Riassunto di GEOMETRIA - Autore Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

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1 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it GEOMETRIA Spio Vettorile Modelli di spi vettorili Geometri elemetre fisi Spio Vettorile VK delle -ple di meri Spio Vettorile V{f: K; f ppliioe} Spio Vettorile delle Mtrii Sottospi Vettorili Iterseioe di sottospi Vettorili Sp di sottospi Vettorili Somm di sottospi Vettorili Liere dipede e idipede 4 Bsi e Dimesioi 4 Teorem dell Bse 4 Teorem dell Bse iomplet 4 Dimesioe 5 Forml d Grssm 5 Prodotto rig per olo 5 Mtrii Notevoli 5 mtrii trigolri 5 mtrii simmetrihe e tisimmetrihe 5 mtrii drte regolri 5 Appliioi Lieri 6 Nleo e Immgie 6 Composiioe di Appliioi 6 Forml di Grssm per ppliioi lieri 7 Permtioi 7 Orit 7 Determite solo per mtrii drte 7 Teorem di Lple 7 Cosegee del Teorem di Lple 8 Rgo delle mtrii 8 Primo Teorem di Kroeker 8 Seodo Teorem di Kroeker 9 Risolioe di sistemi lieri ritrri 9 Teorem di Rohè-Cpelli 9 Cmimeti di Bse Prodotto Slre Bsi Ortoormli Teorem di Grm-Shmidt Atovlori e Atovettori Forme oihe delle Mtrii Forme Qdrtihe Geometri Elide del Pio L rett i E Dist Are del Trigolo Geometri Aliti dello Spio Elideo E L rett ello spio Prllelismo e perpediolrità 4 Pii di E 4 Prllelismo e perpediolrità tr pii 5 Prllelismo e perpediolrità tr rett e 5 pio Agoli tr rette e pii 5 Diste e Volmi 6 Teori delle Coihe 6 Iterseioe rett oi 7 Clssifiioe delle Coihe 7 Legge di reiproità 7 Cetro, ssi di simmetri 8 Eioi oihe delle oihe e fohi 8 Stdio delle Qdrihe 8 Assi e pii di simmetri 9 Clssifiioe delle Qdrihe 9 Pgi di 9

2 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it SPAZIO VETTORIALE Defiiioe: Si die he V è o SPAZIO VETTORIALE s K se: esiste operioe di ADDIZIONE VETTORIALE :VV V,v v he soddisf le proprietà: Commttiv, Assoitiv, Elemeto Netro, Opposto. E se esiste operioe di MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE :KV, V he soddisfi le proprietà: Elemeto etro, Distritiv, Assoitiv. MODELLI DI SPAZI VETTORIALI Geometri elemetre fisi E è lo spio elideo miete. E E è l isieme di ttte le oppie ordite A,B di pti di E. A, B segmeto orietto. Sppoimo A B: Il verso è ello idito dll frei dirett dl primo estremo verso il seodo. L lghe è l misr dell dist elide d A B. L direioe è dt dll rett he ogige il segmeto orietto e d ttte le prllele. De segmeti orietti A,B e C,D si dioo eivleti o eipolleti se: AC e BD oppre A,B e C,D ho l stess, lghe, direioe, verso. L isieme di ttti i segmeti orietti eipolleti d A,B è lsse di eivle, himt dei vettori lieri. Relioe di Chsles Addiioe Vettorile ABCD ABCDABBXAX!X E tle he CDBX Moltipliioe tr o slre e vettore liero ABCD o diverso d tle he: AB e CD ho l stess direioe, il verso di AB è oorde ello di CD se > disorde se < L lghe di CD è volte ell di AB. Spio Vettorile VK delle -ple di meri Il vettore è -pl di meri,,, Addiioe Vettorile Moltipliioe per o slre,,,, vv, v, v,, v vv, v, v,, v,,,,,,,, Pgi di 9

