Sperimentazione di un curricolo di matematica per il Liceo delle Scienze sociali

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1 Sperimentazione di un curricolo di matematica per il Liceo delle Scienze sociali Antonella Fatai Istituto Giovanni da San Giovanni Liceo delle Scienze sociali San Giovanni Valdarno (AR) Guido Boschini Istituto L. Cobianchi Indirizzo di Scienze umane e sociali Verbania (VB)

2 I punti fondamentale che caratterizzano lʼipotesi di curricolo che intendiamo sperimentare nei prossimi tre anni scolastici sono: coerenza con gli Assi culturali proposti dal Ministero della pubblica istruzione per il biennio dellʼobbligo; coerenza con la programmazione proposta dallʼunione matematica italiana nel progetto mat 2003-mat 2004 (Matematica per il Cittadino); maggior collegamento con lʼindirizzo di studi introducendo nel triennio la Statistica inferenziale, in modo che la Matematica possa essere considerata una disciplina di base (area comune) nel biennio e di specializzazione (area delle scienze sociali) nel triennio; attenzione a non eccedere in inutili formalizzazioni soprattutto nel biennio, in accordo con quanto dichiarato dagli esperti in Scienze cognitive; distillazione verticale ed orizzontale dei contenuti proposti per: concentrarsi maggiormente sulle abilità superiori, in particolare sullʼanalisi, anche linguistica, dei testi, sia del manuale, sia dei problemi proposti e sulla loro risoluzione; utilizzare una vera didattica a spirale che non si riduca ad una semplice ripetizione di argomenti già affrontati ma che consenta, ogni volta, di introdurre maggior complessità, approfondimento e consapevolezza; ridurre al minimo indispensabile lʼutilizzo della lezione frontale per favorire attività di laboratorio (povero) di matematica; attivare attività che consentano di migliorare il rapporto affettivo degli studenti nei confronti della Matematica, che spesso nel nostro indirizzo è connotato negativamente. La programmazione sarà articolata in moduli di durata biennale e triennale nel biennio e nel triennio rispettivamente e in unità didattiche; per ogni unità didattica è previsto un test sommativo, scritto o orale, non strutturato, semi-strutturato o strutturato, dipendentemente dalle abilità che verranno misurate. I test verranno progettati e somministrati parallelamente nelle scuole in cui si attua la sperimentazione, in modo da avere una quantità adeguata di rilevazioni su cui riflettere. Nei test saranno presenti anche alcune parti scritte in lingua inglese. Biennio Con lʼelevazione dellʼobbligo al biennio della scuola secondaria superiore, il Ministero della pubblica istruzione ha emesso un documento tecnico in cui le Competenze di cittadinanza vengono articolate in quattro assi, e precisamente: lʼasse dei linguaggi, lʼasse matematica, 2

3 lʼasse scientifico-tecnologico e lʼasse storico-sociale. Di seguito sono riportate le conoscenze, abilità e competenze individuate nellʼasse dei linguaggi e nellʼasse scientificotecnologico che verranno perseguiti nella nostra programmazione. Asse dei linguaggi Competenze Abilità/capacità Conoscenze Leggere, comprendere ed interpretare testi scritti di vario tipo Padroneggiare le strutture della lingua presenti nei testi Strutture essenziali dei testi narrativi, espositivi, argomentativi Principali connettivi logici varietà lessicali in rapporto ad ambiti e contesti diversi Produrre testi di vario tipo in relazione ai differenti scopi comunicativi Ricercare, acquisire e selezionare informazioni generali e specifiche in funzione della produzione di testi scritti di vario tipo Elementi strutturali di un testo scritto coerente e coeso Uso dei dizionari Prendere appunti e redigere sintesi e relazioni Modalità e tecniche delle diverse forme di produzione scritta: riassunto, lettera, relazioni, ecc. Rielaborare in forma chiara le informazioni Produrre testi corretti e coerenti adeguati alle diverse situazioni comunicative Fasi della produzione scritta: pianificazione,stesura e revisione Asse Scientifico-tecnologico Competenze Abilità/capacità Conoscenze Osservare, descrivere ed analizzare fenomeni appartenenti alla realtà naturale e artificiale e riconoscere nelle sue varie forme i concetti di sistema e di complessità Raccogliere dati attraverso lʼosservazione diretta dei fenomeni naturali (fisici, chimici, biologici, geologici, ecc..) o degli oggetti artificiali o la consultazione di testi e manuali o media Organizzare e rappresentare i dati raccolti Concetto di misura e sua approssimazione Errore sulla misura 3

