za Bozza - Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - Travature Piane con Elementi Elastici

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1 6 Travature Piane con Elementi Elastici 24 Introduzione La meccanica, sotto lo stimolo delle diverse applicazioni, costruisce modelli di comportamento dei corpi materiali che si possono ordinare per complessità e capacità descrittive crescenti. Si pensi, ad esempio, alla successione gerarchica dei modelli punto materiale, corpo rigido e corpo deformabile, e all uso di questi in astronomia e fisica terrestre. Il modello punto materiale è coerente con lo studio del moto del sistema solare per mezzo delle leggi di Keplero ma non consente di descrivere il moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse né i moti dell asse terrestre mentre la Terra ruota attorno al Sole. D altra parte, per lo studio di fenomeni come le maree, non basta modellare la Terra come un corpo rigido, occorre tener conto delle sue deformazioni. Questa situazione generale si riproduce nel contesto particolare della meccanica delle strutture. Si consideri il caso semplice di un corpo solido a forma di trave ad asse rettilineo, soggetto a forze agli estremi equipollenti a due coppie di uguale intensità e verso opposto: Figura 6.1. Il modello corpo rigido non consente ovviamente di dar conto di alcuna deformazione, mentre il modello corpo deformabile, corredato e specializto

2 138 6 Travature Piane con Elementi Elastici da qualche ipotesi sulla costituzione della trave (ad esempio, uniformità geometrica lungo l asse, omogeneità ed elasticità del materiale,...), consente di predirne la forma inflessa: Figura 6.2. Figura 6.3. (mod. corpo rigido ) (mod. corpo deformabile ) Il primo modello può risultare troppo rozzo per le applicazioni che si hanno in mente, il secondo inutilmente raffinato. Un modello di complessità e capacità descrittiva intermedie si può ottenere rappresentando la trave come una catena di N travi rigide, con le coppie di travi adiacenti collegate tra loro da molle elastiche di opportuna rigidez, che si oppongono alla rotazione relativa delle proprie sezioni estreme: Figura 6.4. La presunzione alla radice della proposta di un modello siffatto è che esso approssimi le predizioni del più fine modello deformabile tanto meglio quanto più il numero N cresce, a patto di scegliere in modo opportuno la dipenden da N della rigidez delle molle è. In questo capitolo, faremo oggetto del nostro studio le strutture travate a deformabilità concentrata, cioè, composte di membrature rigide in corrisponden alle connessioni delle quali possano eventualmente trovarsi elementi deformabili elasticamente di dimensioni trascurabili, che, come le molle in Fig Travature capaci di piccoli moti rigidi Le travature piane composte di membrature rigide, cui aggiungeremo elementi elastici, sono quelle capaci di moti rigidi, siano essi piccoli, come il complesso

3 25 Travature capaci di piccoli moti rigidi 139 di due travi con assi rettilinei allineati mostrato nella figura sottostante, Figura 6.5. o grandi, come il già familiare schema biella-manovella: Figura 6.6. Diciamo che una travatura è capace di piccoli moti rigidi a partire da una sua configurazione assegnata se esiste per i punti della travatura in quella configurazione almeno un campo di velocità di tipo rigido che sia compatibile con i vincoli esterni sen essere identicamente nullo. 1 Se questo è il caso, si può sempre trovare un qualche sistema di forze e coppie esterne che spenda poten in corrisponden di quel campo di velocità. Diciamo che una travatura è capace di moti rigidi grandi quando è capace di piccoli moti rigidi in qualunque sua configurazione compatibile con i vincoli esterni (in fig. 2 vengono mostrati i centri istantanei di rotazione del sistema biella-manovella in un paio delle sue configurazioni possibili). Osservazione. Come si capisce da un esame attento della definizione, la nozione di travatura capace di moti rigidi piccoli ha senso anche per travature 1 Nel caso della travatura in fig. 1, un campo di velocità di tipo rigido compatibile con i vincoli ha l aspetto con v(p) = ω (1) n AP se P T (1), = ω (2) n BP se P T (2), ω (1) l 1 = ω (2) l 2.

4 140 6 Travature Piane con Elementi Elastici che non siano costituite di sole membrature rigide, come quelle con cui abbiamo momentaneamente a che fare. Lo stesso, dunque, vale per la nozione di travatura capace di moti rigidi grandi. Gli elementi elastici dei quali correderemo travature dei tipi che abbiamo specificato sono molle elastiche, sia estensionali che rotazionali, di ingombro idealmente nullo. Le molle estensionali entrano in azione quando il moto della parte di travatura cui sono connesse ne provoca l allungamento o l accorciamento; le molle rotazionali, quando il moto della travatura ne provoca la rotazione relativa delle sezioni terminali. I modelli matematici di queste molle sono presentati nella prossima sezione. 26 Modelli lineari di molle elastiche 26.1 Molle estensionali Il modello matematico di queste molle si ispira alle molle elicoidali di comune impiego negli ammortiztori telescopici. Si immagini di voler determinare sperimentalmente la risposta ai carichi di una molla reale di questo tipo: misu-rata l 0, la lunghez a riposo della molla, se ne misurerà la lunghez l sotto l azione del carico progressivamente applicato, costruendo per punti un grafico che abbia in ascisse l allungamento e in ordinate, appunto, il carico applicato. δl := l l 0 (26.1) Figura 6.7. Come mostra la figura, le molle reali che intendiamo modellare hanno per piccoli allungamenti relativi un comportamento lineare, determinato dalla loro