3 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Spio Vettorile V{f: Somm Moltipliioe per o slre K; f ppliioe} f:x K g:x K fg:x K fgfg f:x K f:x K ff Spio Vettorile delle Mtrii A Μ m, : Κ m mero di righe mero di oloe Se m, llor mtrie olo Se, llor mtrie rig Somm, prodotto per slre, vettore llo SOTTOSPAZI VETTORIALI Si die he W è SOTTOSPAZIO VETTORIALE di V se soddisf *, v W, µ K µv INTERSEZIONE Se W e W soo sottospi vettorili, llor W W è sottospio vettorile Provre he vle *. SPAN Si A{,,,, } sottospio vettorile di V formto d vettori. U vettore v si die COMBINAZIONE LINEARE dei vettori di A se esistoo meri,,, tli he: v SPANA{,,,, ; per ogi,,,, K} sottospio vettorile, ed è il più piolo sottospio vettorile oteete A SOMMA W W i geerle o è sottospio vettorile. Iftti l ioe è sottospio vettorile se e soltto se: W W oppre W W. WW{v V: W, v W} Pgi di 9

4 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it L somm WW è sottospio vettorile. Se W W llor l somm si die somm dirett. LINEARE DIPENDENZA E INDIPENDENZA Si die he i vettori,,, soo LINEARMENTE INDIPENDENTI se e soltto se l i omiioe liere dei vettori dti he dà il vettore llo si ottiee per slri ttti gli.,,,, Se esto o vle llor i vettori soo LINEARMENTE DIPENDENTI. BASI E DIMENSIONI U sottoisieme B è detto BASE di V se: SPANB V, ovvero ogi vettore dello spio è omiioe liere di B. B è LIN.INDIP. TEOREMA DELLA BASE Si V o spio vettorile diverso d. Si A isieme di geertori per V, ioè SPANA V. Si H A sottoisieme di vettori LIN.INDIP. DIMOSTRAZIONE Cso o A{,,, } FINITO. Allor se B di V tle he H B A Cosiderimo H. Vi soo de si: SPANH V il teorem vle o B H SPANH V, SPANH V. Allor A he st fori dllo SPANH SPANH Per Assrdo: A SPANH SPANA SPANH V SPANH SPANH V Assrdo Predo H H {} A strettmete più grde di H, H LIN.INDIP. SPANH V il teorem vle o B H SPANH V Allor v A he st fori dllo SPANH v SPANH Predo H H {v} A TEOREMA DELLA BASE INCOMPLETA Si V o spio vettorile vete Bse B{e, e, e,, e} formt d vettori. Sio v, v, v,, vh h vettori LIN.INDIP. i V o h. Allor Posso ostrire ov Bse di V ggigedo v, v, v,, vh -h vettori opportmete selti i B. Pgi 4 di 9

5 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it DIMENSIONE Diimo DIMENSIONE di o spio vettorile V il mero dei vettori pprteeti d se di V. FORMULA DI GRASSMAN Sio W, W de sottospi vettorili di V. Ql è il legme tr le dimesioi di W, W, dimww dimw W dimw dimw DIMOSTRAZIONE: dimw W r dimw p dimw Predo B{e, e,, er} se dell iterseioe per il teorem dell se iomplet B {fr, fr,, fp} tle he: B B {e, e,, er, fr, fr,, fp} è se di W per il teorem dell se iomplet B {gr, gr,, g} tle he: B B {e, e,, er, gr, gr,, g} è se di W B B B {e,, er, fr,, fp, gr,, g} B NON COMPLETO PRODOTTO RIGA PER COLONNA Dte de mtrii A Mm, ; K e B M, ; K, tli he il mero delle oloe di A si gle l mero delle righe di B, si die prodotto rig per olo AB AB C Mm, ; K L elemeto i r dell rig i-esim e olo r-esim dell mtrie prodotto C AB è dto dll somm dei prodotti degli elemeti dell rig i-esim di A o gli elemeti dell olo r-esim di B. MATRICI NOTEVOLI Mtrii trigolri U mtrie Qdrt A M; K si die trigolre speriore iferiore se ttti gli elemeti di A he sto l di sotto dell digole priiple risp. Al di sopr soo lli. Mtrii simmetrihe e tisimmetrihe U mtrie Qdrt A M; K si die simmetri rsp. Atisimmetri se i j j j risp. i j - j i Si die trspost dell mtrie A t A l mtrie ottet smido le righe o le oloe. Pgi 5 di 9

