altezza di moto uniforme è maggiore rispetto al 1 tratto. Si a quindi un profilo F3 di corrente veloce ritardata, ce parte da 0, 1 in corrispondenza della sezione A e tende al moto uniforme verso valle. Il profilo F3 viene tracciato quantitativamente per differenze finite, imponendo un passo >0 e calcolando E agli estremi di ogni intervallo di integrazione, tramite la: E = + g A Si calcola il E e si ricava s: E s = i J dove i è la pendenza dell alveo e J è la cadente, ce si calcola con la formula di Cézy in corrispondenza dell altezza media + J = C R A : Si prosegue l integrazione fino a quando la somma dei s uguaglia la lungezza del tratto di alveo (in pratica fino a quando si raggiunge la sezione B). 11

14 Esercizio 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B F3 0, s, 1 = 80 i s, = 40 0,3 s, 3 = s, 1 = 80 Nel 3 tratto l altezza di moto uniforme diminuisce nuovamente ( o, 3 = 0, 1 ). Si a quindi un profilo F di corrente veloce accelerata ce tende al moto uniforme verso valle. La condizione iniziale per il tracciamento del profilo (eseguito per differenze finite imponendo un <0) è l altezza raggiunta dal profilo F3 in corrispondenza della sezione B. Il tracciamento viene eseguito verso valle, trattandosi di una corrente veloce. La tangente del profilo F, in corrispondenza della sezione B, non è ovviamente verticale. 1 tratto sez. A tratto 3 tratto sez. B F3 0, F s, 1 = 80 i s, = 40 0,3 s, 3 = s, 1 = 80 B) I tre tratti di alveo sono a debole pendenza = 0,3 > e 0, > i, 1 = i c, 3 e i, 1

15 Esercizio 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, 0,3 s, 1 = 80 s, = 40 i s, 3 = s, 1 = 80 Dal momento ce l alveo è tutto a debole pendenza e indefinito verso valle (non presenta cioè alcun disturbo ce possa determinare il passaggio a corrente veloce), nel 3 tratto si instaurano condizioni di moto uniforme in corrente lenta, ce si propaga indisturbato verso monte. 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, 0,3 s, 1 = 80 s, = 40 i s, 3 = s, 1 = 80 Passando dal 3 al tratto di alveo (quindi risalendo verso monte) l altezza di moto uniforme aumenta. Si a quindi un profilo D di corrente lenta, ce tende ad 0, verso monte. Il profilo viene calcolato per differenze finite, ponendo come condizione iniziale = 0, 3 nella sezione B e risalendo verso monte (con > 0) fino a quando la somma dei s uguaglia la lungezza del tratto di alveo. 13

16 Esercizio 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B D 0, s, 1 = 80 0,3 s, = 40 i s, 3 = s, 1 = 80 Risalendo nel 1 tratto, l altezza di moto uniforme diminuisce. Si a quindi un profilo D1 di corrente lenta ce tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. La condizione iniziale nel tracciamento per differenze finite (con < 0) è l altezza raggiunta dal profilo D nella sezione A. 1 tratto tratto 3 tratto sez. A D1 sez. B D 0, s, 1 = 80 0,3 s, = 40 i s, 3 = s, 1 = 80 C) Il 1 e il 3 tratto sono a forte pendenza, mentre il tratto è a debole pendenza. = 0,3 < e 0, > i > i c, 1 = i c, 3 e i, Si osservi ce in questo caso la situazione ce si verifica è analoga a quella analizzata nell esercizio 1. Si è ritenuto comunque utile ripetere i ragionamenti seguiti per la costruzione dei profili, ce ovviamente saranno qualitativamente identici a quelli determinati nel suddetto esercizio. 14

17 Esercizio 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, s, 1 = 80 s, = 40 0,3 i s, 3 = s, 1 = 80 Dal momento ce il 1 tratto di alveo è indefinito verso monte, in esso si instaurano condizioni di moto uniforme. In assenza di disturbi da valle in grado di provocare una corrente lenta, nel 1 tratto si a moto uniforme in corrente veloce. A valle della sezione A l alveo diventa a debole pendenza. L unico profilo di corrente veloce in alveo a debole pendenza è il profilo D3, ce in questo caso parte da in corrispondenza della sezione A e tende allo stato critico con una tangente verticale. Si può quindi effettuare il tracciamento per differenze finite. 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, D3 s, 1 = 80 s, = 40 0,3 i s, 3 = s, 1 = 80 Il profilo D3 è tratteggiato in quanto non è detto ce si verifici effettivamente. Si può inoltre notare ce nella sezione B si a il passaggio da debole a forte pendenza. uesta è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico. Nel tratto di alveo si avrà quindi un profilo D di corrente lenta, ce tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. Il tracciamento per differenze finite si esegue imponendo = nella sezione B e risalendo verso monte, con un > 0. Una volta raggiunta la sezione A, l unico profilo 15