5 26 Modelli lineari di molle elastiche 141 rigidez κ, un numero positivo pari alla tangente nell origine della curva carico/allungamento. 2 Gli elementi del più semplice modello corrispondente sono due: un versoree, che definisce l asse della molla, 3 e una costante positiva κ, che specifica la rigidez della molla: M E = (e, κ) Figura 6.8. Discutiamo anzitutto il ruolo del primo elemento, il versore dell asse. I due punti estremi della molla M E collegano un corpo che è deformabile nella direzione del suo asse: dunque, essi possono avere velocità relative nella direzione dell asse che non siano necessariamente di tipo rigido. La grandez cinematica che caratteriz questo tipo di molla è la sua velocità di deformazione, definita in termini delle velocità assolute v(a) e v(b) dei punti estremi come ε := (v(b) v(a)) e. (26.2) In un moto della molla, le velocità dei punti A e B si possono riguardare come le derivate temporali degli spostamenti assoluti u(a) e u(b) di quei punti: v(a) = u(a), v(b) = u(b). (26.3) La variabile dinamica coniugata nel senso della poten spesa con la velocità di deformazione è lo sforzo interno σ. Il significato fisico di questa variabile risulta dal seguente Principio di Bilancio delle Potenze Esterna ed Interna. In ogni moto possibile di una molla estensionale, la poten delle forze esterne è pari alla poten dello sforzo interno: f A v(a) + f B v(b) = σ ε, v(a),v(b) (26.4) (qui f A e f B sono le forze applicate ai punti estremi della molla; si veda la figura che segue). 2 Perciò, le dimensioni di κ sono for lunghez 1 ; κ 1, l inverso della rigidez, prende il nome di cedevolez. 3 Pensando all esempio di un ammortiztore telescopico, questo elemento recepisce e riproduce l informazione sulla direzione dell asse del sistema telescopico di cilindri nel quale la molla elicoidale reale viene posta.

6 142 6 Travature Piane con Elementi Elastici Figura 6.9. Segue dal principio delle potenze, applicato al caso in cui la molla compie un moto rigido di traslazione e quindi v(a) = v(b), che dev essere f A + f B = 0. (26.5) D altra parte, per il bilancio alla rotazione di M E, le forze applicate agli estremi devono essere parallele ad e. Dunque, si deve avere che f B = fe, f := f B e; f A = fe. (26.6) Combinando queste ultime relazioni con il principio delle potenze (26.4) e la relazione cinematica (26.2) si ottiene: f A v(a) + f B v(b) = fe (v(b) v(a)) = f ε = σ ε, e se ne conclude che σ = f, e cioè, che lo sforzo interno è pari alla componente lungo l asse della for applicata: il segno positivo compete agli sforzi di trazione, quello negativo agli sforzi di compressione. 4 Queste considerazioni completano il nostro studio del ruolo del primo elemento nella coppia (e, κ) che individua una molla estensionale ai sensi del modello che andiamo costruendo. Passiamo adesso a discutere il ruolo del secondo elemento, la rigidez κ. Ci attendiamo che una molla dabbene (una molla thermodynamically correct ) si allunghi quando viene tesa e si accorci quando viene compressa. Per garantire questo comportamento nel modo più semplice, scegliamo l equazione costitutiva lineare σ = ˆσ(ε) = κε, κ > 0, (26.7) dove ε, la deformazione della molla, è definita come ε, 4 La nozione di sforzo interno è intrinseca, anche se a prima vista non sembra che lo sia. Infatti, σ = f B vers( AB) = f A vers( BA).

7 26 Modelli lineari di molle elastiche 143 ε := (u(b) u(a)) e. (26.8) Osservazione. Ricordando le relazioni (26.3), si vede facilmente che questa nozione di deformazione è in accordo sia con la definizione (26.2) di velocità di deformazione sia con la definizione (26.1) di allungamento adoperata nel descrivere l esperimento di cui abbiamo detto all inizio di questa sezione. Infatti, poichè per spostamento si intende la differen tra posizione attuale e posizione di riferimento di un punto, si vede facilmente che, prendendo come posizioni di riferimento degli estremi della molla le posizioni che essi hanno a riposo, risulta ε = l l 0. Osservazione. La scelta di una relazione lineare tra sforzo e deformazione comporta una presumibile applicabilità della teoria conseguente a situazioni reali nelle quali gli allungamenti relativi delle molle prese in esame si mantengono in un piccolo intorno dello zero. La rigidez interviene anche nella definizione di un altro costrutto costitutivo significativo per una molla estensionale elastica, l energia immagazzinata a seguito di una deformazione a partire da una configurazione indeformata di riposo. L energia immagazzinata è Segue da questa definizione che e che w = 0 se e solo se ε = 0. w = w E (ε) := 1 2 κε2. (26.9) w 0 κ > 0, Osservazione. Scrivendo l energia, in vista di (26.7), come w = 1 σε (26.10) 2 e guardando la figura sottostante, si vede che l energia si può intendere come l area del triangolo tratteggiato. Figura 6.10.

