Calcolo delle Radici Veriano Veracini

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1 Verio Vercii Clcolo delle rdici Clcolo delle Rdici Verio Vercii Premess Lo scopo di queste pgie è quello di descrivere lcui metodi prtici per il clcolo delle rdici, compresi lcui metodi isoliti. Prticolre ttezioe è post quei metodi che richiedoo soltto l utilizzo delle quttro operzioi (somm, sottrzioe, moltipliczioe e divisioe. Per i più curiosi, ell ppedice i fodo queste pgie, ho riportto lcue otizie e curiosità di vri tur. Defiizioi, stori e proprietà Defiizioi Si dice rdice -esim di u umero il umero che elevto d riproduce il umero. Il umero si chim idice dell rdice; il umero si chim rdicdo dell rdice ed il umero si chim soluzioe dell rdice -esim del umero. Ovvimete deve sempre risultre. L espressioe è equivlete ll espressioe Si dice rdice qudrt se è ugule e si scriverà ed è equivlete ll espressioe. (per covezioe il si omette e o si scriverà, si dice rdice cuic se è ugule e si scriverà, si dice rdice qurt se è ugule e si scriverà, ecc. U pizzico di stori Le rdici qudrte (rdici veti idice ugule due ero ote, i mtemtici greci, sio dll tichità e veivo clcolte ttrverso il metodo geometrico. Il mtemtico Frcois Viète propose lcui metodi di clcolo per l estrzioe delle rdici dl grdo secodo sio l grdo sesto. Il clcolo delle rdici di ogi idice si semplificò moltissimo grzie llo studio dei logritmi e ll loro itroduzioe d prte dei mtemtici Hery riggs, Joost urgi, Leord Euler, Edmud Guter, Joh Npier, ed ltri. Grzie soprttutto l lvoro di rhm de Moivre fu itrodotto il metodo di clcolo per l estrzioe delle rdici dei umeri complessi oto come Formul di Moivre. Proprietà delle rdici Le rdici ho proprietà fodmetli, vedimole i dettglio. Il prodotto di più rdicli, veti lo stesso idice, è u rdicle che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il prodotto dei rdicdi. Moltiplicdo il rdicle m per il rdicle m otteimo m. Iteresste è che l su ppliczioe ivers co il preciso scopo di portre u fttore del rdicdo fuori dll rdice stess. Il quoziete di due rdicli, veti lo stesso idice, è u rdicle che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il quoziete dei rdicdi.

2 Verio Vercii Clcolo delle rdici Dividedo il rdicle per il rdicle imo cso può essere utile l su ppliczioe ivers. che è equivlete. che i questo L elevzioe potez di u rdicle è u rdicle che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il rdicdo elevto ll potez. L espressioe m è equivlete ll espressioe m ppliczioe ivers.. che i questo cso può essere utile l su L rdice di u rdicle è u rdicle che h per idice il prodotto degli idici e per rdicdo il medesimo rdicdo. L espressioe m m è equivlete ll espressioe. Utilizzo prtico delle proprietà electe Premetto che moltiplicdo o dividedo l idice dell rdice e l espoete del rdicdo per uo stesso p m p p umero, il rdicle o si lter. Cioè m (. Vedimo or come utilizzre queste proprietà per comprre due rdicli che possiedoo idici diversi. I rdicli m e p q cosi come soo scritti o soo fcilmete comprili, m se etrmi vegoo espressi co il medesimo idice l su comprzioe srà più semplice. Per potere effetture tle clcolo doimo procedere el modo seguete. Clcolimo il miimo comue multiplo (m.c.m. degli idici dei rdicli, poi dividimo tle m.c.m. per ogi sigolo idice e moltiplichimo il risultto otteuto per l espoete del rdicdo, ttriuedo come idice delle rdici il m.c.m. clcolto. Per rimere l ostro esempio vremo che il m.c.m. srà m moltiplicto p ( mp, poi (per il primo rdicle lo dovremo dividere per m otteedo p che lo moltiplicheremo per. mp Per cui vremo che m p é equivlete. Per il secodo rdicle ci doimo comportre el medesimo modo di prim e cioè divideremo il m.c.m. ( mp per p e poi lo moltiplicheremo per q. Per cui vremo che p q è equivlete pm Or è molto più semplice cofrotre il rdicle Se p qm m llor p q. qm. mp p m p co il rdicle Srà mggiore l o l? Si può rispodere fcilmete quest domd fcedo queste semplici trsformzioi. 6 ( 6 ( imo trsformto due rdicli co idici diversi (che soo icomprili i due rdicli equivleti co il medesimo idice (che soo fcilmete comprili. Visto che ( = 9 è mggiore di ( = 8 llor imo che > mp qm.

3 Verio Vercii Clcolo delle rdici Vedimo u esempio di moltipliczioe di due rdicli co idice diverso. m m Nell ipotesi che si m m m imo m m m m ( m Rdice -esim di u umero complesso (Formul di Moivrè Grzie quest formul è possiile clcolre le rdici -esime di u umero espresso i form compless. Sempre grzie quest formul possimo stilire che ogi umero, diverso d zero, mmette sempre e solo rdici -esime distite el cmpo dei umeri complessi. kπ kπ ρ(cos jse ρ[cos( jse( ] I quest formul (omli è espress i rditi. 6k 6k ρ(cos jse ρ[cos( jse( ] I quest formul (omli è espress i grdi sessgesimli. Nelle formule il umero k può ssumere tutti i vlori iteri possiili. Si può dimostrre che l rdice può vere soltto vlori diversi i corrispodez dei segueti vlori di k. k =,,,,, ( - Com è possiile vedere, queste formule permettoo di clcolre gli vlori complessi dell rdice - esim di u umero complesso espresso i form di coordite polri dove ρ è il suo modulo e è l su omli. Se il rdicdo è espresso i form di coordite crtesie, dove è l sciss e y è l ordit, isog prim effetture l coversioe tr coordite crtesie e coordite polri. Idipedetemete dl vlore del rdicdo e dl vlore dell idice dell rdice, si può dimostrre che, l mssimo due di queste soluzioi possoo essere umeri reli, l mssimo due di queste soluzioi possoo essere umeri immgiri, tutte le ltre soluzioi devoo essere soluzioi complesse. Metodi o lizzti I queste pgie o lizzerò l possiilità di effetture il clcolo delle rdici, ttrverso il Regolo Clcoltore, le Tvole ritmetico-logritmiche e i tsti dell clcoltrice,, e Y X che lo effettuo i modo utomtico. Metodi di clcolo per le sole rdici qudrte Questo cpitolo è dedicto i metodi utilizzili per il clcolo delle sole rdici qudrte dei umeri reli o egtivi. Metodo geometrico Questo metodo di clcolo delle rdici qudrte è tichissimo, sicurmete il più tico di tutti i metodi. Piuttosto che descrivere il metodo, che se è molto semplice, preferisco commetre ogi sigolo pssggio dell su costruzioe. mmettimo di dover clcolre l rdice qudrt del umero 8. Si trcci u rett di lughezz proporziole l umero 8 (rett di colore rosso.

