3.1 Il principio di inclusione-esclusione

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1 Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati e utili applicazioi. Premettiamo che se I è u isieme coteete solo u umero fiito di elemeti, tale umero è u umero aturale, detto ordie o cardialità di I, e idicato co I oppure co #(I). U isieme fiito I ha ordie 0 se e solo se I = e ha ordie 1 se e solo se è i corrispodeza biuivoca co il sottoisieme I = {1, 2,..., } di N. Se I è u isieme fiito di ordie e A è u suo sottoisieme di ordie m, allora m e ioltre A è strettamete più piccolo di I se e solo se m <. Ci occupiamo di qualche problema di combiatoria e delle sue applicazioi. Problema 3.1. Cotare i sottoisiemi di u isieme fiito. Dato u isieme I, fiito o ifiito, si dice suo isieme delle parti, o isieme poteza, l isieme: P(I) = {A A I}. P(I) o è mai vuoto (ogi isieme I ha i sottoisiemi baali e I stesso); se I è ifiito ache P(I) cotiee ifiiti elemeti, metre se I è fiito co elemeti ache P(I) lo è e si ha: P(I) = 2. Esempio 3.2. Gli idividui di ua popolazioe soo classificati i base alla preseza o meo el loro sague di tre diverse proteie che idichiamo co V, R, N. Possiamo idetificare i diversi tipi possibili i questa classificazioe mediate i sottoisiemi di I = {V, R, N}: ad esempio il tipo idividuato dal sottoisieme {V, R} è quello degli idividui el cui sague si trovao le proteie V ed R, ma o la N. I tipi diversi corrispodoo allora all isieme: P(I) = {, {V }, {R}, {N}, {V, R}, {V, N}, {R, N}, {V, R, N}} e soo i umero di 8 =

2 28 Capitolo 3 Problema 3.3. Cotare gli elemeti dell uioe di isiemi fiiti. Siao A e B due isiemi fiiti di ordie ed m rispettivamete, disgiuti ossia privi di elemeti comui. Allora: A B = A + B = + m. La formula si geeralizza al caso di k isiemi fiiti A i, i = 1, 2,..., k, co A i = i, disgiuti due a due, foredo l uguagliaza: A i = k A i = k. i=1 Se ivece A e B soo due isiemi fiiti di ordie ed m rispettivamete e co k elemeti i comue (ossia k = A B ), allora: A B = A + B A B = + m k. Questa formula più geerale è ota come pricipio di iclusioe-esclusioe. Tralasciamo la sua geeralizzazioe al caso di k isiemi poiché decisamete più complicata. La riportiamo solo per il caso k = 3, co u esempio di applicazioe. A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3. Esempio 3.4. Su 25 studeti, 15 hao superato l esame di Matematica, 12 quello di Chimica e 5 hao superato etrambi gli esami. Quati studeti hao superato almeo u esame? Quati studeti hao fallito etrambi gli esami? Sia A l isieme degli studeti che hao superato l esame di Matematica: A = 15. Sia B l isieme degli studeti che hao superato l esame di Chimica, B = 12. A B è l isieme degli studeti che hao superato etrambi gli esami: A B = 5. La risposta alla prima domada è l ordie dell isieme A B, dato da = 22. No hao superato essuo dei due esami = 3 studeti. Esempio 3.5. Sia I = {1, 2,..., 20}. Quati soo i umeri di I divisibili per 2 o per 3? Sia A l isieme dei umeri pari di I: l ordie di A è 10. Sia B l isieme dei multipli di 3 i I: B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} ha ordie 6. A B è l isieme dei multipli di 6 miori di 20: A B = {6, 12, 18} ha ordie 3. I umeri di I divisibili per 2 o per 3 soo = 13. Esempio 3.6. I u gruppo di amici, 8 hao visto il film x, 12 il film y e 9 il film z. Ioltre 6 hao visto x e y, 4 x e z, 7 y e z e soltato uo di essi ha assistito alle tre proiezioi. Da quate persoe è formato il gruppo? S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