8 144 6 Travature Piane con Elementi Elastici 26.2 Molle rotazionali Il modello matematico di queste molle vuol descrivere le molle flessionali piane che si usano nei tradizionali orologi a movimento meccanico. Gli elementi del modello sono il versore n che definisce il piano della molla (piano che coincide con il piano della travatura, della quale la molla diviene un elemento elastico) e la costante positiva λ che ne specifica la rigidez: M R = (n, λ) Figura L illustrazione del ruolo di questi due elementi può procedere di pari passo con l illustrazione del ruolo degli elementi corrispondenti di una molla estensionale. La velocità di deformazione di M R è definita in termini delle velocità angolari assolute delle sezioni estreme: dove dunque, In un moto della molla, ϕ := (ω(b) ω(a)) n, (26.11) ω(a) = ω(a)n, ω(b) = ω(b)n; ϕ = ω(b) ω(a). (26.12) ω(a) = ϕ(a), ω(b) = ϕ(b); (26.13) quindi la velocità di deformazione si può riguardare come la derivata temporale di ϕ := ϕ(b) ϕ(a), (26.14) la rotazione relativa delle sezioni estreme. La variabile dinamica coniugata con ϕ nel senso della poten spesa è lo sforzo di coppia interno τ, il cui significato fisico risulta dal bilancio delle potenze esterna ed interna: c A ω(a) + c B ω(b) = τ ϕ, ω(a), ω(b), (26.15) dove c A e c B sono le coppie applicate nelle sezioni estreme di M R.

9 27 Un esempio paradigmatico 145 Perchè il bilancio delle potenze sussista in ogni rotazione rigida (cioè, per qualunque scelta di ω(a) = ω(b)) dev essere c A + c B = 0. (26.16) Con l uso di questa relazione e di (26.11), (26.15) implica che τ = c B n, (26.17) e cioè, che lo sforzo di coppia interno è pari alla componente della coppia applicata nella direzione e nel verso della normale al piano della molla. 5 L equazione costitutiva di una molla rotazionale lineare è l energia immagazzinata è 27 Un esempio paradigmatico τ = λ ϕ, λ > 0; 6 (26.18) w = w R (ϕ) := 1 2 λϕ2. (26.19) Si consideri la trave rigida in figura, immaginando che entrambe le molle siano a riposo nella configurazione indicata, per trovarne la configurazione di equilibrio a seguito dell applicazione di carichi che siano abbastan moderati da provocare spostamenti piccoli, valutabili con un approssimazione del primo ordine nel parametro di configurazione. Figura Per una molla rotazionale destrorsa, come quella rappresentata nella figura precedente, uno sforzo di coppia positivo si accompagna ad un incremento dell angolo che le sezioni estreme formano a riposo. 6 Le dimensioni della rigidez λ sono for lunghez.

10 146 6 Travature Piane con Elementi Elastici 27.1 Principio di bilancio delle potenze Visto che la trave è capace di piccoli moti rigidi, esprimiamo il bilancio tra la poten delle azioni esterne, costituite dalla for (F,f ) e dalla coppia (B, c), e la poten delle azioni interne, costituite dallo sforzo σ nella molla estensionale e dallo sforzo di coppia τ nella molla rotazionale, in ogni piccolo moto rigido compatibile con i vincoli, vale a dire, per ogni campo di velocità di rotazione attorno alla cerniera in A: per e per ω = ω n, f v(f) + c ω = σ ε + τ ϕ, ω R, (27.20) f = f e 1, c = cn, f, c > 0, (27.21) v(f) = ω AF = ωl 1 e 1, ε = v(b) e 1 = ωl, ϕ = ω n = ω (per meglio comprendere le ultime due relazioni, si ritorni alle definizioni (26.2) e (26.11)). Si vede facilmente che la relazione (27.20) si può scrivere come ω(fl 1 + c) = ω(σl τ), ω R; quindi, il principio di bilancio delle potenze richiede, indipendentemente da qualsiasi precisazione sulla risposta delle molle alla deformazione, che le azioni interne siano tali da soddisfare la condizione fl 1 + c = σl τ. (27.22) Per trovare la configurazione che la trave assume per effetto dei carichi, si deve tener conto delle equazioni costitutive delle molle: σ = κ ε, τ = λϕ, (27.23) ed esprimere la deformazione di entrambe in termini di un unico parametro di configurazione; scegliendo quest ultimo come la rotazione assoluta ψ attorno all asse n (positiva se antioraria), avremo Combinando (27.22) (27.24), si ottiene ε = ψl, 7 ϕ = ψ. (27.24) ψ = f l 1 + c κ l 2 + λ. (27.25) Di conseguen, quanto alle reazioni in corrisponden dei vincoli, si trova che 7 Si noti che la deformazione della molla, che è pari allo spostamento verticale l sin ψ dell estremo libero della trave, viene valutata ricorrendo all approssimazione del primo ordine sin ψ ψ.

