alcuni esercizi risolti o quasi di inferenza statistica I a.a. 2005/06

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1 ISTRUZIONI PER L USO alcui eercizi riolti o quai di ifereza tatitica I a.a. 005/06 guido maarotto 3 maggio 006 La umerazioe delle uità corripode a quella dei lucidi delle lezioi. Tavole dei quatili delle ditribuzioi di iteree pooo eere trovate i formule e tavole dipoibile ella pagia del coro ul ito della Facoltà. Coiglio gli tudeti a cercare di volgere gli eercizi teedo, i prima battuta, a dipoizioe olo queto documeto e facedo olo ucceivamete ricoro a lucidi e libri. Ifatti, durate l eame critto, è poibile coultare olamete formule e tavole. Tutti gli eercizi potrebbero eere propoti durate u compito d eame e, ifatti, quai tutti provegoo da compiti d eame propoti egli ai paati. I alcui rari cai (ad eempio l eercizio 55) la oluzioe propota richiede però più calcoli e grafici di quati i pooo volgere durate il compito. Soo ieriti qui ella peraza di riucire a chiarire meglio il dicoro. Altre volte la oluzioe preetata è chematica e o motra tutti i dettagli di calcolo. Credo però ia buoa pratica ricotruirli. Durate la oluzioe di u eercizio può eere buoa pratica eguire il eguete chema: 1. Decrivere la popolazioe di riferimeto (quato è deumibile dal teto, ovvero, quado i fa riferimeto ad u problema cocreto -ivetato o meo che ia); Ad eempio, La popolazioe di riferimeto è l iieme di tutte le latre di metallo che il proceo produttivo che tiamo coiderado potrebbe produrre quado è ello tato attuale. Si tratta di ua popolazioe virtuale e ifiita.. Preciare il modello probalitico di riferimeto. Ad eempio, Per codurre le aalii, upporremmo che le miure otteute iao determiazioi idipedeti ed ideticamete ditribuite di ua ormale di media µ igota e variaza σ ota ed uguale a 0, Nel cao i calcoli u itervallo di cofideza, preciare, prima di volgere i calcoli, il livello e la formula utilizzata. Ad eempio, U itervallo di cofideza per la media di livello 1 α può eere calcolato come y ± z 1 α/ σ 0 /. Ueremmo α = 0, Nel cao i coduca u tet decrivere il itema di ipotei, la tatitica tet e la ditribuzioe otto H 0. Ad eempio, Il itema di ipotei è H 0 : µ = 14 vero H 1 : µ 14. copyright c guido maarotto facoltà di cieze tatitiche uiverità di padova guido.maarotto@uipd.it La tatitica tet che ueremo è (y 14)/σ 0 che, el cao ia vera l ipotei ulla i ditribuice come u ormale tadard. 5. Ifie, o dimeticari mai di trarre le cocluioi di quato fatto e di eprimerle ei termii del problema origiale. Ad eempio, Le aalii codotte uggericoo che il proceo produttivo o era be tarato el mometo i cui oo tati rilevati i dati. Seguire lo chema ifatti dovrebbe aiutarvi ella oluzioe e opratutto pigervi a rivedere le coe che vi oo riultate più eoteriche. No arebbe male ioltre che teete preete queto chema ache durate la prova d eame.

2 Uità B Eercizio 1. I Ighilterra, dal 100 fio a quado le moete oo tate coiate i metallo prezioo, l oetà del Mater of Mit (il repoabile/appaltatore della zecca reale) è tata cotrollata mediate u cotrollo campioario, la coidetta Trial of Pyx (pyx è u recipiete acro). Il Mater of Mit, el cao la prova idicae la ua dioetà, era oggetto a coegueze o del tutto gradevoli (i alcui ecoli ache la codaa a morte). I dettagli per le ghiee d oro el 1799 erao: il peo omiale di ua ghiea era di 18 grai (360 grai fao u ocia); 100 ghiee veivao tate etratte caualmete tra tutte quelle prodotte durate l itero ao (due fuzioari reali i recavao i giori celti caualmete diemiati durate tutto l ao preo la zecca e ceglievao a cao ua o più moete della produzioe di quel gioro); le ghiee etratte veivao ma mao coervate el pyx; alla fie dell ao il recipiete co le 100 ghiee veiva peato; il Mater of Mit paava la Trial of Pyx e il peo delle ghiee etratte era uguale al peo atteo più o meo 1/400 del peo atteo teo. Si ritiee che co la tecologia dell epoca il peo di ogi igola moeta i ditribuie come ua ormale di media cotrollabile dal Mater of Mit e variaza uitaria. Ioltre, i pei reali di differeti moete pooo eere coiderati idipedeti. (a) Calcolare la probabilità che u Mater of Mit oeto opravvivee alla Trial of Pyx. (b) Calcolare la probabilità che u Mater of Mit dioeto e che avee decio di rubare mediamete 0,3 grai d oro per ogi ghiea prodotta veie coperto. (c) Implicitamete quale tet tatitico utilizzava il re per verificare l oeta del uo Mater of Mit? (d) Nel coteto del tet delieato al puto precedete che coa oo e come i chiamao le due probabilità calcolate ai primi due puti dell eercizio? Poiamo = 100 = umero ghiee peate, y i = peo della i-ima ghiea, i = 1,...,, = y i = peo totale delle delle ghiee etratte, i=1 y = = peo medio delle ghiee etratte, µ = peo medio delle ghiee fiato dal Mater of Mit. µ 0 = 18 = peo omiale di ua ghiea µ 1 = 17,7 = peo medio di ua ghiea e il Mater cerca di rubare 0,3 grai d oro per moeta Il Mater paa la prova e µ 0 µ µ 0 + µ Dividedo per 1 poiamo ricrivere la regola utilizzata dal re come e y µ 0 µ 0 allora il Mater of Mit viee dichiarato oeto. 400 Ricordiamoci che appiamo che ( y N µ, 1 ) (y µ) N(0, 1). (1) Per ripodere alle prime due domade dobbiamo calcolare P(il mater vega dichiarato oeto quado fia la media a µ) poedo el cao della prima domada µ = µ 0 e el cao della ecoda µ = µ 1. Ci coviee quidi calcolare la probabilità di opra ua volta per tutte per u valore di µ qualiai: P(il Mater viee dichiarato oeto e µ è la media) = ( = P µ 0 µ y µ 0 + µ ) 0 = ( 400 = P µ 0 µ µ y µ µ 0 µ + µ ) 0 = ( 400 ( = P µ 0 µ µ ) 0 (y µ) ( µ 0 µ + µ )) 0 = ( ( = P µ 0 µ µ ) 0 N(0, 1) ( µ 0 µ + µ )) 0 = ( ( = Φ µ 0 µ + µ )) ( 0 ( Φ µ 0 µ µ )) 0 = Alla terza riga ho divio per lo carto quadratico medio di y i maiera tale da poter utilizzare la (1) ei paaggi ucceivi. Nell ultima riga Φ( ) idica al olito la fuzioe di ripartizioe di ua N(0, 1). 1 vito che a lezioe abbiamo lavorato co le medie e o co i totali cotiuo a lavorare coì ovvero per 1/ 1