4 Verio Vercii Clcolo delle rdici d u delle due estremità si prolug l rett precedete di u qutità proporziole l umero (rett di colore lu. Per cui or imo u rett complessiv proporziole l umero 9 (rett di colore rosso-lu. Or doimo trovre il cetro di quest uov rett. Trccimo or u circoferez co cetro el puto ppe trovto e rggio ugule ll distz che esiste dl cetro d uo dei due estremi. Or trccimo u rett perpedicolre ll rett esistete el puto dove le rett di colore rosso e quell di colore lu si icotro, sio d icotrre l circoferez ppe trccit. Questo uovo segmeto, di colore ros, è proporziole ll rdice qudrt del segmeto di colore rosso. Doimo dire che u ltr cos iteresste e cioè che se si uisce il puto dove l rett di colore ros icotr l circoferez co il puto dove l rett lu icotr l circoferez, si ottiee u segmeto che è proporziole ll rdice qudrt del dimetro dell circoferez (rett di colore rosso-lu. Le dimostrzioi le potrete provre i ppedice. Metodo mule Esiste u metodo stz semplice, che se ecessit di u certo tempo, per clcolre l rdice qudrt, pprossimt per difetto ll uità, di u umero ttrverso delle semplici operzioi. Piuttosto

5 Verio Vercii Clcolo delle rdici che descrivere il metodo (che o è molto semplice d descrivere, preferisco fre u esempio prtico commetdo ogi sigolo pssggio. mmettimo di voler clcolre l rdice qudrt del umero... Si deve scomporre il umero d clcolre i gruppi di due cifre prtire d destr. Per cui il umero.. si trsform i: Visto che imo otteuto gruppi di cifre, il vlore dell rdice qudrt pprossimto ll uità srà composto d cifre, e cioè:.. Metlmete si clcol l rdice qudrt, per difetto meo dell uità, del gruppo di cifre che soo più siistr (è d teer presete che questo gruppo di cifre può essere composto che d u sol cifr, come è el ostro esempio. Visto che imo: = < = > Per cui, l rdice qudrt, per difetto meo dell uità, del gruppo di cifre più siistr ( è. Questo umero è che l prim cifr dell rdice che stimo cercdo, cioè:.. Clcolre il qudrto di questo vlore ( e sottrrlo l gruppo di cifre più siistr. llieimo, l risultto otteuto, il gruppo di due cifre immeditmete più destr. = Si stcc l ultim cifr più destr del ostro umero. = Si rddoppi l prim pprossimzioe dell rdice ppe trovt = = e si verific qute volte è coteut el secodo gruppo di cifre (.

6 Verio Vercii Clcolo delle rdici = = : = Or effettuimo l verific per cpire se quest secod cifr ( è corrett oppure se è troppo grde. Quest cifr ( si scrive destr del doppio dell rdice ( e si moltiplic questo uovo umero ( per il quoziete stesso (. Cioè: = = : = * = > Siccome questo uovo umero ( è mggiore di, il umero o può essere l secod cifr cerct. Per cui si rifà il clcolo riducedo di u uità l cifr del quoziete fio trovre u umero che, come prodotto, di u vlore iferiore o ugule quello cercto (. Cioè: = = : = * = > * = 96 < Essedo 96 iferiore imo ppe otteuto l secod cifr dell rdice qudrt... Si esegue l sottrzioe tr e 96. = = : = * = > 96 * = 96 < Or si llie l uovo umero otteuto ( le ltre due cifre immeditmete destr ( e si stcc l ultim cifr. = = : =

7 Verio Vercii Clcolo delle rdici * = > 96 * = 96 < Si rddoppi l rdice ppe trovt ( = 8 e si verific qute volte è coteut el terzo gruppo di cifre ( poi si procede come prim. = = : = 6 * = > 96 * = 96 < = 8 : 8 = 8 = 8 < Siccome 8 è miore di, llor è terz cifr dell rdice qudrt cerct... Si sottre d il umero 8 e si sso le prossime cifre ( stccdo l ultim cifr come imo ftto precedetemete. = = : = Proseguedo come prim si ottiee: * = > 96 * = 96 < = 8 : 8 = = 8 < = =

8 Verio Vercii Clcolo delle rdici : = * = > 96 * = 96 < = 8 : 8 = Per cui... meo di u uità. 8 = 8 < 8 9 = : 8 = = 96 < 9 6 = : 88 = = 66 < 6 86 D questo clcolo possimo dedurre che che =.. Ovvimete risult che che: + = + = + 9 =. + 6 =.. Voglio fr otre u prticolre proprietà dell estrzioe dell rdice qudrt. I vri resti przili o possoo essere mggiori del doppio dell rdice corrispodete. Lscio l lettore l fcile dimostrzioe di quest proprietà. Co u cert ttezioe possimo proseguire el ostro clcolo per otteere, se ecessrio, che lcue cifre decimli. D questo clcolo, comuque, possimo che dedurre il vlore dell rdice qudrt del umero, cioè, mmettimo di voler clcolre l rdice qudrt del umero Procededo come imo ppe visto, il clcolo d effetture srà: =8 9 = : 8 = * = 9 < 6 9 = 86 7

9 Verio Vercii Clcolo delle rdici : 86 = 9 86 = 9 < 9 = 87 : 87 = = 6 < = : 87 = = 7896 < Per cui 87 = 96 meo di u uità. Metodo co uso di frzioi cotiue illimitte periodiche Trlscido l teori che, lmeo i prte, potrete trovre i ppedice, vedimo come si possiile trsformre u umero irrziole qudrtico i u frzioe cotiu illimitt periodic. Per essere il più chiri possiile fccio immeditmete due esempi prtici. Provimo clcolre l frzioe cotiu del umero irrziole qudrtico. Sppimo che < <, per cui possimo scrivere co mggiore di. Clcolimo il vlore dell. Per cui è u vlore compreso tr e, per cui possimo scrivere co y mggiore di. y Clcolimo il vlore dell y. y y y y y Cioè è ugule y. Rissumedo imo che. Siccome sostituedo otteimo m y y siccome y è ugule, possimo cotiure sostituire. Per cui otteimo proseguedo ell sostituzioe oppure [,]. y... Clcolimo l frzioe cotiu illimitt periodic del umero irrziole. 8

10 Verio Vercii Clcolo delle rdici Sppimo che < <, per cui possimo scrivere = co mggiore di. Clcolimo il vlore dell. Duque è u vlore compreso tr e, per cui possimo scrivere co y mggiore di. y Clcolimo il vlore dell y. y y y y Duque y è u vlore compreso tr e, per cui possimo scrivere y co z mggiore di. z Clcolimo il vlore dell z. z z z Possimo vedere che è ugule z per cui possimo scrivere: o che [,, ].... z. Co questo metodo possimo clcolre tutti i umeri irrzioli qudrtici. Dimo or lcui risultti. [,] [,, ] [,] 6 [,,] 7 [,,,,] 8 [,, ] [,6] [,,6 ] [,,6] [,,,,,6 ] [,,,,6] [,,6 ] Dopo ver clcolto l frzioe cotiu illimitt periodic, del umero irrziole qudrtico, o ci rime che trsformre dett frzioe ell corrispodete frzioe ordiri. Questo pssggio si chim Clcolo delle Ridotte. Clcolo delle Ridotte Si defiisce ridott di ordie (ridott -esim di u frzioe cotiu l frzioe cotiu limitt che si ottiee fermdosi ll -esimo termie. Quest si idic co R. 9

11 Verio Vercii Clcolo delle rdici... [,,] R R = R = = 6, R = 7 =,7 R = 9 = 7, 6 R = 6 =,7 7 R = 7 = 77, Ecc. Più si ggiugoo termii più il vlore delle vrie ridotte si vvicio l vlore dell rdice qudrt rppresett dll frzioe cotiu illimitt periodic. I ppedice è spiegto u ltro metodo, più veloce e più semplice, per otteere i vlori.