11 r B = σe 1, 28 Un altro esempio 147 σ = κ l f l 1 + c κl 2 + λ ; c A = τn, τ = λ f l 1 + c κ l 2 + λ. (27.26) Osservazione. La figura sottostante, Figura suggerisce di controllare, in base alle (27.26), che il bilancio dei momenti attorno alla cerniera in A è esattamente garantito quando la trave si trova nella configurazione di riposo: r B l + c A f l 1 c = 0, mentre nella configurazione deformata (vale a dire, la configurazione assunta sotto l azione dei carichi) tale bilancio è garantito solo approssimativamente Un altro esempio Lo scopo del seguente esempio è duplice: da un lato si vuol mostrare che l ipotesi di deformabilità permette di superare alcuni dei limiti dei modelli di corpi rigidi; dall altro mostrare come sia possibile risolvere un problema di equilibrio ricorrendo esclusivamente al principio di bilancio della potenze nella sua forma più generale. Supponiamo di voler tracciare il diagramma dei momenti della trave in figura: Per poter determinare le caratteristiche di sollecitazione occorre conoscere le reazioni vincolari. È immediato constatare che tali reazioni non sono determinabili in base a considerazioni di equilibrio. Indichiamo con e un versore perpendicolare all asse della trave AC, e con r A = r A e, r B = r B e e r C = r C e, le reazioni che le cerniere in A, B e C esercitano sulla trave. Imponendo che risultante e momento risultante rispetto al polo B si annullino, abbiamo: 8 Cioè, purchè si valutino i bracci delle forze con l approssimazione del primo ordine cos ψ 1.

12 148 6 Travature Piane con Elementi Elastici vale a dire: Figura r A + r B + r C + f = 0 AB r A + CB r C = 0 r A + r B + r C + f = 0 l(r A r C ) = 0 È immediato constatare che esiste più di una soluzione, dunque le reazioni vincolari - e con esse le caratteristiche di sollecitazione - risultano indeterminate. Proviamo allora a usare un modello più sofisticato: conserviamo l ipotesi di rigidez della trave T, ma ipotizziamo che le aste siano deformabili. Più precisamente, schematizziamo le aste con molle lineari aventi rigidezze κ A, κ B e κ C. Se ci limitiamo a cercare una configurazione di equilibrio raggiungibile tramite piccoli spostamenti, il vettore spostamento nel generico punto P T ammette la seguente rappresentazione: Le deformazioni delle molle sono: vale a dire: u(p) = u + ψz BP. ε A = u(a) e, ε B = u(b) e, ε C = u(c) e,

13 ε A = (u + ψz BA) e = ue + lψ ε B = u e = u e ε C = (u + ψz BC) e = ue lψ e i corrispondenti sforzi risultano essere: σ A = κ A ε A σ B = κ B ε B σ C = κ C ε C. 28 Un altro esempio 149 (28.27) (28.28) Dunque, noti che siano u e e ψ, è possibile risalire agli sforzi delle molle e, in definitiva, alle forze cui è sottoposta la trave, il che ci permette di determinare le caratteristiche di sollecitazione. Per la determinazione del campo u, ci appelliamo al principio di bilancio delle potenze per corpi deformabili, applicato al corpo costituito dall unione della trave T e delle tre molle. I campi di velocità ammissibili sono tali che, se P T, allora v(p) = v + ωn BP. Le potenze esterna e interna sono P est = f v(b) P int = σ A ε A + σ B ε B + σ C ε C e il principio di bilancio della poten può essere formulato come segue P int = P est, v, ω, ε A, ε B, ε C Così come il campo spostamento di T determina le deformazioni, allo stesso modo le velocità (virtuali) di T determinano le velocità (virtuali) di deformazione: ε A = (v + ωz BA) e = ve + lω ε B = v e = v e ε C = (v + ωz (28.29) BC) e = ve lω Dunque, posto f e := f e e v e := v e, usando le (28.29), il principio di bilancio della poten assume la seguente forma: cioè f e v e = σ A (v e + lω) + σ B v e + σ C (v e lω), f e v e = (σ A + σ B + σ C )v e + (σ A σ C )l ω, Usando le (28.27) e le 28.28), v e, ω v e, ω f e v e = (κ A (u e + lψ) + κ B u e + κ C (u e lψ))v e + +l(κ A (u e + lψ) κ C (u e lψ))ω, v e, ω In definitiva, il il principio di bilancio della poten può essere formulato in termini di spostamenti e velocità virtuali di T :

