PREREQUISITI. Cenni di logica elementare:

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1 PREREQUISITI La Conferenza dei Presidi delle Facoltà di Ingegneria Italiane (documento di giugno 2006) ritiene che per intraprendere con profitto gli studi in Ingegneria gli studenti debbano possedere: conoscenze scientifiche di base; capacità di comprensione verbale; attitudine ad un approccio metodologico. Con riferimento al contesto specifico dell insegnamento delle matematiche, le competenze disciplinari e metacognitive che saranno elencate si esplicano tramite capacità generali e trasversali che si traducono nel metodo di studio e nella capacità di apprendere. In modo più dettagliato e preciso, esse possono essere descritte come capacità: di lettura e di interpretazione dei testi, di scrittura e, in generale, di comunicazione; di organizzazione e archiviazione della conoscenza nella memoria a breve o lungo termine e in archivi di ogni genere, anche su supporto informatico; di autovalutazione delle conoscenze e delle abilità e, più globalmente, di organizzazione e gestione delle risorse, di progettazione e di decisione; di assunzione di responsabilità delle decisioni prese. Il possesso di queste capacità comporta un atteggiamento positivo verso l apprendimento e lo studio in generale e, nello specifico, verso la Matematica. La formazione degli allievi iscritti al primo anno di laurea in Ingegneria si innesta su un substrato formativo precedente che, per quanto riguarda le matematiche, si è sedimentato durante l intero percorso scolastico e che, proprio per questo motivo, non può essere surrogato da frettolose operazioni di recupero dell ultima ora. In questa ottica si ritiene opportuno fornire alcune indicazioni dettagliate circa i componenti essenziali del substrato che si ritiene debbano essere stati assimilati nel percorso della scuola secondaria (appaiono inprescindibili essendo richieste minimali). Viene riportato qui di seguito il bagaglio matematico minimo che ragionevolmente si deve supporre noto e bene assimilato da uno studente che intenda iscriversi ad uno dei corsi di Laurea in Ingegneria (dell area dell Informazione) del Politecnico di Bari. Si tratta di nozioni che uno studente di media capacità non ha difficoltà ad apprendere nell intero percorso scolastico che precede gli studi universitari, con particolare riferimento alla Scuola Media Superiore. Le nozioni qui proposte possono consentire ai docenti di svolgere con ragionevole tempistica le tematiche proprie dei corsi universitari rivolgendosi ad un uditorio che sia in grado di recepirle e di raggiungere l alta qualificazione degli studi necessaria per condurre il futuro laureato (soprattutto quello di secondo livello) a saper affrontare in modo autonomo e progettuale i problemi dell Ingegneria e competere con la concorrenza dei laureati di altri Paesi. I programmi di studio previsti per la Scuola media Superiore sono ovviamente diversificati a seconda della tipologia scolastica cui si riferiscono. Tenendo conto di questa circostanza e della eccessiva estensione dei programmi proposti, si è cercato di individuare gli argomenti ritenuti imprescindibili per consentire un positivo inserimento dello studente nella struttura universitaria. Forse non è superfluo ribadire che le conoscenze di base richieste debbono essere acquisite senza incertezze. Cenni di logica elementare: 1