18 Esercizio di corrente lenta in alveo a forte pendenza (tratto di monte) è il profilo F1, ce tende allo stato critico con una tangente verticale. Il tracciamento quantitativo (per differenze finite) del profilo F1 va eseguito a partire dall altezza (*) raggiunta dal profilo D in corrispondenza della sezione A e procedendo verso monte, con un <0 percé il profilo decresce. Ance in questo caso il profilo F1 va tratteggiato, percé non è detto ce si verifici effettivamente. Il 3 tratto di alveo è a forte pendenza e indefinito verso valle. Si a quindi un profilo F di corrente veloce accelerata, ce parte dallo stato critico nella sezione B e tende asintoticamente al moto uniforme verso valle. Il tracciamento per differenze finite viene quindi eseguito imponendo = nella sezione B e proseguendo verso valle con <0 percé il profilo decresce. Il profilo completo può essere disegnato qualitativamente come segue, indicando le due possibili localizzazioni del risalto (a monte o a valle della sezione A). 1 tratto tratto 3 tratto sez. A F1 D sez. B 0, D3 F s, 1 = 80 s, = 40 0,3 i s, 3 = s, 1 = 80 CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO (per il caso C) In corrispondenza della sezione A si calcolano le spinte dei due profili, in modo da stabilire se il risalto viene spinto a monte o a valle della sezione stessa. 1) S veloce < S lenta => il risalto è spinto a monte. La corrente veloce in questo caso è in moto uniforme, quindi: Sveloce S0, 1 = γ A0, 1 G + ρ A 0, 1 Noto il profilo F1 si calcola, ad ogni passo (per ogni ), la spinta totale S lenta e la si confronta con S veloce. 16

19 Esercizio S S lenta, A Andamento della spinta totale per = cost A S vel S 0,1 veloce lenta * ) S veloce > S lenta => il risalto è spinto a valle. Sono incognite entrambe le altezze e, di conseguenza, ance il valore della spinta per cui si verifica il risalto. Un metodo per la localizzazione del risalto diverso da quello visto nell esercizio si basa sul tracciamento del luogo delle altezze coniugate a quelle di uno dei due profili. Partendo, ad esempio, dal profilo D3, tracciato in precedenza, si valutano le altezze coniugate in una serie sufficientemente estesa di punti ce appartengono al profilo stesso, attraverso il diagramma delle spinte. S Andamento della spinta totale per = cost veloce lenta CONIUGATA Si disegnano quindi il profilo D3 e il luogo delle altezze coniugate alle altezze del profilo D3. La posizione del risalto viene individuata dall intersezione di suddetto luogo con il profilo D di corrente lenta. 17

20 Esercizio Luogo delle altezze coniugate a quelle del profilo D3 sez. A Sezione del RISALTO D D3 PROFILO ALTERNATIVO (per il caso C) Può ance accadere ce il profilo D3 si estenda fino alla sezione B, senza raggiungere lo stato critico e senza ce si verifici un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è sempre maggiore di quella della corrente lenta D. uesta ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il tratto di alveo sia molto corto. Il profilo del 3 tratto è sempre di tipo F, ma in questo caso la condizione iniziale per il suo tracciamento non è più l altezza di stato critico, bensì l altezza raggiunta dal profilo D3 in corrispondenza della sezione B. Inoltre la tangente al profilo in corrispondenza di quest ultima sezione non è verticale. Si può quindi osservare come, ance in questo caso, il passaggio da un alveo a debole pendenza ad uno a forte pendenza non sia condizione sufficiente a determinare il passaggio per lo stato critico. Il profilo alternativo è il seguente: 1 tratto tratto 3 tratto sez. A sez. B 0, D3 F s, 1 = 80 s, = 40 0,3 i s, 3 = s, 1 = 80 18

21 ESERCIZIO 3 Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nell alveo prismatico a sezione di geometria nota indicato in figura. Siano noti inoltre: le pendenze di ogni singolo alveo i j, il coefficiente di Stricler s e la portata. i 1 1 b i > i c i 3 < i 1 Il 1 tratto di alveo è a debole pendenza ed è indefinito verso monte, il tratto è a forte pendenza e di lungezza nota; il 3 tratto è a debole pendenza (con i 3 < i 1 ) ed è indefinito verso valle. Dal momento ce la sezione è costante, l altezza di stato critico è la stessa nei tre tratti ed è ricavabile (vedi esercizi precedenti) dalla formula: A B = α g 3 dove A = A() e B = B() sono note. Nella formula si impone unitario il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetice (α =1). L altezza di moto uniforme si calcola mediante la formula di Cézy: = A0 C R i Dove C è il coefficiente di scabrezza calcolato con la formula di Stricler: C = S R 1/6 L area A = A( 0 ) e il raggio idraulico R = R( 0 ) sono funzioni note di 0. E importante notare ce 0, 3 > 0, 1. 19