14 150 6 Travature Piane con Elementi Elastici f e v e = [(κ A + κ B + κ C )u e + (κ A κ C )lψ]v e + +[(κ A κ C )u e + (κ A + κ C )lψ]l ω, v e, ω Dall arbitrarietà di v e e ω segue: (κ A + κ B + κ C )u e + (κ A κ C )lψ = f e (κ A κ C )u e + (κ A + κ C )lψ = 0 Risolvendo il sistema per sostituzione, troviamo: lψ = κa κ C κ A + κ C u e = ηu e e dunque κu e = f e, κ = κ A + κ B + κ C + η(κ A κ C ) Fissiamo una sezione S della trave. Sia s = AS la distan di S da A. Assumiamo s < l. Per determinare il momento flettente M(s) introduciamo una sconnessione come in figura, e sostituiamo le azioni interne con due coppie equilibrate M(s)z e M(s)z, applicate immediatamente a sinistra e a destra della sezione. 9 Selezionando il seguente campo di velocià v(p) = 0, P T + v(p) = ωz SP, L unica velocià di deformazione non nulla è: ε A = sω Il principio di bilancio della poten diventa: da cui segue: P T σ A sω = M(s)ω, M(s) = sσ A = sκ A ε A = sκ A (u e + lψ) = s(1 + η) κa κ f e Il diagramma dei momenti è riportato in figura. Si noti che il diagramma è simmetrico, indipendentemente dalla scelta delle costanti elastiche. OSSERVAZIONE 1: la condizione di positività delle costanti elastiche è garanzia della risolubilità del sistema lineare. 9 Si tratta di due forze equilibrate, in virtù del principio di azione e reazione, che abbiamo visto essere conseguen della richiesta che il vincolo di rigidità produca solamente azioni che spendano poten nulla per ogni campo di velocià rigido. ω

15 OSSERVAZIONE 2: posto ( ) A = l 2 κ A + κ B + κ C κ A κ B κ A κ B κ A + κ C ( ) ( ) ( ) ve /l ue /l fe l v =, u =, f =, ω ψ 0 il bilancio delle potenze assume la forma: f T v = u T Av v R 2 28 Un altro esempio 151 L arbitrarietà di v rende quest ultima equazione equivalente al seguente sistema: Au = f in virtù della simmetria di A. Fissiamo una sezione S della trave. Sia s = AS la distan di S da A. Assumiamo s < l. Per determinare il momento flettente M(s) introduciamo una sconnessione come in figura, e sostituiamo le azioni interne con due coppie equilibrate M(s)n e M(s)n, applicate immediatamente a sinistra e a destra della sezione. 10 Consideriamo la seguente classe di campi di velocità: Figura v(p) = 0, P T + v(p) = ωn SP, L unica velocità di deformazione non nulla è: ε A = sω Il principio di bilancio della poten diventa: P T 10 Si tratta di due forze equilibrate, in virtù del principio di azione e reazione, che abbiamo visto essere conseguen della richiesta che il vincolo di rigidità produca solamente azioni che spendano poten nulla per ogni campo di velocià rigido.

16 152 6 Travature Piane con Elementi Elastici da cui segue: Figura σ A sω = M(s)ω, M(s) = sσ A = sκ A ε A = sκ A (u e + lψ) = s(1 + η) κa κ f e Il diagramma dei momenti è riportato in figura. ω Figura Principio di minimo dell energia totale Una interessante manipolazione del principio di bilancio delle potenze consente di determinare direttamente la configurazione deformata, a patto che i carichi esterni siano, come del resto sempre abbiamo supposto in queste lezioni, vettorialmente invarianti nel corso di un eventuale moto della travatura cui sono applicati. Si pensi ad un moto compatibile con i vincoli esterni della trave allo studio. 11 Combinando il membro destro di (27.20) con le relazioni costitutive (27.23) e tenendo conto anche di (26.9) e (26.19), si ottiene intanto: 11 È bene tener presente che anche qui si parla di moti da un punto di vista esclusivamente cinematico: la statica delle strutture ignora le azioni inerziali, comunque si manifestino, e cioè, ignora sia le forze (e coppie) d inerzia che l energia cinetica.

17 σ ε + τ ϕ = κ ε ε + λϕ ϕ = d ( ) w E (ε) + w R (ϕ). dt 28 Un altro esempio 153 D altra parte, proprio perchè i carichi sono vettorialmente invarianti nel corso del moto, il membro sinistro di (27.20) si può scrivere nella forma f v(f) + c ω = d ( ) f u(f) + c ϕ. dt Dunque, in ogni moto compatibile con i vincoli, dev essere d ( ) w E (ε) + w R (ϕ) (f u(f) + c ϕ) = 0, (28.30) dt con ε and ϕ espressi in termini dell angolo di rotazione ψ per mezzo delle (27.24) e con u(f) = ψl 1 e 1, ϕ = ψn. (28.31) Diciamo l energia elastica della travatura, il potenziale dei carichi e W := w E (ε) + w R (ϕ) (28.32) P := (f u(f) + c ϕ) (28.33) E := W + P (28.34) l energia totale della travatura. Possiamo perciò esprimere il risultato in (28.30) dicendo che, in questa come in tutte le travature dello stesso tipo, l energia totale è costante in ogni moto compatibile con i vincoli. Possiamo anche dire che, per travature del tipo di quella che stiamo considerando, il principio di bilancio delle potenze consiste nella dichiarazione che l energia totale è stazionaria in ogni configurazione di equilibrio. Ora, come già abbiamo osservato, i campi di spostamento possibili per la trave che stiamo prendendo ad esempio formano una famiglia di rotazioni rigide attorno alla cerniera in A, di parametro ψ. In vista di (27.21), (27.24) e (28.31), l energia totale della travatura è il seguente polinomio quadratico definito su tale famiglia: Ê(ψ) = 1 2 (κl2 + λ)ψ 2 + (f l 1 + c)ψ ; (28.35) pertanto, l energia totale può avere al più un punto di estremo, che è un minimo, perchè d 2 Ê(ψ) dψ 2 > 0. Questa osservazione ci motiva a compiere la ricerca diretta della configurazione di equilibrio che questa ed altre travature dello stesso tipo assumono sotto l azione dei carichi assegnati sulla base del seguente