2 Differenze tra postulati (assiomi), teoremi, definizioni. Enunciato di teoremi con la distinzione tra ipotesi e tesi. Il concetto di dimostrazione (1). Corretto utilizzo di connettivi logici e quantificatori. Teoria degli insiemi: Nozioni generali e notazioni della teoria degli insiemi. Insiemi e sottoinsiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Nozione di relazione e di funzione. Gli insiemi numerici: discriminazione tra numeri naturali, numeri interi relativi, numeri razionali, numeri irrazionali. Algebra (equazioni, disequazioni, sistemi): Calcolo di espressioni algebriche (numeriche, letterali) e operazioni sulle stesse. Utilizzo di espressioni algebriche (numeriche, letterali) per descrivere situazioni concrete e per risolvere problemi. Valore assoluto di un numero. Fattorizzazione di prodotti notevoli. Proporzioni e loro proprietà. Proporzionalità diretta e proporzionalità inversa. Risoluzione di equazioni algebriche di primo e secondo grado in una incognita; risoluzione di particolari equazioni algebriche riconducibili ad equazioni di primo grado oppure di secondo grado (reciproche, biquadratiche, ecc.). Annullamento del prodotto per risolvere equazioni. Teorema di Ruffini. La somma ed il prodotto delle soluzioni di una equazione di secondo grado in una incognita in funzione dei coefficienti. Scomposizione lineare di un polinomio di secondo grado. Regola di Cartesio. Risoluzione di equazioni con valore assoluto, di equazioni algebriche fratte, irrazionali in una incognita riconducibili ad equazioni di primo grado oppure di secondo grado. Risoluzioni delle disequazioni riconducibili alle equazioni dette sopra. Riconoscimento di un numero quale soluzione di una equazione, di una disequazione. Conoscenza dei principi di equivalenza per la risoluzione di equazioni e di disequazioni, con particolare riguardo alla regola dei segni per le disequazioni. Rappresentazione grafica delle equazioni e disequazioni dette sopra. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari di Cramer in due o in tre incognite. Risoluzione di sistemi di secondo grado in due incognite. Risoluzione di sistemi di equazioni e di disequazioni riconducibili ai precedenti. (1) Tutti i teoremi necessitano di una dimostrazione; tuttavia la dimostrazione di un teorema potrebbe essere troppo lunga oppure potrebbe richiedere nozioni troppo profonde (o addirittura estranee al corso sviluppato) per essere presentata agli studenti. Calcolo approssimato: 2

3 Rappresentazione decimale di numeri reali. Interpretazione ed uso corretti di espressioni del tipo: a = 4.82, a 4.82, a = ± Differenze tra queste espressioni. Significato di arrotondamento e di troncamento, significato di precisione, di errore, di cifre esatte. Applicazione delle operazioni di arrotondamento e di troncamento in situazioni concrete. Esponenziali e logaritmi: La funzione esponenziale sull insieme N dei numeri naturali. Conoscenza ed applicazione corretta della definizione e delle proprietà di potenze con base reale positiva e con esponente razionale. Motivazioni e modalità di estensione della funzione esponenziale dall insieme N agli insiemi Z degli interi relativi e Q dei numeri razionali; rappresentazione grafica di queste funzioni. Definizione, proprietà e rappresentazione grafica (qualitativa) di potenze con base reale positiva e con esponente reale (positivo oppure negativo). Valutazione senza l utilizzo della calcolatrice dell ordine di grandezza e del valore approssimato di funzioni esponenziali. La funzione logaritmica come funzione inversa della funzione esponenziale; sua rappresentazione grafica. Proprietà, operazioni e regole di calcolo con i logaritmi (esempi: ln(x y)=ln x +ln y, ln x > 0 se x > 1). Formula per il cambiamento di base. Corretto utilizzo della calcolatrice per determinare valori della funzione esponenziale, logaritmica. Risoluzione di semplici equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche. Goniometria e Trigonometria: Unità di misura per gli angoli: grado (sessagesimale), radiante; formule di conversione tra le misure fatte in gradi e quelle fatte in radianti. Funzioni goniometriche di un angolo (arco): seno, coseno, tangente; funzioni goniometriche inverse. Identità goniometriche fondamentali (sin 2 α + cos 2 α = 1, sin α / cos α = tg α). Proprietà elementari delle funzioni goniometriche: periodicità, limitatezza, parità, disparità.. Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche con l utilizzo delle loro simmetrie. Conoscenza dei valori delle funzioni goniometriche di angoli particolari senza ricorrere alla calcolatrice Calcolo di espressioni goniometriche. Determinazione dei valori delle funzioni goniometriche di un angolo a partire da quelle di un altro angolo (complementare, supplementare, ecc.). Riduzione al primo quadrante. Corretto utilizzo della calcolatrice per determinare valori delle funzioni goniometriche (dirette, inverse) di un angolo generico. Principali formule goniometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche) e loro utilizzo per operare con espressioni goniometriche anche al fine di risolvere semplici equazioni e disequazioni. Risoluzione dei triangoli rettangoli: relazioni tra un cateto e l ipotenusa, relazioni tra i cateti. Risoluzione dei triangoli qualsiasi: teorema delle proiezioni, teorema della corda, teorema del seno, teorema del coseno (Carnot). Geometria euclidea nel piano e nello spazio: 3