6 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Mtrii drte regolri U mtrie Qdrt A M; K si die regolre se B M; K tle he AB BA I Se esiste B o elle dte proprietà llor B è i e posso himrl l ivers di A, simolo A -. APPLICAZIONI LINEARI Sio V e V de spi vettorili s mpo K. U ppliioe d V i V si die LINEARE se: vle l proprietà *. *, v V, µ K fµv f µfv APP.LIN.BIUNIVOCA ISOMORFSMO APP.LIN.DI UNO SPAZIO VETT. SU SE STESSO ENDOMORFISMO UN ENDOMORFISMO BIUNIVOCO AUTOMORFISMO NUCLEO E IMMAGINE Il leo di APP.LIN. f :V V è defiito d: Kerf f - { V; f } TEOREMA: Si f:v V APP.LIN. Le segeti proposiioi soo eivleti: f è INIETTIVA Kerf {} f oserv l LIN.INDP. HP f è INIETTIVA TH Kerf {} Kerf Allor f f HP Kerf {} TH f oserv l LIN.INDIP. Devo provre he se,,, V soo LIN.INDIP. Allor f, f,, f V, soo LIN.INDIP. f f f f Kerf {} Allor perhé,,, soo LIN.INDIP. HP f oserv l LIN.INDIP. TH f è INIETTIVA f fv f fv f-v LIN.INDIP. -v v COMPOSIZIONE DI APPLICAZIONI, v V, µ K g f µv gf µv gf µfv gf µgfv g f µg fv soddisf * APPL.LIN. Pgi 6 di 9

7 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it FORMULA DI GRASSMAN PER LE APP.LIN. Si die rgo di APP.LIN. f l dimesioe dell Immgie. νf dimimf dim V dim Kerf νf PERMUTAZIONI Si N {,,,, } Si die permtioe s oggetti ogi APP.BIUNIVOCA p: N N ORBITA p: N N Dto mero N si die orit di l isieme: {p i ; i,,,, } Dove p p p p pp Le orit soo tr loro disgite e l loro ioe è ttto N S die rgo di permtioe p: N Si die sego di permtioe p: N N il mero νp mero degli elemeti mero delle orite N il mero sgp - νp DETERMINANTE Dt mtrie Qdrt A M; K si die determite di A il mero det A A σ Ρ Sg σ σ σ... σ TEOREMA DI LAPLACE Si A M; K. Si die omplemeto lgerio di elemeto i j di A li determite idito o A i j dell mtrie ottet d A mettedo il mero l posto di i j e mettedo i ttti gli ltri elemeti o posti dell rig i-esim e olo j-esim. TEOREMA il determite deta è gle ll SOMMA dei PRODOTTI degli elemeti di RIGA o COLONNA per i rispettivi COMPLEMENTI ALGEBRICI L somm dei prodotti degli elemeti di rig o olo per i omplemeti lgerii di ltr rig o olo è gle. DIMOSTRAZIONE Cosiderimo l rig i-esim di A, est rig è omiioe liere dell se oi di K. det A j i j det B j Pgi 7 di 9

