18.2 SERIE DI FOURIER IN FORMA TRIGONOMETRICA

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1 C A P I T O L O 8 SERIE DI FOURIER 8. INTRODUZIONE Nei capioli precedei è sao dedicao ampio spazio alla aalisi di circuii piloai da geeraori siusoidali. Il presee capiolo è dedicao alla aalisi di circuii avei ecciazioi periodiche o siusoidali. La ozioe di fuzioe periodica è saa irodoa el Capiolo 9, dove si è viso che la siusoide rappresea il ipo più semplice e comue di fuzioe periodica. Queso capiolo presea la serie di Fourier, u meodo per esprimere ua qualuque fuzioe periodica i ermii di siusoidi. Ua vola che la fuzioe di ecciazioe del geeraore è saa espressa i ermii di siusoidi, è possibile applicare l aalisi fasoriale per calcolare esioi e correi del circuio. La serie di Fourier prede il ome dal maemaico fracese Jea Bapise Joseph Fourier (768 83). Nel 8, Fourier iuì che qualuque fuzioe periodica avee uilià praica può essere rappreseaa come ua somma di siusoidi. Quesa rappreseazioe, assieme al eorema di sovrapposizioe, permeerà di deermiare la risposa dei circuii a igressi periodici arbirari mediae l uso dei fasori. Si iizia co la serie di Fourier espressa i forma rigoomerica; viee poi raaa la serie di Fourier i forma espoeziale. La serie di Fourier viee successivamee applicaa alla aalisi dei circuii. Vegoo ifie preseae due applicazioi praiche della serie di Fourier: gli aalizzaori di spero e l aalisi delle proprieà di alcui ipi di filri. 8. SERIE DI FOURIER IN FORMA TRIGONOMETRICA Nel corso dei suoi sudi sulla rasmissioe del calore, Fourier scoprì che ua fuzioe periodica o siusoidale può essere espressa come ua somma di ifiie fuzioi siusoidali. Si ricordi che ua fuzioe periodica è ua fuzioe che si ripee ogi T secodi. I alre parole, ua fuzioe periodica soddisfa alla codizioe f ðþ ¼f ð þ TÞ ð8:þ dove è u iero e T è il periodo della fuzioe. Secodo il eorema di Fourier, qualuque fuzioe periodica di frequeza! di qualche ieresse per le applicazioi si può esprimere come somma di ifiie fuzioi seo e coseo a frequeze muliple iere di!. f ðþ può quidi essere espressa come oppure f ðþ ¼a þ a cos! þ b si! þ a cos! þ b si! þ a 3 cos 3! þ b 3 si 3! þ f ðþ ¼ a {z} þ X ða cos! þ b si! Þ cosae ¼ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} AC ð8:þ ð8:3þ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

2 Capiolo 8 Serie di Fourier dove! ¼ =T è dea frequeza fodameale, i radiai al secodo. Le siusoidi si! e cos! soo dee le -esime armoiche di f ðþ; armoiche dispari se è dispari, armoiche pari se è pari. La 8.3 è chiamaa serie di Fourier i forma rigoomerica di f ðþ. Le cosai a e b soo i coefficiei di Fourier. Il coefficiee a è la compoee cosae, o valore medio, di f ðþ. (Si ricordi che le siusoidi hao valore medio ullo.) I coefficiei a e b (per 6¼ ) soo le ampiezze delle siusoidi che cosiuiscoo la compoee AC. Riassumedo, La serie di Fourier di ua fuzioe periodica f ðþ è ua rappreseazioe di f ðþ composa da ua compoee cosae e da ua compoee AC formaa da ua serie di armoiche siusoidali. Affiché ua fuzioe sia rappreseabile i serie di Fourier secodo la (8.3), essa deve soddisfare a ceri crieri, i modo che la somma di ifiii ermii ella (8.3) possa covergere a u valore fiio. Le codizioi su f ðþ che porao a ua serie di Fourier covergee soo le seguei:. f ðþ è a u solo valore dovuque.. f ðþ possiede u umero fiio di pui di discoiuià all iero di u periodo. 3. f ðþ possiede u umero fiio di massimi e di miimi all iero di u periodo. Z þt 4. L iegrale j f ðþj d < per ogi isae. Quese codizioi soo chiamae codizioi di Dirichle. Beché o si rai di codizioi ecessarie, esse soo sufficiei perché la serie di Fourier esisa. Ua operazioe imporae ell uso della serie di Fourier è la deermiazioe dei coefficiei a ; a e b. Il processo di deermiazioe dei coefficiei è chiamao aalisi di Fourier. I seguei iegrali di fuzioi rigoomeriche risulao uili per l aalisi di Fourier. Qualuque siao gli ieri m e, si! d¼ cos! d¼ si! cos m! d¼ ð8:4aþ ð8:4bþ ð8:4cþ si! si m! d¼ ; ðm 6¼ Þ ð8:4dþ cos! cos m! d¼, ðm 6¼ Þ ð8:4eþ si! d¼ T cos! d¼ T ð8:4fþ ð8:4gþ Quese ideià verrao ora uilizzae per il calcolo dei coefficiei di Fourier. Si iizia co il calcolo di a. Iegrado ambo i membri della (8.3) su u periodo, si oiee Noa sorica: oosae sia sao Fourier a pubblicare il eorema el 8, fu P.G.L. Dirichle (85-859) che e forì più ardi ua dimosrazioe acceabile. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

3 f ðþ d ¼ " # a þ X ða cos! þ b si! Þ d ¼ Z ¼ a d þ X T a cos! d ¼ þ b si! d ð8:5þ Ricordado le ideià (8.4a) e (8.4b), i due iegrali coeei ermii siusoidali si aullao. Quidi, cioè f ðþ d ¼ 8. Serie di Fourier i forma rigoomerica 3 a d ¼ a T a ¼ T f ðþ d ð8:6þ che mosra come a rappresei il valore medio della fuzioe f ðþ. Per oeere a, si moliplicao erambi i membri della (8.3) per cos m! esi esegue l iegrale su u periodo: ¼ f ðþ cos m! d " # a þ X ða cos! þ b si! Þ cos m! d ¼ Z ¼ a cos m! dþ X T a cos! cos m! d ¼ þ b si! cos m! d ð8:7þ L iegrale coeee a è ullo i forza della (8.4b), mere l iegrale che coiee b si aulla per la proprieà (8.4c). L iegrale coeee a sarà pure ullo, ecceo quado m ¼, el qual caso vale T=, secodo le (8.4e) e (8.4g). Ne segue, cioè f ðþ cos m! d¼ a T ; per m ¼ a ¼ T f ðþ cos! d ð8:8þ I maiera simile, b si oiee moliplicado erambi i membri della (8.3) per si m! e iegrado su u periodo. Il risulao è b ¼ T f ðþ si! d ð8:9þ Si ega presee che, essedo f ðþ periodica, porebbe risulare più coveiee eseguire gli iegrali appea visi sull iervallo ra T=eT=, o i geerale su u iervallo compreso ra e þ T, ivece che da a T. Il risulao sarà ovviamee lo sesso. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

