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1 DIPRTIMENTO DI SCIENZE POLITICHE Modello di Solow (1) 1 a. a ppuni dalle lezioni. Uso riservao Maurizio Zenezini Consideriamo un economia (chiusa e senza inerveno dello sao) in cui viene prodoo un solo bene (che può essere consumao e invesio) mediane una ecnologia rappresenabile da una relazione coninua ra il prodoo, Y, il capiale, K, e il lavoro, L. La relazione è descria dalla seguene funzione di produzione (1) = ( ; ) dove il deponene indica il empo. Il empo non enra nella funzione direamene, ovvero non agisce come una forza deerminisica in grado di deerminare il livello di produzione: la produzione dipende solo dal livello degli inpu di produzione: uavia ano gli inpu di produzione quano la produzione possono cambiare nel empo. Obieivo del modello è scoprire le caraerisiche del processo mediane il quale i livelli di aivià dell economia possono cambiare nel empo. Ipoizziamo che la funzione (1) preseni rendimeni cosani di scala nei suoi argomeni K e L. Queso significa che (2) ( ; ) = ( ; ) per ogni c > 0. Possiamo inerpreare quesa ipoesi in due modi: i) L economia ha esaurio la possibilià di sfruare guadagni connessi alla specializzazione. Consideriamo un economia piccola : possiamo pensare che se il capiale e il lavoro raddoppiano, c = 2, il prodoo aumeni più di due vole, grazie alla possibilià di rarre vanaggio dal fao di essere specializzaa nello sesso modo in cui queso può avvenire per un impresa specializzaa nella produzione di un paricolare bene. Se aumenando gli inpu di c vole il prodoo non aumena più di c vole, ma esaamene di c vole, allora quesa possibilià è esauria. Possiamo quindi pensare che l economia sia abbasanza grande da non avere più a disposizione i vanaggi di efficienza associai alla piccola dimensione. ii) Possiamo pensare che non vi siano alri inpu imporani nella produzione, ad esempio la erra o le risorse naurali. Se vi fossero alri inpu imporani e non poessero essere aumenai, allora l aumeno congiuno del capiale e del lavoro non porebbe generare un aumeno nella sessa proporzione del prodoo perché il faore fisso agirebbe come un vincolo. L ipoesi di rendimeni cosani di scala permee di scrivere la (1) in forma inensiva. Ponendo infai c = 1/L, possiamo scrivere (3) ; 1 = 1 ( ; ) 1 R SOLOW " Conribuion o he Theory of Economic Growh", Quarerly Journal of Economics, vol. 70,

2 Dove K/L è il capiale per unià di lavoro e F/L = Y/L è la produivià del lavoro, il prodoo per unià di lavoro. Possiamo scrivere: K/L = e Y/L =. queso puno la ecnologia del sisema può essere rappresenaa come una relazione ra la produivià del lavoro, e il rapporo capiale-lavoro per l'economia nel suo complesso, : ( 4 ) f ( ) ssumiamo che la forma inensiva della funzione di produzione (4) soddisfi le segueni condizioni: a) f(0) = 0 nessun inpu, nessun oupu b) f () > 0 il prodoo marginale del capiale è posiivo c) f () < 0 il prodoo marginale del capiale è decrescene (vale la legge dei rendimeni decresceni) d1) lim () = d2) lim () = 0 Le condizioni d1, d2, dee condizioni di Inada, permeono che l economia non diverga: la prima condizione dice che il prodoo marginale del capiale ende ad essere molo grande quando l ammonare di capiale è molo piccolo, la seconda dice che il prodoo marginale del capiale è molo piccolo quando il capiale è molo grande. Le funzioni che soddisfano le condizioni a, b, c, d, sono rappresenabili come nella fig. 1 Figura 1 La funzione di produzione f() Se L è il volume di occupazione, la produzione oale dell'economia vale (daa la clausola di rendimeni cosani di scala) (5) Y L f ( ) L Supponiamo ora che una pare della produzione venga invesia e risparmiaa: I ed S sono rispeivamene l invesimeno e il risparmio aggregao. Imponiamo la condizione di equilibrio macroeconomico coninuo, ovvero (6) I = S gli invesimeni sono eguali ai risparmi. 2