22 Esercizio 3 1 tratto tratto 3 tratto i 1 0, 0,3 i > i c i 3 < i 1 La condizione al contorno per il tracciamento del profilo è subito individuabile nella sezione A, dove la pendenza passa da debole a forte: questa è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico. Nel 1 tratto di alveo si verifica, quindi, un profilo D di corrente lenta accelerata, ce parte da nella sezione A e tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. Il tracciamento quantitativo del profilo viene eseguito per differenze finite (come visto negli esercizi precedenti), imponendo come condizione al contorno = nella sezione A e procedendo verso monte con un passo > 0. Agli estremi di ogni intervallo si calcola E tramite la: E = + g A Si calcola il E e si ricava s: E s = i J dove i è la pendenza dell alveo e J è la cadente, ce si calcola con la formula di Cézy in corrispondenza dell altezza media + J = C R A : Poicé l asintoto ( ) viene raggiunto all infinito, il profilo viene calcolato per un tratto finito di alveo. Nel tratto si a un profilo F di corrente veloce accelerata, ce parte da in corrispondenza della sezione A e tende al moto uniforme 0, verso valle. 0

23 Esercizio 3 Il tracciamento quantitativo viene eseguito per differenze finite, imponendo come condizione di partenza = nella sezione A e procedendo con un < 0 percé l altezza d acqua decresce verso valle. In corrispondenza della sezione B si calcola quindi l altezza d acqua * (* 0, ). A valle della sezione B l alveo diventa a debole pendenza. L unico profilo di corrente veloce in alveo a debole pendenza è il profilo D3, ce in questo caso parte da * in corrispondenza della sezione B, e tende allo stato critico dove avrebbe tangente verticale. Nel disegno il profilo è tratteggiato, in quanto non è detto ce si verifici effettivamente. Poicé il 3 tratto di alveo è a debole pendenza ed è indefinito verso valle, in esso si verificano condizioni di moto uniforme (corrente lenta). A monte della sezione B, l alveo diventa a forte pendenza. L unico profilo di corrente lenta in alveo a forte pendenza è il profilo F1, ce tende allo stato critico dove avrebbe tangente verticale. Il tracciamento quantitativo (per differenze finite) del profilo F1 va eseguito a partire dall altezza di moto uniforme 0, 3 in corrispondenza della sezione A e procedendo verso monte, con un <0 percé il profilo decresce. Ance in questo caso il profilo F1 è tratteggiato, percé non è detto ce si verifici effettivamente. Il profilo qualitativo può quindi essere rappresentato nel modo seguente; i due profili teorici F1 e D3 sono tratteggiati e sono indicate le due possibili posizioni del risalto. 1 tratto tratto 3 tratto D F F1 i 1 i > i c 0, 0,3 * D3 i 3 < i 1 CALCOLO DELLA POSIZIONE RISALTO Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene, come abbiamo già visto, sempre attraverso un risalto. Per sapere se il risalto viene spinto a monte o a valle della sezione B, si calcolano le spinte totali delle due correnti in tale sezione. si possono quindi verificare due casi: 1) S veloce > S lenta => il risalto è spinto a valle. 1

24 Esercizio 3 La corrente lenta in questo caso è in moto uniforme, quindi: Slenta S0, 3 = γ A 0, 3 G + ρ A 0, 3 Noto il profilo D3 si calcola, ad ogni passo (per ogni ), la spinta totale S veloce e la si confronta con il valore costante della S lenta. S Andamento della spinta totale per = cost S veloce S lenta S 0,3 * lenta 0, 3 ) S veloce < S lenta => il risalto è spinto a monte. Per la localizzazione del risalto si può ricorrere al tracciamento del luogo delle altezze coniugate a quelle di uno dei due profili. Partendo, ad esempio, dal profilo F1 tracciato in precedenza, si calcolano le spinte totali della corrente in una serie di punti del profilo e si individuano le altezze di corrente veloce ce anno le stesse spinte (altezze coniugate). S Andamento della spinta totale per = cost veloce CONIUGATA lenta Si disegnano quindi il profilo F1 e il luogo delle altezze coniugate alle altezze del profilo F1. La posizione del risalto viene individuata dall intersezione del suddetto luogo con il profilo F di corrente veloce.

25 Esercizio 3 Sezione del RISALTO F1 D3 Luogo delle altezze coniugate a quelle del profilo F1 PROFILI ALTERNATIVI Se a monte della sezione B S lenta >> S veloce, il profilo F1 può interessare interamente il tratto di alveo. In questo caso in esso non si instaura la corrente veloce F. Ciò implica ce è necessario effettuare nuovamente il tracciamento della corrente lenta nel 1 tratto, in quanto sono cambiate le condizioni al contorno: in corrispondenza della sezione A l altezza d acqua non è più pari a, bensì all altezza raggiunta in tale sezione dal profilo F1. Si possono in tal caso verificare due eventualità: 1) < 0, 1 Nel 1 tratto di alveo si a ancora un profilo D, ce parte da in corrispondenza della sezione A e tende al moto uniforme verso monte. Tale profilo può essere calcolato per differenze finite, con >0. 1 tratto tratto 3 tratto D F1 i 1 0, 0,3 i > i c i 3 < i 1 3