4 4 Capiolo 8 Serie di Fourier Ua forma aleraiva della (8.3) è laformaampiezza-fase f ðþ ¼a þ X ¼ A cos ð! þ Þ ð8:þ È possibile uilizzare le (9.) e (9.) per meere i relazioe la (8.3) co la (8.), oppure si può applicare l ideià rigoomerica cos ð þ Þ ¼ cos cos si si ai ermii siusoidali della (8.), così che ð8:þ a þ X A cos ð! þ Þ¼a þ X ða cos Þ cos! ¼ ¼ ða si Þ si! ð8:þ Eguagliado i coefficiei della espasioe i serie ella (8.3) e ella (8.) si vede che a ¼ A cos, b ¼ A si ð8:3aþ oppure qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ a þ b, ¼ a b a ð8:3bþ Per eviare cofusioi ella deermiazioe di, può risulare più coveiee scrivere ques ulima relazioe i forma complessa A ff ¼ a jb ð8:4þ L uilià di quesa equazioe risulerà evidee el Paragrafo 8.6. Il grafico della ampiezza A delle armoiche al variare di! si chiama spero di ampiezza di f ðþ; il grafico della fase rispeo a! è lospero di fase di f ðþ. Lo spero di ampiezza e quello di fase isieme cosiuiscoo lo spero di f ðþ. Lo spero di u segale è composo dal diagramma delle ampiezze e da quello delle fasi delle armoiche i fuzioe della frequeza. L aalisi di Fourier cosiuisce quidi lo srumeo maemaico per deermiare lo spero di u segale periodico. Nel Paragrafo 8.6 si approfodirà uleriormee il coceo di spero di u segale. Per calcolare i coefficiei di Fourier a, a e b,è spesso ecessario fare uso delle seguei ideià: Z cos a d ¼ si a a ð8:5aþ Z si a d ¼ cos a a ð8:5bþ Z Z cos a d ¼ a cos a þ si a a ð8:5cþ si a d ¼ a si a cos a a ð8:5dþ Lo spero è ache oo come spero a righe per la preseza di compoei a frequeze discree. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

5 È ache uile avere presei i valori assui dalle fuzioi coseo, seo ed espoeziale per valori mulipli ieri di. Quesi soo riassui ella Tabella 8., per iero. Tabella 8. Valori delle fuzioi coseo, seo ed espoeziale per argomei mulipli ieri di. Fuzioe cos si cos Valore ð Þ si ( cos ð Þ =, ¼ pari, ¼ dispari ( si ð Þ ð Þ=, ¼ dispari, ¼ pari e j e j ð Þ ( e j= ð Þ =, ¼ pari jð Þ ð Þ=, ¼ dispari 8. Serie di Fourier i forma rigoomerica 5 Esempio 8. Oeere la serie di Fourier della forma d oda mosraa i Figura 8.. Deermiare gli speri di ampiezza e di fase. Soluzioe: La serie di Fourier è espressa dalla (8.3), f ðþ ¼a þ X ða cos! þ b si! Þ ¼ ð8::þ Figura 8. Per l Esempio 8.; oda quadra. Si voglioo deermiare i coefficiei di Fourier a, a e b usado le (8.6), (8.8) e (8.9). Come primo passo, si descrive la forma d oda come f ðþ ¼, < < ð8::þ, < < e iolre f ðþ ¼f ð þ TÞ. Poiché T ¼,! ¼ =T ¼. Perciò, a ¼ T f ðþ d ¼ Z Z d þ d ¼ ¼ ð8::3þ Usado la (8.8), assieme alla (8.5a), a ¼ T ¼ Z f ðþ cos! d cos dþ Z cos d ð8::4þ ¼ si ¼ si ¼ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

6 6 Capiolo 8 Serie di Fourier Dalla (8.9), facedo uso della (8.5b), b ¼ T ¼ Z ¼ f ðþ si! d sidþ cos ¼ ð cos Þ; ¼ ½ ð Þ Š¼ Z sid cos ¼ð Þ 8 <, ¼ dispari :, ¼ pari ð8::5þ Sosiuedo i coefficiei di Fourier delle Equazioi da (8..3) a (8..5) ella (8..) si oiee la serie di Fourier f ðþ ¼ þ si þ 3 si 3 þ 5 si 5 þ ð8::6þ Poiché f ðþ coiee solao la compoee cosae e i ermii i seo ella compoee fodameale e elle armoiche dispari, essa può essere scria come f ðþ ¼ þ X k¼ si ; ¼ k ð8::7þ Sommado i ermii uo per uo, come mosra la Figura 8., si oa come la sovrapposizioe dei ermii pori gradualmee all oda quadra origiale. Mao a mao che vegoo aggiue compoei di Fourier, la somma si avvicia sempre di più all oda quadra. No è uavia possibile, i praica, sommare la serie ella (8..6) o (8..7) fio all ifiio, ma si può eseguire solao ua somma parziale ( ¼,, 3,..., N, co N fiio). Figura 8. Evoluzioe di u oda quadra dalle sue compoei di Fourier. Se si raccia il grafico della somma parziale (o serie rocaa) su u periodo, per valori elevai di N, come i Figura 8.3, si oa che la somma parziale oscilla al di sopra e al di soo del valore reale di f ðþ. I prossimià dei pui di discoiuià ðx ¼,,,...Þ, si ha ua sovraelogazioe e poi del- Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

7 8. Serie di Fourier i forma rigoomerica 7 le oscillazioi smorzae. Ifai, ua sovraelogazioe di circa il 9 perceo rispeo al valore di picco risula sempre presee, idipedeemee dal umero di ermii che soo sai uilizzai per approssimare f ðþ. Ques ulimo risulao è chiamao feomeo di Gibbs. Figura 8.3 Trocameo della serie di Fourier a N ¼ ; feomeo di Gibbs. Si oegoo ifie gli speri di ampiezza e fase per il segale i Figura 8.. Essedo a ¼, 8 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi < A ¼ a þ b ¼jb j¼, ¼ dispari ð8::8þ :, ¼ pari e ¼ a b ¼ 9, ¼ dispari a, ¼ pari ð8::9þ I grafici di A e per diversi valori di! ¼ cosiuiscoo gli speri di ampiezza e di fase i Figura 8.4. Si oi che le ampiezze delle armoiche decrescoo molo rapidamee al crescere della frequeza. Figura 8.4 Per l Esempio 8.: (a) spero di ampiezza (b) spero di fase della fuzioe mosraa i Figura 8.. Esercizio 8. Deermiare la serie di Fourier per l oda quadra i Figura 8.5. Tracciare gli speri di ampiezza e di fase. Figura 8.5 Per l Esercizio 8.. Risposa f ðþ ¼ 4 X k¼ si ; ¼ k. Si vedao gli speri i Figura 8.6. Figura 8.6 Per l Esercizio 8.: speri di ampiezza e di fase per la fuzioe mosraa i Figura 8.5. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

8 8 Capiolo 8 Serie di Fourier Figura 8.7 Per l Esempio 8.. Esempio 8. Oeere la serie di Fourier per la fuzioe periodica di Figura 8.7 e racciare gli speri di ampiezza e di fase. Soluzioe: La fuzioe può essere descria come f ðþ ¼, < <, < < Poiché T ¼,! ¼ =T ¼. Allora, a ¼ T f ðþ d ¼ Z dþ Z Per calcolare a e b, soo ecessari gli iegrali ella (8.5): d ¼ ¼ 4 ð8::þ a ¼ T ¼ Z f ðþ cos! d cos dþ Z cos d ¼ cos þ si ð8::þ essedo cos ¼ð Þ ; iolre, ¼ ð cos Þþ ¼ ð Þ b ¼ f ðþ si! d T ¼ Z Z si dþ sid ¼ si cos ð8::3þ ¼ cos ¼ ð Þþ Sosiuedo i coefficiei di Fourier appea rovai ella (8.3), si oiee " # f ðþ ¼ 4 þ X ½ð Þ Š ðþ cos þ ð Þþ si ¼ Per racciare gli speri di ampiezza e di fase si oa che, per le armoiche pari, a ¼, b ¼ =, così che A ff ¼ a jb ¼ þ j ð8::4þ Allora, A ¼jb j¼, ¼ ; 4;... ð8::5þ ¼ 9, ¼ ; 4;... Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