12 Verio Vercii Clcolo delle rdici Se si ssume, come vlore pprossimto di u frzioe cotiu, u su ridott si commette u errore. L errore che si commette, cioè l differez (i vlore ssoluto tr l ridott e il vlore dell frzioe cotiu, è sempre miore del reciproco del qudrto del deomitore cosiderto. Chirimo ee questo puto. Il vlore dell è,78 Vedimo i vlori delle vrie ridotte co i loro mssimi errori. R = R = R = =,6 7 R = =,7 9 R = =,7 6 R 6 = =,7 7 R 7 = =,77 Ecc. Coclusioi Esistoo ltri metodi per poter clcolre l rdice qudrt di u umero e, mio prere, il più sigifictivo è u tico metodo idio deomito metodo khshli. Nel cpitolo dedicto i Metodi di clcolo geerli verro spiegti ltri metodi iteressti per poter effetture il clcolo delle rdici qudrte. Metodo di clcolo per le sole rdici cuiche Questo cpitolo è dedicto d u metodo utilizzile per il clcolo delle sole rdici cuiche, dei umeri reli. Metodo mule Questo metodo, come il suo equivlete descritto per il clcolo delle rdici qudrte, è stz semplice m ecessit di u certo tempo per l su esecuzioe. che i questo cso il risultto si otterrà ttrverso delle semplici operzioi e srà pprossimto per difetto ll uità. Piuttosto che descrivere il metodo (che o è molto semplice d descrivere ed è che leggermete diverso dl precedete, preferisco fre u esempio prtico e commetre ogi sigolo pssggio.

13 Verio Vercii Clcolo delle rdici mmettimo di voler clcolre l rdice cuic del umero... Si deve scomporre il umero d clcolre i gruppi di tre cifre prtire d destr. Per cui il umero.. si trsform i: Visto che imo otteuto gruppi di cifre, il vlore dell rdice cuic pprossimto ll uità srà composto d cifre, e cioè:.. Metlmete si clcol l rdice cuic, per difetto meo di u uità, del gruppo di cifre che soo più siistr (è d teer presete che questo gruppo di cifre può essere composto che d u sol cifr. Nel ostro esempio vremo: = < = 8 < = 7 < = 6 < = < 6 = 6 > Per cui l rdice cuic, per difetto meo di u uità, del gruppo di cifre più siistr ( è. Questo umero è che l prim cifr dell rdice che stimo cercdo, cioè:.. Poi si deve clcolre il cuo di tle umero e si sottre l gruppo di cifre più siistr. = 7 llieeremo l risultto otteuto l prim cifr (cioè quell più siistr, del gruppo di tre cifre immeditmete più destr. = 7 Si triplic il qudrto dell prim pprossimzioe dell rdice ppe trovt = = 7 7 e si verific qute volte è coteuto el secodo gruppo di cifre (7. = = : 7 =

14 Verio Vercii Clcolo delle rdici Nel ostro esempio questo rpporto d, come vlore,. Ovvimete essu cifr può essere mggiore di 9, per cui l verific l fremo prtire d quest cifr (cioè dl umero 9. L verific v ftt clcoldo il cuo del umero composto dll cifr dell rdice cuic trovt ( e dl umero dell divisioe (questo umero sree m, come spiegto, o può essere superiore 9. Cioè dovremo clcolre il cuo di 9. = = : 7 = 9 =.79 >. Siccome questo uovo umero (.79 è mggiore di., il umero 9 o può essere l secod cifr cerct. Per cui si rieffettu il clcolo riducedo di u uità l cifr del quoziete fio trovre u umero che, come risultto, d u vlore iferiore o ugule quello cercto (.. Cioè: = = : 7 = 9 =.79 >. 8 = 9. <. Essedo 9. <. imo ppe otteuto l secod cifr dell rdice cuic... 8 Si esegue l sottrzioe tr. e 9. 8 = = : 7 =. 9 =.79 > = 9. <..888 Come imo ftto precedetemete llieeremo l risultto otteuto l prim cifr (cioè quell più siistr, del gruppo di tre cifre immeditmete più destr. 8 = = : 7 =. 9 =.79 > = 9. <..888 Si triplic il qudrto dell prim pprossimzioe dell rdice ppe trovt 8 = = : 7 =

15 Verio Vercii Clcolo delle rdici. 9 =.79 > = 9. < =.9 e si verific qute volte è coteut el secodo gruppo di cifre ( = = : 7 =. 9 =.79 > = 9. < = :.9 = L verific v ftt clcoldo il cuo del umero composto dlle cifre dell rdice cuic trovte (8 e del umero dell divisioe (. Cioè dovremo clcolre il cuo di 8. 8 = = : 7 =. 9 =.79 > = 9. < = :.9 = 8 = <.. Siccome questo uovo umero ( è iferiore.., il umero è l ostr cifr cerct. 8 = = : 7 = 9 =.79 >. 9 8 = 9. < = :.9 =.. 8 = < Per cui = 8 meo di u uità. Ovvimete risult che: + 7 = =.

16 Verio Vercii Clcolo delle rdici =.. Co u cert ttezioe possimo proseguire el ostro clcolo per otteere che lcue cifre decimli. D questo clcolo, comuque, possimo che dedurre il vlore dell rdice cuic del umero, cioè, 8 mmettimo di voler clcolre l rdice cuic del umero = 7 = : 7 = utilizzo il 9 9 = 9.9 >.. 8 =.87 >..6 7 =.6 < = :.7 = =.. <.. Per cui = 78 meo di u uità. Coclusioi isog precisre che esiste che u metodo grfico per poter effetture tle clcolo e e troverete u piccolo cceo i ppedice. Nel cpitolo successivo, dedicto i Metodi di clcolo geerli, ci soo spiegti ltri metodi iteressti per poter effetture il clcolo delle rdici cuiche. Metodi di clcolo geerli Questo cpitolo è dedicto d illustrre lcui metodi per clcolre l rdice -esim di u umero. Questi metodi soo metodi geerli e soo pplicili quluque idice. Prllelmete quto illustrto ei cpitoli Metodi di clcolo per le sole rdici qudrte e Metodi di clcolo per le sole rdici cuiche, esistoo dei metodi per clcolre le rdici di grdo superiore ll cuic sio ll sest, m soo dei metodi piuttosto complessi e o utilizzti visto l esistez di metodi ettmete più semplici e veloci che qui dremo d illustrre. Metodo che deriv dll stess defiizioe E possiile clcolre le rdici qudrte, cuiche, ecc. utilizzdo l stess defiizioe di rdice. Vedimo come questo si possiile co due semplici esempi. mmettimo di voler clcolre l. Questo vlore è compreso tr e, perché:

17 Verio Vercii Clcolo delle rdici = 6 < = > Or clcolimo l prim cifr decimle., = 6,8 <,6 =,6 <,7 =,9 <,8 =, > Or sppimo che l è u umero compreso tr,7 e,8. Or clcolimo l secod cifr decimle.,7 =,8 <..,78 =,88 <,79 =,9 <,8 =, > Or sppimo che l è u umero compreso tr,79 e,8. Or clcolimo l terz cifr decimle.,79 =,968 <,79 =,986 <,79 =,99 <,796 =,66 > Or sppimo che l è u umero compreso tr,79 e,796. Proseguedo i questo modo possimo clcolre l rdice qudrt co i decimli desiderti. mmettimo di voler clcolre l. Questo vlore è compreso tr e, perché: = 8 < = 7 > Or clcolimo l prim cifr decimle., = 9,6 <.,7 = 9,68 <,8 =,9 <,9 =,89 > Or sppimo che l è u umero compreso tr,8 e,9. Or clcolimo l secod cifr decimle.,8 =,88 <,8 =,768 <,8 =,6687 <,8 =,96 <,8 =,9 > Or sppimo che l è u umero compreso tr,8 e,8. Or clcolimo l terz cifr decimle. 6