26 Esercizio 3 ) > 0, 1 In questo caso invece, nel 1 tratto si a un profilo D1 di corrente lenta ritardata, ce tende verso monte al moto uniforme. Il tracciamento per differenze finite si esegue imponendo = come condizione al contorno nella sezione A e procedendo verso monte con < 0. 1 tratto tratto 3 tratto D1 F1 i 1 0,3 0, i > i c i 3 < i 1 4

27 ESERCIZIO 4 Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di un canale prismatico a sezione nota con imbocco da lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo tratto di alveo i j, il coefficiente di Stricler s ed i livelli E m. ed r dell acqua nel lago di monte e nel recapito di valle. La portata è invece incognita. 1 tratto tratto E m 1 b Sez. C i 1 > i c i r Il 1 tratto di alveo a valle del bacino è a forte pendenza, mentre il tratto, ce scarica nel recapito, è a debole pendenza. Non conoscendo la portata, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo, una da utilizzarsi quale condizione al contorno per la risoluzione dell equazione del profilo, e l altra per determinare il valore di. La prima condizione si ottiene imponendo ce l imbocco dal lago avvenga senza dissipazione di energia e, quindi, ce l energia specifica della corrente nella sezione A sia pari a E m (velocità del lago trascurabile): A + = E g A A m (1) Nella (1) sono incognite sia la portata ce l altezza d acqua della corrente nella sezione A ( A ). Per individuare la seconda condizione, si può notare ce il 1 tratto di alveo è a forte pendenza. Un tratto a forte pendenza a valle di un lago (acqua ferma, caso limite di corrente lenta) è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico nella sezione di monte dell'alveo. 5

28 Esercizio 4 uindi nella sezione A si può porre: A = La (1) diventa quindi: + g A = E m (1 ) dove A = A(). La seconda equazione necessaria per risolvere il problema è quella ce definisce il legame fra la portata e l altezza di stato critico : 3 A ( ) B( ) = g () La (1 ) e la () formano un sistema di due equazioni in due incognite ( e ) facilmente risolvibile. Una volta nota si calcolano 0, 1 e 0, tramite la formula di Cézy: = A0 C R i 1 tratto tratto E m 0, Sez. C i 1 > i c i Stabilita quindi la condizione al contorno nella sezione A ( A = ), si può tracciare il profilo. Nel 1 tratto di alveo si a una corrente veloce accelerata ce parte da nella sezione A e tende al moto uniforme ( 0, 1 ) verso valle, con un profilo di tipo F. A monte della sezione A, nel lago, la superficie libera presenta un abbassamento per effetto del riciamo esercitato dall imbocco e della conseguente accelerazione subita dalla particelle. Il profilo viene tracciato quantitativamente per differenze finite, imponendo un passo < 0 e calcolando E agli estremi di ogni intervallo, tramite la: 6

29 Esercizio 4 E = + g A Si calcola quindi il E e si ricava s: E s = i J dove i è la pendenza dell alveo e J è la cadente, ce si calcola con la formula di Cézy in corrispondenza dell altezza media + J = C R A : Si prosegue nell integrazione fino a quando la somma dei s uguaglia la lungezza del 1 tratto di alveo (in pratica fino a quando il profilo F raggiunge la sezione B). Ciamiamo * l altezza d acqua raggiunta dal profilo F in corrispondenza della sezione B (* ). A valle della sezione B l alveo diventa a debole pendenza. L unico profilo di corrente veloce in alveo a debole pendenza è il profilo D3, ce in questo caso parte da * in corrispondenza della sezione B, e tende allo stato critico dove avrebbe tangente verticale. uesto profilo viene indicato con un tratteggio in quanto non è detto ce si verifici effettivamente. Per quanto riguarda il tratto di valle è inoltre da tenere presente ce, in relazione al valore dell altezza del pelo libero del recapito, si possono avere tre casi. 1. Pelo libero nel recapito più basso dell altezza critica (ed eventualmente inferiore al fondo dell alveo) Lo sbocco di una corrente lenta da un alveo a debole pendenza in un recapito nel quale il pelo libero risulti più basso di è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente stessa attraverso lo stato critico. Si a in questo caso, nel tratto, un profilo D di corrente lenta accelerata ce tende al moto uniforme 0, verso monte. Il tracciamento quantitativo viene eseguito per differenze finite imponendo come condizione al contorno = nella sezione C e risalendo verso monte (con un >0) fino alla sezione B. Ciamiamo l altezza d acqua del profilo D nella sezione B. A monte di tale sezione, l unico profilo di corrente lenta in alveo a forte pendenza è il profilo F1, ce parte da nella sezione B e tende allo stato critico verso monte, dove avrebbe tangente verticale. Ance in questo caso il profilo F1 è stato tratteggiato, percé non è detto ce si verifici effettivamente. 7