3 Calcolo combiatorio 29 Abbiamo co ovvio sigificato delle otazioi: X = 8,, Y = 12, Z = 9, X Y = 6, X Z = 4, Y Z = 7, X Y Z = 1 e quidi : X Y Z = = Il metodo delle scelte Problema 3.7. Cotare gli elemeti del prodotto cartesiao di due isiemi fiiti. Siao A e B due isiemi fiiti di ordie e m rispettivamete. Allora A B = A B = m. Cosideriamo ifatti gli sottoisiemi A i di A B a due a due disgiuti formati oguo dalle m coppie aveti a i come prima compoete. Per la formula del Problema 3.3 geeralizzata abbiamo A B = A A m = m. Osserviamo che dispoedo i coloa e i riga gli elemeti di A e gli m elemeti di B, il prodotto cartesiao A B può essere visualizzato come ua tabella di m quadretti. Quello appea visto va sotto il ome di metodo delle scelte, di cui si fa u grade uso i combiatoria e i molte applicazioi della vita pratica. Vediamo ua sua formalizzazioe. Suppoiamo di voler cotare i quati modi si può costruire ua coppia (a, b), se a appartiee a u isieme co elemeti e b ad uo co m elemeti, cioè se posso scegliere a i modi e b i m modi. La formula relativa al prodotto cartesiao ci dice che la coppia (a, b) può essere costruita i m modi. Quidi: se ua scelta può essere compiuta i modi diversi e, per ciascuo di essi, ua secoda scelta può essere compiuta i m modi diversi, allora la successioe delle due scelte può essere effettuata i m modi distiti. I modo aturale quato visto per il prodotto cartesiao di due isiemi fiiti si estede al caso del prodotto cartesiao di u umero fiito di isiemi fiiti. Il pricipio di moltiplicazioe delle scelte (ache ella sua forma estesa a più di due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combiatorici. Esempio 3.8. Quati oggetti possiamo differeziare co delle targhe di due simboli di cui il primo è ua lettera scelta tra a, b, c, d e il secodo è ua cifra da 1 a 5? Le lettere possoo essere scelte i 4 modi, le cifre i 5 modi: possiamo costruire 20 targhe diverse. Apputi di Istituzioi di Matematiche ( )

4 30 Capitolo 3 Esempio 3.9. Suppoiamo che il meù di u ristorate cosista di 5 atipasti, 6 primi, 6 secodi e 4 dolci: quati pasti completi (di quattro portate) possiamo ordiare? Le quatere ordiate (e quidi le scelte possibili) soo = 720. Problema Cotare il umero delle fuzioi da u isieme di ordie i u isieme di ordie m. Se A ha ordie e B ha ordie m, assegare ua fuzioe f : A B sigifica assegare ua immagie a ciascuo degli elemeti di A; l immagie di ciascuo può essere scelta tra gli m elemeti di B e quidi costruire f sigifica operare per volte ua scelta tra m possibilità. Il metodo delle scelte prima euciato ci permette di cocludere che le fuzioi diverse soo m m m = m. Osservazioe Se ordiiamo i qualche modo gli elemeti dell isieme A ua fuzioe f : A B co B = m può essere vista come ua -pla ordiata di elemeti scelti tra m, co possibilità di ripetizioi. Per questo motivo tali fuzioi soo ache dette disposizioi co ripetizioe. Per quato provato sopra il umero delle disposizioi co ripetizioe di m elemeti a a è m. Esempio Le fuzioi di I 3 i I 2 soo idetificabili co le 2 3 = 8 tere (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2). La prima è la fuzioe costate di valore 1, la secoda è la fuzioe tale che 1 1, 2 1, 3 2,..., l ultima è la fuzioe costate di valore 2. Esempio Vogliamo calcolare il umero delle coloe tra loro diverse che si possoo giocare al totocalcio. Come è oto, il gioco cosiste ell assegare uo dei tre simboli 1, X, 2 ad ogua delle 13 partite. Ogi coloa può essere idetificata co ua sequeza ordiata di elemeti scelti tra 1, X, 2 e quidi co ua fuzioe di u isieme co 13 elemeti (le tredici partite) i u isieme co 3 elemeti (i tre simboli citati). Le coloe possibili soo quidi 3 13 = Giocado tutte queste coloe si ha la certezza del tredici (purtroppo co ua spesa superiore alla vicita!!). 3.3 Permutazioi e disposizioi Problema Cotare le biiezioi (corrispodeze biuivoche) di u isieme fiito co elemeti i se stesso (o i u altro isieme fiito co lo stesso umero di elemeti). Premettiamo alcue otazioi. S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