8 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Dove B j è l mtrie ottet d A sostitedo ll rig i-esim il vettore j-esimo dell se oi. Moltiplio l rig i-esim vettore dell se oi per j e lo sommo ll prim rig otteedo o ero ell posiioe j, itero l operioe fihé o ottego il omplemeto lgerio A i j. INCOMPLETO CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAPLACE SECONDO METODO PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE Si A M; K det A Dove S i j M-; K è l mtrie ottet d A togliedo l RIGA esim e l COLONNA j-esim. j i j i j det S i j APPLICAZIONE: SOLUZIONE DEI SISTEMI DI KRAMER U solioe di sistem liere è -pl he sostitit orditmete lle vriili soddisf otemporemete ttte le eioi. Se i termii oti soo ttti llor il sistem di die omogeeo ed è sempre possiile. Costrimo l mtrie iomplet o i oeffiieti orditi delle vriili. A Costrimo l mtrie olo delle vriili. Costrimo l mtrie oloe dei termii oti. A U sistem di krmer è sistem liere A se A è mtrie drt regolre, ioè deta. TEOREMA: ogi sistem di krmer è determito, ioè mmette ed sol solioe. RANGO DELLE MATRICI Si A Mm, ; K Si die rgo di A il mero mssimo di RIGHE LIN.INDIP. di A. νa CALCOLO DEL RANGO Seglimo so h righe e h oloe i A e prededo gli elemeti di A sitti ei pti di iroio si ottiee sottomtrie drt di ordie h. Si die miore di ordie h i A il determite di sottomtrie drt di ordie h otet i A. PRIMO TEOREMA DI KRONECKER Si A Mm, ; K CNS ffihé νa K è he: miore o llo di ordie K i A. ttti i miori di ordie mggiore di K soo lli. Pgi 8 di 9

9 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it DIMOSTRAZIONE: νa K mero mssimo di righe o oloe LIN.INDIP. Poimo h il mero m fr gli ordii di miori o lli di A. TH h K h K νa K Si A Mm, k; K l mtrie formt dlle K oloe LIN.INDIP. di A. νa K νt A mero m delle righe LIN.INDIP. Si A Mk; K l mtrie drt di ordie k formt dlle k righe LIN.INDIP. di A Cioè A h RIGHE COLONNE LIN.INDIP. deta miore di ordie K o llo ν K h K Le righe di A otete elle righe di A soo LIN.INDIP. Qesto st per dire he le orrispodeti righe di A più grdi soo LIN.INDIP. h K e h K K h U miore si die orlto di miore δ se esistoo A Ω 7 Λ 8 5 i, Λ Orlti di Ω di ordie ,... SECONDO TEOREMA DI KRONECKER CNS ffihé νa K è he: Esiste MINORE o llo di ordie K Ttti gli ORLATI di soo lli. APPLICAZIONE: RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI ARBITRAI metodo del rgo Cosiderimo sistem liere di m eioi d iogite. A B mtrie omplet: ompost dll mtrie iomplet A o l ggit di olo orrispodete ll mtrie dei termii oti. TEOREMA DI ROUCHE -CAPELLI CNS ffihé sistem liere di m eioi d iogite si possiile è he: A νa νb Pgi 9 di 9

10 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it DIMOSTRAZIONE: Cosiderimo l i APP.LIN. he i l mtrie iomplet A ome mtrie ssoit rispetto lle si oihe. A : K K d -pl -pl A A Il sistem liere mmette solioe se e soltto se Im A Le oloe dell mtrie iomplet A soo isieme di geertori per Im A. Ovvero: il sistem liere A mmette solioi se e soltto se l olo dei termii oti è omiioe liere delle oloe di A. νa νb CAMBIAMENTI DI BASE Sio E {e, e, e,, e} ed F {f, f, f,, f} si ordite di V, e si A M; K. F EA FA - E PRODOTTO SCALARE Si V o spio vettorile s R, si die prodotto slre ogi ppliioe :,v <,>: VV R <,v> slr v Che soddisfi le segeti proprietà: BILINEARE <, v> <,v> <, v> <, v> <, v> <, v> SIMMETRICA <, v> <v, > DEFINITA POSITIVA <, > se e soltto se NORMA: : V R <, > DISUGUAGLIANZA DI SCHWARZ: DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: <, v> v v v TEOREMA DI PITAGORA: v v se e soltto se <, v> ANGOLO TRA DUE VETTORI NON NULLI: <, v > os, <, v > v os v TEOREMA DI CARNOT: v v os v ORTOGONALITA : v se <, v> Pgi di 9