30 Esercizio 4 1 tratto tratto E m F F1 D Sez. C i 1 > i c D3 0, i CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO Note le due altezze d acqua in corrispondenza della sezione B (* e ), si calcolano le spinte totali delle due correnti per stabilire se il risalto viene spinto a monte o a valle. Si possono verificare le due situazioni: 1) S veloce > S lenta => il risalto è spinto a valle. ) S veloce < S lenta => il risalto è spinto a monte. Per le metodologie di localizzazione del risalto si rimanda agli esercizi precedenti. Le figure seguenti presentano le due situazioni possibili. Luogo delle altezze coniugate a quelle del profilo D3 sez. B Sezione del RISALTO D F D3 0, 8

31 Esercizio 4 Sezione del RISALTO F F1 D D3 Luogo delle altezze coniugate a quelle del profilo F1 1.1 Primo profilo alternativo Il profilo D3 può ance estendersi fino alla sezione C senza raggiungere lo stato critico e senza ce si verifici un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è sempre maggiore di quella della corrente lenta D. uesta ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il tratto di alveo sia corto. In questo caso lo sbocco a lago avviene in corrente veloce. 1 tratto tratto Em F i1 > ic 0, Sez. C D3 i < ic 1. Secondo profilo alternativo Se nella sezione B S lenta >> S veloce, il profilo F1 può interessare interamente il 1 tratto di alveo. In tal caso non si instaura in questo tratto la corrente veloce. In corrispondenza della sezione A l altezza d acqua non è più pari a, bensì al valore A ce compete in tale sezione al profilo F1. In questo caso e per questa ragione, la valutazione della portata effettuata all inizio non risulta più corretta. Bisogna quindi calcolare la nuova portata con un procedimento per tentativi: si ipotizza una portata di 1 tentativo, si calcolano, e 0, e si traccia il profilo partendo da 9

32 Esercizio 4 valle. In questo caso la sezione dove imporre la condizione al contorno di partenza è la sezione C in cui =. Si traccia il profilo D verso monte, fino alla sezione B; da qui si traccia il profilo F1 fino alla sezione A. Calcolata la A ', si deve verificare se: ' A + E ' g A = A m In caso contrario bisogna modificare la portata e ripetere il procedimento. 1 tratto tratto F1 Sez. C E m A 0, D i 1 > ic i < ic. Pelo libero del recapito compreso fra 0, e In questo caso la condizione al contorno per il tracciamento del profilo di corrente lenta nel tratto è l altezza r del pelo libero del recapito in corrispondenza della sezione C. Nel tratto si a ancora un profilo D, ce parte da r nella sezione C e tende al moto uniforme verso monte. Per differenze finite si traccia quantitativamente il profilo fino alla sezione B, a monte della quale si a un profilo F1, ce viene tracciato a partire dall altezza raggiunta dal profilo D nella sezione B. Il procedimento per il posizionamento del risalto è analogo al caso 1. 30

33 Esercizio 4 1 tratto tratto E m F F1 D Sez. C i 1 > i c D3 0, r i.1 Primo profilo alternativo Se il profilo D3 arriva fino alla sezione C, si deve confrontare la sua spinta con la spinta statica del recapito: S r = γ A G Se S C >S r il risalto è spinto nel lago. La sua posizione non può però essere calcolata, trattandosi di un fenomeno non monodimensionale. In figura viene indicato con un semplice raccordo. Nella figura seguente sono indicate la spinta totale della corrente e la spinta statica del lago, con le altezze relative. S Andamento della spinta totale per = cost S C S r S statico = γ G A C r 31

34 Esercizio 4 1 tratto tratto Em F i1 > ic 0,1 D3 0, Sez. C i < ic Se invece S r > S C il risalto è spinto a monte e si ricade nei casi precedentemente discussi.. Secondo profilo alternativo Se il profilo F1 risale fino al lago, il profilo è analogo a quello esaminato al punto tratto tratto F1 Sez. C Em A D 0, i1 > ic 0,1 r i < ic 3. Pelo libero del recapito più alto di 0, In questo caso nel tratto si a un profilo D1 ce viene tracciato quantitativamente partendo dall altezza del lago nella sezione C e risalendo verso monte, fino ad un altezza ( > 0, ) in corrispondenza della sezione B. A monte di tale sezione si a un profilo F1. Il posizionamento del risalto va eseguito come nel caso 1. 3

35 Esercizio 4 1 tratto tratto E m F F1 D1 Sez. C i 1 > i c D3 0, r i 3.1 Profilo alternativi I due profili alternativi, qualitativamente analogi a quelli del caso precedente, sono riportati nelle seguenti figure. 1 tratto tratto E m F i1 > ic 0,1 D3 0, Sez. C i < ic 1 tratto tratto Em A F1 D1 Sez. C 0, 0,1 r i1 > ic i < ic OSSERVAZIONE 33