18 Verio Vercii Clcolo delle rdici,8 =,99 <,8 =,97 <,8 =,97897 <,8 =,8 > Or sppimo che l è u umero compreso tr,8 e,8. Possimo proseguire i questo modo per clcolre l rdice cuic co i decimli desiderti. Come è possiile ituire questo metodo è piuttosto leto visto che richiede molti clcoli ripetitivi. Fortutmete esistoo metodi ettmete più veloci che dremo d illustrre. Metodo logritmico Questo è u metodo molto importte, visto l su uiverslità, flessiilità e precisioe. Il solo difetto è che, per poter essere utilizzto, ecessit di cooscere i vlori dei logritmi dei umeri. L formul d utilizzre è: log log log d cui si deduce che tilog. Quest idetità è idipedete dll se del logritmo utilizzto (tle se deve essere, però, mggiore di e divers d. mmettimo di voler clcolre l rdice qudrt del umero, cioè.,88 Log =,88 =,699 tilog,699 =,86669 per cui =,86669 I questo esempio imo utilizzto i logritmi i se, m possimo utilizzre che i logritmi i se e o i ogi ltr se positiv divers d. Or vedrete il medesimo esempio utilizzdo i logritmi turli che ho come se il umero, mmettimo di voler clcolre l rdice qudrt del umero, cioè. 7,678 L = 7,678 =,8697 til,8697 =,86669 per cui =,86669 mmettimo di voler clcolre l rdice ottv del umero 9979, cioè l , Log 9979 =, =, tilog,7987 =,66 per cui =,66 Metodo delle tgeti o iterzioe di Newto Trlscido l teori che, lmeo i prte, potrete trovre i ppedice vedimo come si possiile utilizzre questo metodo per effetture il clcolo delle rdici. Questo metodo può essere utilizzto sempre e comuque, m d il meglio di se qudo il vlore iizile è stz vicio l vlore dell rdice -esim, ltrimeti possoo essere ecessrie molte iterzioi per rggiugere u vlore ccettile. I geere, questo metodo, si utilizz per ffire u vlore trovto utilizzdo ltri metodi (per esempio il Metodo che deriv dll stess defiizioe o il Metodo dell umeto fiito. 7

19 Verio Vercii Clcolo delle rdici E possiile dimostrre che reiterdo questo clcolo ci si vvici, sempre di più, l vlore dell rdice cerct. isog suito dire che questo metodo itertivo permette il clcolo i modo diretto si delle rdici -esime, si dei loro reciproci. Ovvimete illustrerò etrme le possiilità. Formul d utilizzre per il clcolo delle rdici -esime. Dimo immeditmete l formul d utilizzre. ( Dove co: = vlore pprossimto di prtez dell ostr fuzioe. = vlore pprossimto, u poco migliore rispetto, dell ostr fuzioe. = idice dell rdice. = rdicdo dell rdice. Fccimo immeditmete due esempi i modo d chirire immeditmete come si deve procedere per utilizzre questo metodo i quest vrite. mmettimo di voler clcolre l. Sppimo che questo vlore è compreso tr e. Per cui utilizzimo, come vlore iizile, il vlore di. Per = quest è l formul d utilizzre (. ( =,87. (,87 =,7967.,87 (,7967 =,7986.,7967 (,7986 =,798.,7986 Or sppimo che l è,798, visto che i vlori di e prticmete coicidoo. Come è possiile vedere co quttro iterzioi simo rrivti d vere il vlore corretto sio l 6 decimle. mmettimo di voler clcolre l. Questo vlore è sicurmete compreso tr e, visto che = e = per cui ipotizzimo che il vlore si 7. Per = quest è l formul d utilizzre = (. 7 =,86 7 Per il prossimo clcolo utilizzerò il vlore di e o,86 visto che sppimo già che il vlore dell rdice cerct è sicurmete iferiore. = 9,86 8

20 Verio Vercii Clcolo delle rdici 9,86 = 8,868 9,86 8,868 = 8,86 8,868 8,86 = 8,87 8,86 Or sppimo che deve essere u umero u poco più piccolo di 8,87. Come imo potuto e vedere, ei due esempi precedeti, è sempre coveiete, per risprmire iterzioi, prtire dl vlore pprossimto mggiore e o d quello miore. Se o imo ltre possiilità è possiile utilizzre, come vlore pprossimto iizile (, il vlore del rdicdo (. Ovvimete le iterzioi per rrivre d u ottimo vlore crescero di coseguez che, e soprttutto, l crescere del reltivo idice. Formul d utilizzre per il clcolo del reciproco delle rdici -esime. Nell ipotesi di dover clcolre il reciproco dell rdice -esim di u umero possimo effetture tle clcolo, i modo diretto, co quest vrite. I reltà quest vrite o h questo scopo, m h uo scopo e diverso. Semr icrediile m, volte è coveiete, per clcolre l rdice -esim di u umero, clcolre prim il reciproco dell medesim rdice -esim e poi, co u ltro clcolo, otteere il vlore dell rdice -esim cerct. Dimo immeditmete l formul d utilizzre. (( Dove co: = vlore pprossimto di prtez dell ostr fuzioe. = vlore pprossimto, u poco migliore rispetto, dell ostr fuzioe. = idice dell rdice. = rdicdo dell rdice. Visto che co quest vrite si clcol il reciproco dell rdice -esim, per clcolre il vlore dell rdice -esim, è sufficiete effetture il reciproco di questo vlore. Nell ipotesi che l idice dell rdice si, si può effetture che u clcolo diverso e cioè moltiplicre il vlore clcolto per il rdicdo. imo visto che, per risprmire iterzioi el clcolo dell rdice -eesim, coviee prtire dl vlore pprossimto mggiore. I quest vrite, visto che clcolimo l iverso delle rdici, coviee effetture l iverso e cioè coviee prtire dl vlore pprossimto miore. isog immeditmete dire che, ovvimete, o si può utilizzre il vlore (zero come vlore iizile. mmettimo di voler clcolre l. llor prim clcolimo e poi clcolimo l effettudo. Sppimo che l è compres tr e, per cui il vlore di è compreso tr, (, e, (,. Per cui, come vlore iizile, dovremmo utilizzre il vlore di,, m prtirò d, cosi dimostreremo che o è coveiete prtire dl vlore mggiore. 9

21 Verio Vercii Clcolo delle rdici ( Per = quest è l formul d utilizzre., (, =,9 Per il prossimo clcolo utilizzerò il vlore di, e o,9 visto che sppimo già che il vlore del reciproco dell rdice cerct è sicurmete superiore,., (, =,8,8 (,8 =,8,8 (,8 =,8,8 (,8 =,8 Or sppimo che il vlore di è,8, visto che i vlori di e coicidoo. Come è possiile vedere co cique iterzioi simo rrivti d vere il vlore corretto. Or possimo clcolre l effettudo. Per cui imo,8, 798. Possimo ricvre il medesimo risultto che co l, 7988.,8 mmettimo di voler clcolre. Visto che l è compres tr ( e ( llor è compreso tr, ( Per = quest è l formul d utilizzre,(6, =,7,7(6,7 =,886,886(6,886 =,886 Per cui l è ugule =,987.,886, e, (,. (6. Metodo dell umeto fiito: teorem di Tylor Questo metodo è importte per l estrem semplicità ell effettuzioe dei reltivi clcoli. Vle sempre ε ε l ugugliz pprossimt ε e vle sempre l relzioe ε. Ci soo che ltre due relzioe d sottoliere.