4 Le competenze e le abilità descritte nellʼasse matematico e nella programmazione del progetto Matematica per il cittadino dellʼunione matematica italiana sono collocate direttamente nella nostra programmazione. Modulo trasversale Insiemi e loro rappresentazioni Appartenenza ed inclusione Le operazioni: unione, intersezione e complementazione Formule ben formate e proposizioni logiche I connettivi congiunzione, disgiunzione inclusiva, negazione Dominio e insieme di verità Insiemi discreti e densi Operazioni interne, elemento neutro ed assorbente, inverso; proprietà delle operazioni; principio di annullamento del prodotto. Esprimersi nel linguaggio naturale con coerenza e proprietà; usare, in varie situazioni, linguaggi simbolici (linguaggio degli insiemi, linguaggio dellʼalgebra elementare, linguaggio logico); analizzare semplici testi del linguaggio naturale, individuando eventuali errori di ragionamento; riconoscere e usare propriamente locuzioni della lingua italiana con valenza logica ( se allora, per ogni, esiste almeno un, ecc.); costruire la negazione di una frase; produrre congetture e sostenerle con ragionamenti coerenti e pertinenti. Commento Questo modulo non è articolato in unità didattiche, ma percorre trasversalmente la programmazione dellʼintero biennio. Non vengono richieste formalizzazioni o astrazioni eccessive, ma si ricorre al maggior numero possibile di esempi tratti sia dal linguaggio naturale che dai linguaggi più formalizzati, ad esempio trattando gli insiemi numerici o la geometria. Classe prima Modulo Aritmetica ed Algebra Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico. Insieme N. Necessità dei naturali: il conteggio; numeri primi e divisibilità, MCD, mcm; potenze ad esponente naturale; teorema fondamentale dellʼaritmetica. Calcolare quoziente e resto nella divisione tra interi; calcolare potenze ed applicarne le proprietà. Insieme Z; necessità dei relativi: crediti e debiti; somma algebrica e prodotto tra numeri relativi; significato dei simboli + e -; opposto, valore assoluto. Esprimere le regole della somma algebrica e del prodotto tra numeri relativi; risolvere brevi espressioni utilizzando in modo consapevole le regole di calcolo. 4

5 Unità didattica 3 Insieme Q; necessità dei razionali: la misurazione; scrittura decimale e frazionaria, percentuali. Reciproco e operazioni con le frazioni; potenze ad esponente intero, notazione scientifica. Scrivere un numero decimale come somma di multipli di potenze di 10 ad esponente intero; stabilire se una divisione (frazione) dà luogo a un numero decimale periodico o non periodico; scrivere un numero razionale in forma di frazione o in forma decimale, passando da una notazione allʼaltra; utilizzare la scrittura percentuale nella risoluzione di problemi; scrivere un numero in notazione scientifica; stimare lʼordine di grandezza del risultato di un calcolo numerico; usare consapevolmente le parentesi. Commento Eʼ interessante far ricercare agli studenti lʼorigine dei prefissi del sistema internazionale, soprattutto di quelli non trasparenti, come femto, atto, zetto e yotto. Unità didattica 4 Monomi: definizione, forma normale e grado; operazioni; MCD e mcm; polinomi in una indeterminata: definizione, operazioni: somma algebrica e moltiplicazione; prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato e cubo del binomio. Calcolare somma, prodotto, quadrato e cubo di polinomi; risolvere sequenze di operazioni e problemi sostituendo alle variabili letterali i valori numerici. Unità didattica 5 Scomposizione di polinomi: polinomi irriducibili e teorema del resto, raccoglimento a fattor comune totale e parziale, scomposizione mediante prodotti notevoli e somma e differenza di cubi; MCD e mcm di polinomi. Eseguire semplici fattorizzazioni di polinomi nei razionali. Unità didattica 6 Equazioni: definizione; insieme di definizione e delle soluzioni; equazioni proprie, indeterminate ed impossibili; equazioni equivalenti, principi di equivalenza e loro conseguenze; algoritmo per la risoluzione di unʼequazione di primo grado; equazioni fratte. Risolvere equazioni di primo grado e verificare la correttezza dei procedimenti utilizzati; formalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso modelli algebrici; risolvere problemi di primo grado. Commento Il concetto e lʼuso delle equazioni può essere introdotto subito dopo la definizione di polinomio in modo da poter utilizzare il calcolo algebrico, man mano che viene introdotto, nella risoluzione di equazioni e di problemi. Modulo Geometria Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni 5