36 Esercizio 4 Nella sezione A, supponendo nulle le perdite all imbocco, si a: m E m = EA A + g A A uindi l altezza della corrente nella sezione A ( A ) è sempre minore dell altezza del pelo libero del bacino di monte ( m ). Nel caso di sbocco a lago, invece, si verifica una perdita di carico pari all energia cinetica. E C v C C + = E recapito + Perdita g Dove: E racipito = r (altezza di pelo libero del recapito) C Perdita = E cinetica sbocco = v g Ne deriva quindi: C = recapito 34

37 ESERCIZIO 5 Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di un canale prismatico a sezione nota con imbocco da lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo alveo i j, il coefficiente di Stricler s ed i livelli E m e r dell acqua nel lago e nel recapito di valle. La portata è invece incognita. 1 tratto tratto E m 1 b Sez. C i 1 i > i c r Il 1 tratto di alveo a valle del lago è a debole pendenza, mentre il tratto, ce scarica nel recapito, è a forte pendenza. Non conoscendo la portata, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo di moto permanente: una condizione al contorno per risolvere l equazione del profilo e l altra per determinare la portata. La prima condizione si ottiene, come per l esercizio 4, imponendo ce l imbocco dal lago avvenga senza dissipazione di energia e, quindi, ce l energia specifica della corrente nella sezione A sia pari a E m (velocità nel lago trascurabile): A + = E g A A m (1) Nella (1) sono incognite sia la portata ce l altezza d acqua della corrente nella sezione A ( A ). Dal momento ce il 1 tratto di alveo è a debole pendenza e, quindi, la corrente di moto uniforme è lenta, si deve cercare una condizione al contorno a valle. In questo caso si può osservare ce nella sezione B si verifica il passaggio da debole a forte pendenza. uesta è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio attraverso lo stato critico. 35

38 Esercizio 5 Per poter calcolare l altezza critica è però necessario conoscere la portata. Si dovrà pertanto procedere per tentativi: si fissa una portata di primo tentativo mediante la quale si determina l altezza di stato critico per mezzo della relazione: 3 A ( ) ' = α () B( ) g Dove si impone α=1. La () rappresenta la seconda condizione con cui calcolare la portata. La risoluzione per tentativi si rende necessaria in quanto le due equazioni (1) e () sono riferite a sezioni diverse (la (1) vale nella sezione A e la () nella sezione B). L altezza di moto uniforme nel primo tratto, relativa alla portata, si calcola mediante la formula di Cézy: ' = A 0 C R i Dove C è il coefficiente di scabrezza calcolato con la formula di Stricler: C = S R 1/6 Il profilo della corrente nel 1 tratto è di tipo D e può essere tracciato partendo dall altezza critica in corrispondenza della sezione B e proseguendo verso monte. Il tracciamento viene eseguito con un procedimento alle differenze finite, imponendo un passo > 0 e calcolando E agli estremi di ogni intervallo tramite la: ' E = + g A Si calcola quindi il E e si ricava s: E s = i J dove i è la pendenza dell alveo e J è la cadente, ce si calcola con la formula di Cézy in corrispondenza dell altezza media J = C ' R A + : Si prosegue nell integrazione fino a quando la somma dei s uguaglia la lungezza del 1 tratto di alveo (in pratica fino a quando il profilo D raggiunge la sezione A). 36

39 Esercizio 5 In corrispondenza della sezione A, con l altezza d acqua A * prima ottenuta, si calcola l energia della corrente, ce deve essere uguale alla E m del bacino di monte. La condizione da verificare è quindi la (1): * A + E * g A = A m Se l energia della corrente risulta inferiore a E m, è necessario aumentare la portata di tentativo, mentre se è superiore bisogna diminuirla. Una volta individuata la portata corretta (ce verifica cioè la (1)), si calcola l altezza di moto uniforme nel secondo tratto e si procede con il tracciamento del profilo. A monte della sezione A, nel lago, la superficie libera presenta un abbassamento per effetto del riciamo esercitato dall imbocco e della conseguente accelerazione subita dalle particelle. Il tratto di alveo è a forte pendenza. Si a quindi un profilo F ce parte da in corrispondenza della sezione B e prosegue verso valle. Come osservato nell esercizio 4, al variare del pelo libero del bacino di valle, si possono avere diversi casi. 1. Pelo libero del recapito più basso di 0, (ed eventualmente inferiore al fondo dell alveo) In questo caso si può tracciare il profilo F per differenze finite fino alla sezione C, a valle della quale si a semplicemente un profilo di caduta, come rappresentato nella seguente figura. 1 tratto tratto E m D Sez. C i 1 F 0, i > i c. Pelo libero del recapito maggiore di 37

