Processo di rendering

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Processo di rendering"

Transcript

1 Processo di rendering

2 Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione 2

3 Rendering nello spazio 2D Il processo di rendering (visualizzazione) nello spazio 2D è costituito da definizione di una window nello spazio dell applicazione grafica Definizione di una viewport nello spazio delle coordinate del dispositivo di output applicazione di una trasformazione window-to-viewport dopo aver effettuato il clipping (rimozione) delle primitive (o parte di esse) esterne alla window 3

4 Il mondo in tre dimensioni Il processo di formazione delle immagini generate da computer viene assimilato al processo di formazione di una immagine da parte di un sistema ottico ad esempio una macchina fotografica Questa metafora è chiamata Synthetic Camera Model Il processo di rendering 3D è basato su questo modello: La visualizzazione consiste nel creare una particolare vista della scena 3D (relazione scena/osservatore) 4

5 Il mondo in tre dimensioni In generale il rendering consiste nel creare una vista di una scena 3D. Si ha pertanto: La definizione del modello - nel mondo dell applicazione - è indipendente dalla posizione da cui si osserva la scena gli oggetti nel mondo reale sono indipendenti dalle fotografie scattate loro Le funzioni di modellazione (definite nel mondo dell applicazione) e le funzioni relative al posizionamento della macchina (o dell osservatore) all interno della scena sono distinte e separate 5

6 Il mondo in tre dimensioni Il processo di formazione dell immagine in un sistema ottico. Retina piano immagine distanza focale distanza focale lente 6

7 La macchina fotografica virtuale La metafora utilizzata per descrivere le relazioni scena/osservatore è quella della macchina fotografica virtuale (synthetic camera): la pellicola fotografica corrisponde al piano di proiezione, una lente di lunghezza focale d corrisponde al centro di proiezione Il piano di proiezione è a distanza d dal centro di proiezione 7

8 La macchina fotografica virtuale La metafora utilizzata per descrivere le relazioni scena/osservatore è quella della macchina fotografica virtuale (synthetic camera). Il generico punto P=(x,y,z) della scena ha coordinate P p =(x p,y p,- d) sul piano immagine. Dove: La trasformazione non è lineare, non è affine, non è reversibile Centro di proiezione nell origine di x,y,z Piano immagine perpendicolare all asse z 8

9 La macchina fotografica virtuale La macchina fotografica virtuale è costituita da un parallelepipedo in cui la faccia anteriore presenta un foro di dimensioni infinitesime (pinhole camera) e sulla faccia posteriore si formano le immagini θ è l angolo di vista a può essere modificato variando il rapporto tra la distanza focale (d) e la dimensione del piano immagine. 9

10 La macchina fotografica virtuale Per convenzione si assume che il piano immagine sia tra la scena ed il centro di proiezione, in modo da non avere immagini capovolte

11 La vista in 3D Il processo di formazione di una immagine di sintesi in 3D è costituito da una sequenza di operazioni: Definizione della trasformazione di proiezione (il modo di mappare informazioni 3D su un piano immagine 2D) Definizione dei parametri di vista (punto di vista, direzione di vista, etc.) Clipping in 3D (i parametri di vista individuano un volume di vista; occorre rimuovere le parti della scena esterne a tale volume) Trasformazione di proiezione e visualizzazione della scena (con trasformazione window-to-viewport finale)

12 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Clippa sul volume di vista 2

13 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è quindi il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Clippa sul volume di vista 3D Proietta sul piano di proiezione 2D 3

14 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è quindi il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Coordinate del device 2D Clippa sul volume di vista Proietta sul piano di proiezione Trasforma nella viewport in coordinate del device 2D 4

15 Trasformazioni di proiezione Si dice proiezione una trasformazione geometrica che trasforma punti definiti in uno spazio di dimensione n in punti corrispondenti in uno spazio di dimensione m < n f : R n R Nella grafica le trasformazioni di proiezione utilizzate sono dallo spazio 3D (il mondo dell applicazione) allo spazio 2D (la superficie del dispositivo di output) m m < n 5