6 Geometria euclidea: concetti primitivi ed assiomi; i triangoli e i criteri di congruenza; teoremi dei triangoli isosceli. Produrre congetture e riconoscerne la validità con semplici dimostrazioni; individuare le proprietà essenziali di semplici figure; comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione. Classe seconda Modulo Aritmetica ed Algebra Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico. Richiami sul piano cartesiano, equazione della retta nel piano, coefficiente angolare, rette parallele; rappresentazione grafica di sistemi di due equazioni in due incognite, metodi di risoluzione dei sistemi: confronto, sostituzione e combinazione lineare. Rappresentare sul piano cartesiano una retta nota la sua equazione, riconoscere dalle equazioni rette incidenti, disgiunte o coincidenti; risolvere sistemi lineari col metodo più adeguato; risolvere problemi utilizzando sistemi lineari. Richiami sugli insiemi numerici; necessità dei numeri irrazionali: la diagonale del quadrato; introduzione intuitiva dellʼinsieme dei numeri reali; approssimazioni razionali dei numeri reali ed errori di approssimazione; radici quadrate, cubiche, n-esime, semplificazione di radicali, operazioni tra radicali, razionalizzazioni del tipo a/ b e a/( b c); analogie e differenze tra i diversi insiemi numerici; rappresentazione dei numeri sulla retta. Distinguere tra simbolo e valore numerico; approssimare un reale mediante razionali; risoluzione di problemi con le radici. Unità didattica 3 Equazioni di secondo grado: risoluzione delle equazioni incomplete, risoluzione dellʼequazione completa mediante il metodo di completamento del quadrato e mediante la formula risolutiva; discussione del discriminante e relazioni tra le radici; risoluzione dei sistemi di secondo grado. Risolvere equazioni di secondo grado incomplete e complete, anche fratte, utilizzando il metodo più adeguato; risolvere problemi che hanno come modello equazioni o sistemi di secondo grado. Commento Se esercitati nella risoluzione mediante il metodo del completamento del quadrato, gli studenti riescono a dimostrare ovviamente se adeguatamente guidati la formula risolutiva. Utilizzando le fattorizzazioni e il principio di annullamento del prodotto si possono poi risolvere anche equazioni di grado superio- 6

7 re al secondo. Nella risoluzione, anche per via grafica, dei sistemi di primo e secondo grado, si possono riscoprire i concetti di proporzionalità diretta ed inversa e di dipendenza lineare, normalmente già affrontati nella scuola media. Modulo Geometria Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni. Definizione di rette perpendicolari e rette parallele, asse di un segmento, proiezione ortogonale; assioma delle parallele e sue conseguenze, criteri di parallelismo; teorema dellʼangolo esterno, somma degli angoli interni di un poligono. Distinguere ipotesi e tesi, ricostruire semplici dimostrazioni. Le isometrie nel piano: simmetrie assiali e centrali, traslazioni, rotazioni e glisso-simmetrie; definizioni e proprietà; prodotto e classificazione delle isometrie. Individuare proprietà invarianti per isometrie nel piano; analizzare e risolvere semplici problemi mediante l'applicazione delle isometrie. Unità didattica 3 Definizione e proprietà dei triangoli, dei trapezi, dei parallelogrammi, dei rombi, dei rettangoli e dei quadrati utilizzando le simmetrie. Riconoscere i diversi tipi di quadrilateri; collegare le simmetrie ai quadrilateri studiati. Unità didattica 4 Equivalenza nel piano ed equiscomponibilità tra poligoni; teoremi di Euclide e di Pitagora. Riconoscere e costruire poligoni equiscomponibili; calcolare perimetri e aree di poligoni; utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per formalizzare gli oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione all'altra; risoluzione di problemi geometrici per via algebrica. 7

8 Triennio Classe terza Modulo Statistica Dati statistici: caratteri e modalità, caratteri qualitativi sconnessi e ordinali, quantitativi discreti e continui, variabili e mutabili, serie e seriazioni; classi, confini, ampiezza e valore centrale; frequenze semplici e cumulate, assolute e relative; rappresentazione grafica dei dati: ortogramma e istogramma, areogramma e grafico cartesiano. Comprendere la differenza fra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui; predisporre la struttura della matrice dei dati grezzi rispetto a una rilevazione pianificata e inserire i dati rilevati anche in un foglio elettronico; passare dai dati grezzi alle distribuzioni statistiche di frequenze ed alle corrispondenti rappresentazioni grafiche. Commento Parlando di caratteri discreti e continui, si può fare riferimento agli insiemi discreti e continui studiati nel biennio, ma anche, rispettivamente, ai risultati delle operazioni di conteggio e misurazione. Può essere utile riflettere con gli studenti sul significato, anche nel lessico comune, degli aggettivi assoluto (sciolto, indipendente) e relativo (collegato, in rapporto con qualcos'altro); è importante anche sottolineare che le grandezze relative, in quanto rapporti tra grandezze omogenee, sono adimensionali. Indici di posizione centrale: media, moda e mediana; calcolo anche nel caso di classi e loro utilizzo; percentili e quartili. Calcolare gli indici di posizione per caratteri quantitativi, anche utilizzando fogli elettronici. Unità didattica 3 Indici di variabilità: campo di variazione, differenza interquartilica, varianza e scarto quadratico medio, box-plot; indici di variabilità relativa, coefficiente di variazione. Calcolare gli indici di variabilità per caratteri quantitativi anche utilizzando fogli elettronici. Modulo Algebra-geometria Piano cartesiano: distanza nel piano cartesiano; punto medio di un segmento; retta: retta per lʼorigine, pendenza e coefficiente angolare; equazione in forma implicita ed esplicita; mutua posizione di due rette; fascio proprio ed improprio. 8