3 (a) U Mater oeto cerca di fiare µ uguale µ 0. Sperado (per la ua teta!) che o bagli, troviamo P(u M. oeto viee dichiarato oeto) = ( 18 ) ( ) 100 = Φ Φ = Φ(3,) Φ( 3,) = Φ(3,) L ultimo paaggio è ua coegueza del fatto che la immetria della N(0, 1) ci permette di crivere Φ( x) = 1 Φ(x). Da ua tabella dei quatili di ua ormale tadard poiamo oervare che Ma allora 3, > 3,09 = quatile 0,999 di ua N(0, 1). Φ(3,) = P(N(0, 1) 3,) > P(N(0, 1) 3,09) = 0,999 e quidi la probabilità cercata è maggiore di = 0,998, ovvero u Mater of Mit oeto richia, al più, di perdere la ua teta ua volta ogi 500 ai. Utilizzado R per calcolare la probabilità troviamo > *porm(3.)-1 [1] (b) I queto cao µ è poto dal Mater of Mit uguale a µ 1 = µ 0 0, 3 = 17,7. Ovvero µ 0 µ = 0,3. Quidi Sappiamo che P(il Mater viee dichiarato oeto) = ( ( 100 = Φ 0, )) ( ( 100 Φ 0,3 18 )) = Φ(6,) Φ( 0,) Φ(6,) 1. Ioltre, utilizzado la tabella dei quatili della ormale e ricordadoci della immetria della ditribuzioe, troviamo e quidi Φ( 0,) = 1 Φ(0,) 1 0,58 = 0,4 P(Mater dioeto la faccia fraca) = Φ(6,) Φ( 0,) 1 0,4 = 0,58. I R = > porm(6.)-porm(-0.) [1] La probabilità che vega coperto è perciò, approimativamete, 1 0,58 = 0,4. (c) Il re vuole verificare il itema di ipotei { H0 : Mater oeto H 1 : Mater dioeto { H0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Il coteto e il tet utilizzato oo quelli ulla media di ua ormale di variaza ota coiderato ella ecoda parte dell uità B. Quello che ui lucidi è idicato co h 3 è i queto cao poto uguale a µ 0 /400 = 3,. Queto, per quado vito al puto (a), garatice che 0,998 < P(accettare H 0 quado H 0 è vera) < 1. Il livello di igificatività del tet adottato dal re quidi è iferiore a (d) Come appea otato la probabilità calcolata al puto (a) è P(accettare H 0 quado H 0 è vera) che poiamo ache idicare come la probabilità di o commettere u errore di I tipo. Al puto (b) dell eercizio abbiamo vicevera calcolato la probabilità che il tet o commetta u errore di II tipo quado la vera media è uguale a 17,7. Si oervi ioltre che e γ(µ) idica la fuzioe di poteza allora probabilità puto (a) = 1 γ(18) probabilità puto (a) = γ(17,7) Eercizio. Si auma che la preioe itolica media di u adulto ao ia 10 (mm Hg) e lo carto quadratico medio 5,6. Aumedo che la preioe ia idipedete tra gli idividui e che abbia ditribuzioe ormale, calcolare la probabilità che (a) elezioado u idividuo ao a cao queti abbia preioe uperiore 15; (b) cegliedo a cao 4 idividui, la media della loro preioe itolica ia uperiore a 15; (c) cegliedo a cao 5 idividui, la media della loro preioe itolica ia uperiore a 15; Ioltre eprimere i forma verbale quello che quete probabilità ci raccotao ulla media campioaria. 3 la oglia co cui cofrotare il valore della tatitica tet 3 4

4 Ricordiamo che e y 1,..., y oo determiazioi idipedeti di ua variabile cauale ormale di media µ e variaza σ allora y = 1 y i N(µ, σ /). Le probabilità ricercate oo quidi, per = 1, 4, 5, i=1 P(y > 15) = P(N(10, 5,6 /) > 15) = 1 P(N(10, 5,6 /) 15) = ( ) = 1 Φ 5,6/ e quidi valgoo 4 = 1: 1 Φ(0,89) 1 0,815 = 0,1875; = 4: 1 Φ(1,79) 1 0,963 = 0,037; = 5: 1 Φ(4,46) < 1 0,9999 = 0,0001. Quete probabilità ci raccotao come, all aumetare della umeroità campioaria, dimiuica la probabilità che la media campioaria i allotai troppo dalla vera media. Eercizio 3. Si uppoga che la media e lo carto quadratico del coleterolo i idividui ai tra i 18 e i 5 valgao, ripettivamete, 150 e 5. Calcolare, almeo approimativamete, la probabilità che la media dei valori rilevati idipedetemete u 100 idividui etratti a cao ia comprea tra 149 e 151. Ricalcolare la medeima probabilità uppoedo che iao tate etratte 1000 e peroe. Ifie, eprimere verbalmete quello che le probabilità calcolate ci raccotao ulle proprietà della media aritmetica. Il calcolo eatto o è poibile vito che o viee data la ditribuzioe del coleterolo (ma olo i uoi primi mometi). Le umeroità da coiderare ( = 100, 1000, 10000) oo però ufficetemete elevate da permettere l utilizzo del teorema del limite cetrale. Calcoleremo le probabilità richiete uppoedo quidi, che almeo approimativamete, y 150 5/ dove, al olito, y è la media di y 1,..., y. N(0, 1) 4 approimativamete, uo deliberatamete olo la tavola dei quatili iterpolado ad occhio ; lo tudete provi a rifare i calcoli utilizzado R. Le probabilità richiete pooo eere calcolate come ( P(149 y 151) = P 5/ y ) 150 5/ / ( ) P 5/ N(0, 1) 5/ = ( ) ( ) = Φ Φ 5 5 e valgoo 5 = 100: Φ(0,4) Φ( 0,4) 0,31; = 1000: Φ(1,6) Φ( 1,6) 0,79; = 1000: Φ(4) Φ( 4) > 0,9998. Le probabilità appea calcolate fao vedere come la probabilità che la media campioaria commetta u errore uperiore a 1 dimiuice all aumetare della umeroità campioaria. Ovvero, eemplifica come al crecere di la ditribuzioe campioaria della media campioaria i cocetri itoro al vero parametro. Eercizio 4. I ua recete ipezioe i u opedale, è tata miurato il rumore (i decibel) i 74 corridoi e taze di ricovero. La media delle miure otteute è tata 61,3 e lo carto quadratico medio campioario 7,8. Calcolare u itervallo di cofideza al 90% per la media dei decibel a cui oo epoti i ricoverati dell opedale coiderato. La ditribuzioe delle igole oervazioi o è data. Però, vita la umeroità campioaria, poiamo, dal teorema del limite cetrale, calcolare degli itervalli di cofideza approimati per la media. Poiamo z 1 α/ = 74 = umero delle oervazioi, y = 63,3 = media campioaria, = 7,8 = carto quadratico medio campioario, α = 0,1 = probabilità che l itervallo o icluda il vero valore, = 1,64 = quatile appropriato di ua ormale tadard. Allora l itervallo di cofideza richieto è y ± z 1 α/ = 63,3 ± 1,64 7,8 [61,8 ; 64,8] calcolate a occhio dalla tavola dei quatili di ua ormale tadard. 5 6

5 Quidi, co alta probabilità (approimativamete 90%), la media del rumore a cui oo epoti i pazieti (e i medici e gli ifermieri) dell opedale coiderato è comprea tra i 61,8 e i 64,8 decibel. Eercizio 5. Per miurare la cocetrazioe di P b (i µgg 1 ) i procede ella eguete maiera: (i) il materiale origiario viee divio i pezzettii; (ii) u ciacu pezzettio viee miurata la cocetrazioe utilizzado uo trumeto appropriato; (iii) la tima della cocetrazioe di P b viee ifie calcolata facedo la media aritmetica delle miure otteute. Sapedo che gli errori commei dallo trumeto utilizzato i ditribuicoo (almeo approimativamete) come delle ormali di media zero e carto quadratico medio 0,, dire quato deve eere grade affichè almeo 9 volte u 10 Poiamo (tima della cocetrazioe) (vera cocetrazioe) < 0,05. µ = vera cocetrazioe y i = miura ull i-imo pezzettio y = y i / = tima cocetrazioe i=1 σ = 0, = carto quadratico medio dell errore di ua igola miura δ = 0,05 = maimo errore da commettere 9 volte u 10 1 α = 0,9 = probabilità deiderata di u errore iferiore a δ. Quello che viee richieto è di determiare i maiera tale che P( y µ < δ) = 1 α. Ma allora, per defiizioe di itervallo di cofideza, y ± δ è u itervallo di cofideza di livello 1 α per µ. Sappiamo che queti, el preete coteto, oo del tipo y ± z 1 α/σ. Quidi, affichè ia oddifatta la codizioe deiderata dobbiamo cegliere i maiera tale che z 1 α/ σ = δ. Riolvedo i queta equazioe troviamo ( z1 α/ σ) =. δ Co i dati del problema, oervado ella tabella dei quatili di ua N(0, 1) che z 0,95 = 1,645, troviamo ( ) 1,645 0, = 43,3. 0,05 Ovviamete u umero frazioale di miure o poiamo farle. Oervado che più piccolo è più è piccolo l itervallo poiamo cegliere = 44. Ifatti, coì facedo ci garatiamo che P( y µ < δ) 1 α. Eercizio 6. Per miurare u certo parametro ematico oo a dipoizioe due divere metodiche, chiamiamole A e B. Sapedo che: (i) le miure prodotte da ambedue le metodiche hao media µ dove µ idica il vero valore del parametro 6 che i ta miurado; (ii) la variaza degli errori della ecoda miura è 10 volte la variaza degli errori della prima miura; (iii) il coto (reageti, tempo dell operatore,... ) di ua miura co la prima metodica è 8 volte quello di ua miura co la ecoda metodica; (iv) è poibile, per ambedue le metodiche, dividere il campioe di ague di u idividuo i campiocii e utilizzare la media delle miure otteute ei vari campiocii per timare il vero valore del parametro. i dica e è più coveiete utilizzare la metodica A o la metodica B i queto cao utilizzado la poibilità (iv) per otteere miurazioi co la tea variaza. La variaza della media di miure è variaza igola miura. 6 che ovviamete dipede dall idividuo e dal mometo del prelievo di ague. 7 8