18 154 6 Travature Piane con Elementi Elastici Principio di Minimo dell Energia Totale. Assegnati i carichi, la configurazione deformata di una travatura è quella che ne rende minima l energia totale: E = min. (28.36) Come mostra un facile calcolo, applicando questo principio si trova che il valore di ψ che realiz il minimo della funzione di energia (28.35) è dato proprio dalla relazione (27.25) Lavoro dei carichi ed energia elastica La configurazione deformata della trave allo studio si può trovare anche in base ad un altra conseguen del principio di bilancio delle potenze e delle relazioni costitutive per le molle che fanno parte della travatura. Combiniamo di nuovo il membro destro di (27.20) con le relazioni costitutive (27.23), ottenendo f v(f) + c ω = κ ε ε + λϕ ϕ. Scegliamo poi di scrivere questa relazione per u(f) = tv(f), ϕ = t ω, ε = t ε, ϕ = t ϕ, con t R arbitrariamente fissato. Ne segue che dev essere f u(f) + c ϕ = κε 2 + λϕ 2 (28.37) in ogni spostamento della travatura compatibile con i vincoli esterni. Valendoci di (27.21), (27.24) e (28.31), possiamo conferire a (28.37) la forma (fl 1 + c)ψ = (κl 2 + λ)ψ 2, dalla quale segue subito il risultato (27.25). Osservazione. L interpretazione fisica del membro destro di (28.37) ci viene da (26.9) e (26.19), mentre il membro sinistro è interpretabile come il lavoro dei carichi in uno spostamento della travatura compatibile con i vincoli esterni: L := f u(f) + c ϕ; (28.38) possiamo quindi dire che, in ogni spostamento siffatto, il lavoro dei carichi è pari al doppio dell energia elastica. 12 Con le notazioni introdotte in (28.32) e 12 Segue dalle definizioni (28.33) ed (28.38) che L = P.

19 28 Un altro esempio 155 (28.38), possiamo esprimere questo risultato in una forma compatta, valevole per ogni travatura composta di membrature rigide e molle: L = 2W. (28.39) Dunque, visto che l energia elastica è per definizione non negativa, anche L 0; l uguaglian vale solo se nessuna delle molle viene deformata a seguito del moto rigido del resto della travatura Sovrapposizione degli effetti. Reciprocità Lo stato di una travatura con elementi elastici è completamente conosciuto quando, assegnati i carichi, se ne conoscano tutti gli effetti, e cioè, si conoscano il campo di spostamento, le deformazioni degli elementi elastici e, infine, gli sforzi interni negli elementi elastici. Nell esempio che stiamo considerando, qualunque sia il sistema di forze e coppie esterne cui si intende assoggettare la travatura, conoscerne lo stato significa conoscere il campo vettoriale S = {u, (ε, ϕ), (σ, τ)} (28.40) u(p), P = A + se 2, s (0, l), e le due coppie di scalari (ε, ϕ) e (σ, τ). È facile vedere che lo stato corrispondente al sistema di carichi (F,f ) e (B,c) è la somma ordinata degli stati corrispondenti alla sola for (F,f ) e alla sola coppia (B,c). Più in generale, per travature con elementi elastici vale il seguente Principio di Sovrapposizione degli Stati. Se S e S sono gli stati corrispondenti, rispettivamente, ai sistemi di carichi F e F, allora, per ogni scelta di α, β R, al sistema di carichi (αf + β F) corrisponde lo stato (αs + β S). Questo principio riassume e denuncia la natura lineare del presente modello di travatura composta di membrature rigide ed elementi elastici a deformabilità concentrata. In questo modello, che è algebrico, l applicazione dati soluzione, e cioè, l applicazione lineare F S = Ŝ[F], si può pensare come una matrice Ŝ[ ] che trasforma il vettore F nel vettore S ; in ragione delle proprietà dell energia elastica (quadraticità e positività), questa matrice risulta simmetrica e positiva per definizione. La simmetria di Ŝ[ ] implica una proprietà molto interessante, della quale ci si può valere in molte circostanze di interesse pratico: Principio di Reciprocità. Siano S e S due stati corrispondenti, rispettivamente, ai sistemi di carichi F e F. Ebbene, il lavoro del sistema di carichi