16 Trasformazioni di proiezione Una proiezione di un oggetto 3D in un piano è definita da un insieme di raggi lineari proiettori - aventi origine in un centro di proiezione Ogni punto dell oggetto è attraversato da un raggio che interseca il piano di proiezione 6

17 Trasformazioni di proiezione La proiezione di un segmento è a sua volta un segmento Non è quindi necessario calcolare i proiettori di tutti i punti di una scena, ma solo quelli relativi ai vertici delle primitive che la descrivono 7

18 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni caratterizzate da: proiettori rettilinei (anziché curve generiche) proiezione giacente su un piano (anziché su una superficie generica) prendono il nome di proiezioni geometriche piane Molte delle proiezioni cartografiche non sono proiezioni geometriche piane 8

19 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni geometriche piane si classificano in: Proiezioni prospettiche (distanza finita tra il centro ed il piano di proiezione) Proiezioni parallele (distanza infinita tra il centro ed il piano di proiezione) 9

20 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni parallele prendono il nome dai proiettori che sono paralleli Per una proiezione prospettica si deve specificare il centro di proiezione, per la proiezione parallela invece la direzione di proiezione La proiezione prospettica è più realistica della parallela in quanto riproduce la visione reale (gli oggetti appaiono di dimensione decrescenti via via che ci si allontana dall osservatore) 2

21 La flagellazione di Piero della Francesca (469) 5,6 4 2

22 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni parallele sono utili quando si richiede che linee parallele nel modello tridimensionale rimangano tali nella proiezione (ad esempio per effettuare misure sulla proiezione) 22

23 Le proiezioni prospettiche Nella proiezione prospettica, ogni insieme di linee parallele (ma non parallele al piano di proiezione) converge in un punto detto punto di fuga Se l insieme di linee è parallelo ad uno degli assi coordinati, il punto di fuga si chiama principale (massimo 3); 23

24 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 24

25 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 25

26 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 26

27 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 27

28 La proiezione prospettica d piccolo d grande d infinito (p. parallela Più distorsione prospettica. Effetto "fish-eye" (grandangolo) Proporzioni più mantenute Effetto "zoom" (eg. vista dal satellite) 28

29 Proiezioni parallele Le proiezioni parallele si classificano in base alla relazione esistente tra la direzione di proiezione e la normale al piano di proiezione Se le due direzioni coincidono si parla di proiezioni ortografiche, altrimenti di proiezioni oblique 29

30 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Una proiezione trasforma punti definiti in un sistema di coordinate 3D in punti corrispondenti in un sistema 2D Una proiezione di un oggetto 3D in un piano è definita da un insieme di raggi lineari - proiettori - che interseca un centro di proiezione Ogni punto dell oggetto è attraversato da un raggio che interseca il piano di proiezione 3

31 Sistema di proiezione Il Il sistema di di acquisizione è posto in in ffed ed è modellizato x,x con con una una lente lente di di lunghezza focale λ y,y P(X,Y,Z) (x,y) Piano di proiezione f z Il Il sistema di di riferimento del del mondo è tale tale che: che: X=x; X=x; Y=y; Y=y; Z è lungo l asse ottico della della lente lente 3

32 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Consideriamo un punto P di coordinate (X,Y,Z), nel sistema di riferimento del mondo. Secondo lo schema precedente i punti (X,Y,Z) sono di fronte la lente a distanza maggiore della distanza focale λ Sia (x,y) la proiezione del punto P nel piano immagine Dalla similitudine dei triangoli si ha: Si ricava quindi x λ X = λ λ Z y λ Y = λ λ Z y = λ x = λ Y Z λ X Z λ 32

33 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Le equazioni di trasformazione sono non lineari x λ X = λ λ Z y λ Y = λ λ Z Per esprimere la dipendenza da Z in modo lineare - mediante una matrice di trasformazione - è necessario utilizzare le coordinate omogenee 33