3 Supponiamo ora che propensione al risparmio sia cosane e pari ad s, 0 < s < 1, ovvero (7) S = sy funzione del risparmio Dalla (7) e dalla (5), enendo cono della (6) oeniamo (8) I sy sf ( ) L dove le variabili daae sono riferie ad uno specifico momeno del empo. Si noi che, in un economia chiusa e senza inerveno dello sao, il asso di risparmio coincide con il asso d invesimeno. I Si noi che sf ( ) L è l invesimeno per addeo, i i = s Ipoizziamo che il capiale si deprezzi in ogni periodo al asso : in alri ermini l ammorameno K è l ammonare di capiale che viene riirao o disruo nel periodo per obsolescenza e logorio fisico. L'invesimeno lordo è definio come la variazione dello soc di capiale, K K-1, più l ammorameno (9) I ( K K 1 ) K Ponendo =, enendo cono della (8) possiamo scrivere la (9) nel modo seguene ( 10) ΔK sf ( ) L K Rammenando ora che =K/L, possiamo scrivere (11) K L K L Δ 2 L K K L L Sia ora = L/P il asso di occupazione (rapporo ra occupai e popolazione, P). Possiamo scrivere L LP L P L P (12) Δ 2 P L P L P Se il asso di occupazione è cosane, = 0, allora. Poniamo n = L P di crescia della popolazione. Consideriamo inizialmene il caso n = 0. L L P P, il asso 3

4 Il modello di Solow con popolazione cosane (n = 0). Sosiuendo la (10) nella (11), con n = 0, oeniamo (13) Δ K sf ( ) L K sf ( ) sf ( ) K K K K L K La (13) è una semplice equazione dinamica che dice come varia il rapporo capiale lavoro a seconda del livello del rapporo capiale lavoro. Illusriamo la cosa con un esempio numerico: la variazione del capiale per addeo è pari alla differenza ra l invesimeno per addeo e l ammorameno per addeo (si noi che = K/L). Esempio numerico. Supponiamo che, nel 2010, il livello del capiale per addeo in un cero paese sia sao pari a 100, = 100, che il prodoo per addeo sia sao pari a 50, f() = 50, che il asso di risparmia sia pari al 20 per ceno, s = 0,2 e che il asso di ammorameno sia sao pari al 5 per ceno, = 0,05; scriveremo = 0,2 50-0, = 10 5 = 5 La variazione dello soc di capiale per addeo è saa pari a 5. Nel 2011 lo soc di capiale sarà dunque pari a 105 = La nozione di sao sazionario L equazione (13) descrive come varia il capiale per addeo nel corso del empo. Si vede che se l invesimeno è maggiore dell ammorameno, sf() >, allora il capiale aumenerà, se invece l invesimeno è inferiore all ammorameno, sf() <, allora il capiale diminuirà. Perano se (14) sf ( ) il capiale non varia: l economia si rova in uno sao sazionario. Rappreseniamo graficamene ale siuazione nella fig. 2 nella quale è riprodoa la funzione di produzione, f(), l invesimeno sf() e l ammorameno, : ue le variabili sono espresse in funzione di e ue sono misurae per unià di lavoro. La fig. 2 mosra il livello di capiale, ss, al quale la linea dell ammorameno inerseca la funzione dell invesimeno: queso è il rapporo capiale-lavoro di sao sazionario. Se il capiale è a queso livello, allora il capiale non varia. Dao queso rapporo capiale-lavoro, la funzione di produzione permee di deerminare il livello del prodoo per addeo di sao sazionario, ss. Se il capiale non è al livello ss, allora varierà: come? Supponiamo che 1 < ss, come nella figura 3: come si può vedere, in queso caso l invesimeno è maggiore dell ammorameno, sf() >, per cui il capiale aumena > 0 come indicao dalle frecce. Se invece pariamo da 2, l ammorameno è maggiore dell invesimeno e il capiale deve diminuire, come indica la figura. 4

5 Figura 2 Lo sao sazionario ss f() prodoo per addeo sf() invesimeno per addeo ammorameno ss Figura 3 Convergenza verso lo sao sazionario ss sf() 0 1 ss 2 Deaglio analiico. Con = 0, f(0) = 0 e quindi sf(0) = 0, per cui l ammorameno e l invesimeno si incrociano nello 0 del grafico. La prima condizione di Inada dice che per valori piccoli di la pendenza ende ad infinio e quindi è maggiore della pendenza posiiva della linea degli ammorameni, pari a per cui la funzione degli invesimeni giace al di sopra della linea dell ammorameno (il capiale aumena); la seconda condizione di Inada dice che per valori grandi di, la pendenza ende a 0 ed è quindi inferiore alla pendenza della linea degli ammorameni, e la curva degli invesimeni giace al di soo della linea dell ammorameno (il capiale diminuisce). Le due condizioni insieme sono sufficieni per concludere che la linea degli ammorameni e la funzione degli invesimeni devono incrociarsi ad un deerminao livello di (a ale livello il capiale non varia). 5