5 Calcolo combiatorio 31 Defiizioe Dato u umero aturale > 0, chiamiamo fattoriale di il umero:! = 1 2 ( 2) ( 1). Si poe ioltre 0! = 1. Notiamo che! cresce rapidamete al crescere di : e diamo i primi dieci valori: ! Se A e B soo due isiemi fiiti dello stesso ordie, le biiezioi tra di essi soo!. Ifatti, suppoiamo di ordiare i qualche modo gli elemeti di A. Per idividuare ua biiezioe basta assegare le immagii degli elemeti del domiio. Ora, per l immagie del primo elemeto di A abbiamo scelte (qualuque elemeto di B va bee), ma per l immagie del secodo elemeto di A abbiamo 1 scelte (dobbiamo escludere l elemeto di B immagie del primo elemeto di A),..., per l immagie dell -simo elemeto di A la scelta è uica. Per il pricipio delle scelte successive, complessivamete si possoo duque effettuare! scelte, ad ogua delle quali corrispode ua diversa biiezioe di A i B. Nel caso i cui i due isiemi A e B coicidao, le biiezioi di A i se stesso vegoo dette permutazioi di A: le permutazioi di u isieme di ordie soo duque!. Esempio Se scriviamo le 3! permutazioi dei umeri da 1 a 3 come tere (vedi l esempio 1) abbiamo le 6 tere segueti che corrispodoo ad altrettate biiezioi di I 3 i I 3 : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Osserviamo che i ogi tera compaioo i 3 umeri esattamete ua volta sola e che ciò elle varie tere viee fatto i tutti gli ordii possibili: abbiamo ordiato (allieato) i tutti i modi possibili i ostri elemeti. Possiamo geeralizzare l esempio precedete osservado che oggetti distiti possoo essere ordiati i! modi possibili. Si dice quidi, per estesioe, permutazioe di oggetti distiti u qualuque loro ordiameto o allieameto. Esempio Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioi di 3 pallie di colore B (biaco), R (rosso), V (verde). Abbiamo due allieameti che mettoo la pallia B al primo posto, altrettati per R e V B R V, B V R, R V B, R B V, V B R, V R B. Apputi di Istituzioi di Matematiche ( )

6 32 Capitolo 3 Problema Cotare i quati modi si possoo disporre i fila (allieare) k oggetti diversi presi i u isieme di (quidi k ). Il ome di questi allieameti è disposizioi semplici di oggetti a k a k e il loro umero totale è D,k = ( 1) ( k + 1). Esempio Sia I l isieme formato da tre pallie di colore verde (V ), rosso (R), ero (N). Le disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3,2 = 3 2 = 6, e precisamete, soo gli allieameti: V R, RV, V N, NV, RN, NR. Possiamo vedere ogi disposizioe ache come ua fuzioe iiettiva dall isieme A = {1, 2} (o più geeralmete da u isieme A = {a 1, a 2 } di ordie 2) i B = {V, R, N} che associa ad 1 il primo elemeto della disposizioe e a 2 il secodo, ossia: V R corrispode a f : 1 V, 2 R f : 1 B, 2 V corrispode a BV. Possiamo geeralizzare l osservazioe precedete. Defiizioe Si dice disposizioe di oggetti a k a k ogi fuzioe iiettiva di u isieme di ordie k i u isieme di ordie. 3.4 Combiazioi Affrotiamo come ultimo problema l argometo da cui prede il ome il calcolo combiatorio. Problema Cotare i quati modi si possoo scegliere k oggetti (diversi, ma seza u ordie precisato) i u isieme di oggetti diversi. Poiché o vogliamo precisare l ordie co cui scegliamo i k elemeti, ma solo quali soo, quello che vogliamo cosiderare è u isieme di k elemeti. Defiizioe Sia A u isieme di ordie. Si dice combiazioe degli oggetti di classe k ogi sottoisieme di A di ordie k. Per dare la risposta al problema abbiamo bisogo di itrodurre i coefficieti biomiali, e alcue loro proprietà. Defiizioe Si dice coefficiete biomiale su k, (0 k ), il umero: ( )! = k k! ( k)!. S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