40 Esercizio 5 In questo caso è necessario confrontare la spinta totale della corrente nella sezione C (S C ) con la spinta statica del recapito (S r ), pari a: S r = γ A G Se S C >S r il risalto è spinto nel lago. La sua posizione non può però essere calcolata, trattandosi di un fenomeno non monodimensionale. In figura viene indicato con un semplice raccordo. Nella figura seguente sono indicate la spinta totale della corrente e la spinta statica del lago, con le altezze relative. S Andamento della spinta totale per = cost S C S r S statico = γ G A C r Nella seguente figura è riportato il profilo qualitativo. 1 tratto tratto E m D F Sez. C i 1 0, i > i c Se invece S r > S c, il risalto è spinto verso monte. In questo caso il pelo libero del recapito risale verso monte con un profilo F1 e la posizione del risalto può essere individuata individuando il luogo delle altezze coniugate di uno dei due profili (F1 o F). Ad esempio il profilo F1, tracciato per 38

41 Esercizio 5 differenze finite si calcola la spinta totale in un congruo numero di suoi punti e si individuano le altezze di corrente veloce ce anno la stessa spinta totale (altezze coniugate). S Andamento della spinta totale per = cost veloce CONIUGATA lenta Si disegnano quindi il profilo F1 ed il luogo delle altezze coniugate. La posizione del risalto viene individuata dall intersezione di quest ultimo con il profilo F di corrente veloce. Sezione del RISALTO Sez. C F1 Luogo delle altezze coniugate a quelle del profilo F1 Nella figura seguente si riporta il profilo qualitativo. 39

42 Esercizio 5 1 tratto tratto E m D F Sez. C i 1 0, i > i c OSSERVAZIONE Si noti ce per r = è senza dubbio S r <S C, in quanto S r comprende solo la parte statica della spinta. Non è pertanto sufficiente ce l altezza nel recapito sia maggiore di percé si verifici un profilo F1 di lenta, ma è necessario ce essa sia superiore ad un altezza * tale per cui: S statica (*) S C Per r > *, quindi, il risalto è spinto a monte. S Andamento della spinta totale per = cost S statica S C S() S statica () C, veloce * 3.1 Profili alternativi Se il pelo libero del recapito di valle è molto alto, si può presentare il caso ce nel tratto di alveo la spinta totale della corrente lenta F1 sia sempre maggiore di quella della corrente veloce F. Il tratto di alveo è interamente interessato dal profilo F1 ce si traccia per differenze finite fino alla sezione B. Detta B l altezza d acqua nella suddetta sezione possono verificarsi due casi: se B < 40

43 Esercizio 5 nel 1 tratto si avrà un profilo D, mentre se B > si avrà un profilo D1. In entrambi i casi si deve effettuare il tracciamento del profilo per differenze finite (considerando come condizione al contorno l altezza B ) fino alla sezione A. In tale sezione occorre verificare ce venga soddisfatta la relazione (1) di uguaglianza fra l energia della corrente lenta e l energia del lago. Se la (1) non è verificata il problema si complica percé è necessario imporre una nuova portata ed effettuare nuovamente il tracciamento del profilo dalla sezione C. Nelle figure seguenti sono riportati i due casi citati. 1 tratto tratto E m D F1 Sez. C i 1 0, i > i c E m 1 tratto tratto D1 F1 Sez. C i 1 0, i > i c 41

44 ESERCIZIO 6 Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di alveo prismatico a sezione rettangolare nota ce a origine da un lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo tratto dell alveo i j, il coefficiente di Stricler s ed il livello E m del lago. La portata è invece incognita. 1 tratto tratto 3 tratto E m Sez. D Sez. E B i 1 > i c a i = 0 Il 1 tratto di alveo a valle del lago è a forte pendenza, mentre il tratto, ce scarica nel recapito, è a pendenza nulla. Dalla formula di Cézy si può dedurre ce l altezza di moto uniforme nel secondo tratto risulta 0,. Dalla formula di Cézy si ricava ance. Dal momento ce un alveo a pendenza nulla si comporta come un alveo a debole pendenza, ciameremo ancora D e D3 i profili ce in esso si verificano. Poicé l altezza di moto uniforme è situata all infinito, in un alveo a pendenza nulla non può ovviamente esistere il profilo D1. Non conoscendo la portata, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo di moto permanente: una condizione al contorno per integrare l equazione del profilo e l altra per determinare la portata. Come già visto nell esercizio 4, la soluzione si ottiene risolvendo il seguente sistema di equazioni in corrispondenza della sezione A: A A + = E g A = = 3 A g B m ( 1) ( ) La (1) esprime la condizione ce l imbocco avvenga senza dissipazione di energia, mentre la () deriva dal fatto ce, essendo il 1 tratto di alveo a forte pendenza, è verificata la condizione generalmente necessaria e sufficiente per il passaggio attraverso lo stato critico. Dal sistema si ricavano e. 4