20 156 6 Travature Piane con Elementi Elastici F in corrisponden dello stato S è pari al lavoro del sistema di carichi F in corrisponden dello stato S; formalmente, < F, S >=< F, S >, (28.41) dove <, > denota un prodotto scalare tra vettori opportunamente definito. 13 Val la pena di verificare il principio di reciprocità nel caso della travatura che abbiamo preso ad esempio, scegliendo come S e S gli stati corrispondenti, rispettivamente, alla for (F,f ) F e alla coppia (B,c) F. Per il lavoro esterno si trova: < F, S c > est = f( ψ l 1 ) = f κ l 2 + λ l 1, per il lavoro interno, < F, f l 1 S > est = c ψ = c κ l 2 + λ ; < F, S > int = σ ε + τ ψ f l 1 = κl κ l 2 + λ ( ψ f l 1 l) λ κ l 2 + λ ψ = f l 1 ψ, < F, c c S > int = σε + τψ = κl κ l 2 (ψ l) λ + λ κl 2 + λ ψ = cψ. Dunque, come dev essere, < F, S > est = < F, S > est = < F, S > int = < F, S > int. L applicazione tipica del principio di reciprocità consiste nel trovare un informazione, poniamo, su S quando si conosca S: ad esempio, nel trovare il valore di ψ conoscendo quello di ψ, sen dover risolvere il problema di equilibrio per la travatura caricata dalla coppia; infatti, ( < F, S > est = f( ψl 1 ) = < F, f l ) 1 S > est = cψ = c κ l 2 + λ ψ c = κl 2 + λ. 29 Altri esempi Ammaestrati dall esempio esaminato in dettaglio nella sezione precedente, vogliamo studiare con i principi e i metodi là sviluppati l equilibrio di altre travature piane, che siano composte da membrature rigide e molle elastiche lineari e che occupino una configurazione, di riposo per tutte le molle, a partire dalla quale siano capaci di piccoli moti rigidi. 13 La prova di (28.41) consiste nell appellarsi alla simmetria di Ŝ[ ] : < F, S >=< F, Ŝ[ F] >=< Ŝ[F], F >=< F, S >.

21 29 Altri esempi 157 Se i carichi consistono in un numero finito di forze applicate (F (i),f (i) ) e coppie (C (j),c (j) ), e se sono presenti, in numero finito, molle lineari estensiona-li e rotazionali M E(k) e M R(l), il principio di bilancio delle potenze (27.20) prende l aspetto più generale seguente: con f (i) v(f (i) ) + c (j) ω (j) = σ (k) ε (k) + τ (l) ϕ (l), (29.42) σ (k) = κ (k) ε (k), κ (k) > 0; τ (l) = λ (l) ϕ (l), λ (l) > 0, (29.43) per ogni piccolo moto rigido compatibile con i vincoli esterni. 14 Analogamente, la relazione (28.37), che esprime l eguaglian tra il lavoro del sistema dei carichi e l energia elastica della travatura (intesa come energia delle molle che ne fanno parte), prende l aspetto f (i) u(f (i) ) + c (j) ϕ (j) = κ (k) ε (k)2 + λ (l) ϕ (l)2. (29.44) Esempio 1. Le quattro aste rigide formano un quadrato di lato l prima dell applicazione dei carichi. Figura Per rappresentare uno di questi moti, basterà un solo parametro scalare solo se la travatura all esame, privata delle molle, è una catena cinematica ad un parametro; questa circostan si riscontra in tutti gli esempi che qui consideriamo. Si noti che, nella relazione (29.42), la velocità angolare ω (j) è quella della membratura alla quale la coppia c (j) è applicata.

22 158 6 Travature Piane con Elementi Elastici La relazione (29.44) si specializ in f u(b) + ( f ) u(a) = 2λ (1) ϕ (1)2 + 2λ (2) ϕ (2)2. (29.45) La doppia simmetria della travatura, tanto rispetto all asse per A e B quanto rispetto all asse per C e D, consente di concludere subito che il punto I CB in fig. 1.b è il centro istantaneo di rotazione dell asta CB. Ne seguono le seguenti relazioni di compatibilità geometrica: u(b) = ψ 1 le 1, u(a) = ψ 1 le 1, ϕ (1) = 2ψ, ϕ (2) = 2ψ; (29.46) 2 2 introdottele in (29.45), se ne ricava Lo spostamento di B è dunque pari a ψ = 1 4 fl 2 λ (1) + λ. (2) u(b) e 1 = f κ, κ = 8 λ(1) + λ (2) l 2, dove κ si può interpretare come la rigidez di una molla estensionale equivalente, che colleghi i punti A e B. Esempio 2. In un piccolo moto rigido a partire dalla configurazione di figura, l asta BC trasla, poniamo, di δ. Figura Allora, l asta AB ruota attorno ad A di ϕ = δ/h, mentre l asta DC ruota attorno a D di δ/h. La La relazione generale (29.44) diventa fδ = λ (1)( δ ) ( 2 + λ (2) δ ) 2, h H