7 Calcolo combiatorio 33 Vediamo ora alcue proprietà dei biomiali. Siao k ed umeri iteri, 0 k. Allora: i) Casi estremi: ( ( 0) = ) = 1 ( ii) Simmetria: ( k) = ) k iii) Formula di Stifel: ( 1 k 1 ) ( + 1 ) ( = ) k. k Il ome dei coefficieti biomiali deriva dal fatto che essi soo apputo i coefficieti che compaioo ello sviluppo della poteza esima di u biomio mediate la formula del biomio di Newto: (X + Y ) = ( ) 0 X + ( ) 1 X 1 Y +... ( ) k X k Y k + + ( 1) Y. Spesso i coefficieti biomiali si scrivoo el modo seguete detto Triagolo di Tartaglia (o Triagolo di Pascal): ( 1 ) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) Notiamo che il primo e l ultimo coefficiete biomiale i ogi riga del triagolo soo uguali a 1 (per la prima proprietà vista), il triagolo è simmetrico rispetto alla retta verticale cetrale (per la secoda proprietà) e ogi coefficiete biomiale all itero del triagolo è la somma dei due coefficieti biomiali alla sua destra e alla sua siistra ella riga precedete (per la formula di Stifel). Queste osservazioi ci permettoo di riscrivere il triagolo di Tartaglia calcolado molto facilmete i umeri di ogi riga : Apputi di Istituzioi di Matematiche ( )

8 34 Capitolo 3 Solitamete be oti soo gli sviluppi delle poteze fio al terzo grado: (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Se ei due membri della formula dello sviluppo della poteza del biomio sostituiamo X = 1 e Y = 1 otteiamo u altra iteressate proprietà dei biomiali: iv) la somma della riga -esima del triagolo di Tartaglia è 2 ossia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = k 1 Possiamo ora rispodere al problema posto all iizio del paragrafo. Il umero delle combiazioi di oggetti a k a k ossia dei sottoisieme co k elemeti di u isieme A co elemeti è ( ) C,k =. k Possiamo covicerci di questa formula immagiado di costruire tutte le disposizioi di ordie k degli elemeti di A (che soo D,k =... ( k + 1) =! ( k)! ) e poi di raggruppare tra loro tutte quelle costituite dagli stessi elemeti; ogi gruppetto cotiee k! disposizioi (le permutazioi dei k elemeti che compaioo i ciascua disposizioe del gruppetto). I gruppetti soo allora i umero di C,k k! = ( ) k e ciascuo di essi corrispode ad u isieme di k elemeti. Osservazioe I coefficieti biomiali cotao quati elemeti ci soo i certi isiemi o vuoti e quidi soo umeri aturali o ulli. Esempio Se I è l isieme formato da tre pallie di colore verde (V ), rosso (R), ero (N), le disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3,2 = 6, e, precisamete, soo gli allieameti: V R, RV, V N, NV, RN, NR. Le combiazioi di queste tre pallie a due a due soo 3 e soo i 3 sottoisiemi segueti: {V, R}, {V, N}, {R, N} Notiamo che ciascuo di essi corrispode a 2! = 2 diverse disposizioi. Esempio Aggiugiamo all isieme I dell esempio precedete ua pallia gialla G e scriviamo tutte le combiazioi delle 4 pallie a 2 a 2. Otteiamo C 4,2 = ( 4 2) = 6 sottoisiemi: {V, R}, {V, N}, {R, N}, {V, G}, {N, G}, {R, G} S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

9 Calcolo combiatorio 35 Così le proprietà viste dei biomiali possoo essere motivate osservado che: i) c è u solo u sottoisieme co 0 elemeti (l isieme vuoto ) e u solo sottoisieme co = A elemeti (tutto l isieme A); ii) scegliere k elemeti tra è come isolare i restati k; iii) fissato u certo elemeto a 0 i u isieme A che ha + 1 elemeti, i modi di scegliere k + 1 elemeti soo tutti i modi di scegliere k elemeti ell isieme A \ {a 0 } (che ha 1 elemeti) a cui vao aggiuti i modi di scegliere k 1 elemeti i A \ {a 0 } a cui poi uire ache a 0 ; iv) la somma di tutti i biomiali della riga -esima del triagolo di Tartaglia è 2 poiché, come abbiamo già visto, tutti i possibili sottoisiemi di u isieme A co elemeti soo 2. Esempio I ua lotteria vegoo assegati 3 premi uguali per estrazioe a sorte tra i 20 partecipati. Il terzetto di vicitori è u isieme di 3 persoe sorteggiate, che o tiee coto dell evetuale ordie di estrazioe. I possibili terzetti di vicitori soo allora tati quate le possibili scelte di 3 elemeti i u isieme di 20, ossia soo C 20,3 = ( ) 20 3 = Applicazioi alla probabilità Il calcolo combiatorio ha umerose applicazioi al calcolo delle probabilità. vediamo ora alcue delle più semplici. Suppoiamo di cosiderare u isieme di eveti semplici che cosideriamo come equiprobabili. U modo semplice di schematizzare questa situazioe è quella di cosiderare u isieme co elemeti a ciascuo dei quali assegamo probabilità 1. Esempio Se laciamo ua moeta o truccata possiamo cosiderare l uscita della faccia Testa (T) e della faccia Croce (C) come eveti equiprobabili co probabilità 1 2. L isieme è allora {T, C}. Esempio Se laciamo u dado o truccato possiamo cosiderare l uscita di ciascua delle sue facce come eveti equiprobabili co probabilità 1 6. L isieme è allora I 6 = {1,..., 6}. Se laciamo due volte di seguito il dato gli eveti elemetari sarao le coppie di umeri di I 6 I 6, ciascuo co probabilità Se chiamiamo A l isieme degli eveti elemetari, per ogi sottoisieme B di A, la probabilità che si verifichi uo degli eveti di B è data dal rapporto tra il umero degli elemeti di B e il umero di elemeti di A. Ne Apputi di Istituzioi di Matematiche ( )