4 Postulati della geometria euclidea. Mutue posizioni di rette nel piano e nello spazio; rette complanari, rette sghembe. Mutue posizioni di rette e piani nello spazio. Semplici luoghi geometrici nel piano e nello spazio. Teoremi di Talete, Euclide, Pitagora. Figure congruenti, figure simili. Circonferenza e sfera; mutue posizioni di circonferenza e sfera con rette e piani. Trasformazioni geometriche nel piano: traslazioni, rotazioni, simmetrie, omotetie, similitudini. Misure di distanze e di angoli nel piano e nello spazio. Misure di perimetri e di superfici dei poligoni. Misura della lunghezza di una circonferenza, della superficie di un cerchio; misura della lunghezza di un arco di circonferenza, misura della superficie di particolari sottoinsiemi del cerchio (corone circolari, settori circolari, segmenti circolari). Definizione e proprietà dei prismi, delle piramidi, delle sfere, dei coni, dei cilindri. Calcolo delle superfici e dei volumi dei questi solidi; applicazione nella risoluzione di semplici problemi. Modalità di variazione delle misure al variare delle unità di misura. Geometria analitica nel piano: Rappresentazioni analitiche di una retta, di una circonferenza. Intersezioni di rette e di circonferenze. Calcolo della distanza tra due punti, di un punto da una retta. Condizioni di parallelismo e condizioni di perpendicolarità tra rette. Risoluzione di semplici problemi: retta per due punti assegnati, retta per un punto parallela (oppure perpendicolare) ad una retta assegnata, intersezioni tra rette e tra rette e circonferenze, determinazione della equazione della circonferenza individuata mediante condizioni assegnate (centro e raggio assegnati, passaggio per tre punti non allineati, centro ed una retta tangente assegnati, passaggio per due punti assegnati in uno dei quali si conosca la retta tangente), Rappresentazione in forma canonica delle coniche come luoghi di punti (ellisse, parabola, iperbole). Cenni di Analisi Matematica: Essenzialmente sono distribuiti nei paragrafi precedenti. Concetto di numero reale (sezioni di Dedekind, classi di grandezze commensurabili o incommensurabili), operazioni con i numeri reali, relazione d ordine sull insieme dei numeri reali. Grafici delle funzioni valore assoluto, della funzione parte intera, della funzione parte decimale, delle funzioni potenza, radice, delle funzioni goniometriche, della funzione esponenziale, della funzione logaritmica, funzione di Dirichlet. I docenti di Matematica del C.U.C. dell Informazione avanzano le proposte seguenti. 4

5 1. Diffondere in modo capillare queste informazioni presso tutte le Scuole Medie Superiori i cui studenti si potranno iscrivere ai corsi di laurea del Politecnico di Bari; lo strumento da utilizzare può essere una comunicazione ai Dirigenti Scolastici (ex Presidi) nella quale si comunichino questi dati e, comunque, si faccia esplicito riferimento al sito del Politecnico in cui siano riportate in dettaglio tutte le notizie ritenute opportune. Tale comunicazione potrebbe avvenire tanto in forma diretta (il Politecnico scrive direttamente alle Scuole ma anche per il tramite della Sovrintendenza Scolastica). Le notizie andrebbero pubblicizzate sia tramite le Scuole stesse, sia tramite gli strumenti di informazione messi a disposizione dai media (giornali, televisioni locali e quant altro) affinché ne vengano a conoscenza i docenti delle Scuole interessate nonché gli studenti e le loro famiglie. 2. Segnalare (pubblicamente oppure privatamente, privatamente con la prospettiva di renderli pubblici) gli esiti dei test di accesso suddivisi per Scuola di provenienza, le percentuali, i risultati conseguiti dopo il primo anno di corso e tutte le informazioni relative ai risultati conseguiti dagli studenti in relazione alla Scuola di provenienza. 3. Lettera agli studenti con commento relativo al risultato del test di accesso, forse anche una lettera di commento relativo ai risultati conseguiti dopo il primo anno di corso. 4. Predisporre durante tutto l arco del primo semestre un corso di recupero (Matematica 0), limitando in questo periodo il carico didattico degli studenti ai soli corsi di Analisi Matematica I, Fisica I, Geometria e Algebra. 5