22 Verio Vercii Clcolo delle rdici ε Più ε (il vlore ssoluto di ε è piccolo (rispetto d più il vlore di si vvici dl vlore di ε. ε Più il vlore di è grde più si vvici l vlore ε (quest ffermzioe srà precist i ppedice. Visto che il risultto di questo metodo è, per defiizioe, pprossimto, i geere, si utilizz il risultto di questo metodo come vlore iizile l Metodo delle tgeti visto precedetemete. Vedimo or come poter utilizzre quest ugugliz pprossimt per poter clcolre l rdice di u umero. mmettimo di voler clcolre l. Per poter vere u risultto il più ttediile possiile isog spere il vlore, pprossimto ll uità, dell rdice qudrt. E fcile clcolre che l umero compreso tr 7 e 8. = 9 = 7 7( = 7, è u = 6 = 8 8( = 7,. 6 6 imo ppe detto che questi due vlori soo, oostte tutto, etrmi mggiori del vlore dell, per cui il vlore che più si vvici l vero vlore è, ovvimete, il più piccolo, tto che il vlore corretto è 7,899 mmettimo di voler clcolre l. E fcile verificre che questo vlore è compreso tr e visto che = 96 e che = = = ( =, = = ( =, Tr questi due risultti, il vlore che più si vvici l vlore dell tto che il vlore corretto è, è, ovvimete, il più piccolo, Ovvimete o è ecessrio fre etrmi i clcoli per spere qule delle due opzioi drà il risultto più piccolo, per cui più vicio l risultto cercto. Per sperlo st cofrotre i umeri che rppreseto ε. Come imo detto, più ε è piccolo più il risultto srà vicio l risultto corretto. mmettimo di voler clcolre l 6. E fcile verificre che questo vlore è compreso tr e visto che = 6 e che = = 6 = co ε che vle, 7 6 6

23 Verio Vercii Clcolo delle rdici = = co ε che vle, Visto che 89 llor srà l prim espressioe d vvicirsi mggiormete ll Fccimo l verific ll ipotesi ppe formult. 6 = 6 = ( =, = = ( =, L ipotesi ppe formult è stt rispettt visto che il vlore dell 6 è,96. mmettimo di voler clcolre l. = < = < = < = < = > Per cui l è u umero compreso tr e = 976 = co ε che vle, = = co ε che vle, Visto che 976 llor srà l secod espressioe d vvicirsi mggiormete ll. Fccimo l verific ll ipotesi ppe formult = 976 = ( =,7 = = ( =,96 L ipotesi ppe formult è stt rispettt visto che il vlore dell è,99 Doimo che dire che è scorretto usre questo metodo meccicmete perché si corre il rischio di complicre il clcolo otteedo, per giut, che u pessimo risultto.,,9,,7 Se ivece di pplicre utomticmete il metodo di Tylor, usimo le proprietà delle rdici otteimo: 9 9 7,9,7 e questo è il risultto corretto.

24 Verio Vercii Clcolo delle rdici Rdice -esim di u umero complesso Fio d or imo visto lcui metodi di clcolo per effetture l estrzioe delle rdici (qudrte, cuiche, ecc. di u umero rele positivo. Or vedremo u metodo per il clcolo delle rdici - esime di u umero complesso. isog suito precisre che i umeri complessi si possoo rppresetre i due modi distiti, m equivleti. I coordite crtesie I coordite polri Per clcolre le rdici -esime, di u umero complesso espresso i coordite crtesie, è ecessrio trsformre il umero i coordite polri, poi effetture il reltivo clcolo per l estrzioe delle rdici -esime e, se ecessrio, ritrsformre i vlori delle soluzioi i coordite crtesie. Vedimo or come isog effetture tli clcoli. Numero espresso i coordite crtesie P = (;y Numero espresso i coordite polri P = (ρ ; Formule per effetture l trsformzioe di u umero d coordite crtesie coordite polri. Clcolo del modulo ρ = y y Clcolo dell omli = rct Cosiglio di porre ttezioe l clcolo dell omli per essere certi che l golo che viee fuori dll y precedete formul ( = rct si l golo del puto P del umero espresso i coordite crtesie. U metodo prtico cosiste el verificre il sego dell prte rele del umero espresso i coordite crtesie e se è egtiv isog sommre, ll golo clcolto, il vlore di u golo pitto (8 o. Otteuto il umero complesso, i coordite polri, possimo usre l Formul di Moivre. kπ kπ ρ(cos jse ρ[cos( jse( ] Nell formul il umero k può ssumere tutti i vlori iteri possiili. Si può dimostrre che l rdice può vere soltto vlori diversi i corrispodez dei segueti vlori di k. k =,,,,, ( - Formule per effetture l trsformzioe di u umero d coordite polri coordite crtesie. Clcolo dell sciss = ρ cos Clcolo dell ordit y = ρ se mmettimo di voler clcolre l 8 j, vedimo come si deve procedere. Numero i coordite crtesie P = (8 + j Clcolo del umero P i coordite polri Clcolo del modulo ρ = y = 8 = 9 6 = 7 = 8, y Clcolo dell omli = rct = rct = rct, 7 =,8777 rditi. 8 omli espress i grdi sessgesimli =,6 =.

25 Verio Vercii Clcolo delle rdici Numero P trsformto i coordite polri P = (8,;,8777 Cioè 8 j = 8,(cos,8777 jse,8777 Or imo tutti gli elemeti per poter clcolre l rdice qudrt. Clcolo del modulo dell rdice qudrt. ρ = 8, =,9 Clcolo delle due omlie.,8777 = =,798 rditi per k =,8777 ( = + =,978 rditi per k = Per cui le due rdici qudrte, espresse i coordite polri, soo: Soluzioe = (,9;,798 Soluzioe = (,9;,978 Visto che: = ρ cos y = ρ se Le due rdici qudrte, espresse i coordite crtesie, soo: Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (, j,6 Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (-, j,6 Come è possiile vedere (ed che dimostrre le due soluzioi soo sempre uguli ed opposte. Utilizzdo i grdi sessgesimli l posto dei rditi si ottiee, ovvimete, il medesimo risultto file. I questo cso, ovvimete, isog utilizzre l formul di Moivrè pproprit. mmettimo di voler clcolre l 8 j, vedimo come si deve procedere. Numero i coordite crtesie P = (-8 - j Clcolo del umero P i coordite polri Clcolo del modulo ρ = y = 8 = 9 6 = 7 = 8, y Clcolo dell omli = rct = rct = rct, 7 =,8777 rditi. 8 omli espress i grdi sessgesimli =,6 =. Il clcolo ppe effettuto è, però, errto visto che il puto P dell esempio è posizioto el III qudrte del pio crtesio ed ivece il clcolo lo porree el I qudrte del pio crtesio. Per rimedire questo prolem st sommre, ll golo clcolto, il vlore di 8 (el cso si utilizzio i grdi sessgesimli o di (el cso si utilizzio i rditi. Per cui =,8777 +,96 =,6 rditi. Per cui = + 8 = grdi sessgesimli Numero P trsformto i coordite polri P = (8,;,6 Cioè 8 j = 8,(cos,6 jse, 6 Or imo tutti gli elemeti per poter clcolre l rdice qudrt. Clcolo del modulo dell rdice qudrt.