9 8.3 Simmeria 9 Per le armoiche dispari, a ¼ =ð Þ; b ¼ =ðþ così che A ff ¼ a jb ¼ j Quidi, A ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ, ¼,3,... qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b ¼ ¼ Dalla (8..6), si osserva che sa el erzo quadrae, così che ð8::6þ ð8::7þ ¼ 8 þ a, ¼,3,... ð8::8þ Dalle (8..5), (8..7) e (8..8) si racciao A e per diversi valori di! ¼ per oeere lo spero di ampiezza e lo spero di fase, come mosrao i Figura 8.8. Figura 8.8 Per l Esempio 8.: (a) spero di ampiezza, (b) spero di fase. Esercizio 8. Deermiare la serie di Fourier della forma d oda a dee di sega i Figura 8.9. Figura 8.9 Per l Esercizio 8.. Risposa f ðþ ¼ X ¼ si. 8.3 SIMMETRIA Si è viso che la serie di Fourier dell Esempio 8. cosiseva di soli emii seo. Ci si può chiedere se o esisa u meodo che cosee di cooscere a priori che alcui coefficiei di Fourier soo ulli, i modo da eviare l iuile e oeroso lavoro di calcolo degli iegrali per oeerli. U simile meodo esise, e si basa sul ricooscimeo dell esiseza di simmerie ella fuzioe. Verrao qui discussi re ipi di simmeria: () simmeria pari, () simmeria dispari, (3) simmeria di semioda Simmeria pari Ua fuzioe f ðþ si dice pari se il suo grafico risula simmerico rispeo all asse vericale, cioè f ðþ ¼f ð Þ ð8:6þ Esempi di fuzioi pari soo ; 4 e cos. La Figura 8. mosra alri esempi di fuzioi periodiche pari. Si osservi che ui quesi esempi soddisfao la (8.6). Ua imporae proprieà di ua fuzioe pari f e ðþ è: = T= f e ðþ d ¼ = f e ðþ d ð8:7þ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

10 Capiolo 8 Serie di Fourier perché iegrare da T= fio a è lo sesso che iegrare da a T=. Grazie a quesa proprieà, i coefficiei di Fourier per ua fuzioe pari diveao a ¼ T a ¼ 4 T b ¼ = = f ðþ d f ðþ cos! d ð8:8þ Essedo b ¼, la (8.3) divea ua serie di Fourier i coseo. Ciòèragioevole, essedo il coseo ua fuzioe pari. È iolre sesao che, iuiivamee, ua fuzioe pari o coega ermii i seo, essedo il seo ua fuzioe dispari. Figura 8. Esempi di fuzioi periodiche pari. Per cofermare quaiaivamee la (8.8), si applica la proprieà (8.7) di ua fuzioe pari al calcolo dei coefficiei di Fourier elle (8.6), (8.8) e (8.9). I ciascuo dei re casi risula più coveiee iegrare sull iervallo T= < < T=, che è simmerico rispeo all origie: " # a ¼ T = T= f ðþ d ¼ T Z T= f ðþ d þ = f ðþ d ð8:9þ Si effeua u cambio di variabili per l iegrale sull iervallo T= < < poedo ¼ x, così che d ¼ dx, f ðþ ¼f ð Þ ¼f ðxþ, perché f ðþ è ua fuzioe pari, e quado ¼ T=; x ¼ T=. Allora, " # " # a ¼ T Z T= f ðxþð dxþþ = f ðþd ¼ T = che mosra come i due iegrali sao uguali. Di qui, f ðxþdxþ = f ðþd ð8:þ a ¼ T = f ðþ d come ci si aedeva. I maiera simile, dalla (8.8), " # a ¼ T Z T= f ðþ cos! dþ = f ðþ cos! d ð8:þ ð8:þ Si opera lo sesso cambio di variabili che ha porao alla (8.) e si oa che sia f ðþ che cos! soo fuzioi pari, il che implica f ð Þ ¼f ðþ e cos ð! Þ¼ ¼ cos!. La (8.) divea " # Z = a ¼ f ð xþ cos ð! xþð dxþþ f ðþ cos! d T T= " ¼ Z Z # T= f ðxþ cos ð! xþð dxþþ f ðþ cos! d T T= " ¼ = Z # T= f ðxþ cos ð! xþ dx þ f ðþ cos! d T ð8:3aþ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

11 8.3 Simmeria e quidi a ¼ 4 T = f ðþ cos! d come ci si aedeva. Per i coefficiei b, si applica la (8.9), " # b ¼ T Z T= f ðþ si! dþ = f ðþ si! d ð8:3bþ ð8:4þ Operado lo sesso cambio di variabili, eedo presee che acora f ð Þ ¼f ðþ ma si ð! Þ¼ si!, la (8.4) forisce " # b ¼ T Z T= Z f ð xþ si ð! xþð dxþþ = = " # f ðþ si! d ¼ f ðxþ si! xdxþ f ðþ si! d T T= " ¼ = Z # T= T f ðxþ si ð! xþ dx þ f ðþ si! d ¼ che coferma la (8.8). ð8:5þ 8.3. Simmeria dispari Ua fuzioe f ðþ si dice dispari se il suo grafico è aisimmerico rispeo all asse vericale: f ð Þ ¼ f ðþ ð8:6þ Esempi di fuzioi dispari soo, 3 e si. La Figura 8. presea alri esempi di fuzioi periodiche dispari. Tui quai gli esempi soddisfao la (8.6). Ua fuzioe dispari f o ðþ possiede la seguee imporae caraerisica: = T= f o ðþ d ¼ ð8:7þ perché il risulao dell iegrazioe da T= aèl opposo di quello dell iegrazioe da a T=. Grazie a quesa proprieà, i coefficiei di Fourier per ua fuzioe dispari diveao b ¼ 4 T a ¼, a ¼ = f ðþ si! d ð8:8þ e dao luogo quidi a ua serie di Fourier i seo. Ache qui, il risulao è ragioevole, essedo la fuzioe seo ua fuzioe dispari. Si oi iolre che o esise ermie cosae ell espasioe i serie di Fourier di ua fuzioe dispari. Figura 8. Esempi di fuzioi periodiche dispari. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

12 Capiolo 8 Serie di Fourier La dimosrazioe della (8.8) segue lo sesso procedimeo usao per dimosrare la (8.8), faa eccezioe per il fao che f ðþ è ora dispari, e quidi f ð Þ ¼ f ðþ. Per quesa semplice ma fodameale differeza, è facile covicersi che a ¼ ella (8.), a ¼ ella (8.3a) e b ella (8.4) divea " # Z = b ¼ f ð xþ si ð! xþð dxþþ f ðþ si! d T T= " ¼ Z Z # T= T f ðxþ si! xdxþ f ðþ si! d ¼ T T= = f ðxþ si ð! xþ dx þ = " # b ¼ 4 T = f ðþ si! d f ðþ si! d ð8:9þ come ci si aedeva. È ieressae oare che qualuque fuzioe periodica f ðþ seza simmeria pari é dispari può essere decomposa i ua pare pari e ua dispari. Usado le proprieà delle fuzioi pari e dispari delle (8.6) e (8.6), si può scrivere f ðþ ¼ ½ f ðþþf ð ÞŠ þ ½ f ðþ f ð ÞŠ ¼ f e ðþþf o ðþ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} pari dispari ð8:3þ Si oi che f e ðþ ¼ ½ f ðþþf ð ÞŠ soddisfa la defiizioe di fuzioe pari della (8.6), mere f o ðþ ¼ ½ f ðþ f ð ÞŠ soddisfa la defiizioe di fuzioe dispari della (8.6). Il fao che f e ðþ coega solao il ermie cosae e i ermii coseo, mere f o ðþ solao i ermii i seo può essere sfruao per raggruppare i ermii della espasioe i serie di Fourier di f ðþ come f ðþ ¼a þ X a cos! ¼ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} pari þ X b si! ¼ f e ðþþf o ðþ ¼ fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} dispari ð8:3þ Cosegue direamee dalla (8.3) che quado f ðþ è pari, b ¼, e quado f ðþ è dispari, a ¼ ¼ a. Si osservio iolre le seguei proprieà delle fuzioi dispari e pari:. Il prodoo di due fuzioi pari è ua fuzioe pari.. Il prodoo di due fuzioi dispari è ua fuzioe pari. 3. Il prodoo di ua fuzioe pari per ua fuzioe dispari è ua fuzioe dispari. 4. La somma (o la differeza) di due fuzioi pari è ua fuzioe pari. 5. La somma (o la differeza) di due fuzioi dispari è ua fuzioe dispari. 6. La fuzioe somma (o differeza) di ua fuzioe pari e di ua dispari o è é pari é dispari. Tue quese proprieà possoo essere dimosrae facilmee usado le (8.6) e (8.6) Simmeria di semioda Ua fuzioe possiede simmeria (dispari) di semioda se f T ¼ f ðþ ð8:3þ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

