u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

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1 Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure u (4.2) che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (4.), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u, =, 2,..., si chiamano termini delle serie. Si chiama somma parziale di ordine n (n =, 2,...), della serie (4.2) e si indica con S n la somma dei suoi primi n termini: S = u, S 2 = u,..., S n = u u n,.... La successione S, S 2,..., S n,... può ammettere ite finito S, oppure ite infinito (+ o ), oppure non ammettere ite. Nel primo caso la serie si dice convergente ed il ite finito S si chiama somma della serie; nel secondo caso la serie si dice divergente; nel terzo caso si dice indeterminata. Per le serie convergenti si può scrivere u u n +... = S con S = S n. poiché Illustriamo quanto detto fin qui con alcuni esempi. Consideriamo la serie = ( + ) = +, ( + ) ; la somma parziale di ordine n si scrive: ( S n = ) ( ) ( n ) = n + n +, quindi: S n =. 37

2 Capitolo 4. Serie numeriche La serie è dunque convergente e si può scrivere ( + ) =. Passiamo ora ad un caso più articolato, Preso un numero reale arbitrario x, consideriamo la serie geometrica di ragione x + x + x x +... = x = x (4.3) dove, come in molti casi, si può scegliere di far partire l indice da 0 o da, scegliendo poi in modo appropriato l espressione del termine generico della serie. Se x = la serie si scrive e si ha dunque S n = n, quindi: =0 S n = +, cioè la serie è divergente. Se x si può scrivere + x + x x n +... = xn x = x xn x e la ricerca del ite di S n per n conduce a risultati diversi. Se x è evidente che non esiste il xn e quindi nemmeno il S n; la serie è quindi indeterminata. Se < x < si ha xn = 0, S n = x ; quindi la serie è convergente e ha per somma x. Infine, se x > si ha xn = +, S n = + ; Possiamo quindi riassumere come segue. la serie è dunque divergente. La serie geometrica (4.3) è indeterminata per x, divergente per x ed è convergente per < x < ; in quest ultimo caso risulta =0 x = x. (4.4) 38

3 4.2. Proprietà delle serie convergenti 4.2 Proprietà delle serie convergenti Un importante caratteristica delle serie convergenti è che esse possono essere trattate come somme di un numero finito di termini. In particolare, è possibile operare con combinazioni lineari di serie convergenti, per le quali vale il seguente risultato: 4.2.I Siano date le serie convergenti u () = S (), u (2) = S (2),..., u (m) = S (m). Allora, date le costanti c, c 2,..., c m, anche la serie (c u () + c 2 u (2) c m u (m) ) è convergente con la somma c S () + c 2 S (2) c m S (m). È facile convincersi che il carattere di convergenza di una serie dipende dall andamento dei suoi termini per n (anche se, in caso di convergenza, il valore della somma dipende da tutti i termini). Questa considerazione introduce al criterio generale diconvergenza, che si esprime formalmente come segue: 4.2.II Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie (4.2) sia convergente è che, comunque si fissi ε > 0, sia possibile determinare un indice ν ε tale che, non appena si assuma n > ν ε, risulti u n+ + u n u n+p < ε (4.5) qualunque sia l intero p. Da questo risultato ne deriva immediatamente un altro. 4.2.III Se la serie (4.2) è convergente, allora si ha necessariamente u = 0 (4.6) Questo teorema afferma che una condizione necessaria per la convergenza di una serie è che il suo termine generico u tenda a zero per. Tale condizione non è sufficiente a garantire la convergenza di una serie, come mostreremo nel seguito con un esempio specifico. Se in una serie u +u u +... si sopprimono i primi p termini, si ottiene una nuova serie u p+ + u p , che si chiama il resto di ordine p della serie data. Le somme parziali 39