6 Quidi per otteere time co la tea variabilità dobbiamo, per ogi miura co la metodica A, fare 10 miure co la metodica B. Coviee quidi utilizzare A vito che il uo coto è olo 8 quello di B. Eercizio 7. Vi recate all aeroporto di Veezia per predere u volo per Boto. La durata previta del volo è di 8 ore. Al check-i oltre alla carta di imbarco vi dao u depliat patiato pieo di foto e di iformazioi ull aeromobile u cui volerete. I fodo ad ua pagia, critto co u carattere piccolo piccolo, trovate la eguete frae: La ditribuzioe delle ore di fuzioameto eza guati di ua compoete fodametale del motore ha deità { 0 e x < 0 f(x; ϑ) = ϑe ϑx e x 0. L eatto valore di ϑ o è oto ma co i dati i otro poeo poiamo dire che [0,00001 ; 0,09] è u itervallo di cofideza per ϑ co probabilità di copertura pari a 0,99. Vi imbarcate lo teo? A oi ovviamete iterea che l aereo arrivi a Boto eza guati ovvero che, e idichiamo co T il tempo di fuzioameto di quella compoete del motore, π(ϑ) = P(T 8) = + 8 f(x; ϑ)dx = e ϑ8 ia ufficetemete grade. E facile vedere che π(ϑ) è ua fuzioe mootoa decrecete i ϑ. Quidi implica che P(0,0001 ϑ 0,09) = 0,99 P(e 0,09 8 e ϑ8 e 0,00001 ) = 0,99. Ovvero, quello che ci ta raccotado il depliat è che i dati dipoibili per l azieda idicao che co alta probabilità (99%) la probabilità di o avere u guato è comprea tra e 0,09 8 0,4867 e e 0, ,9999. A queto puto decidete voi coa fare. Ma la ripota più impatica, quado ho propoto l eercizio i u compito d eame, è tata di ua tudetea che ha critto Ho decio di predere il Titaic. E più icuro. E poi, chià, co tutti quei pricipi e coti... Eercizio 8.. Siao y 1,..., y delle determiazioi idipedeti di ua variabile cauale ormale di media µ e variaza σ0 ota e i coiderio le egueti tre ituazioi: (i) = 5, σ 0 = 10, y = 1, (ii) = 1000, σ 0 = 10, y = 1, (iii) = 5, σ 0 = 0,1, y = 1 dove, al olito, y idica la media campioaria delle oervazioi. I tutti e tre i cai (a) i calcoli u itervallo di cofideza al 95% per la vera media; (b) Si coideri il itema di ipotei H 0 : µ = 0 vero H 1 : µ 0 e i dica e l uuale tet ulla media di ua variabile cauale ormale di variaza ota porta all accettazioe o al rifiuto dell ipotei ulla quado il livello di igificatività viee poto uguale a 0,01; (c) ifie, i pieghi ituitivamete perchè il tet uggerice cocluioi differeti ootate i tutte e tre le ituazioi la media campioaria, ovvero la tima della media, ia uguale. (a) L itervallo di cofideza richieto è y ± z 1 α/ σ 0 dove 1 α idica il livello di copertura richieto e z p è il quatile-p di ua ormale tadard. Nel otro cao 1 α = 0,95 α = 0,05 z 1 α/ = z 0,975 = 1,96. Nei tre cai quidi otteiamo (i) 1 ± 1,96 10/ 5 = [ 7,76; 9,76]; (ii) 1 ± 1,96 10/ 1000 = [0,38; 1,6]; (iii) 1 ± 1,96 0,1/ 5 = [0,91; 1,09]. 9 10

7 (b) La tatitica tet è y z = σ 0 e il tet uggerice di accettare l ipotei ulla quado Oerviamo che z 1 α/ z z 1 α/. α = 0,01 1 α/ = 0,995 z 1 α/ = z 0,995 =,58. Nelle tre ituazioi decritte troviamo (i) z = 5/10 0, e quidi accettiamo H 0 ; (ii) z = 1000/10 3,16 e quidi rifiutiamo H 0 ; (iii) z = 5/0,1,36 e quidi rifiutiamo H 0. (c) Le cocluioi del tet oo differeti ei tre cai. Si oervi tra l altro che ulla cambierebbe e i coideraero valori di α differeti (ad eempio, α = 0,05 o α = 0,1). I tutti e tre i cai la differeza tra la tima della media, y, e la media ipotizzata dall ipotei ulla, 0, è uguale. La differeza ifatti vale ifatti empre 1. Nei tre cai è differete però la preciioe co cui y tima la vera media. Ifatti, lo carto quadratico medio di y vale, come appiamo, σ 0 / e quidi è tato più piccolo quato più σ 0 è piccolo e/o è grade. No è quidi orpredete che la tea differeza poa riultare acora compatibile co H 0 quado l errore di tima è grade ma icompatibile co H 0 quado l errore di tima è piccolo. Del reto queto è ache quello che ci raccotao i tre itervalli di cofideza: el primo ma o egli altri il valore µ = 0 è icluo, ovvero, co la preciioe co cui è timato µ el primo cao o poiamo ecludere dai valori plauibili per µ il valore µ = 0; vicevera, queto lo poiamo fare egli altri due cai. Eercizio 9. Siao (y 1, x 1 ),..., (y, x ) determiazioi idipedeti tratte da ua variabile cauale bivariata (X, Y ) e i idichi co r i coefficiete di correlazioe calcolato co quete oervazioi. Si idichi vicevera co ρ il coefficiete di correlazioe eitete tra (Y, X) (ovvero il coefficiete di correlazioe ella popolazioe ). (a) Sotto ipotei deboli, che però o preciiamo, è poibile far vedere che quado ρ è uguale a zero la ditribuzioe di z = r 1 r può eere approimata, e è ufficietemete grade, da ua ditribuzioe ormale tadard 7. Utilizzare queto riultato per cotruire u tet per il itema d ipotei H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 ovvero per verificare l ipotei che ella popolazioe o eita correlazioe. (b) Si uppoga che = 100 e che per certi dati ia riultato r = 0,17. A quali cocluioe arrivate utilizzado il tet delieato al puto precedete? (c) Si uppoga ora che = 1000 e che il valore oervato di r cotiui ad eere 0,17. Applicado il tet ora vito quale arebbe la ripota? (d) Spiegare il motivo delle evetuali differeze trovate ei due puti precedeti. Nota. L eercizio da u lato vuole forire uo trumeto utile (come verificare la preeza di correlazioe tra due variabili) e dall altro illutrare come coocedo ua tatitica tet appropriata e coocedoe la ditribuzioe campioaria otto l ipotei ulla i è i grado di cotruire autoomamete u tet tatitico. (a) Per il itema d ipotei dato è ituitivamete plauibile peare di utilizzare r come tatitica tet. Valori di r troppo lotai da zero (poitivi o egativi) arao ovviamete da iterpretare come evideza cotro H 0. Si poga ora f(x) = x/ 1 x e i oervi che (i) f(0) = 0; (ii) f(x) = f( x) ovvero che la fuzioe, come i ua dire, è dipari; (iii) f(x) è mootoa crecete e 1 < x < 1; ifatti, derivado troviamo df(x) dx = 1 1 x + x (1 x ) 3 > 0 e 1 < x < 1. Quidi u tet che rifiuta per r troppo grade è equivalete ad u tet che rifiuta per z troppo grade. Poiamo perciò ridefiire la tatitica tet decidedo di utilizzare z al poto di r. Fatta queta celta la meccaica del tet diveta quella decritta elle uità B e C co riferimeto alla media della ormale (co variaza ota) e alla probabilità di ucceo di ua biomiale. Ifatti la ditribuzioe otto H 0 della tatitica precelta è ache i queto cao (olo aitoticamete) ua N(0, 1). (b) Calcoliamo z = r = 0, ,71. 1 r 1 0,17 7 l approimazioe è coiderata ragioevole e >