13 8.3 Simmeria 3 il che sigifica che ciascu mezzo ciclo è l immagie speculare del successivo mezzo ciclo. Si oi che le fuzioi cos! e si! soddisfao la (8.3) per valori dispari di, e quidi possiedoo simmeria di semioda quado è dispari. La Figura 8. mosra alri esempi di fuzioi co simmeria di semioda. Ache le fuzioi delle Figure 8.(a) e 8.(b) hao simmeria di semioda. Si oi che, i ciascua di quese fuzioi, u qualuque mezzo ciclo è la versioe iveria del mezzo ciclo adiacee. I coefficiei di Fourier diveao Figura 8. Esempi di fuzioi periodiche a simmeria di semioda. a ¼ 8 Z 4 T= >< f ðþ cos! d, per dispari a ¼ T >:, per pari 8 Z 4 T= < f ðþ si! b ¼ d, per dispari T :, per pari ð8:33þ e quidi la serie di Fourier di ua fuzioe avee simmeria di semioda coiee solao armoiche dispari. Per dimosrare la (8.33), si applica la proprieà delle fuzioi co simmeria di semioda (8.3) al calcolo dei coefficiei di Fourier elle (8.6), (8.8) e (8.9). " # a ¼ T = T= f ðþ d ¼ T Z T= f ðþ d þ = f ðþ d ð8:34þ Si opera u cambio di variabili per l iegrale sull iervallo T= < < poedo x ¼ þ T=, così che dx ¼ d; quado ¼ T=; x ¼, e quado ¼ ; x ¼ T=. Si iee presee iolre la (8.3), cioè f ðx T=Þ ¼ f ðxþ. Allora, " a ¼ = f x T Z # T= dx þ f ðþ d T " ¼ = Z # ð8:35þ T= T f ðxþ dx þ f ðþ d ¼ che coferma l espressioe per a della (8.33). I maiera simile, " # a ¼ T Z T= f ðþ cos! dþ = f ðþ cos! d ð8:36þ Si opera ora lo sesso cambio di variabili che ha porao alla (8.35), e la (8.36) divea " a ¼ = f x T cos! x T = dx:þ f ðþ cos! dš ð8:37þ T Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

14 4 Capiolo 8 Serie di Fourier Poiché f ðx T=Þ ¼ f ðxþ, e iolre cos! x T ¼ cos ð! Þ ¼ cos! cos þ si! si ¼ð Þ cos! ð8:38þ sosiuedo uo ciò ella (8.37) si perviee a a ¼ T ½ ð Þ Š = f ðþ cos! d 8 Z 4 T= < f ðþ cos! ¼ d, per dispari T :, per pari ð8:39þ che coferma la (8.33). Seguedo u procedimeo simile è possibile dimosrare l espressioe di b ella (8.33). La Tabella 8. riassume gli effei delle simmerie fi qui raae sui coefficiei di Fourier. Tabella 8. Effei della simmeria sui coefficiei di Fourier. Simmeria a a b Noe Pari a 6¼ a 6¼ b ¼ Iegrare su T/ e moliplicare per per oeere i coefficiei. Dispari a ¼ a ¼ b 6¼ Iegrare su T/ e moliplicare per per oeere i coefficiei. Semioda a ¼ a ¼ a þ 6¼ b ¼ b þ 6¼ Iegrare su T/ e moliplicare per per oeere i coefficiei. La Tabella 8.3 forisce ivece le serie di Fourier per alcue fuzioi periodiche di uso comue. Fuzioe. Oda quadra Tabella 8.3 Serie di Fourier di alcue fuzioi di uso comue. Serie di Fourier fðþ ¼ 4A X ¼ si ð Þ!. Treo di impulsi reagolari fðþ ¼ A T þ A X T ¼ si T cos! 3. Dee di sega fðþ ¼ A A X ¼ si! (segue) Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

15 8.3 Simmeria 5 (seguio) Tabella 8.3 Fuzioe 4. Oda riagolare Serie di Fourier di alcue fuzioi di uso comue. Serie di Fourier fðþ ¼ A 4A X ¼ ð þ Þ cos ð Þ! 5. Siusoide raddrizzaa a semioda fðþ ¼ A þ A si! A X ¼ 4 cos! 6. Siusoide raddrizzaa a oda iera fðþ ¼ A 4A X ¼ 4 cos! Esempio 8.3 Calcolare l espasioe i serie di Fourier della fuzioe f ðþ rappreseaa ella Figura 8.3. Soluzioe: La fuzioe f ðþ è ua fuzioe dispari, e quidi a ¼ ¼ a. Il periodo è T ¼ 4; e! ¼ =T ¼ =, così che b ¼ 4 T ¼ 4 4 = Z ¼ f ðþ si! d si Z dþ si d cos ¼ cos Figura 8.3 Per l Esempio 8.3. Quidi, che è ua serie di Fourier i seo. f ðþ ¼ X ¼ cos si Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

16 6 Capiolo 8 Serie di Fourier Esercizio 8.3 Deermiare la serie di Fourier per la fuzioe fðþ i Figura 8.4. Figura 8.4 Per l Esercizio 8.3. Risposa f ðþ ¼ 4 X k¼ si, ¼ k. Esempio 8.4 Figura 8.5 Fuzioe coseo raddrizzaa a semioda; per l Esempio 8.4. Deermiare la serie di Fourier per la fuzioe coseo raddrizzaa a semioda mosraa i Figura 8.5. Soluzioe: Si raa di ua fuzioe pari, e quidi b ¼. Iolre, T ¼ 4,! ¼ =T ¼ =. I u periodo, 8, < < >< f ðþ ¼ cos, < < >:, < < a ¼ = f ðþ d ¼ Z cos Z T 4 dþ d a ¼ 4 T ¼ = si ¼ f ðþ cos! d¼ 4 4 Z Ma cos A cos B ¼ ½ cos ða þ BÞþ cos ða BÞŠ. Allora, cos cos d þ Per ¼, Per >, a ¼ a ¼ a ¼ Z Z h cos ð þ Þ þ cos i ð Þ d ½cos þ Šd ¼ si þ ¼ ð þ Þ si ð þ Þþ ð Þ si ð Þ Per ¼ dispari ( ¼, 3, 5,...Þ; ð þ Þ e ð Þ soo erambi pari, perciò si ð þ Þ ¼ ¼ si ð Þ, ¼ dispari Per ¼ pari ( ¼, 4, 6,...Þ, ð þ Þ e ð Þ soo erambi dispari. Iolre, si ð þ Þ ¼ si ð Þ ¼cos ¼ð Þ=, ¼ pari Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