10 36 Capitolo 3 Spesso ci si riferisce ad A come all isieme dei casi possibili e a B come all isieme dei casi favorevoli. La probabilità di B è quidi il rapporto: casi favorevoli casi possibili. Esempio Se laciamo u dado la probabilità che esca u umero dispari ha come isieme dei casi favorevoli B = {1, 3, 5} e quidi la sua probabilità è B A = 3 6 = 1 2. Se laciamo due volte di seguito il dato la probabilità che escao due facce uguali ha come casi favorevoli B = {(1 1),..., (6, 6)}, la cui probabilità è quidi 6 36 = Esercizi risolti 3.1 I ua regioe vi soo veti città, collegate a coppie da ua strada comuale. Quate strade comuali possiede la regioe i questioe? Soluzioe: Osserviamo che ogi strada collega due diverse città. Abbiamo 20 scelte diverse per la parteza e 19 per l arrivo di ua strada: le scelte possibili soo quidi I tal modo però ogi strada tra le città A e B è stata cotata due volte: ua volta co A città di parteza e B di arrivo e ua volta co B parteza e A arrivo; e segue che il umero cercato è (20 19) : 2 = 190 = ` Quate diagoali ha u poligoo covesso di 6 lati? Soluzioe: Osserviamo che oguo dei 6 vertici può essere scelto come primo puto di ua diagoale metre come scelta per il secodo puto dobbiamo escludere il vertice i questioe e i due a lui adiaceti. Abbiamo duque 6 3 = 3 scelte per il secodo puto di ogi diagoale e 6 scelte per il primo. Il prodotto delle scelte deve però essere diviso per 2, per le stesse argometazioi dell esercizio precedete. Duque le diagoali di u esagoo soo 9. Aalogamete, si vede che per u poligoo covesso di lati le diagoali soo ( 3) Quati soo gli aagrammi della parola MADRE? E della parola MAMMA? Soluzioe: Osserviamo che si defiisce alfabeto u isieme fiito di simboli e, dato u certo alfabeto (qui si tratta dell alfabeto latio di 26 lettere), si defiisce parola u qualuque allieameto dei suoi simboli. Il umero di simboli è detto lughezza della parola. Se è l ordie dell alfabeto, le parole di lughezza m soo i totale m. No è richiesto che la parola che si ottiee aagrammado MADRE abbia u sigificato ella ligua italiaa o i altra ligua, é che sia leggibile; dobbiamo semplicemete cotare i quati modi si possoo allieare le cique lettere M, A, D, R, E. I modi soo allora tati quate le permutazioi di 5 oggetti, cioè 5! = 120. I geerale, gli aagrammi di ua parola co lettere soo!, almeo se le lettere soo tutte distite. Nella parola mamma vi soo ivece delle lettere ripetute, due A e tre M: gli aagrammi sarao 10. Possiamo motivare questo risultato i molti modi. Possiamo immagiare di diversificare le lettere M 1A 1M 2M 3A 2 (otteedo 120 aagrammi) e di cotare poi i quati modi si ottiee la stessa parola permutado le 3 M tra loro (i 3! = 6 modi diversi) e per ciascuo permutado poi le 2 A i 2! = 2 modi. Il umero iiziale di 120 adrà quidi diviso per 6 2. S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