8 Queto valore va cofrotato co i valori attei per ua N(0, 1). Utilizzado u tet co u livello di igificatività prefiato e pari ad α il valore oervato va comparato co i quatili 1 α/ di ua ormale tadard. Alcui valori caoici oo: α = 0,1 z 1 α/ = z 0,95 = 1,64 rifiuto H 0 () α = 0,05 z 1 α/ = z 0,975 = 1,96 accetto H 0 (3) α = 0,01 z 1 α/ = z 0,995 =,58 accetto H 0 (4) (5) Come i vede iamo i ua zoa ai cofii della igificatività. La cocluioe può eere ua dubbioa accettazioe di H 0. (c) I queto cao z = r = 0, ,45. 1 r 1 0,17 I queto cao, per qualiai α ragioevole, il tet ci uggerice di rifiutare H 0. (d) Si veda l eercizio 8. Eercizio 10. Ripodere alle egueti domade piegado brevemete il perchè delle ripote. (a) Se u tet tatitico ci porta ad accettare l ipotei ulla, poiamo coiderare dimotrato che l ipotei ulla è vera? (b) Se u tet tatitico ci porta a rifiutare l ipotei ulla, poiamo coiderare dimotrato che l ipotei ulla è fala? (c) All aumetare dell livello di copertura 1 α aumeta ache l ampiezza dell itervallo di cofideza ulla media di ua ormale co variaza ota? (d) E vero che i u tet tatitico, P(errore di I tipo) = 1 P(errore di II tipo)? (e) Si coideri il tet ulla media di ua ditribuzioe ormale dicuo ell Uità B. Si uppoga che il tet vega applicato i u mometo i cui il proceo è i cotrollo (la media degli peori è uguale a 14mm). Se campioaimo o 5 ma 100 latre, la probabilità di commettere u errore di primo tipo dimiuirebbe? (a) No. Purtroppo, per effetto del cao potremmo eere icappati i u errore di II tipo (accettare H 0 quado H 0 è fala). Quello che poiamo dire è che le iformazioi coteute ei dati o permettoo di rifiutare l ipotei ulla. E u po come i u tribuale. Se u idiziato viee dichiarato o colpevole o poiamo dire co certezza che o lo è. Quello che però poiamo dire è che l evideza proceuale è compatibile co la ua ioceza. (b) No. Purtroppo, per effetto del cao potremmo eere icappati i u errore di I tipo (rifiutare H 0 quado H 0 è vera). La cotruzioe che abbiamo vito permette di cotrollare o di elimiare la probabilità di commettere queto errore. Ritorado al paragoe co u tribuale, è u po come quado viee codaato u iocete: l evideza proceuale (el otro cao i dati) oo cotro di lui ma o era tato lui a commettere il delitto. (c) Si. L itervallo di cofideza è y ± z 1 α/ σ 0 e ovviamete, al crecere è 1 α crece z 1 α/ e quidi l itervallo i allarga. Laciado perdere coiderazioi troppo teciche per il livello a qui iamo, è quello che capita praticamete empre. Del reto embra cotato che u itervallo che cotiee il 99% delle volte u parametro igoto debba eere più lugo di u itervallo che cotiee lo teo parametro olo il 50% delle volte (almeo e oo tutti e due cotruiti i maiera eata!). (d) No. Le probabilità dei due errori oo addirittura calcolate otto due ipotei differeti ul modo (quella di I tipo uppoedo H 0 vera, quella di II ipotizzado vera H 1 ). (e) No. Nei tet tipo quello viluppato ell uità B la probabilità di errore di I tipo è prefiata (e idicata co α). No dipede dalla umeroità campioaria. Eercizio 11. L Itituto Superiore di Saità ha timato che le pee a carico del Sitema Saitario Nazioale per la riabilitazioe di u paziete che ha avuto u ictu è di 437 euro. L ammiitrazioe di ua ASL, per verificare e i coti ella ASL erao i liea co la media azioale, ha raccolto le iformazioi ul coto della riabilitazioe di 64 pazieti. Il coto medio è riultato pari a euro co uo carto quadratico medio (campioario) di 9156 euro. (a) Determiare u itervallo di cofideza co livello di copertura 99% per la vera media dei coti ell ASL coiderata. (b) La differeza tra il coto medio azioale e il coto medio timato ell ASL è igificativa per α = 0,01? (c) Le ripote precedeti oo coereti tra loro? Ovvero ci raccotao la tea toria? 13 14

9 Il teto dell eercizio o mezioa la ormalità dei coti ed ioltre iamo i preeza di uo carto quadratico medio timato. La umeroità è però tale che è poibile utilizzare le procedure per l ifereza ulla medie baate ul teorema del limite cetrale. Sia per l itervallo di cofideza che per il tet ci erve il quatile-0,995 di ua ormale tadard. Da ua tavola dei quatili della ditribuzioe ormale troviamo che vale,58. (a) L itervallo di cofideza è y ± z 1 α/ = ±, = [41189,54 ; 47096,46]. 64 (b) La tatitica tet è z = y µ = 1, Per verificare e la differeza tra la tima della media e la media ipotizzata è igificativa al 1% dobbiamo cofrotare queto valore co il quatile-0,995 di ua ormale tadard. Ovviamete,58 = z 0,995 z = 1,55 z 0,995 =,58 quidi la differeza oervata o è igificativa al 1%. (c) Certo. I riultati oo coereti. Ifatti l itervallo di cofideza iclude la media azioale al uo itero; ovvero, ci ta raccotado che co i dati dipoibili, 437 potrebbe ache eere la vera media dei coti ell ASL coiderata; il tet dichiara o igificativa la differeza tra la media campioaria oervata e la media azioale; ovvero ci dice che o poiamo ecludere che la 437 ia il vero coto medio. Uità C-D Eercizio 1. Nella cotea di Chiare Acque da ai viee codotta u idagie per timare la proporzioe di catelli abitati da fate. L idagie è campioaria: ogi ao, oo coiderati 100 catelli etratti a cao e per ogi catello viee rilevato e ci abitao o meo delle fate. 1. Sapedo che quet ao il umero di catelli co fate el campioe è riultato pari a 38, cotruire u itervallo che icluda la vera proporzioe co ua probabilità (almeo approimativamete) uguale a 0,90.. I u vecchio libro, il duca di Dolci Acque ha critto che circa il 50% dei catelli della cotea di Chiare Acque è abitato da fate. Utilizzare u appropriato tet tatitico per verificare e i dati oo compatibili co queta affermazioe. 3. La vicia cotea di Freche Acque vuole da quet ao codure ua idagie aaloga. Durate ua riuioe il ciambellao addetto ai catelli fatati dice: La otra cotea ha il doppio di catelli della cotea di Chiare Acque. Quidi, affichè la tima della otra idagie abbia la tea preciioe dobbiamo ogi ao etrarre 00 catelli. Siete d accordo co il ciambellao? Certamete la deità dei catelli, fatati o meo, è altiima elle cotee di Chiare e Freche Acque. Quidi, o eattamete e l etrazioe è fatta co reitroduzioe o approimativamete e l etrazioe avviee eza reitroduzioe, poiamo upporre che per quato ci riguarda iao el Reame della Biomiale. Ovvero, poto y = umero catelli fatati etratti = umero catelli etratti e ipezioati ϑ = percetuale di catelli fatati ella cotea ˆϑ = y = tima della percetuale di catelli fatati ella cotea aumeremmo che y Bi(, ϑ). (a) La prima domada richiede di calcolare, quado y = 38 e = 100 u itervallo di cofideza che icluda co probabilità uguale (almeo approimativamete) a 90% il vero valore di ϑ. Sappiamo dall uità C che ua oluzioe è 15 16