17 8.3 Simmeria 7 Quidi, a ¼ ð Þ= ð þ Þ þ ð Þ= ð Þ ¼ ð Þ= ð Þ, ¼ pari I coclusioe, f ðþ ¼ þ cos X ¼pari ð Þ = ð Þ cos Per eviare di usare ¼, 4, 6,...e iolre per semplificare i calcoli si può sosiuire co k, co k ¼,, 3,...oeedo che è ua serie di Fourier i coseo. f ðþ ¼ þ cos X k¼ ð Þ k ð4k Þ cos k Esercizio 8.4 Deermiare l espasioe i serie di Fourier della fuzioe i Figura 8.6. Figura 8.6 Per l Esercizio 8.4. Risposa f ðþ ¼ 4 X cos, ¼ k. k¼ Esempio 8.5 Calcolare la serie di Fourier per la fuzioe i Figura 8.7. Figura 8.7 Per l Esempio 8.5. Soluzioe: La fuzioe i Figura 8.7 è a simmeria dispari di semioda, e perciò a ¼ ¼ a. I u semiperiodo essa è descria da T ¼ 4,! ¼ =T ¼ =. Quidi, f ðþ ¼, < < b ¼ 4 T = f ðþ si! d Ivece di iegrare f ðþ da a, è piùcoveiee iegrarla da a. Applicado la (8.5d), b ¼ 4 Z si si = cos = d ¼ 4 =4 = ¼ 4 h si si ¼ 8 si 4 cos i h cos þ cos perché sið xþ ¼ si x essedo il seo ua fuzioe dispari, mere cos ð xþ ¼cos x essedo il coseo ua fuzioe pari. Facedo uso delle ideià per si = e cos = della Tabella 8., 8 8 >< b ¼ ð Þð Þ=, ¼ dispari ¼, 3, 5,... >: 4 ð ÞðþÞ=, ¼ pari ¼, 4, 6,... i Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

18 8 Capiolo 8 Serie di Fourier I coclusioe, i cui b ha l espressioe visa sopra. f ðþ ¼ X ¼ b si Esercizio 8.5 Deermiare la serie di Fourier per la fuzioe i Figura 8.(a). Si poga A ¼ e T ¼. Risposa f ðþ ¼ X cos þ si, ¼ k. k¼ 8.4 APPLICAZIONE AI CIRCUITI Come è oo, elle applicazioi praiche molo spesso i circuii vegoo piloai da geeraori la cui forma d oda è periodica ma o siusoidale. La deermiazioe della risposa a regime di u circuio a ua ecciazioe periodica o siusoidale richiede l applicazioe della serie di Fourier e del pricipio di sovrapposizioe. Il procedimeo cosise soliamee di quaro fasi. Procedimeo per l applicazioe della serie di Fourier:. Esprimere l ecciazioe i serie di Fourier.. Trasformare il circuio dal domiio del empo al domiio delle frequeze. 3. Deermiare le rispose alle compoei cosae e AC della serie di Fourier. 4. Sommare le sigole rispose (cosae e AC) usado il pricipio di sovrapposizioe. Figura 8.8 (a) Ree lieare ecciaa da u geeraore di esioe periodico, (b) rappreseazioe i serie di Fourier (domiio del empo). La prima fase cosise el deermiare l espasioe i serie di Fourier della ecciazioe. Per il geeraore di esioe periodico i Figura 8.8(a), per esempio, la serie di Fourier si esprime ella forma Figura 8.9 Rispose a regime: (a) compoee coiua, (b) compoee AC (domiio delle frequeze). vðþ ¼V þ X ¼ V cos ð! þ Þ ð8:4þ (Aalogamee si porebbe fare per u geeraore di corree periodico). La (8.4) mosra che vðþ cosise di due pari: la compoee coiua V e la compoee AC formaa da umerose armoiche V ¼ V ff. La rappreseazioe i serie di Fourier può essere ierpreaa come u isieme di geeraori siusoidali collegai i serie, ciascuo co la sua ampiezza e frequeza, come mosrao i Figura 8.8(b). La secoda fase richiede di calcolare la risposa a ciascuo dei ermii della serie di Fourier. La risposa alla compoee coiua può essere oeua el domiio della frequeza poedo ¼, oppure! ¼, come i Figura 8.9(a), oppure el domi- Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

19 io del empo, sosiuedo ui gli iduori co dei cori circuii e ui i codesaori co dei circuii aperi. La risposa alle compoei AC si oiee ivece co il meodo dei fasori viso el Capiolo 9, come mosrao i Figura 8.9(b). La ree viee rappreseaa ramie la sua impedeza Zð! Þ o ammeeza Yð! Þ. Zð! Þ è l impedeza di igresso visa dal geeraore quado! viee sosiuia co! i ue le sue occorreze, e Yð! Þ è il reciproco di Zð! Þ. Ifie, applicado il pricipio di sovrapposizioe, si sommao ue le diverse rispose. Per il caso mosrao i Figura 8.9, iðþ ¼i ðþþi ðþþi ðþþ ¼ I þ X ¼ ji j cos ð! þ Þ ð8:4þ i cui ciascua compoee I di frequeza! è saa rirasformaa al domiio del empo oeedo i ðþ,e è l argomeo di I. Esempio 8.6 Si suppoga che la fuzioe f ðþ dell Esempio 8. rappresei la forma d oda del geeraore di esioe v s ðþ el circuio di Figura 8.. Si deermii la risposa v o ðþ del circuio. 8.4 Applicazioe ai circuii 9 Soluzioe: Dall Esempio 8., v s ðþ ¼ þ X k¼ si, ¼ k co! ¼! ¼ rad/s. Uilizzado i fasori, la risposa V o del circuio i Figura 8. si oiee co il pariore di esioe: V o ¼ j! L R þ j! L V s ¼ j 5 þ j V s Per la compoee i coiua (! ¼ o ¼ ) Figura 8. Per l Esempio 8.6. V s ¼ ¼) V o ¼ Queso risulao era aeso, perché l iduore si compora come u coro circuio i regime sazioario. L -esima armoica è V s ¼ ff 9 ð8:6:þ e la risposa corrispodee ff9 V o ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ 4 ff ff 9 a =5 ð8:6:þ ¼ 4 ff a =5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ 4 Nel domiio del empo, v o ðþ ¼ X k¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos a, ¼ k 5 þ 4 5 I primi re ermii (k ¼,, 3 o ¼, 3, 5) delle armoiche dispari ella somma foriscoo v o ðþ ¼:498 cos ð 5:49 Þþ:5 cos ð3 75:4 Þ þ :57 cos ð5 8:96 ÞþV La Figura 8. mosra lo spero di ampiezza per la esioe di uscia v o ðþ, mere quello della esioe di igresso v s ðþ si rova i Figura 8.4(a). Si oi che i due speri soo molo simili. Si osserva ifai che il circuio i Figura 8. è u filro passa alo co frequeza di aglio! c ¼ R=L ¼ :5 rad/s, che è iferiore alla frequeza fodameale! ¼ rad/s. La compoee cosae o riesce a passare e la prima armoica viee leggermee aeuaa, ma le armoiche superiori vegoo lasciae passare ivariae. Ifai, dalle (8.6.) e (8.6.), V o è ideica a V s per grade, comporameo caraerisico di u filro passa-alo. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

20 Capiolo 8 Serie di Fourier Figura 8. Per l Esempio 8.6: spero di ampiezza della esioe di uscia. Esercizio 8.6 Se la forma d oda a dee di sega i Figura 8.9 (si veda l Esercizio 8.) rappresea la esioe del geeraore v s ðþ el circuio di Figura 8., calcolare la risposa v o ðþ. Figura 8. Per l Esercizio 8.6. Risposa v o ðþ ¼ X ¼ si ð a 4Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V. þ 6 Esempio 8.7 Deermiare la risposa i o ðþ el circuio di Figura 8.3 se la esioe di igresso vðþ ha la seguee espasioe i serie di Fourier vðþ ¼ þ X ¼ ð Þ þ ðcos si Þ Figura 8.3 Per l Esempio 8.7. Soluzioe: Usado la (8.3), è possibile esprimere la esioe di igresso come vðþ ¼ þ X ¼ ð Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ð þ a Þ þ ¼ :44 cos ð þ 45 Þþ:8944 cos ð þ 63:45 Þ :6345 cos ð3 þ 7:56 Þ :485 cos ð4 þ 78:7 Þþ Si oa che! ¼,! ¼ rad/s. L impedeza visa dal geeraore è La corree di igresso è Z ¼ 4 þ j! k 4 ¼ 4 þ I ¼ V Z ¼ þ j! 8 þ j! 8 V j! 8 4 þ j! ¼ 8 þ j! 8 þ j! dove V è il fasore della esioe vðþ del geeraore. Per il pariore di corree, I o ¼ 4 4 þ j! I ¼ V 4 þ j! 4 Essedo! ¼, I o può essere espressa come V I o ¼ p 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ffa Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