34 34 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Siano (X,Y,Z) le coordinate cartesiane di un punto P Le coordinate omogenee di P sono definite come (kx, ky, kz, k) con k costante arbitraria - diversa da zero Siano = λ M = Z Y X P matrice di trasformazione coordinate cartesiane = k kz ky kx P h coordinate omogenee

35 35 Applicando tale matrice a un generico punto P h, di coordinate omogenee (kx, ky, kz, k) si ottiene: Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee + = = = k kz kz ky kx k kz ky kx MP P h h λ λ *

36 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Per trasformare in coordinate cartesiane è sufficiente imporre che: kz + λ k = Da cui si ottiene: Sostituendo k in P h* : k λ = λ Z * P h = λx λ λy Z λ λz Z λ Z 36

37 37 In coordinate cartesiane si ha: Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee = Z Z Z Y Z X P λ λ λ λ λ λ *

38 38 Trasformazione inversa Consideriamo la trasformazione inversa da un punto del piano immagine ad un punto 3D = λ M matrice di trasformazione inversa * h P h M P =

39 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z Consideriamo il piano immagine posto a Z= Consideriamo un punto P sul piano immagine di coordinate (x, y, ) Le coordinate omogenee di P sono: kx * ky P h = k 39

40 4 Applicando la matrice di trasformazione inversa si ottiene: Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z = = = k ky kx k ky kx P M P h h * λ

41 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z In coordinate cartesiane si ottiene: P = X Y Z = x y La trasformazione di una scena 3D in un piano immagine è una trasformazione molti a uno. Si verifica che il punto (x, y) del piano immagine corrisponde all insieme dei punti 3D - nel sistema (X,Y,Z) - situati sulla retta r passante per i punti (x, y, ) e (,,λ) 4

42 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z Equazione della retta r nel sistema (X, Y, Z) x X = (λ Ζ ) λ y Y = (λ Ζ ) λ Si ha cioè che il punto 3D che genera un punto immagine non può essere completamente ricostruito dalla sua proiezione sul piano immagine. E necessario infatti conoscere una delle tre coordinate X,Y,Z Il problema può essere risolto con 2 immagini acquisite da un sistema stereo 42

43 Trasformazioni affini Sono una combinazione di scaling, traslazione, rotazione e shearing Le linee rette rimangono rette Le linee parallele rimangono parallele Trasformazioni lineari conformali Sono un sottoinsieme delle trasformazioni affini cioè combinazione di scaling dello stesso fattore in x, y, z, traslazione e rotazione Trasformazioni proiettive Come per le trasformazioni affini le linee rette rimangono rette, ma le linee parallele convergono verso punti di fuga 43

Capitolo 4 Trasformazioni Geometriche

Capitolo 4 Trasformazioni Geometriche Capitolo 4 Trasformazioni Geometriche Prima parte: argomenti trattati Trasformazioni geometriche e matrici Entità geometriche e trasformazioni affini; Trasformazioni geometriche nel piano (traslazione,

Dettagli

INFORMATICA GRAFICA SSD ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni a.a. 2007/2008. CAP 5. Pipeline grafica

INFORMATICA GRAFICA SSD ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni a.a. 2007/2008. CAP 5. Pipeline grafica INFORMATICA GRAFICA SSD ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni a.a. 2007/2008 CAP 5. Pipeline grafica Introduzione Pipeline grafica:= sequenza di trasformazioni che i dati grafici devono

Dettagli

Processo di rendering

Processo di rendering Processo di rendering 1 Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione I parametri della vista 3D I sistemi di coordinate 2 I parametri

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Grafica al calcolatore. Computer Graphics. 5 - Rendering 19/11/12

Grafica al calcolatore. Computer Graphics. 5 - Rendering 19/11/12 Grafica al calcolatore Computer Graphics 5 - Rendering 19/11/12 Grafica 2013 1 Rendering Il termine rendering indica la serie di algoritmi, geometrici e non, a cui si sottopone una data descrizione di

Dettagli

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D) ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Una immagine (digitale) permette di percepire solo una rappresentazione 2D del mondo La visione 3D si pone lo scopo di percepire il mondo per come è in 3 dimensioni

Dettagli

Proiezioni Grafica 3d

Proiezioni Grafica 3d Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente

Dettagli

Modulo 1. Rappresentazione e trasformazione dello spazio 3d.