26 Verio Vercii Clcolo delle rdici ρ = 8, =,9 Clcolo delle due omlie.,6 = =,787 rditi per k =,6 ( = + = 6,696 =,8777 rditi per k = Per cui le due rdici qudrte, espresse i coordite polri, soo: Soluzioe = (,9;,787 Soluzioe = (,9;,8777 Visto che: = ρ cos y = ρ se Le due rdici qudrte, espresse i coordite crtesie, soo: Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (-,6 + j,8768 Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (,6 j,8768 Vi voglio fr otre l differez, tr i due umeri iizili e le due coppie di soluzioi di questo esempio e del precedete esempio. mmettimo di voler clcolre l 8 - j, vedimo come si deve procedere. Numero i coordite crtesie P = (8 - j Clcolo del umero P i coordite polri Clcolo del modulo ρ = Clcolo dell omli = y = y rct = 8 = 9 6 = 7 = 8, rct =,7 8 rct( = -,8777 rd. Possimo otteere l omli positiv se, ll omli, viee sommto il vlore di π. Clcolo dell omli positiv = π -,8777 = 6,88,8777 =,96 rd. omli espress i grdi sessgesimli = -,6 = -. Possimo otteere l omli positiv se, ll omli, viee sommto il vlore di 6. Clcolo dell omli positiv = 6 -,6 = 9, = Numero P trsformto i coordite polri P = (8,;,96 Cioè 8 j = 8,(cos,96 jse,96 Or imo tutti gli elemeti per poter clcolre l rdice cuic. Clcolo del modulo dell rdice cuic. ρ = 8, =,8 Clcolo delle tre omlie.,96 = =,9789 rditi per k =,96 ( = + =,69 rditi per k =,96 ( = + = 6,69 rditi per k = Per cui le tre rdici cuiche, espresse i coordite polri, soo:

27 Verio Vercii Clcolo delle rdici Soluzioe = (,8;,9789 Soluzioe = (,8;,69 Soluzioe = (,8; 6,69 Visto che: = ρ cos y = ρ se Le tre rdici cuiche, espresse i coordite crtesie, soo: Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (-,866 + j, Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (-,69 - j,687. Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (,97 j,9. Come è possiile vedere (ed che dimostrre l somm delle tre prti reli, e delle tre prti immgirie, delle tre soluzioi soo sempre uguli zero. Utilizzdo i grdi sessgesimli l posto dei rditi si ottiee, ovvimete, il medesimo risultto file. I questo cso isog utilizzre l pproprit formul di Moivrè. mmettimo di voler clcolre l j, vedimo come si deve procedere. Numero i coordite crtesie P = ( + j Clcolo del umero P i coordite polri Clcolo del modulo ρ = y = = = y Clcolo dell omli = rct = rct = rditi. omli espress i grdi sessgesimli = 9. I questo esempio useremo i grdi sessgesimli ivece dei rditi. Numero P trsformto i coordite polri P = (; 9 Cioè j = (cos 9 jse 9 Or imo tutti gli elemeti per poter clcolre l rdice cuic. Clcolo del modulo dell rdice cuic. ρ = = Clcolo delle tre omlie. 9 = = per k = 9 6 = + = per k = 9 6 = + = 7 per k = Per cui le tre rdici cuiche, espresse i coordite polri, soo: Soluzioe = (; Soluzioe = (; Soluzioe = (; 7 Visto che: = ρ cos y = ρ se 6

28 Verio Vercii Clcolo delle rdici Le tre rdici cuiche, espresse i coordite crtesie, soo: Soluzioe = (ρ cos + ρ se = ( + j = (,866 + j,. Soluzioe = (ρ cos + ρ se = (- + j = (-,866 + j,. Soluzioe = (ρ cos + ρ se = ( - j = -j. Come è possiile vedere (ed che dimostrre l somm delle tre prti reli, e delle tre prti immgirie, delle tre soluzioi soo sempre uguli zero. Coclusioi imo visto, i questo cpitolo, diversi metodi per effetture il clcolo dell rdice -esim di u umero rele e u metodo per il clcolo delle rdici -esime di u umero complesso. 7

29 Verio Vercii Clcolo delle rdici ppedice Clssificzioe dei umeri I umeri si possoo clssificre come ello schem seguete. Vedimo di spiegre questo rticolto, e piuttosto complesso, schem. Numero Il umero è u umero specile che f prte dei umeri turli. Il umero è l elemeto eutro dell somm. Numero Il umero è u ltro umero specile che f prte dei umeri turli. Il umero è l elemeto eutro dell moltipliczioe. Numeri Primi I umeri primi soo i umeri turli, mggiori di, che soo divisiili solo per se stessi e per. Es. ; ; ; 7; ; ; 7; 9; ecc. Tr i umeri primi esiste u solo umero pri che è il umero, tutti gli ltri umeri primi soo umeri dispri. Numeri Composti I umeri composti soo i umeri turli che o soo e primi, e e emmeo. Es. = ; 6 = ; 8 = ; 9 = ; = ; = ; = 7; = ; ecc. Tutti i umeri composti si possoo otteere moltiplicdo, tr loro, i umeri primi. Ovvimete i umeri composti si possoo che scomporre i umeri primi (scomposizioe i fttori. I umeri composti possoo essere si pri che dispri. Numeri Iteri Positivi (Nturli L isieme dei umeri iteri positivi (o umeri turli h questo simolo N. 8

30 Verio Vercii Clcolo delle rdici Soo l uioe del umero, del umero, dei umeri primi e dei umeri composti. Es. ; ; ; ; ; ; 6; 7; 8, 9,,, ecc. Questo isieme di umeri si può che suddivide i umeri pri e i umeri dispri. I umeri pri soo i umeri turli che divisi per do, come resto,. Es. ; ; ; 6; 8; ; ecc. I umeri dispri soo i umeri turli che divisi per do, come resto,. Es. ; ; ; 7; 9; ecc. Numeri Iteri Negtivi I umeri iteri egtivi soo tutti i umeri iteri positivi (umeri turli, diversi d, preceduti dl sego meo. Per cui soo tutti umeri miori di. Es. -; -; -; -; -; -6; -7; ecc. Numeri Iteri (Reltivi L isieme dei umeri iteri (o umeri reltivi h questo simolo Z. Soo l uioe dei umeri iteri positivi e dei umeri iteri egtivi. Es. -; -; -; -; -; ; ; ; ; ; ; ecc. Numeri Decimli Fiiti I umeri decimli fiiti soo i umeri che ho u qutità fiit di cifre decimli. Possoo essere si positivi che egtivi. Es. -,;,;,; ecc. Numeri Decimli Ifiiti (Periodici I umeri decimli ifiiti (o umeri periodici soo i umeri che ho u qutità ifiit di cifre decimli che si ripetoo periodicmete. Possoo essere si positivi che egtivi. Es.,8 = -,8.;, =,.;, =,.;, 78 =,7878 ; ecc. Numeri Frziori I umeri frziori soo l uioe dei umeri decimli fiiti e dei umeri decimli ifiiti (o umeri periodici. Es. -8,7;,;, =, ; ecc. PS. No isog cofodere i umeri frziori co le frzioi. I umeri frziori si suddividoo come d schem, le frzioi si suddividoo i frzioi proprie e frzioi improprie ; le cui frzioi improprie ho u sottoisieme chimto frzioi ppreti. Numeri Rzioli L isieme dei umeri rzioli h questo simolo Q. I umeri rzioli soo l uioe dei umeri iteri (o umeri reltivi e dei umeri frziori. Soo tutti dell form co e umeri iteri (Z e d. Es. -8,7; -; ; ;,8; ecc. PS. Tutti i umeri rzioli soo che umeri lgerici (vedi oltre. Numeri Trscedeti I umeri decimli ifiiti o periodici, che o soo umeri lgerici (vedi oltre, si chimo umeri trscedeti. Es. se 7 = -,68.; log =,769.; e, ;,96... ; ecc. PS. isog fre suito u preciszioe per evitre fritedimeti. Le fuzioi trigoometriche (seo, coseo, ecc. di goli multipli iteri di sessgesimli soo umeri lgerici (vedi oltre. Numeri Irrzioli 9