21 8.5 Poeza media e valori RMS Per la compoee cosae (! ¼ o ¼ ) Per la -esima armoica, V ¼ ¼) I o ¼ V 4 ¼ 4 così che I o ¼ p 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ffa V ¼ p ð Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffa þ ð Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffa ¼ ð Þ þ ð þ Þ Nel domiio del empo, i o ðþ ¼ 4 þ X ¼ ð Þ ð þ Þ cos A Esercizio 8.7 Se la esioe di igresso el circuio di Figura 8.4 è vðþ ¼ 3 þ X cos si V deermiare la risposa i o ðþ. ¼ Figura 8.4 Per l Esercizio 8.7. Risposa 9 þ X ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos a 9 þ 4 3 þ a A. 8.5 POTENZA MEDIA E VALORI RMS Vegoo ora ripresi i esame i cocei di poeza media e valore efficace di u segale periodico di cui si è parlao el Capiolo. Per calcolare la poeza media assorbia da u circuio soggeo a ua ecciazioe periodica, se e scrivoo la esioe e la corree ella forma ampiezza-fase [si veda la 8.] vðþ ¼V dc þ X V cos ð! Þ ¼ iðþ ¼I dc þ X I m cos ðm! m Þ m¼ ð8:4þ ð8:43þ Secodo la covezioe degli uilizzaori (Figura 8.5), la poeza media è P ¼ T vid ð8:44þ Figura 8.5 Direzioi di riferimeo della esioe e della corree. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

22 Capiolo 8 Serie di Fourier Sosiuedo le (8.4) e (8.43) ella (8.44) si oiee P ¼ T þ X ¼ þ X V dc I dc d þ X V I dc T X m¼ ¼ V I m T m¼ I m V dc T cos ð! Þ d cos ðm! m Þ d cos ð! Þ cos ðm! m Þ d ð8:45þ Il secodo e il erzo iegrale si aullao, raadosi di iegrali di fuzioi coseo effeuai su u periodo. Secodo la (8.4e), ui i ermii el quaro iegrale soo ulli quado m 6¼. Calcolado il primo iegrale e applicado la (8.4g) al quaro iegrale per il caso m ¼, si oiee P ¼ V dc I dc þ X ¼ V I cos ð Þ ð8:46þ Quesa equazioe mosra che el calcolo della poeza media i preseza di esioi e di correi periodiche, la poeza media oale risula pari alla somma delle poeze medie relaive alla esioe e corree di ciascua armoica. Daa ua fuzioe periodica f ðþ, il suo valore efficace (o rms) è dao da 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Z T F rms ¼ f T ðþ d ð8:47þ Sosiuedo f ðþ della (8.) ella (8.47) e ricordado che ða þ bþ ¼ ¼ a þ ab þ b, si oiee Frms ¼ Z " T a T þ X a A cos ð! þ Þ þ X ¼ T X ¼ m¼ þ X ¼ m¼ ¼ A A m cos ð! þ Þ cos ðm! þ m Þ a X d þ a A T ¼ X A A m T # d cos ð! þ Þ d cos ð! þ Þ cos ðm! þ m Þ d ð8:48þ Soo sai irodoi idici ieri diversi e m per idicare il prodoo di due serie. Co lo sesso ragioameo fao prima, si oiee e quidi F rms ¼ a þ F rms ¼ a þ X A ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi X A ¼ ð8:49þ 3 I queso capiolo verrà uilizzao di prefereza il pedice rms ivece di quello eff uilizzao el Capiolo e più diffuso ella leeraura di ligua ialiaa sui circuii i regime siusoidale. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

23 I ermii di coefficiei di Fourier a e b, la (8.49) può essere scria come sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F rms ¼ a þ X ða þ b Þ ð8:5þ Se f ðþ è la corree che araversa u resisore R, la poeza dissipaa el resisore è allora P ¼ RFrms ð8:5þ Se ivece f ðþ è la esioe sul resisore R, la poeza dissipaa vale ¼ P ¼ F rms R ð8:5þ È possibile eviare di specificare la aura del segale scegliedo ua resiseza da. La poeza dissipaa ella resiseza da è 8.5 Poeza media e valori RMS 3 P ¼ F rms ¼ a þ X ¼ ða þ b Þ ð8:53þ Queso risulao è oo come eorema di Parseval. Si oi che a è la poeza dovua alla compoee coiua, mere =ða þ b Þ è la poeza AC della -esima armoica. Il eorema di Parseval afferma perciò che la poeza media i u segale periodico è la somma della poeza media ella sua compoee cosae e delle poeze medie dovue alle sigole armoiche. Esempio 8.8 Deermiare la poeza media foria al circuio i Figura 8.6 se iðþ ¼ þ cos ð þ Þþ þ6 cos ð3 þ 45 Þ A. Figura 8.6 Per l Esempio 8.8. Soluzioe: L impedeza di igresso del circuio è Z ¼ ð=j!þ ¼ j! þ =j! ¼ þ j! Perciò, Per la compoee cosae,! ¼, I V ¼ IZ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4! ffa! I ¼ A ¼) V ¼ ðþ ¼V Queso è u risulao aeso, perché il codesaore agisce come u circuio apero per le correi cosai e l iera corree di A scorre el resisore. Per! ¼ rad/s, I ¼ ff ðff Þ ¼) V ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4ffa ¼5ff 77:4 Per! ¼ 3 rad/s, I ¼ 6ff35 ð6ff35 Þ ¼) V ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 36ffa 6 ¼ff 54:4 Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

24 4 Capiolo 8 Serie di Fourier Nel domiio del empo, allora vðþ ¼ þ 5 cos ð 77:4 Þþ cos ð3 54:4 ÞV La poeza media foria al circuio si oiee applicado la (8.46), P ¼ V dc I dc þ X ¼ V I cos ð Þ Per deermiare i segi correi di e,èecessario cofroare v e i i queso esempio co le (8.4) e (8.43). Ne segue, P ¼ ðþþ ð5þðþ cos ½77:4 ð ÞŠ þ ðþð6þ cos ½44:5 ð 35 ÞŠ ¼ 4 þ :47 þ :5 ¼ 4:5 W I aleraiva, si può deermiare la poeza media assorbia dal resisore come P ¼ V dc R þ X jv j R ¼ þ 5 þ ¼ ¼ 4 þ :5 þ :5 ¼ 4:5 W che coicide co la poeza calcolaa prima, perché il codesaore o assorbe alcua poeza media. Esercizio 8.8 La esioe e la corree ai ermiali di u circuio soo vðþ ¼8 þ cos þ 6 cos ð36 3 Þ iðþ ¼5 cos ð Þþ cos ð36 6 Þ Deermiare la poeza media assorbia dal circuio. Risposa W. Esempio 8.9 Oeere ua sima del valore rms della esioe dell Esempio 8.7. Soluzioe: Dall Esempio 8.7, vðþ si esprime come Usado la (8.49), vðþ ¼ :44 cos ð þ 45 Þþ:8944 cos ð þ 63:45 Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V rms ¼ a þ X A :6345 cos ð3 þ 7:56 Þ :485 cos ð4 þ 78:7 ÞþV ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ þ h i ð :44Þ þð:8944þ þð :6345Þ þð :485Þ þ p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi :786 ¼ :649 V Queso è semplicemee u valore approssimao, essedo sai eui i coo solao pochi ermii della serie. L effeiva fuzioe rappreseaa dalla serie di Fourier è vðþ ¼ e, < < sih co vðþ ¼vð þ TÞ: Il suo valore rms è.776 V. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