11 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it BASI ORTONORMALI U se ordit {e, e,, e} di V si die ortogole se ei ej <ei, ej> per i j se i j U se ordit {e, e,, e} di V si die ortoormle se ei ej δ i j se i j Ovvero è ostitit d versori de de perpediolri. TEOREMA DI GRAM-SCHMIDT Proedimeto di ortoormliioe Si V o spio vettorile s R o prodotto slre <,> e dimv. Allor esistoo BASI ORTONORMALI i V. Si e, e, e,, e BASE di V. A prtire d est voglio ostrire BASE ORTOGONALE f, f,, f Allor f f, f f,..., f f f f e e, f, < f, e > f Bse ORTONORMALE rihiest AUTOVALORI E AUTOVETTORI U vettore è detto tovettore per ϕ se K tle he I esto so è detto tovlore di ϕ Si die tospio ssoito l isieme V { V: ϕ } ϕ sottospio vettorile POLINOMIO CARATTERISTICO Come si f determire gli tovlori dell ϕ? Uo slre è tovlore per ϕ se e soltto se deta-im - si ostrise mtrie A ssoit ϕ rispetto d se - si toglie l vriile gli elemeti dell digole priiple di A - si f il determite - si ottiee poliomio di grdo i e si trovo le rdii di esto poliomio FORME CANONICHE DELLE MATRICI De mtrii drte A, B di ordie si dioo simili se E regolre dete tle he: B E - AE Ovvero A e B soo ssoite llo stesso edomorfismo ϕ. Pgi di 9

12 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Pgi di 9 FORME QUADRATICHE Si V o spio vettorile. U ppliioe si die form drti se: : V K per ogi K, V L ppliioe f: VV K defiit d è BILINEARE SIMMETTRICA. L ppliioe f è dett form iliere simmetri ssoit. Ess idivid ompletmete, iftti: Si die leo di il sottoisieme Ker { V: f,v per ogi v V} GEOMETRIA EUCLIDEA DEL PIANO Si die sistem di riferimeto i E oppi o, e, e dove o è pto del pio detto origie e, e è se ortoormle di E. Si die sistem di oordite rtesie moometrihe ortogoli l ppliioe iivo del pio i R : f: E R p fp, dove OP e e LA RETTA NEL PIANO Si r l rett idividt di de pti distiti A, B, E. VETTORIALE dell rett: AX AB E. PARAMETRICA dell rett: E. FRAZIONARIE dell rett: E. CARATTERISTICA dell rett:,,, v v v f 4, f

13 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it E. CARTESIANA dell rett: det PARALLELISMO: r r v det - PERPENDICOLARITA : DISTANZA d A, B AB < AB, AB > d P, r Dist tr de pti del pio Dist tr rett e pto AREA DEL TRIANGOLO det AreABC GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO EUCLIDEO E Si die sistem di riferimeto i E oppi o, e, e, e dove o è pto dello spio detto origie e, e, e è se ortoormle di E. Si die sistem di oordite rtesie moometrihe ortogoli l ppliioe iivo del pio i R : dove OP e e e f: E R p fp,, LA RETTA NELLO SPAZIO E. VETTORIALE dell rett: AX AB Pgi di 9

14 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Pgi 4 di 9 E. PARAMETRICHE dell rett: E. FRAZIONARIA dell rett: E. CARATTERISTICA dell rett: d PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ FRA RETTE PARALLELISMO: simo l, m, i oeffiieti direttori dell rett r simo l, m, i oeffiieti direttori dell rett r l, m, e l, m, soo proporioli PERPENDICOLARITA : PIANI DI E U Pio π è idividto d pti o llieti A,, B,, C,, Poihé A, B, C o soo llieti, ivettori AB e AC soo LIN.INDIP., idi ostitisoo BASE di π AB, AC E. VETTORIALE del pio: AX AB µac E. PARAMETRICA del pio: E. CARATTERISTICA del pio: d E. CARTESIANA del pio: m l m l r r ν, > < mm ll r r µ µ µ det