Modulo 1. Rappresentazione e trasformazione dello spazio 3d. Modulo 1. Rappresentazione e trasformazione dello spazio 3d. Un primissimo passo nel percorso che porta dalla astrazione di una scena tridimensionale ad una sua realizzazione grafica è come rappresentare

Dettagli

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1

Dettagli

Rendering I - geometric processing

Rendering I - geometric processing Rendering I - geometric processing Dove si descrivono i principali metodi di alto livello utilizzati per ottenere una immagine a partire da una descrizione degli oggetti 3D Introduzione Trasformazioni

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Grafica al calcolatore - Computer Graphics

Grafica al calcolatore - Computer Graphics Grafica al calcolatore - Computer Graphics 7 Pipeline di rasterizzazione 23/11/13 Grafica 2013 1 Rasterization pipeline Sappiamo implementare ray casting (o ray tracing). Abbiamo tuttavia già visto che

Dettagli

Topografia e cartografia digitale

Topografia e cartografia digitale Prof. Fausto Sacerdote Topografia e cartografia digitale Capitolo 1 Fotogrammetria dispense del corso Modulo Professionalizzante Corso per Tecnico in Cartografia Tematica per i Sistemi Informativi Territoriali

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Un prototipo di 3D scanner

Un prototipo di 3D scanner Un prototipo di 3D scanner Visual Computing Group 1999 Visual Computing Group 1 Obiettivi Progettazione e realizzazione di uno 3d scanner a basso costo, a partire da hardware comune: una foto camera /

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

Informatica Grafica. Prof. Massimiliano Dellisanti Fabiano Vilardi. (2a parte) a.a. 2011/2012

Informatica Grafica. Prof. Massimiliano Dellisanti Fabiano Vilardi. (2a parte) a.a. 2011/2012 Informatica Grafica (2a parte) a.a. 2011/2012 Prof. Massimiliano Dellisanti Fabiano Vilardi 1 Grafica 3D Con Grafica 3D si indicano quelle tecniche informatiche finalizzate alla descrizione (e rappresentazione

Dettagli

Costruzione di un immagine prospettica dalle proiezioni ortogonali.

Costruzione di un immagine prospettica dalle proiezioni ortogonali. Costruzione di un immagine prospettica dalle proiezioni ortogonali. Nei capitoli precedenti abbiamo visto come realizzare dei modelli grafici costruendo le viste direttamente sui piani di proiezione ortogonali

Dettagli

Corso di Visione Artificiale. Stereopsi. Samuel Rota Bulò

Corso di Visione Artificiale. Stereopsi. Samuel Rota Bulò Corso di Visione Artificiale Stereopsi Samuel Rota Bulò Introduzione La stereopsi è il processo di inferenza della struttura 3D da una coppia di immagini di una stessa scena catturate da posizioni diverse.

Dettagli

OpenGL: visualizzazione 3D

OpenGL: visualizzazione 3D OpenGL: visualizzazione 3D La visualizzazione di una scena avviene come se si stesse usando una macchina fotografica per la quale si può controllare la posizione nello spazio 3D; si può cambiare il tipo

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

OTTICA. Ottica geometrica. Riflessione e rifrazione

OTTICA. Ottica geometrica. Riflessione e rifrazione Ottica geometrica OTTICA Sappiamo che la luce è un onda elettromagnetica. Essa perciò può non propagarsi in linea retta, analogamente alle altre onde (p. es. quelle sonore). Però, come avviene per tutte

Dettagli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli 3.5 Il toro 3.5.1 Modelli di toro Modelli di carta Esempio 3.5.1 Toro 1 Il modello di toro finito che ciascuno può costruire è ottenuto incollando a due a due i lati opposti di un foglio rettangolare.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :

Dettagli

AutoCAD 3D. Lavorare nello spazio 3D

AutoCAD 3D. Lavorare nello spazio 3D AutoCAD 3D Lavorare nello spazio 3D Differenze tra 2D e 3 D La modalità 3D include una direzione in più: la profondità (oltre l altezza e la larghezza) Diversi modi di osservazione Maggiore concentrazione

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D Marzo 2015 (manuale on-line, con aggiunte a cura di L. Tomasi) Questo articolo si riferisce a un componente della interfaccia utente di GeoGebra. Viste Menu Vista Algebra

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile Lenti sottili/1 La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,

Dettagli

Centro di proiezione. Figura 4.1 Proiezione prospettica e parallela di un segmento.

Centro di proiezione. Figura 4.1 Proiezione prospettica e parallela di un segmento. Capitolo 4 Proieioni Il trattamento di dati tridimensionali, siano essi modelli grafici sintetici o dati reali, è più complesso rispetto al caso bidimensionale, sia perchè c è una dimensione in più, sia

Dettagli

DISEGNO TECNICO INDUSTRIALE

DISEGNO TECNICO INDUSTRIALE DISEGNO TECNICO INDUSTRIALE COSTRUZIONI GEOMETRICHE Anno Accademico 2014-2015 Le Costruzioni Geometriche Nello studio del disegno tecnico, inteso come linguaggio grafico comune fra i tecnici per la progettazione

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

Lenti sottili: Definizione

Lenti sottili: Definizione Lenti sottili: Definizione La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

2.3 I PRODOTTI AEROFOTOGRAFICI

2.3 I PRODOTTI AEROFOTOGRAFICI Aerofotogrammetria 2.3 I PRODOTTI AEROFOTOGRAFICI Dal negativo, impressionato in volo, si possono ottenere diversi prodotti tra cui: stampe a contatto, ingrandimenti, raddrizzamenti, ortofoto e restituzioni

Dettagli

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 1 Introduzione In questa lezione

Dettagli

DISEGNO dell ARCHITETTURA II

DISEGNO dell ARCHITETTURA II 1 DISEGNO dell ARCHITETTURA II Raddrizzamento fotografico Le diapositive costituiscono unicamente una base per lo sviluppo della lezione e, come tali, non sostituiscono in alcun modo i testi consigliati.

Dettagli

Definizione di lente. Tipi di lenti

Definizione di lente. Tipi di lenti LENTI Sommario Definizione di lente... 2 Tipi di lenti... 2 Punti e piani principali... 5 Punti e piani nodali... 10 Terminologia... 12 Focale, distanze coniugate ed ingrandimento... 19 Immagine generata

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

AutoCAD 3D base. Arch. Antonella Cafiero Studio di Architettura Lighting Design ss 275 km 19.900 Miggiano -LEwww.cafieroarchitettura.

AutoCAD 3D base. Arch. Antonella Cafiero Studio di Architettura Lighting Design ss 275 km 19.900 Miggiano -LEwww.cafieroarchitettura. AutoCAD 3D base 1 - Dialogo con AutoCAD Sistema di riferimento Specificazione dei punti Selezione di oggetti Personalizzazione dell ambiente operativo Creazione di un nuovo disegno Apertura di un disegno

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

la restituzione prospettica da singolo fotogramma

la restituzione prospettica da singolo fotogramma la restituzione prospettica da singolo fotogramma arch. francesco guerini francesco.guerini@gmail.com politecnico di Milano, Facoltà di Architettura e Società Laboratorio di Rappresentazione 1 Prof. Andrea

Dettagli

La Pipeline Grafica. Vediamo come avviene il rendering, ovvero la visualizzazione di oggetti. Introduzione. La Pipeline Grafica.