25 8.6 Serie di Fourier i forma espoeziale 5 Esercizio 8.9 Calcolare il valore rms della corree periodica iðþ ¼8 þ 3 cos si þ 5 cos 4 si 4 A Risposa 9.6 A. 8.6 SERIE DI FOURIER IN FORMA ESPONENZIALE Ua maiera paricolarmee compaa di esprimere la serie di Fourier ella (8.3) è la cosiddea forma espoeziale. Essa richiede che i ermii i seo e coseo vegao rappreseai i forma espoeziale usado l ideià di Eulero: cos! ¼ ½e j! þ e j! Š si! ¼ j ½e j! e j! Š ð8:54aþ ð8:54bþ Sosiuedo la (8.54) ella (8.3) e raccogliedo i ermii, si oiee f ðþ ¼a þ X ¼ ½ða jb Þe j! þða þ jb Þe j! Š ð8:55þ Defiedo u uovo coefficiee c ale che c ¼ a, f ðþ divea allora o ache c ¼ ða jb Þ, c ¼ c ¼ ða þ jb Þ f ðþ ¼c þ X ðc e j! þ c e j! Þ ¼ f ðþ ¼ X ¼ c e j! ð8:56þ ð8:57þ ð8:58þ Ques ulima è la rappreseazioe di f ðþ i serie di Fourier complessa o espoeziale. Si oi come quesa forma espoeziale risula più compaa della forma seo-coseo della (8.3). Beché i coefficiei c della serie di Fourier espoeziale possao essere oeui a parire da a e b usado la (8.56), essi possoo ache essere ricavai direamee da f ðþ come c ¼ T f ðþe j! d ð8:59þ co! ¼ =T, come sempre. I grafici di modulo e fase di c i fuzioe di! soo dei spero di ampiezza complesso e spero di fase complesso di f ðþ, rispeivamee. I due speri formao assieme lo spero complesso di f ðþ. La serie di Fourier espoeziale di ua fuzioe periodica f ðþ descrive lo spero di f ðþ i ermii di ampiezza e agolo di fase delle compoei AC alle frequeze armoiche posiive e egaive. I coefficiei delle re forme della serie di Fourier (forma seo-coseo, forma ampiezza-fase, forma espoeziale) soo legai da A ff ¼ a jb ¼ c ð8:6þ Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

26 6 Capiolo 8 Serie di Fourier o ache c ¼jc j ff ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b ff a b =a ð8:6þ se solo a >. Si oi che la fase di c è uguale a. I ermii di coefficiei complessi di Fourier c, il valore rms di u segale periodico f ðþ può essere espresso da " # F rms ¼ T ¼ X ¼ f ðþ d ¼ T c T f ðþ f ðþe j!d X ¼ c e j! d ð8:6þ ¼ X c c ¼ X jc j ¼ ¼ oppure ache sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi X F rms ¼ jc j ¼ La (8.6) può essere scria come Frms ¼jc j þ X jc j ¼ Ache qui, la poeza dissipaa da ua resiseza da è ð8:63þ ð8:64þ P ¼ Frms ¼ X jc j ð8:65þ ¼ che riafferma il eorema di Parseval. Lo spero di poeza del segale f ðþ è cosiuio dal grafico di jc j i fuzioe di!.sef ðþ è la esioe su u resisore R, la poeza media assorbia dal resisore è Frms =R; sef ðþ è la corree che araversa R, la poeza è Frms R. Figura 8.7 Treo di impulsi periodico. Come esempio, si cosideri il reo di impulsi periodico di Figura 8.7. Si voglioo oeere lo spero di ampiezza e quello di fase. Il periodo del reo di impulsi è T ¼, così che! ¼ =T ¼ =5. Usado la (8.59), = Z c ¼ f ðþe j! d ¼ e j! d T T= ¼ e j! j! ¼ ðe j! e j! Þ j! ¼ e j! e j!! j ¼ si!!,! ¼ 5 ð8:66þ ¼ si =5 =5 Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

27 e f ðþ ¼ X ¼ si =5 =5 e j=5 ð8:67þ Si oi dalla (8.66) che c è il prodoo di e di ua fuzioe della forma si x=x. Quesa fuzioe è oa ache come fuzioe sic; la si può scrivere come sicðxþ ¼ si x x ð8:68þ Alcue proprieà della fuzioe sic soo paricolarmee ieressai. Quado l argomeo è zero, il valore della fuzioe sic è uiario, sicðþ ¼ 8.6 Serie di Fourier i forma espoeziale 7 ð8:69þ Ciò si oiee applicado la regola di De l Hospial alla (8.68). Per valori mulipli di, il valore della fuzioe sic è zero, sicðþ ¼, ¼,, 3,... ð8:7þ Figura 8.8 Spero di ampiezza di u reo di impulsi periodico. Iolre, la fuzioe sic ha simmeria pari. Teedo presee uo ciò, è possibile oeere gli speri di ampiezza e di fase di f ðþ. Per la (8.66), il modulo è si =5 jc j¼ =5 ð8:7þ mere la fase è 8 ><, si ¼ 5 > >: 8, si 5 < ð8:7þ La Figura 8.8 mosra il grafico di jc j i fuzioe di per variabile da a, dove ¼!=! è la frequeza ormalizzaa. La Figura 8.9 mosra il grafico di i fuzioe di. Lo spero di ampiezza e quello di fase soo erambi dei speri a righe, perché i valori di jc j e si hao solao per valori discrei delle frequeze. La disaza ra le righe è!. Si può iolre racciare il grafico dello spero di poeza, che è la rappreseazioe di jc j i fuzioe di!. Si oi iolre che la fuzioe sic rappresea l iviluppo dello spero di ampiezza. Figura 8.9 Spero di fase di u reo di impulsi periodico. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

28 8 Capiolo 8 Serie di Fourier Esempio 8. Deermiare l espasioe i serie di Fourier i forma espoeziale della fuzioe periodica f ðþ ¼e,< < co f ð þ Þ ¼f ðþ. Soluzioe: Poiché T ¼,! ¼ =T ¼. Quidi, c ¼ T Ma per l ideià di Eulero, ¼ f ðþe j! d ¼ j eð jþ ¼ Z e e j d ð jþ ½e e j Š e j ¼ cos j si ¼ j ¼ Perciò, c ¼ ð jþ ½e Š ¼ 85 j La serie di Fourier complessa è f ðþ ¼ X ¼ 85 j e j È possibile visualizzare i grafico lo spero complesso di f ðþ. Poedo c ¼jc j ff, jc j¼ 85 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; ¼ a þ Iseredo i valori egaivi e posiivi di, si oegoo i grafici di ampiezza e fase di c i fuzioe di! ¼, come i Figura 8.3. Figura 8.3 Spero complesso della fuzioe ell Esempio 8.: (a) spero di ampiezza, (b) spero di fase. Esercizio 8. Oeere la serie di Fourier complessa della fuzioe i Figura 8.. Risposa f ðþ ¼ X ¼ 6¼ ¼dispari j e j. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

29 8.6 Serie di Fourier i forma espoeziale 9 Esempio 8. Deermiare la serie di Fourier complessa della forma d oda a dee di sega i Figura 8.9. Tracciare gli speri di ampiezza e fase. Soluzioe: Dalla Figura 8.9, f ðþ ¼; < <, T ¼ così che! ¼ =T ¼ : Quidi, Ma c ¼ T Z f ðþe j! d ¼ Z e a d ¼ ea ða ÞþC a e j d ð8::þ Applicado queso risulao alla (8..) si ha e j c ¼ ð j Þ ð j Þ Iolre, così che la (8..) divea ¼ e j ð j Þþ 4 e j ¼ cos j si ¼ j ¼ c ¼ j 4 ¼ j Quesa espressioe o comprede il caso di ¼. Quado ¼, ð8::þ ð8::3þ I coclusioe, c ¼ T f ðþ d ¼ f ðþ ¼:5 þ X ¼ 6¼ Z d¼ ¼ :5 j e j ð8::4þ ð8::5þ e 8 < jc j¼ jj, 6¼, : :5, ¼ ¼ 9, 6¼ ð8::6þ Rappreseado jc j e per diversi valori di, si oegoo gli speri di ampiezza e di fase mosrai i Figura 8.3. Figura 8.3 Per l Esempio 8.: (a) spero di ampiezza, (b) spero di fase. Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