10 l itervallo ˆϑ ± z 0,95 ˆϑ(1 ˆϑ) che el otro cao diveta 0,38(1 0,38) 0,38 ± 1,645 [0,30 ; 0,46]. 100 (b) La ecoda domada richiede di verificare, utilizzado gli tei dati di prima, il itema di ipotei { H0 : ϑ = 0,5 (= ϑ 0 ) Calcoliamo la tatitica tet uuale H 1 : ϑ 0,5 ( ϑ 0 ) ( ˆϑ ϑ 0 )/ ϑ 0 (1 ϑ 0 )/ = (0,38 0,5)/ 0,5 0,5/100 =,4. Il valore otteuto deve eere cofrotato co i valori previti da ua N(0, 1), ditribuzioe che decrive i valori che ci attediamo per la tatitica tet quado è vera H 0. Livello di igificatività prefiato. Le probabilità di errore di I tipo (α) uualmete coiderate i u approccio di queto tipo e i quatili corripodeti oo α = 0,1 z 1 α/ = 1,645 α = 0,05 z 1 α/ = 1,960, α = 0,01 z 1 α/ =,576; Il valore oervato per la tatitica ci porterebbe quidi a rifiutare H 0 per α = 0,1 e α = 0,05 e ad accettare H 0 e fiiamo α = 0,01. Riultati di queto tipo oo ormalmete decritti come igificativi (ma o altamete igificativi) cotro H 0. p-value. Può eere calcolato come Utilizzado R lo calcoliamo come > *(1-porm(.4)) [1] P(N(0, 1) >,4). Se abbiamo a dipoizioe olo ua tabella dei quatili di ua ormale poiamo oervare, ad eempio, che e, vito che ovviamete cocludere che P(N(0, 1),36) = 0,01 P(N(0, 1),576) = 0,005 P(N(0, 1),576) < P(N(0, 1),4) < P(N(0, 1),36) 0,01 < (livello igificatività oervato) < 0,0. La iterpretazioe è la tea di prima: i valori otteuti fao opettare parecchio di H 0 ma o proprio ecluderla. I defiitiva i riultati uggericoo che la ituazioe dei catelli fatati ella cotea di Chiare Acque dovrebbe eere cambiata dagli ai del viaggio e del relativo libro del Duca di Dolci Acque. L evideza a queto propoito o è però fortiima. (c) Il ciambellao è fuori trada. Quado lo icotreremo ricordiamoci di fargli oervare coe del tipo: (i) la ditribuzioe dell errore di tima della idagie dipede dalla percetuale di catelli fatati ella ua cotea (ϑ) e dal umero di catelli ipezioati (); (ii) come coegueza ache l ampiezza degli itervalli di cofideza dipede olamete da ˆϑ (e quidi idirettamete da ϑ), da e ovviamete ache dalla copertura deiderata (α). Neua traccia di dipedeza dal umero compleivo di catelli che, quidi, embra irrilevate per cegliere u valore appropriato per. [ota importate] Le affermazioi precedeti dipedoo i maiera cruciale dal tipo di campioameto adottato (e i queto cao ipotizzato). Soo vere el cao di u campioameto co reitroduzioe. Ma o el cao di u campioameto eza reitroduzioe 8 Eercizio 13. Sia y ua determiazioe di ua variabile cauale biomiale co umero di prove uguale a e probabilità di ucceo uguale ϑ. Dire i quali di quete ituazioi è poibile coiderare l approimazioe ormale alla ditribuzioe biomiale: 8 i pei alla ituazioe i cui ci iao 100 catelli ella cotea; e campioiamo co reitroduzioe 100 catelli li prediamo tutti e quidi o abbiamo eu errore di tima; vicevera e e campioiamo co reitroduzioe 100 catelli ma ce e oo 1000 ella cotea qualche errore poiamo commetterlo; quidi la ditribuzioe dell errore di tima ei due cai o può eere la tea

11 (a) = 10 e ϑ = 0,05; (b) = 10 e ϑ = 0,95; (c) = 100 e ϑ = 0,05; (d) = 100 e ϑ = 0,95; (e) = 10 e ϑ = 0,5; (f) = e ϑ = 0,9999; (g) = e ϑ = 0,0001; (h) = 30 e ϑ = 0,3. L approimazioe ormale alla ditribuzioe biomiale viee coiderata ragioevole e 9 mi(ϑ, 1 ϑ) 5. Quidi, ripodedo i e o per le ituazioi uggerite: (a) o; (b) o; (c) i; (d) i; (e) i; (f) o; (g) i; (h) i. Eercizio 14. I u recete rapporto la Polizia Stradale ha idicato che egli ultimi 80 icideti del abato era co almeo u morto, 57 pooo eere mei i relazioe co u ecceivo coumo di alcool. (a) Calcolare u itervallo di cofideza al 90% per la percetuale di icideti mortali del abato era legati all alcool. (b) Riaumere, i forma verbale, quello che ci raccota l itervallo. (a) Siamo el coteto di u campioameto biomiale (almeo e gli 80 icideti pooo eere coiderati idipedeti). Poiamo, ˆϑ = tima della proporzioe di icideti legati all alcool = umero di icideti legati all alcool = = umero totale di icideti = = 0,715 e α = 0,1. L itervallo di cofideza è ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 0,715 (1 0,715) 1 α/ = 0,715 ± 1,64 80 [0,63 ; 0,80]. 9 e la quatità a iitra è maggiore di 1 l approimazioe diveta quai accettabile; è comuque meglio limitari a coiderare il cao critto el teto. (b) Ua poibile decrizioe verbale è La proporzioe di icideti legati ad u coumo ecceivo di alcool è comprea, co alta probabilità (circa 90%), tra il 63% e l 80%. Si oti che parliamo di circa 90% e o di 90% perchè l itervallo è baato u alcue approimazioi (la biomiale è approimata da ua ormale co variaza è timata). Eercizio 15. U ricercatore ha formulato u modello teorico che prevede che il 40% di certe cellule dovrebbero godere di ua particolare proprietà. Due biologi coducoo u eperimeto per verificare il modello del loro collega. Ambedue iolao u certo umero di cellule del tipo coiderato e poi cotao, tra le cellule otteute, quelle che godoo della proprietà di iteree. I riultati oo riauti ella eguete tabella. cellule coiderate cellule co la proprietà di iteree () (y) primo biologo 0 10 ecodo biologo Aumedo che i poa far riferimeto ad ua ditribuzioe biomiale, (a) verificare che utilizzado l uuale tet ulla probabilità di ucceo di ua biomiale i due biologi arrivao a cocluioi differeti; (b) piegare verbalmete perchè queto accade ootate i dati di ambedue i biologi portio ad ua medeima tima della probabilità di trovare ua cellula co la proprietà di iteree. Al puto (a) ripodere calcolado (ache olo i maiera approimata) e commetado il livello di igificatività oervato. (a) Il itema d ipotei da verificare è H 0 : ϑ = 0,4 vero H 1 : ϑ 0,4 dove ϑ idica la probabilità che ua cellula del tipo coiderato abbia la proprietà di iteree. L uuale tatitica tet è y z = 0,4 0,4(1 0,4) 19 0