11 Calcolo combiatorio 37 Oppure, possiamo immagiare che ogi aagramma si ottega scegliedo le 2 posizioi i cui scrivere le A e sistemado le M ei posti rimaeti: i modi soo quidi C 5,2 = Scrivere tutti i umeri di due cifre scelte tra 1, 2, 3, 4. Soluzioe: Possiamo decidere se vogliamo permettere le cifre ripetute oppure o: i etrambi i casi applichiamo il metodo delle scelte. Se ammettiamo le cifre ripetute, i umeri sarao 4 4 = 16; se ivece chiediamo che le due cifre siao diverse, i modi sarao I quati modi 3 oggetti possoo essere colorati co 5 colori diversi? Soluzioe: Ache i questo caso, come ell esercizio precedete, dobbiamo decidere se vogliamo ammettere che più oggetti possao essere colorati co lo stesso colore oppure o. Nel primo caso i modi soo 5 3 = 125 (umero delle applicazioi tra l isieme dei 3 oggetti e l isieme dei 5 colori), metre el secodo soo D 5,3 = = A u campioato di calcio partecipao ove squadre. Se ogi squadra icotra tutte le altre due volte, quate partite devoo essere giocate? Soluzioe: Si giocao 72 partite, il umero delle disposizioi di 9 oggetti a due a due (ogi partita è idividuata da ua coppia ordiata di squadre diverse, la squadra di casa e la squadra ospite). 3.7 Vogliamo calcolare i quati modi diversi si può scegliere ua tera di umeri (a, b, c) compresi tra 1 e 100 ordiati i ordie crescete a < b < c. Soluzioe: Osserviamo che ogi isieme di 3 umeri corrispode ad ua sola possibile tera e o a varie tere differeti a secoda dell ordie; stiamo cioè cosiderado combiazioi (e o disposizioi) di elemeti di I 100 presi a 3 a 3. Allora le tere siffatte soo i umero di C 100,3 = ` Calcolare il umero di modi distiti i cui può essere servito u giocatore di scala quarata i ua sigola mao. Soluzioe: Suppoedo di giocare co 54 2 = 108 carte e sapedo che si dao 13 carte, abbiamo C 108,13 possibilità. 3.9 (a) Quati isiemi di 5 carte si possoo avere co u mazzo da poker di 52 carte? (b) Quati poker di assi si possoo formare? (c) Quati poker diversi si possoo formare? Soluzioe: (a) C 52,5 = (b) 48 (tate ifatti soo le scelte per la quita carta) (c) = 624 (ci soo ifatti 13 scelte per il grado del poker e per ogua 48 possibilità per la quita carta). 3.7 Altri esercizi 3.10 Dire quati soo gli aagrammi della parola LOGICA e della parola MATEMATICA Scrivere tutti i umeri (di 3 cifre) formati dalle cifre 1, 2, 3 o ripetute. Apputi di Istituzioi di Matematiche ( )

12 38 Capitolo Quattro giocatori di teis voglioo giocare u doppio. Quate coppie distite si possoo formare? 3.13 Nel gioco del Super-ealotto bisoga idoviare 6 umeri scelti tra il umero 1 e il umero 90. Quati isiemi di sei umeri si possoo formare? 3.14 Scommettiamo sul risultato (vittoria, pareggio, scofitta) di quattro partite di calcio. Dire qual è la probabilità che, dado risposte a caso: (a) si idoviio tutti i risultati; (b) se e idoviio almeo Ua classe è formata da 10 ragazzi e 10 ragazze. Dividiamo a caso la classe i due squadre composte da 10 persoe ciascua. Qual è la probabilità che le due squadre abbiao lo stesso umero di ragazze e ragazzi? 3.16 Si laciao cotemporaeamete 3 dadi. Qual è la probabilità che il puteggio complessivo sia pari? Qual è la probabilità che sia 5? 3.17 Da u ura coteete 21 pallie, di cui 6 biache e 15 rosse, si estraggoo cosecutivamete 4 pallie seza reimbussolameto. Qual è la probabilità di otteere complessivamete 2 pallie biache e 2 rosse? 3.18 Tra le cifre 1, 2,..., 9 se e estraggoo cosecutivamete tre seza rimpiazzo. Qual è la probabilità che le cifre estratte: a. o siao tutte pari? b. siao tutte dispari? c. vi sia almeo ua cifra pari e ua dispari? 3.19 Uo studete deve seguire 3 corsi di ligue tra i segueti: iglese, fracese, tedesco, spagolo, russo. Quate possibili scelte ha? quate se vuole icludere il corso di iglese? S. Cosole M. Roggero D. Romagoli

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