31 Verio Vercii Clcolo delle rdici L isieme dei umeri irrzioli h questo simolo J. I umeri irrzioli soo l uioe dei umeri trscedeti e dei umeri irrzioli lgerici (vedi oltre. No soo dell form co e umeri Iteri (Z e d. Es., ;, ;,96... ; ecc. Numeri Reli L isieme dei umeri reli h questo simolo R. I umeri reli soo l uioe dei umeri rzioli e dei umeri irrzioli. Numeri Immgiri I umeri immgiri soo tutti i umeri reli, diversi d, moltiplicti per l uità immgiri j. Dove j. Numeri Complessi L isieme dei umeri complessi h questo simolo C. I umeri complessi soo u composizioe tr i umeri reli e i umeri immgiri. Es. j ; j log ; j ; ecc. PS. Ovvimete se l prte rele è ugule imo u umero immgirio, se ivece è l prte immgiri d essere ugule imo u umero rele. Numeri lgerici I umeri lgerici soo tutti i umeri che soo soluzioe di u equzioe lgeric coefficieti rzioli. Cioè soo soluzioi di u equzioe del tipo c... z dove i coefficieti,, c,..., z soo umeri rzioli (Q. Es. ; ; 8 ; ; -8; ;, ;,; j ; ecc. PS. I umeri lgerici possoo essere umeri rzioli (; -8;, ; ecc., umeri irrzioli ( ; 8 ; ecc., e umeri complessi coefficieti lgerici ( I umeri lgerici possiedoo lcue prticolrità iteressti. j ; ecc.. Somme (, sottrzioi (, moltipliczioi ( o divisioi ( co di umeri lgerici do sempre, come risultto, dei umeri lgerici. Le soluzioi di u poliomio i cui coefficieti soo umeri lgerici, soo umeri lgerici. C Se e soo umeri lgerici co d,, e co umero irrziole, llor il umero è trscedete. Cioè è u umero trscedete. D quello che imo ppe visto risult l seguete successioe di iclusioi fr gli isiemi umerici N Z Q R C ed ioltre risult che che Q J R. Il simolo sigific è coteuto i oppure è icluso i o che è u sottoisieme di. Il simolo sigific uioe. Teorem Il umero è irrziole.

32 Verio Vercii Clcolo delle rdici Dimostreremo quest ffermzioe per ssurdo. Visto che u umero può essere solmete rziole o irrziole (vedi schem, se riuscimo dimostrre che o può essere u umero rziole deve essere oligtorimete u umero irrziole. m Suppoimo che dove m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. I quest ipotesi m possimo scrivere che. D cui si ricv immeditmete che m. Visto che è pri che m deve essere u umero pri. Siccome u umero pri l qudrto d sempre u umero pri e u umero dispri l qudrto d sempre u umero dispri, possimo dedurre che per poter essere m u umero pri m deve essere u umero pri. Per cui possimo scrivere m k e effettudo le dovute sostituzioi otteimo (k. Semplificdo imo k. D qui si deduce che che deve essere u umero pri eseguedo il medesimo rgiometo che imo ftto per m. Questo però cotrddice l ffermzioe di prtez che m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. Quest cotrddizioe esiste perché imo ipotizzto che si u umero rziole, per cui deve essere u umero irrziole. C.V.D. Teorem Il umero è irrziole. Dimostreremo quest ffermzioe per ssurdo i modo logo ll precedete dimostrzioe. m Sppimo che è u umero > di. Suppoimo che dove m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. Procededo i modo logo ll precedete dimostrzioe vremo che m m e semplificdo possimo scrivere m m. Visto che è u umero pri si deduce che, visto che che m è u umero pri, che m deve essere u umero pri e perciò che m deve essere u umero pri. Per cui possimo scrivere (k (k dove m k. Semplificdo otteimo k k. D quest deducimo che deve essere pri ed che deve essere pri cotrddicedo l ostr ffermzioe iizile m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. Quest cotrddizioe esiste perché imo ipotizzto che si u umero rziole, per cui deve essere u umero irrziole. C.V.D. Teorem L somm è u umero irrziole. Premettimo suito che, se u umero irrziole viee elevto l qudrto il risultto può essere u umero rziole [esempio ( ] oppure u umero irrziole [esempio ( ]. Se ivece viee elevto l qudrto u umero rziole, il risultto può essere solo u umero rziole. levdo etrmi i termii l qudrto imo ( Co dei semplici pssggi otteimo: 6

33 Verio Vercii Clcolo delle rdici Siccome 6 è u umero irrziole (l semplice dimostrzioe l lscio l lettore che 6 è u umero irrziole, d ciò si deduce che che essere irrziole che. C.V.D. Teorem Il umero q, co q umero itero, è irrziole. è u umero irrziole e per l premess deve Dimostreremo quest ffermzioe per ssurdo i modo logo lle precedeti dimostrzioi. q m Suppoimo che dove m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. I quest ipotesi possimo effetture queste semplici trsformzioi. q m ( q m q q m q q q Visto che è pri deve risultre pri che m e, di coseguez, che m deve essere pri. Per cui possimo scrivere m k e se effettuimo le dovute sostituzioi otteimo: q q q q q q q q (k k k q q Visto che q k è pri deve risultre pri che e, di coseguez, che deve essere pri, cotrddicedo l ipotesi iizile dove m e soo umeri iteri positivi primi fr loro. Quest cotrddizioe è elimiile solo ipotizzdo che si q u umero irrziole co q umero itero. C.V.D. Semplificzioe dei rdicli doppi I geere, el cso si de effetture il clcolo di u rdicle doppio ( è l su struttur, ipotizzdo che si diverso d zero e si diverso d zero e d uo, isog effetture prim il clcolo dell, poi isog effetture il clcolo e poi clcolre l. Come è fcile ituire, per vere u uo risultto isog che l si clcolt co u umero deguto di decimli. Nell ipotesi, effettivmete stz remot, che il vlore di si u qudrto, esiste u modo semplice per poter effetture il clcolo di u rdicle doppio. Questo metodo cosiste el trsformre il rdicle doppio i u somm/sottrzioe di due rdicli. Se è ugule d u qudrto llor poedo = posso scrivere: = Dimostrzioe Nell ipotesi che i due termii dell ugugliz precedete si uguli, che i loro qudrti sro uguli. Utilizzeremo quest ffermzioe per dimostrre l precedete formul. Se = llor = ( =

34 Verio Vercii Clcolo delle rdici ( - = ( ( = ( ( = = ( =. C.V.D. Ovvimete l ugugliz = è sempre ver (l imo ppe dimostrt, m h scopo effetture quest trsformzioe solo se è u qudrto, ltrimeti trsformimo u rdicle doppio i u somm/sottrzioe di due rdicli doppi. mmettimo di voler clcolre 7. Premetto che il suo vlore è, = 9 = 6 che è il qudrto di = =,998 +,7768 =,6666. L differez sull ultimo decimle è dovuto ll pprossimzioe dell mi clcoltrice. mmettimo di voler clcolre 7. Premetto che il suo vlore è,8. 7 = 9 = 6 che è il qudrto di = =,998 -,7768 =,8 mmettimo di voler clcolre. Premetto che il suo vlore è,6777. = = 8 che è il qudrto di = =, =,6777 mmettimo di voler clcolre. Premetto che il suo vlore è,6777. = = 8 che è il qudrto di = =, =,6777. Dimostrzioe del metodo geometrico

35 Verio Vercii Clcolo delle rdici Si può dimostrre l vlidità del metodo geometrico, per l estrzioe dell rdice qudrt, i due modi diversi: ttrverso il metodo geometrico e ttrverso le fuzioi trigoometriche. Dimostrzioe ttrverso il metodo geometrico Clcolimo l lughezz del segmeto CH L golo C è u golo retto visto che isiste sul dimetro dell circoferez. Per il teorem di Euclide il segmeto H moltiplicto per il segmeto H è ugule l qudrto del segmeto CH. Siccome il segmeto H è ugule ll uità risulterà che il segmeto H è ugule l qudrto del segmeto CH. Cioè il segmeto CH è ugule ll rdice qudrt del segmeto H. C.V.D. Clcolimo l lughezz del segmeto C Per il Teorem di Pitgor imo C = CH + H Il qudrto del segmeto CH, cioè CH è ugule l segmeto H. Il segmeto H è ugule per cui H è ugule. D cui C è ugule H + per cui C è ugule ll rdice qudrt del dimetro. C.V.D. Dimostrzioe ttrverso le fuzioi trigoometriche Clcolimo l lughezz del segmeto CH Se l golo COH è α ed il segmeto O è ugule llor imo che: L rett ross (segmeto H è = cosα.