12 e il livello di igificatività oervato è P (N(0, 1) z) + P (N(0, 1) z) = P (N(0, 1) z). Co i dati dei due biologi otteiamo primo biologo: z = (0,5 0,4)/ 0,4 0,6/0 0,91; coultado delle tavole dei quatili di ua ormale tadard, troviamo che 0,91 è compreo tra il quatile 0,815 e il quatile 0,80 ovvero che 0,815 < P (N(0, 1) < 0,91) < 0,85; perciò il livello di igificatività oervato è compreo tra 0,36 e 0,37; il valore è grade; accettiamo H 0 : i riultati perimetali otteuti dal primo biologo oo compatibili co quato predetto dal modello teorico ; ecodo biologo: z = (0,5 0,4)/ 0,4 0,6/000 9,13; queto valore è oltre tutti i quatili uualmete tabulati di ua ormale tadard; i queto cao il livello di igificatività oervato è 0; rifiutiamo quidi H 0 : i dati del ecodo biologo cotratticoo quato predetto dal modello teorico. (b) La tima della probabilità che u cellula del tipo coiderato abbia la proprietà di iteree vale 0,5 i ambedue gli tudi. Nel primo tudio oo tate però coiderate pochiime cellule (0). L errore della tima è perciò piuttoto grade e teedo coto di queto o riulta poibile ecludere che la vera probabilità ia 0,4. La umeroità delle cellule coiderate dal ecodo biologo è tata deciamete più grade (000). Co queta umeroità otteiamo time molto più precie della vera probabilità e, difatti, iamo i grado di ecludere che poa eere 0,4. Queta differeza può eere fatta toccare co mao e i calcolao, ei due cai, degli itervalli di cofideza. Ad eempio 10 degli itervalli di cofideza di livello 95% valgoo i queto cao: da a dati del primo biologo 0,8 0,7 dati del ecodo biologo 0,48 0,5 Il primo iclude 0,4 tra i valori di ϑ plauibili, il ecodo o. Eercizio 16. I ua recete idagie codotta egli Stati Uiti è tato rilevato, tra le altre coe, che 40 delle 90 famiglie itervitate poedeva almeo ua pitola o u altra arma da fuoco. Determiare u itervallo di cofideza al 95% per la proporzioi di famiglie tatuitei che poiede u arma da fuoco. 10 lo tudete voleteroo lo verifichi. Facciamo riferimeto ad ua ditribuzioe biomiale. Allora l itervallo di cofideza è ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 0,444 (1 0,444) 1 α/ 0,444 ± 1,96 = [0,34 ; 0,55]. 90 Eercizio 17. L America Automobile Aociatio ha riportato che la percetuale di icideti egli Stati Uiti attribuibili ad errori del guidatore è 54%. L Automobile Club Italiao, ezioe veeta, ha aalizzato le caue di 100 icideti i cui erao tati coivolti uoi oci. Il umero di icideti attribuibili al guidatore è riultato pari a 47. Sulla bae di queti dati ha rilaciato u comuicato tampa i cui i dichiarava che I guidatori veeti oo più bravi dei guidatore degli Stati Uiti. Ifatti, metre egli Stati Uiti, più del 50% degli icideti è dovuto ad errori di guida, el Veeto queta percetuale è iferiore al 50%. Queta dichiarazioe è corretta per almeo due motivi. Spiegare quali. Nota. Tolta la percetuale del 54% riferita dall AAA il reto dell eercizio è ivetato. Quidi o i offeda euo. 1 motivo. Il primo errore ta el geeralizzare a tutti i guidatori veeti delle cocluioi riferite ad icideti i cui oo coivolti oci ACI. No tutti i guidatori oo oci ACI. E potrebbero eerci delle differeze tra i due gruppi (oci e o oci dell ACI). Ad eempio, i oci ACI potrebbero eere le peroe più attete/itereate alla guida e alle automobili e quidi, magari, ache più eperte. motivo. Il ecodo errore è che o i è teuto coto del fatto che erao a dipoizioe olo iformazioi campioarie. Ad eempio, facedo riferimeto alla biomiale, u itervallo di cofideza al 95% per la probabilità che u icidete i cui ia coivolto u ocio veeto dell ACI è 0,47 0,53 0,47 ± 1,96 = [0,37 ; 0,57]. 100 Quidi la proporzioe di idideti dovuti a caua umaa potrebbe eere più grade del 50% e ache più grade dell aaloga proporzioe trovata egli Stati Uiti. 1

13 Alterativamete, ma arrivado alla tea cocluioe, i oervi che i dati a dipoizioe oo compatibili co l ipotei che la percetuale di icideti co caua umaa ia ella popolazioe da cui provegoo i dati uguale a quella tatuitee. Sempre facedo riferimeto alla biomiale, la tatitica tet è ifatti z = 0,47 0,54 0,54 0, ,40. Queto valore, da cofrotare co quelli poibili per ua N(0, 1), o ci permette di rifiutare 11 l ipotei che la vera percetuale el Veeto (per i oci ACI) valga 0,54. Eercizio 18. Prima di u referedum oo tate itervitate 605 peroe etratte a cao tra gli aveti diritto al voto. Di queti, 107 hao dichiarato di o avere itezioe di adare a votare. Sulla bae di queti dati quale delle egueti affermazioi farete: (A) il quorum arà certamete raggiuto; (B) è molto plauibile che il quorum vega raggiuto; (C) o poo cocludere e il quorum verrà o o verrà raggiuto. (D) è poco plauibile che il quorum vega raggiuto. Ripodere utilizzado u itervallo di cofideza. Poiamo peare di eere el coteto di u campioameto di tipo biomiale. Il parametro di iteree (la probabilità di ucceo della biomiale che idicheremo co ϑ) è i queto cao la percetuale di elettori che i recherao a votare. Scegliamo di utilizzare u itervallo di cofideza co probabilità di copertura pari al 99%. ˆϑ = y = ,463 α = 0,01 z 1 α/ =,576 z 1 α/ ˆϑ(1 ˆϑ) 0,463(1 0,463),576 0, dicutelo per completare l eercizio ia utilizzado u α fio che calcolado il livello di igificatività oervato. ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 1 α/ 0,463 ± 0,05 = [0,438 ; 0,488] L itervallo di cofideza idica che i valori per la percetuale di votati plauibili ulla bae dei dati oo tutti più piccoli del 50%. Difficile dire co certezza che coa accadrà. Però embra poco plauibile ulla bae di queti dati che il quorum vega raggiuto (affermazioe D). Eercizio 19. Dall agezia che coduce le idagii di mercato per l azieda i cui lavorate ricevete u rapporto coteete la eguete frae: Sulla bae di <umero illegibile> itervite telefoiche, poiamo dire che la percetuale di doe tra i 18 e i 5 ai itereate al uovo prodotto che tate per immettere ul mercato è comprea tra il 4% e il 3% co ua probabilità pari al 90%. Secodo voi, quate itervite telefoiche oo tate fatte? E veroimile che ia tato utilizzato u itervallo di cofideza baato ulla biomiale del tipo ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 1 α/. Il puto cetrale di queto itervallo è ˆϑ. Quidi el cao i eame deve eere ˆϑ = 0,4 + 0,3 = 0,8. Ioltre il livello di copertura dell itervallo è 90%. Quidi, α = 0,1 z 1 α/ = 1,645. Sfruttado la emiampiezza dell itervallo dato poiamo crivere ˆϑ(1 z ˆϑ) 0,3 0,4 1 α/ = = 0,04 dove l uica icogita rimata dopo le coiderazioi precedeti è proprio. Riolvedo quidi per troviamo ( ) ( ) z1 α/ 1,645 = ˆϑ(1 ˆϑ) = 0,8(1 0,8) ,04 0,04 3 4

