> d = alimentazione == "benz" > mean(percorr.urbana[!d]) - mean(percorr.urbana[d]) [1] > sd(percorr.urbana[d]) [1] 2.

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1 A questo punto vale la pena di soffermarci di più sull alimentazione. Intanto cerchiamo di indagare se l alimentazione è davvero un fattore significativo per la percorrenza come è luogo comune pensare. > d = alimentazione == "benz" > mean(percorr.urbana[!d]) - mean(percorr.urbana[d]) [1] > sd(percorr.urbana[d]) [1] > sd(percorr.urbana[!d]) [1] Osserviamo che effettivamente c è una differenza tra le medie della percorrenza nei due gruppi di macchine ma le macchine diesel hanno una varianza più alta dovuta anche al fatto che i due campioni hanno numerosità differente. Quindi non possiamo, almeno per ora, concludere che la differenza tra le medie sia significativa. Graficamente la situazione può essere rappresentata dal boxplot. > boxplot(percorr.urbana ~ alimentazione) 1

2 benz diesel Il box plot non è altro che il disegno di una scatola tagliata in due da una linea che è la mediana, Q 2, delimitata in alto e in basso dai quartili Q 3, Q 1, con dei baffi, (le linee orizzonatali esterne e più piccole) rappresentanti il minimo e il massimo se non ci sono punti all esterno di Q 1 1.5(Q 3 Q1); Q (Q 3 Q1)), e tavolta con dei pallini rappresentanti i valori esterni al range Q 1 1.5(Q 3 Q1); Q (Q 3 Q1), ovvero gli outliers; in questo caso i baffi coincidono con le ultime osservazioni prima degli outliers. Per vedere se la differenza trovata tra le medie è davvero significativa, ovvero per vedere se l alimentazione incide significativamente sulla percorrenza dobbiamo utilizzare l ANOVA, ovvero l analisi della varianza. 2

3 > model = lm(percorr.urbana ~ alimentazione) > anova(model) Analysis of Variance Table Response: percorr.urbana Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) alimentazione *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * L analisi della varianza viene utilizzata per suddividere la variabilità del fenomeno nelle sue varie componenti e per individuare quelle che ne hanno un relativo contributo. In generale possiamo immaginare che ci siano k gruppi o comportamenti (nel nostro caso k = 2) ognuno caratterizzato da una propria media µ j, j = 1,..., k e poniamo µ la media totale. Sia y ij, i = 1,..., n j, la i-esima variabile del j-esimo gruppo, allora si ha y ij = µ j + ɛ ij da cui si ricava (ponendo le solite ipotesi su ɛ e ˆµ j = n j i=1 y ij/n j ) che n k j (y ij µ) = j=1 i=1 n k k j n j (ˆµ j µ) 2 + (y ij ˆµ j ) 2 j=1 j=1 i=1 devianza totale = devianza fra gruppi + devianza nei gruppi SSt = SSb + SSw Inotre si ha che sotto l ipotesi di normalità SSb/(k 1) SSw/(n k) F k 1,n k 3

4 In questo caso il p-value è molto basso e questo indica un alto livello di significatività. A questo punto nel modello percorrenza-peso creato in precedenza possiamo aggiungere il fattore alimentazione: percorrenza = β 0 + β 1 peso + β 2 I A dove I A è detta funzione indicatrice e nel nostro caso vale 1 se la macchina è a diesel e 0 altrimenti. Per fare questo possiamo in R creare un modello nuovo oppure aggiornare quello precedente, operazioni che porterebbero agli stessi identici risultati. L unica differenza è che nel creare un nuovo modello il computer dovrebbe ricalcolare tutto da capo (in particolare dovrebbe invertire nuovamente la matrice X t X). Questa è un operazione molto dispendiosa computazionalmente ma fortunatamente esistono delle procedure numeriche che permettono di snellire queste operazioni aggiornando semplicemnte i calcoli fatti in precedenza: > fit1 = update(fit,. ~. + alimentazione) > summary(fit1) Call: lm(formula = percorr.urbana ~ peso + alimentazione) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** peso <2e-16 *** alimentazionediesel <2e-16 *** 4

5 --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 200 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 200 DF, p-value: < 2.2e-16 Il valore R 2 è molto più alto di quello trovato in precedenza. confrontare tra loro i modelli Inoltre possiamo > anova(fit, fit1) Analysis of Variance Table Model 1: percorr.urbana ~ peso Model 2: percorr.urbana ~ peso + alimentazione Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * ottenendo che il secondo è più significativo del primo. Le rette di regressione ora diventano due e sono parallele:la prima per le macchine diesel ha coefficienti β 0 + β 2 e β 1 (I A = 1) e la seconda per le macchine a benzina con coefficienti β 0 e β 1 : > beta = coef(fit1) > plot(peso, percorr.urbana, type = "n", ylab = "percorrenza urbana (km/litro)", + xlab = "peso") > points(peso[d], percorr.urbana[d], col = 2, pch = 2) > points(peso[!d], percorr.urbana[!d], col = 3, pch = 3) > legend(4.5, 20, pch = c(2, 3), col = c(2, 3), legend = c("benzina", 5

6 + "diesel")) > abline(beta[1:2], col = 2, lty = 2) > abline(beta[1] + beta[3], beta[2], col = 3, lty = 4) percorrenza urbana (km/litro) peso A questo punto ci possiamo chiedere: se ho una macchina diesel che pesa 1400 quanti Km dovrebbe fare con un litro? La risposta a questa domanda si può ottenere inserendo le quantità stimate e i dati a nostra disposizione nella formula del modello: > beta[1] + beta[2] * beta[3] (Intercept)

7 oppure più semplicemente c è una funzione di R che permette di fare le previsioni. Noi dobbiamo solamente passargli il modello e i dati: > predict(fit1, data.frame(peso = 1400, alimentazione = "diesel")) [1] Osserviamo che nel grafico il punto con ascissa 1400 e ordinata si trova proprio sulla retta relativa alle macchine diesel: > points(1400, predict(fit1, data.frame(peso = 1400, alimentazione = "diesel"))) 7