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1 Department of Mathematics and Computer Science, University of Ferrara, Italy Ferrara, 1 Maggio 216

2 Programma della lezione Seminario II Equazioni differenziali ordinarie (ODE): L integrale stocastico: processo di Itô Equazioni differenziali stocastiche (): caso lineare con rumore additivo e moltiplicativo

3 Equazioni differenziali ordinarie: ODE Consideriamo la semplice equazione differenziale dx t dt = a(t, x) x(t) = x + a(s, x(s))ds t dove x(t) = x(t; x, t ) è una soluzione t.c. x(t ) = x. Osserviamo che le soluzioni di una ODE sono legate tra loro, in modo deterministico, dalla proprietà di evoluzione x(t; x, t ) = x(t; x(s; x, t ), s) t s t.

4 Consideriamo il problema di Cauchy dx dt = a(t, x), x(t ) = x t [t, t + T ] (1) Introduciamo quindi una discretizzazione temporale omogenea t < t 1 < < t N = t + T con t = t n+1 t n = T/N, n =, 1, 2,..., N 1 e y = x. Possiamo calcolare in modo ricorsivo le approssimazioni della soluzione di attraverso di vario ordine che possiamo dividere in due categorie A Metodi ad un passo B Metodi multistep

5 a un passo Definition (Matematica Numerica, A. Quarteroni et al.) Un metodo numerico per l approssimazione del problema (4) si dice ad un passo se n, y n+1 dipende solo da y n. In caso contrario parleremo di metodi multistep. Alcuni metodi ad un passo: Metodo di Eulero forward o esplicito y n+1 = y n + δa(t n, y n ). Metodo del trapezio o di Crank-Nicolson y n+1 = y n + δ 2 [a(t n, y n ) + a(t n+1, y n+1 )] Metodo di Heun y n+1 = y n + δ 2 [a(t n, y n ) + a(t n+1, y n + δa(t n, y n ))]

6 a un passo Applichiamo il metodo di Eulero forward e di Heun al problema dx = 5x, t [, 1] dt x() = 1, con passo temporale δ = 2 3, 2 5. δ =2 3 δ = esatta esatta Eulero Eulero.9 Heun.9 Heun (2).6.6 x(t).5 x(t) t t HEconfronto.m

7 Equazioni Differenziali Stocastiche: Per studiare l evoluzione di variabili aleatorie sfruttiamo i concetti sviluppati durante lo scorso seminario, in particolare la costruzione del processo di Wiener {W t } t. In altre parole studieremo equazioni differenziali del tipo dx t = a(t, X t ) } {{ } deriva X t = X q.c. PROBLEMA dt + b(t, X t ) dw t, } {{ } diffusione t t T (3) L equazione (3) si legge in forma integrale t t X t (ω) = X t (ω)+ a(s, X s (ω))ds+ t b(s, X s (ω))dw s (ω) t Come interpreto l oggetto in dw t?

8 Integrale di Itô La costruzione dell integrale di Itô verrà affrontata durante le lezioni di teoria limitiamoci ora ad alcune definizioni. Dato un processo di Wiener definito in una spazio di probabilità (Ω, F, P ) definiamo la classe C come segue Definition Sia f : [t, T ] Ω R, diremo che f C se: f è B [t,t ] F misurabile f(t, ) : Ω R è F t misurabile, dove F t = σ(w s, s t) t [t, T ], f(t, ) L 2 (Ω, F, P ) e T t E[ f(t, ) 2 ]dt < Allora considerata una partizione di [t, T ] definiamo n 1 I n (f)(ω) = j= f(t (n) j, ω)[w (n) t j+1 (ω) W (n) t (ω)] j Si dimostra che se f C allora I n (f) L2 I(f) = T t f(t, )dw t

9 Alcune proprietà dell integrale di Itô I(f) è F T misurabile E[I(f)] = α, β R e f, g C si ha e I(αf + βg) = αi(f) + βi(g) E[I(f)I(g)]) = T t E[f(t, )g(t, )]dt ossia se f g si ha E[I(f) 2 ] = T t E[f 2 ]dt (isometria di Itô). Martingalità: per t s t T allora con probabilità 1 E[I t F s ] = I s Esiste una versione continua del processo I t.

10 Processo di Itô Simuliamo una traiettoria del processo di Itô I t (ω) = t W s (ω)dw s (ω), t 1 (4) Verifichiamo media e varianza (tramite l isometria di Itô) di I t Una traiettoria di It Confronto media e varianza, n =1 3 Valore atteso stimato Valore atteso teorico Varianza stimata Varianza teorica.8.3 It t t mediavarianzaito.m

11 Processo di Itô Consideriamo ancora I t (ω) = t W s(ω)dw s (ω). Con le usuali regole di integrazione I t dovrebbe coincidere con W 2 t 2. Vediamo numericamente cosa otteniamo. I(t) Approssimazione dell integrale stocastico W 2 t /2 Ito Differenza tra It eintegrazioneallar-s I t W 2 t /2 L t t ItovsRS.m

12 lineare con rumore additivo Diremo che X t presenta rumore additivo se il rumore non dipende dallo stato della variabile. { dx t = (α βx t )dt + γdw t, α, β, γ R (5) X t = X. Possiamo scrivere equivalentemente la precedente in termini integrali come X t = X + t (α βx s ) ds + t γ dw s, q.c. (6) Se X è deterministico o Gaussiano il processo soluzione di (5) è detto di Ornstein-Uhlenbeck e può venire calcolato esplicitamente X t = α β + X e βt + γ t e β(t s) dw s (7)

13 lineare con rumore moltiplicativo Se X t dipende dallo stato della variabile parleremo di rumore moltiplicativo. { dx t = αx t dt + βx t dw t, α, β R (8) X t = X Il processo soluzione è detto moto browniano geometrico e ha importanti applicazioni in finanza. Tramite il Lemma di Itô possiamo ricavarne la sua soluzione esplicita X t = X exp {(α β 2 /2)t + βw t } (9)

14 : Eulero-Maruyama Consideriamo la dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t, t [t, t + T ] e la discretizzazione temporale omogenea t < t 1 < < t N = t + T con t = t n+1 t n = T/N per ogni n =, 1, 2,..., N 1. Allora dato X = Y, in analogia con lo schema di Eulero forward, possiamo costruirci le approssimazioni successive Y n+1 = Y n + a(t n, Y n ) t + b(t n, Y n ) W n Tale metodo numerico, di ordine 1/2, è detto schema di Eulero-Maruyama. A partire dalla serie di Talyor è possibile costruire schemi di ordine superiore (Kloeden-Platen).

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