14 Eercizio 0. U gruppo di medici vuole timare l efficacia di u protocollo di terapia recetemete propoto per curare ua certa patologia. Ha quidi decio di utilizzare il uovo protocollo per i proimi pazieti e di rilevare u di ei, dopo u tempo appropriato, il carattere dicotomico guarito o o guarito. Si idichi co il umero di pazieti che etrerao ello tudio e co y il umero di pazieti che guarirà. Si auma ioltre che y Bi(, ϑ) dove ϑ deota la probabilità che u paziete trattato guarica e i poga ˆϑ = y (ovvero ˆϑ è l uuale tima di ϑ calcolata dai dati). Si determii i maiera tale che ( ) P ˆϑ ϑ 0,0 0,99. Defiiamo δ = 0,0, α = 0,01. z 1 α/ =,576 = ( percetile 1 α/ di ua N(0, 1) Il problema chiede di determiare la umeroità campioaria () i maiera tale che l errore di tima (ˆϑ ϑ) ia più piccolo, i valore aoluto, di δ co probabilità maggiore di 1 α. Ricordado quello che appiamo ugli itervalli di cofideza per la probabilità di ucceo di ua biomiale quato richieto accade e z 1 α/ ϑ(1 ϑ) δ. Iolado ella diequazioe precedete troviamo ( z1 α/ δ ) ϑ(1 ϑ). L ultima diequazioe deve eere oddifatta per ogi θ quidi deve riultare ( z1 α/ δ up ϑ(1 ϑ). ϑ [0,1] ) E facile verificare che Ifatti up ϑ(1 ϑ) = 1 ( 1 1 ) = 1 ϑ [0,1] 4. dϑ(1 ϑ) dϑ > 0 e 0 ϑ < 1 = 1 ϑ = = 0 e ϑ = 1 < 0 e 1 < ϑ 1 e quidi ϑ(1 ϑ) è crecete tra 0 e 1/ e decrecete tra 1/ e 1 ovvero ha u maimo quado ϑ = 1/. I defiitiva troviamo ( z1 α/ ) ( ) 1,576 δ 4 = 1 0, ,4. e poichè, per coiderazioi ia etiche che di tempo/coto, è meglio limitare il più poibile il umero di pazieti coivolti embra aturale cegliere la umeroità campioaria più baa tra quelle che garaticoo la preciioe richieta ovvero porre = [ota] Il problema o preciava poibili valori per ϑ. Lo abbiamo riolto quidi difededoci ripetto alla ituazioe meo favorevole. Speo elle applicazioi eitoo delle iformazioi a priori u ϑ che pooo eere utilizzate per determiare la umeroità campioaria. Ad eempio e ci apetta che ϑ 0,85 potremmo porre ( z1 α/ ) ( ),576 0,85(1 0,85) = 0,85(1 0,85) 115. δ 0,0 Ovviamete procededo i queta maiera o iamo icuri di riucire a ripettare co certezza la codizioe richieta però, come i può vedere ache dall eempio umerico, i può arrivare ad u valore di iferiore. Eercizio 1. Sia y ua determiazioe di ua variabile cauale biomiale co umero di prove uguale a e probabilità di ucceo ϑ. Si uppoga che ia ufficetemete grade per poter utilizzare l approimazioe ormale. (a) Si cotruica u tet appropriato per verificare il itema di ipotei uilaterale H 0 : ϑ ϑ 0 vero H 1 : ϑ > ϑ 0 dove ϑ 0 è u valore aegato. (a) Si applichi il tet alla ituazioe i cui y = 558, = 1000 e ϑ 0 = 0,5. 5 6

15 (a) Nel cao bilaterale abbiamo coiderato la tatitica tet z = ˆϑ ϑ 0 ϑ0 (1 ϑ 0 )) dove ˆϑ = y/ idica la tima della probabilità di ucceo. z embra ua tatitica adeguata ache el cao di ua ipotei uilaterale. Ifatti ci apettiamo che otto H 1 auma valori più gradi di quato accade otto H 0 e quidi z embra eere i grado di dicrimiare tra le due ipotei. Si oervi che alla frotiera tra le due ipotei, ovvero quado ϑ = ϑ 0, z i ditribuice (approimativamete) come ua N(0, 1). Poiamo iterpretare i valori di z ella eguete maiera: valori più piccoli di quelli che ci apettiamo da ua N(0, 1) (ad eempio, z = 3): veroimilmete ϑ < ϑ 0 quidi dovremmo accettare H 0 ; valori poibili per ua N(0, 1) (ad eempio z = ±1): il vero valore di ϑ potrebbe ache eere ϑ 0 ; quidi o poiamo ecludere che l ipotei ulla ia vera; ache i queto cao accetteremmo H 0 ; valori più gradi di quelli che ci apettiamo da ua N(0, 1) (ad eempio: z = +3): i dati ci tao uggeredo che ϑ dovrebbe eere maggiore di ϑ 0 ; i queto cao dovremmo quidi rifiutare H 0. Queta diamia uggerice 1 di accettare l ipotei ulla quado z h cegliedo la oglia h uguale ad u quatile alto di ua N(0, 1) ovvero a z 1 α per qualche valore di α piccolo ma o ullo. (b) Nel cao idicato troviamo ˆϑ = 558/1000 = 0,558. Quidi z = ˆϑ ϑ 0 ϑ0 (1 ϑ 0 )) = 0,558 0,5 0,5(1 0,5)) ,67. Queto valore è più grade di quelli che ci i apetta di etrarre da ua N(0, 1). I particolare i oervi che, utilizzado la oglia h propota prima per alcui uuali valori di α, arriviamo a rifiutare l ipotei ulla. α = 0,05 z 1 α = z ,65 α = 0,01 z 1 α = z 0.99,33 1 ed è quello che comuemete i fa i u itema di ipotei uilaterale Eercizio. Calcolare (ache olo i maiera approimata) il livello di igificatività oervato per il tet codotto ell uità B ugli peori di 5 latre di metallo. Sappiamo che 13 la tatitica tet utilizzata vale 6,75; ci apettiamo valori della tatitica itoro allo zero quado è vera H 0 e lotai da zero, ia vero che vero +, quado è vera H 1. la ditribuzioe otto H 0 della tatitica tet è ua ormale tadard; I queta ituazioe il livello di igificatività oervato è P (N(0, 1) 6,75) + P (N(0, 1) 6,75) = P (N(0, 1) 6,75). Da ua tavola dei quatili della ormale tadard, troviamo che 6,75 è più grade del quatile-0,999 di queta ditribuzioe. Quidi, P (N(0, 1) 6,75) < 0,001 e perciò il livello cercato è miore di 0,00. U valore coì piccolo è altamete igificativo cotro l ipotei formulata. I defiitiva, el mometo i cui oo tati rilevati gli peori delle 5 latre il proceo produttivo, veroimilmete, o era be tarato. Eercizio 3. Si coideri il diagramma di diperioe motrato ella figura 1. Calcolado il livello di igificatività oervato del tet decritto ell eercizio 9 i quale dei egueti itervalli [ 1; 0,5) [ 0,5; 0,05) [ 0,05; 0) [0; 0,05) [0,05; 0,5) [0,5; 1] vi apettate che cada? Il livello di igificatività oervato o può certamete eere egativo (è ua probabilità). Queto eclude i primi tre itervalli. Ioltre, il diagramma motra chiaramete la preeza di ua correlazioe lieare. Ci apettiamo quidi che il tet la egali. Il valore della tatitica tet che ci attediamo arà quidi più grade dei valori prevedibili da ua ormale tadard. Per queto motivo o ci apettiamo che il livello di igificatività oervato cada i uo degli ultimi due itervalli. 13 vedi lucidi delle lezioi. 7 8

16 I defiitiva l itervallo [0; 0,05] dovrebbe coteere il livello di igificatività oervato. [ota per i curioi] il livello di igificatività calcolato co i dati ella figura è dell ordie di Eercizio 4. Solo chi o a co è il livello di igificatività oervato può commettere u errore di I tipo e, applicado u certo tet tatitico, ottiee u livello di igificatività oervato uguale a 0,5? y 4 0 E vero. Co u livello di igificatività coì grade è abbataza aurdo rifiutare H 0. Quidi o i può commettere u errore di I tipo (rifiutare H 0 quado doveva eere accettata). Eercizio 5. Se coducedo u certo tet tatitico i perviee ad u livello di igificatività oervato uguale a 0, olo uo tatitico ieperto potrebbe commettere u errore di II tipo? E vero. Co u livello di igificatività coì piccolo uo tatitico eperto rifiuta H 0. Quidi o può commettere u errore di II tipo (accettare H 0 quado doveva eere rifiutata). Eercizio 6. Quado, coducedo u certo tet tatitico i perviee ad u livello di igificatività oervato miore di 0,00001, è impoibile commettere u errore di II tipo? Figura 1: Diagramma di diperioe x Co u livello di igificatività coì piccolo ormalmete i rifiuta H 0. Quidi, purtroppo, è poibile commettere u errore di II tipo (rifiutare H 0 quado doveva eere accettata). L affermazioe perciò è fala. 9 30