9 Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per formalizzare gli oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione all'altra in modo consapevole e motivato. Parabola: funzione quadratica; funzione completa di secondo grado; significato dei parametri; parabola dati tre punti o due punti e il vertice; intersezione retta-parabola. Risolvere semplici problemi riguardanti rette e parabole; risolvere semplici problemi di massimi e di minimo formalizzabili mediante equazioni di secondo grado. Unità didattica 3 Disequazioni di primo e secondo grado: intervalli reali; proprietà delle disuguaglianze; disequazioni lineari in una incognita; disequazioni di secondo grado; disequazioni fratte; sistemi di disequazioni. Risolvere, per via grafica e algebrica problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado; utilizzare metodi grafici e metodi algebrici per risolvere disequazioni di secondo grado. Unità didattica 4 Teoria ingenua degli insiemi: termini, simboli e linguaggio, sottoinsiemi; operazioni tra insiemi, proprietà delle operazioni. Elementi di logica: proposizioni, proposizioni atomiche e molecolari; connettivi congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva, negazione, implicazione materiale e coimplicazione, definizione mediante le tavole di verità, leggi di De Morgan e della controinversa; tautologie e contraddizioni; predicati, quantificatori, modello insiemistico per le proposizioni aperte. Tradurre proposizioni dal linguaggio naturale a quello formalizzato e viceversa; costruire semplici tavole di verità, ad esempio per verificare equivalenze tra proposizioni; collegare i connettivi e le operazioni insiemistiche. Classe quarta Modulo statistica Calcolo combinatorio: dagli insiemi ai raggruppamenti; disposizioni semplici e con ripetizione; permutazioni semplici e con ripetizione; la funzione n!; combinazioni semplici; coefficienti binomiali e teorema di Newton per lo sviluppo della potenza del binomio. 9

10 Risoluzione di semplici problemi di estrazione e di riempimento utilizzando in modo consapevole lʼanalisi combinatoria; comprensione dei diversi meccanismi di estrazione: con e senza reintroduzione o in blocco. Calcolo delle probabilità: eventi aleatori; le concezioni di probabilità: classica, statistica e soggettiva; definizioni e critiche; la legge empirica del caso; lʼimpostazione assiomatica; dipendenza stocastica; teorema della somma, del prodotto, prove ripetute e formula di Bayes Abilità Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità; valutare la probabilità in diversi contesti problematici; valutare criticamente le informazioni fornite dai media, con riferimento particolare ai giochi di sorte e ai sondaggi; distinguere tra eventi indipendenti e no; legare connettivi, operazioni insiemistiche e calcolo delle probabilità. Modulo Analisi Esponenziale e logaritmo: potenze ad esponente razionale ed irrazionale: definizioni e proprietà; il numero e; funzione esponenziale: grafico e proprietà; logaritmo: definizione e proprietà; cambiamento di base; logaritmo decimale e naturale; funzione logaritmica: grafico e proprietà. Risoluzione di semplici equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, anche utilizzando i grafici. Nozione di funzione reale di variabile reale; funzioni iniettive, suriettive e biunivoche; funzione inversa; esempi di funzioni: razionali, razionali fratte, esponenziali e il logaritmiche Studio di dominio, segno, intersezione con gli assi di semplici funzioni razionali o razionali fratte; studio qualitativo di funzioni utilizzando principalmente la lettura del grafico. Classe quinta Modulo Statistica Variabili aleatorie: definizione, valor medio e varianza (definizioni, proprietà e formule di calcolo), distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione, rappresentazione grafica. Spiegare il concetto di variabile aleatoria discreta e continua anche in situazioni reali. Distribuzioni discrete: le variabili binarie (definizione, valor medio e varianza); distribuzione binomiale: definizione e ipotesi dʼapplicabilità, valor medio e va- 10