30 3 Capiolo 8 Serie di Fourier Esercizio 8. Oeere l espasioe i serie di Fourier complessa di fðþ i Figura 8.7. Tracciare gli speri di ampiezza e fase. Risposa f ðþ ¼ X ¼ 6¼ jð Þ e j. Si vedao gli speri i Figura 8.3. Figura 8.3 Per l Esercizio 8.: (a) spero di ampiezza, (b) spero di fase. 8.7 ANALISI DI FOURIER CON PSPICE Nel programma PSpice l aalisi di Fourier è associaa alla aalisi i rasiorio. È ecessario quidi eseguire ua aalisi i rasiorio prima di eseguire ua aalisi di Fourier. Per oeere l aalisi di Fourier di ua forma d oda, è ecessario u circuio il cui igresso sia la forma d oda da aalizzare e la cui uscia sia cosiuia dalla decomposizioe i serie di Fourier. U possibile circuio è u geeraore di corree (o di esioe) i serie a u resisore da, come mosrao i Figura La forma d oda viee descria come v s ðþ mediae ua VPULSE per u impulso di forma varia o ua VSIN per ua siusoide, e e vegoo defiii gli aribui sul periodo T. L uscia V() del odo è cosiuia dal valore cosae (a ) e dalle prime ove armoiche (A ) co le relaive fasi ;cioè, dove v o ðþ ¼a þ X9 A si ð! þ Þ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ a þ b, ¼, ¼ a b a ð8:73þ ð8:74þ Figura 8.33 Aalisi di Fourier co PSpice usado: (a) u geeraore di corree, (b) u geeraore di esioe. Si oi dalla (8.74) che l uscia foria da PSpice è i forma seo e o ella forma coseo della (8.). L uscia di PSpice coiee ache i coefficiei di Fourier ormalizzai: ciascu coefficiee a viee ormalizzao dividedolo per il modulo della fodameale a, e quidi la compoee ormalizzaa vale a =a ; la corrispodee Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

31 fase viee ormalizzaa soraedole la fase della fodameale, oeedo così la fase ormalizzaa. PSpice for Widows permee di eseguire due ipi di aalisi di Fourier: la Discree Fourier Trasform (DFT, raformaa di Fourier discrea), che viee eseguia dal programma PSpice sesso, e la Fas Fourier Trasform (FFT, rasformaa di Fourier veloce) eseguia dal programma PSpice A/D. La DFT cosiuisce ua approssimazioe della serie di Fourier i forma espoeziale, mere la FFT è u algorimo per il calcolo umerico rapido ed efficiee della DFT. Ua raazioe complea di DFT e FFT va comuque al di là degli scopi di queso eso. 8.7 Aalisi di Fourier co PSpice Trasformaa di Fourier discrea Il programma PSpice è i grado di eseguire ua rasformaa di Fourier discrea (DFT), foredo ua rappreseazioe abulare delle armoiche el file di uscia. Per abiliare l aalisi di Fourier, selezioare Aalysis/Seup/Trasie e aivare la fiesra di dialogo Trasie, mosraa i Figura Il paramero Pri Sep deve essere ua frazioe piccola del periodo, mere Fial Time può essere, per esempio, 6T. Ceer Frequecy è la frequeza fodameale f ¼ =T. La variabile della quale si desidera oeere la DFT, V() i Figura 8.34, viee specificaa ella casella Oupu Vars. Olre a riempire i campi della fiesra di dialogo Trasie, è ecessario fare DCLICK su Eable Fourier. Co l aalisi di Fourier abiliaa e lo schemaico salvao, si fa eseguire PSpice selezioado, come di cosueo, Aalysis/Simulae. Il programma esegue ua decomposizioe armoica elle compoei di Fourier del risulao della aalisi i rasiorio. I risulai vegoo scrii el file di uscia, che può essere visualizzao selezioado Aalysis/Examie Oupu. Il file di uscia coiee il valore cosae e, per defaul, le prime ove armoiche, ma è possibile specificare u umero superiore ella casella Number of harmoics (si veda la Figura 8.34). Figura 8.34 Fiesra di dialogo Trasie Fas Fourier Trasform Il programma PSpice A/D è i grado di eseguire ua rasformaa di Fourier veloce (FFT), per poi rappreseare lo spero compleo di u espressioe coeee i risulai di ua aalisi i rasiorio. Come si è giàviso, si cosruisce dapprima lo schemaico di Figura 8.33(b) e si scelgoo gli aribui della forma d oda. È ache ecessario scegliere u Pri Sep eilfial Time ella fiesra di dialogo Trasie. Ua vola preparao lo schemaico, è possibile oeere la FFT della forma d oda i due modi. Il primo meodo cosise ell iserire u marker di esioe al odo ello schemaico di Figura 8.33(b). Dopo aver salvao lo schemaico e selezioao Aalysis/ Simulae, la forma d oda V() verrà visualizzaa ella fiesra PSpice A/D. A queso Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)

32 3 Capiolo 8 Serie di Fourier Figura 8.35 Fiesra di dialogo per l asse X. puo, co u doppio clic sull icoa FFT el meu PSpice A/D si farà scomparire la forma d oda sosiuedola co la sua FFT. Dal grafico del risulao della FFT si possoo oeere le armoiche. Nel caso i cui il grafico della FFT risuli roppo poco deagliao, si può selezioare maualmee u iervallo User Defied specificadoe uo più limiao (si veda la Figura 8.35). U alro modo per oeere la FFT di V() cosise el o iserire il marker di esioe al odo dello schemaico. Dopo aver selezioao Aalysis/Simulae, comparirà la fiesra PSpice A/D seza alcu grafico visualizzao. Selezioado Trace/Add e scrivedo V() ella opzioe Trace Commad, co u DCLICKL OK, e aivado la fiesra di dialogo X Axis Seigs mosraa i Figura 8.35 (ramie il comado Plo/X-Axis Seigs), e poi selezioado Fourier/OK, si oerrà la visualizzazioe della FFT della raccia (o delle racce) selezioaa. Queso procedimeo cosee di oeere la FFT di ua qualuque raccia associaa al circuio. U imporae vaaggio della FFT sulla DFT è che di essa è molo facile oeere la rappreseazioe grafica; lo svaaggio è ivece che alcue delle armoiche porebbero risulare praicamee ivisibili ella rappreseazioe grafica. Sia per la DFT che per la FFT, è bee lasciare che la simulazioe vega eseguia su u umero elevao di cicli o periodi del circuio, uilizzado iolre u valore piccolo per lo Sep Ceilig (ella fiesra di dialogo Trasie) i modo da avere la garazia della accuraezza dei risulai. È bee che Fial Time, ella fiesra di dialogo Trasie, vega scelo di u valore almeo cique vole il periodo del segale, per permeere alla simulazioe di raggiugere la codizioe di regime. Figura 8.36 Schemaico per l Esempio 8.. Esempio 8. Deermiare co PSpice i coefficiei di Fourier del segale i Figura 8.. Soluzioe: I Figura 8.36 è mosrao lo schemaico che serve per oeere i coefficiei di Fourier. Ricordado il segale di Figura 8., si scelgoo gli aribui del geeraore di esioe VPULSE come mosrao i Figura L esempio verrà risolo sia co il meodo della DFT che co quello della FFT. METODO Uso della DFT: (Il marker di esioe i Figura 8.36 o è ecessario per queso meodo). Dalla Figura 8., risula evidee che T ¼ s, f ¼ T ¼ ¼ :5 Hz Charles K. Alexader, Mahew N. O. Sadiku, Circuii elerici 4/ed - Copyrigh 4 - McGraw-Hill Educaio (Ialy)