4 Capitolo 4. Serie numeriche T n di questa seconda serie sono legate a quelle S n della prima dalla relazione T n = S p+n S p e perciò l esistenza o meno del T n equivale all esistenza o meno del nel caso che il ite esista risulta poi S p+n, che è la stessa cosa del S n; T n = S n S p, (con S p = u u p ). Vale allora il seguente risultato: 4.2.IV Il resto di ordine p di una serie u u +... è una nuova serie che è convergente, divergente o indeterminata a seconda che sia convergente, divergente o indeterminata la serie data. Se la serie data è convergente con la somma S, il suo resto di ordine p è una serie convergente con somma uguale a S (u u p ), e viceversa, se tale resto è convergente con somma T, anche la serie data è convergente con somma T + (u u p ). 4.3 Serie a termini di segno costante Consideriamo qui un particolare tipo di serie, cioè quelle i cui termini u hanno tutti lo stesso segno, che possiamo supporre non negativo. Oltre alle somme parziali S n = u +u u n, verranno considerate anche le somme di un numero qualsiasi (finito) di termini della serie scelti ad arbitrio, cioè somme del tipo U = u u con n intero arbitrario n e < 2 <... < n indici arbitrari. Ogni somma U sarà chiamata somma generalizzata relativa alla serie data. Va osservato che le somme parziali S n sono un caso particolare delle somme generalizzate U (quando si assuma =, 2 = 2... n = n). Si dimostrano i seguenti teoremi. 4.3.I Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata (cioè è convergente oppure divergente) ed ha per somma (finita o + ) l estremo superiore dell insieme numerico A formato dalle somme parziali S n, che è anche l estremo superiore dell insieme B di tutte le possibili somme generalizzate U. 4.3.II Date due serie u, a termini non negativi, se per ogni indice si ha u c v (con c costante positiva), dalla convergenza della seconda serie segue la convergenza della prima, dalla divergenza della prima segue la divergenza della seconda. v 40

5 4.4. Serie assolutamente convergenti Utilizzando i due teoremi precedenti si può studiare la serie: α + 2 α + 3 α + + α + = α ; (4.7) ove α è un arbitrario numero reale. Per α = la (4.7) si riduce alla serie armonica (??) che si è dimostrato essere divergente. Se α < si ha / < / α e perciò, per il teorema (4.3.II), risulterà anche divergente la serie (4.7). Si dimostra poi che nel caso α > la stessa serie è convergente. Si può riassumere come segue. La serie è divergente se α, convergente se α >. Le serie a termini non negativi godono della proprietà commutativa. Il significato di questa frase va precisato mediante alcune definizioni. Data una serie qualsiasi u, si dirà che un altra serie α v, è stata da essa dedotta alterandone l ordine dei termini se esiste una successione di numeri naturali ν, ν 2, ν 3,... tale che ogni numero naturale compaia in essa una ed una sola volta e tale inoltre che risulti v = u ν, v 2 = u ν2, v 3 = u ν3,.... Ciò premesso si può dimostrare che: 4.3.III Se la serie u è a termini non negativi ed ha somma S (finita o + ), ogni altra serie da essa dedotta alterandone l ordine dei termini ha ancora la somma uguale a S. v 4.4 Serie assolutamente convergenti Data una serie qualsiasi u 4

6 Capitolo 4. Serie numeriche si consideri accanto ad essa quella u avente come termini i valori assoluti dei termini della prima. Si dimostra che: 4.4.I Se la serie è convergente, allora anche la serie è convergente. u u Questo teorema legittima la seguente definizione: una serie si dice assolutamente convergente quando converge la serie formata con i valori assoluti dei suoi termini (onde è convergente anche la serie data). Evidentemente una serie convergente a termini di segno costante è sempre assolutamente convergente. Si dimostra anche immediatamente che se più serie u (), u (2),..., u (m) sono assolutamente convergenti, anche una qualsiasi loro combinazione lineare è una serie assolutamente convergente. ( c u () + c 2 u (2) ) c m u (m) Per le serie assolutamente convergenti (e solo per esse) vale la proprietà commutativa. Si ha infatti il seguente risultato. Se la serie è assolutamente convergente, ogni altra serie u v da essa dedotta alterandone l ordine dei termini è convergente ed ha la stessa somma. 42