36 Verio Vercii Clcolo delle rdici L rett lu (segmeto H è = cosα. L rett ros (segmeto CH è = seα. cosα seα imo ipotizzto che ( cosα cosα D cui, co semplici pssggi, si ricv: ( cosα ( cosα = se α Effettudo l moltipliczioe otteimo: -cos α = se α E quest è u idetità. C.V.D. Clcolimo l lughezz del segmeto C α Doimo premettere che cosα cos se α Il segmeto C è = se. imo ipotizzto che ( cos = α se α = cos α se ( cosα -cosα = - cos = α se se - cos α α = se cos E quest è u idetità. C.V.D. ltro metodo per clcolre l lughezz del segmeto C imo ipotizzto che: = C = CH + H se ( cos ( cos ( cos ( cos ( cos se cos cos cos cos E quest è u idetità. C.V.D. α α se α α (cos se = α = se α se Metodo geometrico per il clcolo delle rdici co idice superiore U delle iovzioi mtemtiche più sigifictive l doimo Crtesio ed Fermt e mi riferisco llo studio e ll itroduzioe delle coordite crtesie. M già el IV secolo.c. lcui mtemtici vevo utilizzto u metodo logo per defiire delle curve pie. Grzie Ippocrte di Chio (ull che vedere co Ippocrte, il medico greco e Meecmo fu risolto il prolem del clcolo dell rdice cuic di u umero ttrverso u metodo grfico. Trlscido di illustrre il rgiometo di come i due mtemtici greci sio rrivti ll soluzioe di questo prolem, vedimo come oggi si potree rgiore per rrivre l medesimo risultto. L espressioe è equivlete ll espressioe Suddividedo quest fuzioe i due fuzioi distite imo:, d ciò possimo ricvre che.

37 Verio Vercii Clcolo delle rdici y y L uico vicolo d rispettre, su queste due fuzioi, è che devoo essere, simultemete, verificte. Per cui, ricpitoldo, per poter effetture il clcolo dell st riportre su u pio crtesio le due precedeti fuzioi, che soo u iperole e u prol. Nel puto dove le due fuzioi si iterseco imo l soluzioe cerct. Cioè el puto di itersezioe le due equzioi ho il vlore dell sciss ( e dell ordit ( y che soddisfo, simultemete, le due precedeti fuzioi. Il vlore dell sciss ( è l soluzioe cerct. Si rr che quest soluzioe o si piciut Pltoe, perché utilizz delle curve che o soo costruiili co rig e compsso, m soo costruiili per puti, e perciò i modo pprossimto. Questo, però, o impedì i mtemtici polloio, rchimede, Euclide, Meecmo ed ltri, di studire queste uove curve scopredoe molte delle loro strordirie proprietà. Il metodo cceto er sempre i uso ed mplimete utilizzto che d Crtesio e d Newto. Co questo sistem, cioè co l seprzioe i due fuzioi distite dell fuzioe di prtez, è possiile clcolre l rdice co u qulsisi idice itero di u quluque umero. mmettimo di voler clcolre l. I questo cso imo che l e perciò imo che, dividedo quest fuzioe i due fuzioi distite possimo vere diverse possiilità. y y Oppure y y Oppure y y Ecc. Comuque, come spiegto precedetemete, l sciss ( del puto dove le due fuzioi si iterseco è l soluzioe cerct. Ovvimete co questo metodo, cosistete el suddividere l fuzioe i due fuzioi distite che devoo essere simultemete rispettte, può essere utilizzto che per effetture il clcolo delle rdici qudrte. Però i prtic o veiv utilizzto visto che esistev u metodo ettmete più semplice, e mi riferisco l Metodo geometrico illustrto el cpitolo Metodi di clcolo per le sole rdici qudrte. Frzioi cotiue Si dice frzioe cotiu limitt (illimitt se i suoi termii ho u fie (o ho u fie. Struttur di u frzioe cotiu U frzioe cotiu viee comuemete rppresett così [,,,, ecc.]. Tutti i termii soo umeri turli (N, solmete il termie può essere ugule e l ultimo termie deve essere diverso d. 6

38 Verio Vercii Clcolo delle rdici Tutti questi termii ho questo sigificto... Frzioi cotiue limitte E possiile dimostrre: Ogi frzioe cotiu limitt rppreset u umero rziole positivo. Si può dimostrre che: Ogi umero rziole positivo si può rppresetre co u frzioe cotiu limitt. Esempi 6 Il umero si può trsformre i: e si rppreset co così [,,,6]. 6 Il umero si può trsformre i: e si rppreset così [,,]. Il umero si può trsformre i e si rppreset così [,,]. 7 Il umero si può trsformre i e si rppreset così [,,,]. Vedimo or come è possiile trsformre u frzioe ordiri i u frzioe cotiu limitt. 67 mmettimo di voler trsformre l frzioe = + per cui = + rppreset co [,6,]. siccome = ricvo che = e si 6 9 mmettimo di voler trsformre l frzioe. 6 7

39 Verio Vercii Clcolo delle rdici 9 9 = = 6 6 = = = = 6 9 = 8 9 = 9 8 = 8 e si rppreset co [,,,,,]. = 8 Frzioi cotiue illimitte E possiile dimostrre: Ogi frzioe cotiu illimitt rppreset u umero irrziole positivo. Si può dimostrre che: Ogi umero irrziole positivo si può rppresetre co u frzioe cotiu illimitt. Il umero si trsform i e si rppreset così [,,,,,, ].... Premetto suito che, per rrivre questo risultto, ho rto, el seso che ho trsformto l i u umero decimle ifiito (,99 e poi ho costruito l frzioe cotiu illimitt corrispodete. I geerle o è possiile trsformre u umero irrziole i u frzioe cotiu illimitt sez cooscere, precedetemete, il vlore decimle ifiito. Esiste u sol tipologi di umeri irrzioli che soo trsformili, i u frzioe cotiu illimitt, sez cooscere prevetivmete il reltivo vlore decimli ifiito. Quest tipologi di umeri irrzioli soo i umeri irrzioli qudrtici che si trsformo i u frzioe cotiu illimitt periodic (vedi oltre. Detto questo, però, iete viet che esisto dei umeri irrzioli o qudrtici che sio trsformili i u frzioe cotiu illimitt co spetti di regolrità. Fccimo lcui esempi. Esempi L frzioe cotiu illimitt [,,,,,,,,,,,,,,, ecc.] h u cert regolrità, visto che il umero degli tr i, cresce i modo regolre. L frzioe cotiu illimitt [,,,,,,,7,,,,,, ecc.] h u cert regolrità, visto che i umeri tr gli soo umeri primi cosecutivi cresceti. 8

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