La Pipeline Grafica. Vediamo come avviene il rendering, ovvero la visualizzazione di oggetti. Introduzione. La Pipeline Grafica. La Pipeline Grafica Vediamo come avviene il rendering, ovvero la visualizzazione di oggetti. Introduzione La Pipeline Grafica Spazio vista Spazio 3D-screen Shading Rasterizzazione Rimozione delle facce

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Introduzione alla Computer Graphics

Introduzione alla Computer Graphics Introduzione alla Computer Graphics Informatica Grafica CdLS a ciclo unico in Ingegneria Edile-Architettura a.a. 2008/09 Computer Graphics e Image Processing Image processing Insieme di teorie ed algoritmi

Dettagli

La propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile

La propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile Elementi di ottica L ottica si occupa dello studio dei percorsi dei raggi luminosi e dei fenomeni legati alla propagazione della luce in generale. Lo studio dell ottica nella fisica moderna si basa sul

Dettagli

IL MICROSCOPIO OTTICO. DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (microscopio2.pdf) è scaricabile dal sito http://www.ge.infn.it/ calvini/fistrum/ 09/03/2011

IL MICROSCOPIO OTTICO. DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (microscopio2.pdf) è scaricabile dal sito http://www.ge.infn.it/ calvini/fistrum/ 09/03/2011 IL MICROSCOPIO OTTICO DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (microscopio2.pdf) è scaricabile dal sito http://www.ge.infn.it/ calvini/fistrum/ 09/03/2011 Lo scopo di questi appunti è la descrizione dei principi

Dettagli

Ottica geometrica. L ottica geometrica tratta i. propagazione in linea retta e dei. rifrazione della luce.

Ottica geometrica. L ottica geometrica tratta i. propagazione in linea retta e dei. rifrazione della luce. Ottica geometrica L ottica geometrica tratta i fenomeni che si possono descrivere per mezzo della propagazione in linea retta e dei fenomeni di riflessione e la rifrazione della luce. L ottica geometrica

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari

Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari Alla fine del capitolo saremo in grado di: Operare su forme tridimensionali comunque inclinate nello spazio rispetto ai piani

Dettagli

IL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE

IL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE IL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE La Il paragrafo è intitolato La Carta di Gauss poiché, delle infinite formule che si possono adottare per mettere in corrispondenza i punti dell'ellissoide con quelli

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

Forze elastiche e Molla elicoidale versione 1.02 preliminare

Forze elastiche e Molla elicoidale versione 1.02 preliminare Forze elastiche e Molla elicoidale versione 1.02 preliminare MDV April 18, 2015 1 Elasticità L elasticità è la proprietà dei corpi soldi di tornare nella loro forma originale dopo avere subito una deformazione

Dettagli

1 Introduzione 1. Ottica Geometrica

1 Introduzione 1. Ottica Geometrica 1 Introduzione 1 1 Introduzione Ottica Geometrica 1.1 Estratto Lo scopo di questa esperienza è quello di apprendere come la luce interagisce con elementi ottici quali le lenti, e come, in sequito alla

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

Ricostruzione stereo. Il nostro obiettivo. Ricostruzione del Cenacolo Vinciano. Ricostruire la profondità. d Y

Ricostruzione stereo. Il nostro obiettivo. Ricostruzione del Cenacolo Vinciano. Ricostruire la profondità. d Y Il nostro obiettivo Daniele Marini Ricostruzione stereo Ricostruire scenari 3D da più immagini per inserire oggetti di sintesi Ricostruire la profondità Ricostruzione del Cenacolo Vinciano Solo se abbiamo

Dettagli

La lente singola rimane ancora in uso nelle macchine più economiche e, entro certi limiti, dà dei risultati accettabili.

La lente singola rimane ancora in uso nelle macchine più economiche e, entro certi limiti, dà dei risultati accettabili. O.Welles usa in "Quarto potere" in modo magistrale la Profondità di Campo, in questo modo evita gli stacchi e un oggetto inquadrato riesce a mettere a ''fuoco'' anche ciò che c'è dietro - stesso uso magistrale

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni.