6 Esempio numerico. Poniamo che la ecnologia sia espressa dalla relazione e che s = 0,2, 0,05. Qual è il livello di prodoo per addeo di sao sazionario, con? Dalla condizione (14) raiamo s ss s ss ss s ( ) a Con i valori indicai ss = (0,2/0,05) 1/0,5 = 16, ss = 4 Si noi che un più alo valore di s implica valori più ali di e di nello sao sazionario, menre un più alo valore di implica valori più bassi del rapporo capiale-lavoro e del prodoo per addeo nello sao sazionario. Il prodoo e il capiale per lavoraore sono poi cresceni con il coefficiene Differenze di reddio ra due paesi nello sao sazionario Consideriamo due economie, e, con la sessa ecnologia, che presenano i segueni parameri fondamenali s > s = =. Quale rapporo esise ra i livelli di prodoo per addeo di sao sazionario nei due paesi? Possiamo scrivere ss ss oenendo s s 1 1 (15) ss ss s s 1 Perano il paese con un più alo asso di risparmio avrà un più alo livello di prodoo per lavoraore di sao sazionario. E possibile elaborare confroni facendo variare gli alri parameri. 6

7 Confroni ra due paesi Consideriamo due economie con la sessa ecnologia. vremo le segueni siuazioni dinamiche 1) Se due paesi hanno lo sesso asso d invesimeno, ma differeni livelli di reddio, il paese con il reddio minore presenerà assi di crescia maggiori. Supponiamo, senza perdia di generalià, che >. Spiegazione. Con la sessa ecnologia (dunque, con riferimeno agli esempi precedeni, con = uguale nelle due economie, e con lo sesso asso di ammorameno) i paesi avranno lo sesso livello di prodoo per lavoraore di sao sazionario, ss = ss. Se il paese con il reddio maggiore si rova con un reddio minore dello sao sazionario, < ss allora l alro paese si roverà ad una disanza ancora maggiore dallo sao sazionario; dovendo raggiungere lo sesso livello, allora la crescia di sarà maggiore ss / >, ss /. Se il paese più povero ha un reddio superiore allo sao sazionario, > ss allora il paese ricco sarà ancora più lonano dallo sao sazionario e il suo reddio diminuirà più velocemene di quello del paese povero. Se, infine, il paese povero ha un reddio inferiore allo sao sazionario e il paese ricco al di sopra di ale livello, il paese povero crescerà e il paese ricco diminuirà il suo reddio. 2) Se due paesi hanno lo sesso livello di reddio, ma differeni assi d invesimeno, allora il paese con un maggior asso d invesimeno avrà una maggiore crescia. Spiegazione. Il paese con il più alo asso d invesimeno avrà il più alo livello di prodoo di sao sazionario. Se enrambi i paesi sono al di soo dello sao sazionario, allora il paese con il asso d invesimeno più alo sarà più disane dall equilibrio e crescerà più in frea. Se enrambi i paesi si rovano al di sopra dello sao sazionario, il paese con il più basso asso d invesimeno sarà più disane dallo sao sazionario e la sua crescia negaiva sarà più pronunciaa. Poiché i due paesi hanno lo sesso reddio, può succedere che il paese con il più alo livello di sao sazionario si rovi soo lo sao sazionario menre l alro paese si rova sopra lo sao sazionario e anche in queso caso il primo paese crescerà menre il secondo vedrà cadere il suo reddio. 3) Se un paese aumena il proprio asso d invesimeno, il asso di crescia aumenerà. Se il paese si rova in sao sazionario, il asso di crescia è nullo; perano, se il asso d invesimeno aumena si deerminerà un nuovo livello di reddio di sao sazionario e l economia dovrà crescere per raggiungerlo. Se il paese è soo lo sao sazionario, un aumeno del asso d invesimeno fa aumenare la disanza ra il reddio auale e il nuovo reddio di sao sazionario e queso farà aumenare il asso di crescia. Se il paese si rova sopra lo sao sazionario un aumeno del asso d invesimeno riduce la disanza con lo sao sazionario e la crescia aumenerà (o la riduzione del reddio rallenerà). Il reddio aumenerà finché il paese raggiunge il nuovo più alo livello di reddio di sao sazionario, dopodiché il reddio cesserà di variare. In queso caso si dice che una variazione una anum del asso di invesimeno provoca effei permaneni sul livello di reddio di sao sazionario ed effei emporanei sul asso di crescia. vverenza. Le deduzioni precedeni poggiano sulla relazione (13) dalla quale si vede che il asso di crescia del capiale per addeo sarà ano maggiore quano maggiore è la disanza ra l invesimeno e l ammorameno. Δ sf ( Δ sf ( ) ) 7

8 Illusrazione numerica. Consideriamo di nuovo un economia con i segueni parameri s = 0,2 0,05. Sappiamo che quesa economia presena ss = 16 Il asso di crescia del capiale per addeo è dao da Δ sf ( ) 0,2 0,5 0,05 Possiamo quindi calcolare il asso di crescia del capiale per addeo, g, per diversi valori di. g 8 0, , , ,25 sao sazionario Come si vede, il asso di crescia è ano maggiore quano più disane è l economia dallo sao sazionario e l economia si rova soo lo sao sazionario, menre il asso di decrescia è ano maggiore quano più disane è l economia dallo sao sazionario e l economia si rova sopra lo sao sazionario. 8

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