7 4.5. Criteri di convergenza assoluta È noto che il prodotto di due polinomi è uguale alla somma dei termini che si ottengono moltiplicando in tutti i modi possibili un termine del primo polinomio per un termine del secondo. Possiamo domandarci se una regola analoga valga per il prodotto di due serie. Date le due serie u h, h= v, (4.8) si chiamerà serie prodotto di esse ogni serie avente come termini tutti e soli i prodotti del tipo u h v, al variare degli indici h, indipendentemente l uno dall altro. Le serie prodotto sono dunque infinite e si ottengono l una dall altra per alterazione dell ordine dei termini. Fra queste infinite serie prodotto quelle che più comunemente si considerano sono la serie prodotto di Cauchy (o per diagonali) e la serie prodotto per quadrati, che si scrivono rispettivamente: u v + u v 2 v + u v 3 v 2 + u 3 v +..., (4.9) u v + u v 2 v 2 v + u v 3 v 3 + u 3 v 3 + u 3 v 2 + u 3 v (4.0) Ciò premesso si pone la questione: se le due serie (4.8) sono convergenti, con le rispettive somme S, T, una loro serie prodotto è convergente? e se lo è, la sua somma vale ST? In generale la risposta a queste due domande è negativa; però se le due serie (4.8) sono assolutamente convergenti si può rispondere affermativamente ad entrambe. Si può quindi enunciare il seguente teorema: 4.4.II Se le due serie (4.8) sono assolutamente convergenti, ogni loro serie prodotto è pure assolutamente convergente ed ha per somma il prodotto ST delle somme S, T delle due serie date. 4.5 Criteri di convergenza assoluta Sono largamente usati in pratica i seguenti teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti affinché una data serie u (4.) sia assolutamente convergente. 4.5.I (Criterio di confronto) Sia p, (4.2) 43

8 Capitolo 4. Serie numeriche un assegnata serie a termini positivi. Se per ogni indice si ha u < c p (con c costante positiva) e se la serie (4.2) converge, allora la serie (4.) converge assolutamente. Se per ogni indice si ha u c p e se la serie (4.2) diverge, allora la serie (4.) non converge assolutamente. 4.5.II Per, il termine generico u della serie (4.) sia infinitesimo con un ordine determinato α (rispetto all infinitesimo principale /). Allora se α > la serie (4.) è assolutamente convergente; se α la serie (4.) non è assolutamente convergente. 4.5.III (Criterio della radice) Se esiste un numero positivo p <, tale da aversi per ogni indice u p <, (4.3) allora la serie (4.) è assolutamente convergente. Se è sempre u, la serie (4.) non è convergente. Nell applicare questo criterio conviene tener conto del seguente corollario: 4.5.IV Se esiste il ite u = l la serie (4.) è assolutamente convergente se l <, non è convergente se l >. 4.5.V (Criterio del rapporto) Se la serie (4.) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo p <, tale da aversi per ogni indice u + p <, (4.4) allora la serie (4.) è assolutamente convergente. Se è sempre u +, la serie (4.) non è convergente. u u Questo criterio si applica di solito nella forma espressa dal seguente corollario: 4.5.VI Se la serie (4.) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il ite u + = l, u la serie (4.) è assolutamente convergente se l <, non converge se l >. 44

9 4.5. Criteri di convergenza assoluta Per esempio, la serie + x! + x2 2! + + x ( )! + è convergente assolutamente, qualunque sia il numero reale x. Infatti, per x = 0 la cosa è evidente; per x 0 si ha x /! x /( )! = x = VII Se la serie (4.) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo p tale da aversi per ogni indice u ( + ) p, (4.5) u + allora la serie (4.) è assolutamente convergente. Se è sempre u ( + ) 0, u + la serie (4.) non è assolutamente convergente. 4.5.VIII Se la serie (4.) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il ite ( ) u = l, (4.6) u + la serie (4.) è assolutamente convergente se l >, non è assolutamente convergente se l <. 45

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