45 Esercizio 6 Nel 1 tratto di alveo si avrà quindi un profilo F di corrente veloce, ce tende asintoticamente al moto uniforme e ce può essere tracciato per differenze finite (verso valle fino alla sezione B) imponendo come condizione al contorno = nella sezione A. A valle della sezione B l alveo a pendenza nulla: si instaura quindi un profilo D3 ce parte dall altezza raggiunta dal profilo F nella sezione B e tende allo stato critico. Il passaggio sotto la paratoia è un processo poco dissipativo. Ipotizzando quindi ce l energia specifica si mantenga costante fra la sezione a monte della paratoia e la sezione contratta, si può porre: E D = E Dc (3) Nella figura seguente sono indicati i punti D (pelo libero a monte della paratoia) e Dc (pelo libero della sezione contratta). D D a Dc Dc = a cc Sezione contratta L altezza del pelo libero nella sezione contratta è pari al valore della luce della paratoia (a), moltiplicato per un coefficiente di contrazione c c. Dc = a c c La velocità dell acqua nella sezione contratta è ricavabile in funzione della portata: v Dc = (4) a c B c Nella figura seguente sono indicati i vari termini dell energia specifica. vd ' α' g D E v Dc α g D D c Dc = a c c Sezione contratta Si può quindi scrivere: 43

46 Esercizio 6 D ' + α' = a cc + α g B g ( a c B) ( ) D ' c (3 ) L unica incognita nella (3 ) è D, ce può quindi essere calcolata, ponendo uguali a 1 i coefficienti di ragguaglio, per tentativi oppure graficamente, come indicato nella figura seguente. Andamento dell energia specifica rispetto al fondo, per costante E Dc D Si noti ce necessariamente Dc è altezza di corrente veloce mentre D è altezza di corrente lenta. La paratoia rappresenta quindi una condizione di monte per una corrente veloce e una condizione di valle per una corrente lenta. A questo punto è possibile tracciare per differenze finite sia il profilo D3 a valle della paratoia (ce parte da a c c nella sezione contratta e tende a ), sia il profilo a monte della stessa (ce parte da D e prosegue verso monte), composto da un profilo di tipo D nel tratto a pendenza nulla e uno di tipo F1 a monte della sezione B. A monte della paratoia si verificerà un risalto, la cui posizione può essere calcolata con i procedimenti visti negli esercizi precedenti. Per quanto riguarda il tratto di valle, il profilo dipende dall altezza del pelo libero del recapito. Nel caso di altezza d acqua del recapito inferiore a, si può ipotizzare il passaggio da corrente lenta (profilo D) a corrente veloce attraverso lo stato critico in corrispondenza della sezione E. Si impone quindi = nella sezione E e si traccia il profilo D fino alla paratoia. Il passaggio dal profilo D3 al profilo D avviene attraverso un risalto, la cui posizione può essere individuata con i procedimenti illustrati negli esercizi precedenti. La seguente figura illustra un possibile andamento del profilo. Vengono in seguito analizzati alcuni profili alternativi. 44

47 Esercizio 6 1 tratto tratto 3 tratto E m F F1 D Sez. D D Sez. E i 1 > i c D3 i = 0 PROFILI ALTERNATIVI 1) Tratto a valle della paratoia 1.1 Risalto annegato Se la spinta totale del profilo D3 è sempre inferiore a quella del profilo D, quest ultimo si estende fino alla paratoia e presenta un altezza D c in corrispondenza della sezione contratta. Poicé il deflusso sotto la paratoia avviene in questo caso sotto battente, nel calcolo dell energia specifica si dovrà tener conto ance dell altezza piezometrica p Dc γ. I diversi termini sono indicati nella seguente figura. v D' g D D c v Dc α" g E D Dc p Dc γ D c Dc = a cc Sezione contratta Il carico totale nel punto Dc a valle della paratoia vale quindi: E Dc p Dc v Dc = Dc + + α" = D'' c + γ g ( a c B) c (5) Analogamente al caso precedente, imponendo E D = E Dc si ricava il valore di D con il quale tracciare il profilo del tratto. La figura seguente mostra qualitativamente il profilo ce si instaura in questo caso. 45

48 Esercizio 6 1 tratto tratto 3 tratto E m F F1 D Sez. D D Sez. E i 1 > i c i = 0 1. Sbocco in corrente veloce E possibile inoltre ce il profilo D3 a valle della paratoia si estenda fino al recapito, senza ce si instauri una corrente lenta. Ciò avviene quando la spinta totale del profilo D3 è sempre maggiore di quella del profilo D. tratto 3 tratto Sez. D Sez. E D3 i = 0 ) Risalto nel 1 tratto spinto a monte In relazione all apertura della paratoia il profilo D a monte di questa può essere più o meno elevato. Tanto più elevato è il profilo D tanto più probabile è l eventualità ce il risalto sia spinto verso monte nel 1 tratto di alveo. Può ance verificarsi il caso ce, se S lenta >>S veloce, il profilo F1 possa estendersi fino al lago. In questo caso la valutazione della portata effettuata all inizio dell esercizio non risulta più corretta. Bisogna quindi calcolare la nuova portata con un procedimento per tentativi. Ipotizzata una di tentativo, si tracciano il profilo D3 a valle della paratoia e il profilo D ce sbocca nel recapito di valle. Dopo aver stabilito se si verifica un risalto annegato oppure no, si 46

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