11 rianza, andamento della distribuzione, valore più probabile; distribuzione ipergeometrica: definizione e ipotesi dʼapplicabilità, valor medio e varianza, confronto tra variabile binomiale e variabile ipergeometrica; variabili standardizzate. Comprendere le ipotesi dʼuso delle distribuzioni e in quali casi applicarle. Estrapolare, dai dati di un problema, i valori dei parametri. Unità didattica 3 Distribuzioni continue; passaggio al continuo; distribuzione di Gauss; caratteristiche e uso delle tavole; teorema del limite centrale, enunciato del teorema nel caso generale e nel caso particolare di variabili normali, approssimazione normale della binomiale e approssimazione di continuità; distribuzione t di Student: cenni e uso delle tavole Rappresentare graficamente le probabilità della distribuzione normale e calcolarle utilizzando le tavole di Sheppard; utilizzare il teorema del limite centrale per approssimare le probabilità della distribuzione binomiale a quella normale. Unità didattica 4 I campioni e il campionamento: definizione di campione, schema bernoulliano e schema esaustivo, campionamento a strati; distribuzioni campionarie: definizione, parametri e statistiche; distribuzione campionaria delle medie: caso della popolazione normale, caso dei grandi campioni; distribuzione campionaria delle frequenze relative: caso dei grandi campioni. Distinguere il concetto di media di una popolazione da quello della variabile aleatoria media campionaria e il concetto di probabilità di successo di una popolazione da quello di variabile aleatoria frequenza relativa campionaria ; costruire un campione casuale semplice data una popolazione Unità didattica 5 Stima dei parametri: il problema della stima, gli stimatori e le loro proprietà, la varianza corretta; stime puntuali ed errori di stima; stime intervallari: intervallo di confidenza e livello di confidenza; stima intervallare delle medie: caso della popolazione normale con varianza nota o incognita, caso dei grandi campioni; stima intervallare delle frequenze relative nel caso dei grandi campioni. Stimare una proporzione (fra due parametri), o la media di una popolazione, attraverso una consapevole costruzione di stime puntuali e intervalli di confidenza. Modulo analisi Definizione intuitiva e con gli intorni di limite in un punto e allʼinfinito; il concetto di funzione continua, calcolo di limiti di funzioni razionale fratte; le forme di indecisione, /, 0/0 e 0 Calcolo dei limiti negli estremi del campo di esistenza per funzioni razionali fratte. Commento 11

12 Come approfondimento è possibile introdurre, sempre in modo intuitivo o per via grafica, il confronto tra infiniti (esponenziale, potenza e logaritmo). Bibliografia: [Fatai-Moretti, 2006] A. Fatai-C.Moretti, Dal problema al modello. I Problemi dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico, Arnoldo ed., 2006 [MPI, 2006] Programma Operativo Nazionale Obiettivo Convergenza Competenze per lo sviluppo 2007 IT 05 1 PO 007 F.S.E., 2006 [MPI, 2000] Annali della Pubblica Istruzione, Laboratorio della Riforma Verso i nuovi Curriculi., 2000 [MPI, 2007] D.M.n.139, Agosto, 2007 [MPI, 2007] Il Nuovo obbligo di istruzione,cosa cambia nella scuola?, 2007 [Pontecorvo-Marchetti, 2007] C. Pontecorvo- L.Marchetti, Nuovi saperi per la scuola, Le Scienze Sociali trentʼanni dopo Marsilio ed., 2006 [UMI-CIIM, 2003] AA.VV., Matematica 2003, attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curriculum di Matematica. Ciclo secondario, Liceo Vallisneri Lucca ed., 2003 [UMI-CIIM, 2003] AA.VV., Matematica 2004, La Matematica per il Cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curriculo di matematica (Quinta classe del ciclo secondario di secondo grado), Liceo G.Ricci Curbastro Ravenna ed., 2004 [UMI-CIIM, 2006] G.Accascina, G.Anichini, G.Anzellotti, F.Rosso, V.Villani, R.Zan, "LA MATEMATICA PER LE ALTRE DISCIPLINE. Prerequisiti e sviluppi universitari", ed., 2006 [Villani, 2006] V. Villani, Cominciamo dal punto-domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Geometria), Pitagora ed., 2006 [Villani, 2003] V. Villani, Cominciamo da Zero-Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Aritmetica e Algebra), Pitagora ed., 2003 [Villani, 2001] V. Villani, Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill ed., 2001 [Zan, 2007] R. Zan, Difficoltà in matematica, Osservare, interpretare, intervenire, Springer ed.,