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni. Capitolo 4 Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi L analisi delle funzioni di una singola variabile è fatta sostanzialmente sulla retta R enelpianor. Questi sono gli ambienti naturali per lo studio

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

Trasformazioni 2D. Grande differenza rispetto alla grafica raster!

Trasformazioni 2D. Grande differenza rispetto alla grafica raster! Trasformazioni 2D Il grande vantaggio della grafica vettoriale è che le immagini vettoriali descrivono entità matematiche È immediato manipolare matematicamente tali entità In quasi tutte le manipolazioni

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Lezione 3: Grafica 3D*

Lezione 3: Grafica 3D* Lezione 3: Grafica 3D* Informatica Multimediale Docente: Umberto Castellani *I lucidi sono tratti da una lezione di Maura Melotti (m.melotti@cineca.it) Sommario Il processo grafico La modellazione 3D Rendering

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE CURRICOLO MATEMATICA 1) Operare con i numeri nel calcolo aritmetico e algebrico, scritto e mentale, anche con riferimento a contesti reali. Per riconoscere e risolvere problemi di vario genere, individuando

Dettagli

MODULO 3/4 - TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE - (Supporto didattico)

MODULO 3/4 - TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE - (Supporto didattico) MODULO 3/4 - TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE - (Supporto didattico) 1. Alcuni obiettivi da far conseguire agli alunni entro la quinta classe della scuola primaria riguardano sostanzialmente un capitolo della

Dettagli

Qual è la distanza tra Roma e New York?

Qual è la distanza tra Roma e New York? Qual è la distanza tra Roma e New York? Abilità Conoscenze Nuclei coinvolti Utilizzare i vettori e il prodotto Elementi di geometria Spazio e figure scalare nello studio di problemi della sfera: del piano

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

Relatore: Giovanni Telesca

Relatore: Giovanni Telesca Potenza 15/10/2009 La necessità di gestire grandi volumi di informazioni, provenienti da molteplici fonti e organizzati secondo sistemi di georeferenziazione diversi per caratteristiche e accuratezza,

Dettagli

Corso di disegno. Riccardo Migliari 2015-2016

Corso di disegno. Riccardo Migliari 2015-2016 Corso di disegno Riccardo Migliari 2015-2016 ii Indice 1 Prolusione 1 1.1 Il disegno come tramite tra il pensiero e la realtà................................ 1 1.2 Il disegno dell architettura...........................................

Dettagli

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013)

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) Linguaggio matematico di base 1. Qual è l area del triangolo avente i vertici nei punti di coordinate (0,2), (4,0) e (7,6)? A 10 B 30

Dettagli

Capitolo 6 ELABORAZIONE DI IMMAGINI A COLORI

Capitolo 6 ELABORAZIONE DI IMMAGINI A COLORI Capitolo 6 ELABORAZIONE DI IMMAGINI A COLORI Il colore viene utilizzato nelle immagini digitali per due motivi principali: è un descrittore che semplifica l identificazione di un oggetto e la sua estrazione

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Geometria in movimento:

Geometria in movimento: Geometria in movimento: alla scoperta di invarianti Aspetti teorici e didattici della geometria delle trasformazioni, con l utilizzo di materiale manipolabile e GeoGebra INCONTRI DI FORMAZIONE C.R.S.E.M.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

LA MACCHINA FOTOGRAFICA

LA MACCHINA FOTOGRAFICA D LA MACCHINA FOTOGRAFICA Parti essenziali Per poter usare la macchina fotografica, è bene vedere quali sono le sue parti essenziali e capire le loro principali funzioni. a) OBIETTIVO: è quella lente,

Dettagli

Fisica II - CdL Chimica. Formazione immagini Superfici rifrangenti Lenti sottili Strumenti ottici

Fisica II - CdL Chimica. Formazione immagini Superfici rifrangenti Lenti sottili Strumenti ottici Formazione immagini Superfici rifrangenti Lenti sottili Strumenti ottici Ottica geometrica In ottica geometrica si analizza la formazione di immagini assumendo che la luce si propaghi in modo rettilineo

Dettagli