23 e quindi δ = f λ (1) h + λ(2) 2 fh, ϕ = λ (1) + ( h H 2 H )2 λ. (2) 29 Altri esempi 159 Esempio 3. Prima di scegliere le condizioni di vincolo esterno da imporre nei punti A e C, come pure le molle di cui eventualmente dotarla per farne lo schema di una travatura, si consideri la catena cinematica a due parametri in figura, per determinare il più generale campo di velocità di tipo rigido che le compete. Si vede facilmente che Figura v(p (1) )=v(a) + ϕ (1) n AP (1), AP (1) = s (1) e 1, s (1) [0, h], =v(a) + ϕ (1) s (1) e 2, v(p (2) )=v(b) + ϕ (2) n (2) (2) BP, BP = s (2) e 2, s (2) [0, h], =v(b) ϕ (2) s (2) e 1, v(p (3) )=v(d) + ϕ (3) n DP (3), DP (3) = s (3) ( e 1 + e 2 ), s (3) [0, h], =v(d) ϕ (3) s (3) (e 1 + e 2 ). I parametri v(a),v(b) e v(d), ϕ (1), ϕ (2) e ϕ (3) di questa rappresentazione del campo di velocità non sono tutti indipendenti; infatti, essi debbono soddisfare le condizioni di connessione delle travi AB e BC in B e delle travi BC e DC in C: v(a) + ϕ (1) he 2 = v(b), v(b) ϕ (2) he 1 = v(d) ϕ (3) h(e 1 + e 2 ).

24 160 6 Travature Piane con Elementi Elastici Quindi, i parametri scalari indipendenti sono 9 4 = 5 soltanto. Consideriamo adesso i seguenti schemi statici: Figura prendendone in esame il primo, a titolo di esempio, e lasciando lo studio degli altri al lettore. Le condizioni di vincolo sono due: v(a) = δe 1, che impone e v(d) = 0, che impone v(a) = v(b), ϕ (1) = 0 ; ϕ (3) = 0, δ ϕ (2) h = Resta dunque a disposizione un unico parametro scalare per individuare spostamenti possibili della travatura per effetto del carico; per questi spostamenti, si deve verificare la relazione che scende da (29.44): Ma, in (29.47), f u(c) = λψ 2, ψ := ϕ (2) ϕ (3). (29.47) u(c) = 0 e ψ = ϕ (2) ; dunque, dev essere che ϕ (2) = 0 : la travatura non si muove per effetto del carico, né la molla fornisce alcuna azione interna. Di conseguen, la situazione di equilibrio è quella indicata nella figura: 15 La prima di queste relazioni si può trovare rapidamente per via sintetica: il centro istantaneo di rotazione dell asta BC dev essere in C; ma se C ha velocità nulla, allora l asta DC non può ruotare attorno a D.

25 Esercizi Figura Altri esempi Si consideri il sistema piano rappresentato in Fig Nel punto medio dell asta CD è applicata la for 2Fe 2, con F > 0. (a) Calcolare la rotazione dell asta AB in valore assoluto. (b) Calcolare il modulo del vettore spostamento del punto C. (c) Calcolare il valore dello sforzo σ della molla in B, ponendo λ = kl 2. (d) Calcolare il valore dello sforzo τ della molla di rotazione in C, ponendo λ = kl 2. Figura Soluzione. (a) Sia ψ la rotazione antioraria dell asta AB. Svolgendo i calcoli, si trova ψ BC = ψ,

26 162 6 Travature Piane con Elementi Elastici ψ CD = ψ, dunque la deformazione della molla in C è ψ = ψ CD ψ BC = 2ψ, inoltre, la deformazione della molla in B è ε = u(b) e 1 = Lψ. L energia elastica è w E = 1 2 λψ kε, cioè: Il lavoro dei carichi è: w E = 1 2 λ(2ψ) k(lψ)2 = ψ (kl2 + 4ψ). L = ψ CD 2F L 2 = FLψ, dunque l energia potenziale è w P = FLψ. Imponendo la stazionarietà dell energia, troviamo 0 = ψ (we + w P ) = ψ(kl 2 + 4λ) + FLψ ψ = FL 4λ + kl 2. (b) Lo spostamento del punto C è (c) Lo sforzo σ è: u(c) = ψ CD e 3 DC = ψ L = FL2 4λ + kl 2 = F. 4λ L 2 + k σ = kε = klψ = kl FL 5kL 2 = F 5. (d) lo sforzo τ è: τ = λϕ = λ2ψ = 2λ FL FL 4λ + kl 2 = 2kL2 5kL 2 = 2 5 FL Si faccia riferimento alla Fig Si assuma f > 0. (I) In Fig (a), determinare la rotazione ψ del corpo rigido (positiva in senso antiorario). (II) In Fig (a), determinare il valore assoluto dello sforzo nella molla in A. (III) Se in Fig (b) la rotazione ψ è la stessa che in Fig (a), quanto vale la rigidez λ?. Soluzione.

27 Figura Figura (I) Equazione di bilancio del momento: fl + σl τ = 0 (m(a) = 0). 29 Altri esempi 163 La deformazione della molla in A è proprio la rotazione ψ, mentre la deformazione della molla in B è ε = lψ. Gli sforzi valgono quindi τ = λψ, σ = klψ. Il bilancio del momento impone allora: fl + ( klψ)l λψ = 0 ψ = fl λ + kl 2. (II) Il valore assoluto dello sforzo nella molla in A è: τ = fl. 1 + kl2 (III) Ragionando come prima, troviamo dunque deve essere λ ψ = fl λ, λ = λ + kl 2.

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