15 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it Pgi 5 di 9 PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA TRA PIANI Se π è pio di e. d il vettore,, oeffiieti delle vriili dell eioe, è perpediolre l pio. PARALLELISMO PERPENDICOLARITA : PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA TRA RETTA E PIANO Rett: r oeff.dirett. l, m, Pio: π d PARALLELISMO: PERPENDICOLARITA : ANGOLI FRA RETTE E PIANI RETTA-RETTA: RETTA-PIANO: PIANO-PIANO:,,,, ν π π, > < π π m l r r π m l r ν π, os m l m l mm ll v v > < ϑ, os m l m l > < ϑ π, os > < ϑ

16 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it DISTANZE E VOLUMI DISTANZA PUNTO PIANO: d P, π d VOLUME DEL TETRAEDRO: V ABCD 6 det TEORIA DELLE CONICHE Iterpretimo le oordite rtesie ome oieti:, Nse idi relioe di eivle meo di fttore moltiplitivo,,, tli he, Si defiise il Pio Proiettivo ome: P E {[,, ];, R, o etrmi lli} E. Dell RETTA: r i E r i P sigifi predere il pto ll ifiito dell rett: P dell rett, -, oeffiieti direttori Si die oi il logo geometrio dei pti he soddisf eioe di II grdo: C i E C i E Si die mtrie ssoit ll oi mtrie simmetri: A Se deta oi o degeere Pgi 6 di 9

17 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it INTERSEZIONE RETTA CONICA C f t A dove i P Poedo he l rett r pssi per P p, p, p e Q,, i.p.o oordite proiettive omogeee C r t A p µ t A t Ap t A p /4 > de solioi reli distite: rett sete /4 de solioi reli oiideti: rett tgete /4 < de solioi omplesse oigte: rett ester 4 p CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE /4 -A Se: /4 > A < de pti ll reli e distiti IPERBOLE /4 A de pti ll reli e oiideti PARABOLA /4 < A > o i soo pti ll reli ELLISSE LEGGE DI RECIPROCITA Dto pto lsisi D d, d, d del pio proiettivo, si die rett polre di D rispetto ll oi C l rett di eioe: t d A TEOREMA Legge di reiproità: Se l rett polre di pto P di P pss per pto Q, Allor l rett polre di Q otiee P. P p, p, p rett polre di P t p A Q,, polre di P t p A t Ap ioè P polre di Q Pgi 7 di 9

18 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it CENTRO E ASSI DI SIMMETRIA DI UNA CONICA Si die etro C di oi el pto del pio E l i rett polre è l rett ll, del pio P. C A, A, A Si die dimetro di oi l rett polre di pto ll P m,, o Si dioo ssi di oi i dimetri he soo perpediolri ll direioe del loro pto ll. ASSI: m m 4 m ± Si dioo vertii le iterseioi degli ssi o l oi. EQUAZIONI CANONICHE DELLE CONICHE E FUOCHI ELLISSE: IPERBOLE: F F F F,,,, PARABOLA: F, 4 direttrie 4 STUDIO DELLE QUADRICHE Si die dri il logo geometrio dei pti dello spio elideo E le i oordite rtesie,, llo poliomio di II grdo. Q i E f,, Q i P Q i P t A Pgi 8 di 9

19 Rissto di GEOMETRIA - Atore Friio Medii friio.medii@tisliet.it ASSI E PIANI DI SIMMETRIA Dto pto P lsisi dello spio P, il pio di e: t p A si die pio polre di P. Si die etro di dri, el pto il i pio polre è il pio ll. C A 4, A 4, A 4, A 44 Si die pio dimetrle il pio polre di pto ll, P m,, l,. Si dioo pii di simmetri pii priipli di dri i pii dimetrli he soo perpediolri ll direioe v m,, l del pto ll, P m,, l,. CLASSIFICAZIONE DELLE QUADRICHE VUOTO: deta > A 44 > det > ELISSOIDE: deta < A 44 > det > PARABOLOIDE ELLITTICO: deta < A 44 PARABOLOIDE A SELLA: deta > A 44 IPERBOLOIDE A FALDE: deta < A 44 IPERBOLOIDE A FALDA: deta > A 44 e o vle lmeo delle odiioi di VUOTO. Pgi 9 di 9