17 Uità E-F Eercizio 7. La eguete tabella di cotigeza motra come 319 tudeti uiveritari di varie uiverità i ditribuicoo ulla bae delle due variabili Tipo di maturità e Numero di eami uperati durate il 1 ao. Eami uperati Maturità > 5 Claica Scietifica Altre (a) Aalizzare la dipedeza eitete tra le due variabili co gli trumeti a voi oti. (b) Calcolare ua tima della probabilità che, a precidere dalla maturità di proveieza, uo tudete faccia più di 5 eami. Calcolare ioltre u itervallo di cofideza per la medeima probabilità co u livello di copertura uguale a 0,95. (a) Completiamo la tabella di cotigeza co le ditribuzioi margiali e calcoliamo le frequeze relative codizioate di riga (vito che quello che iterea è capire e il tipo di maturità iflueza l eito) e le frequeze attee i ipotei di idipedeza. Tabella completata co le ditribuzioi margiali Eami uperati Maturità > 5 totale Claica Scietifica Altre totale Ditribuzioi del umero di eami uperati: margiale e codizioate al tipo di maturità (frequeze relative) Eami uperati Maturità > 5 totale Claica 0,09 0,6 0,9 1 Scietifica 0,04 0,57 0,39 1 Altre 0,1 0,55 0,34 1 totale 0,09 0,58 0,34 1 Commeto: Gli tudeti proveieti dallo Scietifico iclui el campioe embrao eere adati leggermete meglio degli altri (olo u 4% ella categoria 0 1 eami cotro ua frequeza margiale del 9%, 39% ella categoria co più di 5 eami dove la frequeza margiale è del 34%). Gli tudeti proveieti dal Claico vao leggermete meglio di quelli proveieti da altre maturità per quato riguarda la proporzioe di tudeti co più di 1 eame ma peggio per quato cocere la proporzioe di tudeti ottimi (più di 5 eami). Frequeze attee i ipotei di idipedeza Eami uperati Maturità > 5 totale Claica 9,48 6,9 36,3 108 Scietifica 8,08 53,07 30,86 9 Altre 10,45 68,64 39,9 119 totale Commeto. I commeti oo gli tei di quelli fatti guardado alla precedete tabella. Ad eempio, guardado alla riga degli tudeti proveieti dallo Scietifico vediamo che, e ci foe tata idipedeza tra maturità e riultato al 1 ao, (i) ci aremmo apettati di trovare 8 tudeti co 1 o meo eami metre e abbiamo oervati olo 4 (cioè la metà) e (ii) vicevera, abbiamo trovato 36 tudeti co più di 5 eami el campioe quado ce e aremmo attei 30/31. La dipedeza appea decritta el campioe è ua maifetazioe di ua ituazioe di dipedeza ache ella popolazioe da cui il campioe è tato etratto? Oppure la dipedeza oervata può eere più baalmete u emplice effetto del cao? Proviamo, per ripodere a quete domade, a coiderare il eguete itema d ipotei ( ) tra tipo di maturità e umero di eami H 0 : al 1 ao eite idipedeza H 1 : (qualche forma di dipedeza eite) La popolazioe di riferimeto di iteree è ovviamete qualcoa del tipo tutti gli tudeti uiveritari al primo ao dell ao i cui è tata codotta l idagie. Calcoliamo iazitutto l X di Pearo X = (10 9,48) 9, (40 39,9) 39,9 = 5,48 Queto valore otto H 0 i ditribuice (approimativamete) come u χ di Pearo co 4 gradi di libertà 14. Poiamo dicutere i riultati i varie maiere alterative ma ella otaza (e elle cocluioi) equivaleti: 14 la più piccola della frequeze attee è circa 8 quidi poiamo fare riferimeto a queto riultato aitotico. 31 3

18 * Figura : Deità di u χ co 4 gradi di libertà. La tellia ull ae delle acie idica il valore calcolato di X. (i) da ua tabella dei quatili di u χ troviamo quatile-0,75 di u χ co 4 gradi di libertà = 5,39 quatile-0,90 di u χ co 4 gradi di libertà = 7,78 quidi il valore oervato (5,48) o è particolarmete grade ripetto ai valori attei otto l ipotei di idipedeza (i veda ache la figura ). (ii) dato che per queto tet lotao da H 0 equivale a lotao da 0, dalle iformazioi di prima ui quatili, troviamo 0,10 < (livello di igificatività oervato) < 0,5. Queti valori oo ufficietemete gradi per o permetterci di dubitare dell ipotei ulla 15. (iii) peado ad u approccio co livello di igificatività prefiato dovremmo cofrotare il valore oervato di X co il quatili 1 α (co α piccolo e celto dall utilizzatore) di u χ co 4 gradi di libertà, e rifiutare l ipotei ulla e il valore calcolato dai dati è maggiore del percetile precelto. Valori uuali per α e i relativi quatili 1 α oo α = 0,10 quatile 0,90 = 7,78 α = 0,05 quatile 0,95 = 9,49 α = 0,01 quatile 0,99 = 13,8 Il valore oervato è più piccolo di tutti queti quatili. Quidi, ache utilizzado queto approccio accettiamo H 0. I cocluioe: la dipedeza oervata el campioe di 319 tudeti tra eito all uiverità e tipo di cuola uperiore di proveieza potrebbe eere dovuta emplicemete al cao; ulla bae di queti dati, o abbiamo elemeti per peare che ella popolazioe di tudeti da cui oo tati etratti gli tudeti il umero di eami uperati dipeda dalla cuola media di proveieza. (b) Seza teer coto della cuola di proveieza, abbiamo che y = 107 tudeti tra gli = 319 coiderati hao durate il primo ao uperato più di 5 eami. Poiamo peare di eere el coteto di u campioameto biomiale 16 ovvero che y Bi(, ϑ) dove ϑ è la probabilità di uperare più di 5 eami al primo ao. La tima di ϑ è ˆϑ = y = ,33. U itervallo di cofideza (probabilità che icluda il vero ϑ approimativamete uguale a 1 α = 0,95) è ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 0,33(1 0,33 1 α/ = 0,33 ± 1,96 0,33 ± 0,05 = [0,8 0,38] il valore calcolato co R è > 1-pchiq(5.48,4) [1] il campioameto i ituazioi di queto tipo è empre eza reierimeto ma la popolazioe di riferimeto è compota da qualche cetiaio di migliaia di tudeti

19 Eercizio 8. Tra gli effetti collaterali di u certo farmaco c è il bruciore di tomaco. Durate uo tudio, a 00 pazieti oo tate ommiitrate pillole i cui il farmaco era mecolato co ua otaza tampoe A, ad altri 100 pazieti pillole compredeti la otaza tampoe B ed, ifie, ad ulteriori 50 pazieti pillole compredeti la otaza tampoe C. La percetuale di pazieti che hao maifetato bruciori di tomaco è tata ripettivamete 1% el gruppo che aveva ricevuto A, 17% el gruppo B e 14% el gruppo C. (a) Dire, utilizzado u appropriato tet tatitico, e le differeze oervate tra i tre gruppi pooo eere attribuite al cao. (b) Cotruire u grafico che motri per ogi otaza tampoe ia la tima che u itervallo di cofideza al 90% per la probabilità di avere dei bruciori. (a) Dalle iformazioi forite el teto del problema poiamo ricotruire la equete tabella di cotigeza otaza tampoe bruciore A B C totale o i totale La prima domada chiede di verificare e, ulla bae dei dati, ci apettiamo che ci ia ua differete capacità delle tre otaze di tampoare gli effetti ideiderati del farmaco coiderato. Differeti probabilità di tampoare equivalgoo ovviamete alla dipedeza tra ommiitrazioe della otaza tampoe e preeza di bruciore. Poiamo perciò utilizzare il tet X di Pearo, calcolato a partire dalla tabella di opra, per ripodere alla domada: (i) frequeze attee i ipotei di idipedeza otaza tampoe bruciore A B C totale o 17,36 86,18 15, i 7,64 13,8 34,55 76 totale (ii) il valore della tatitica tet è X = (176 17,36) 17, (35 34,55) 34,55 = 1,41; (iii) il valore oervato di X va cofrotato co i valori prevedibili per u χ di Pearo co gradi di libertà; (iv) i ua tabella dei percetili di queta ditribuzioe troviamo che 1,41 (mediaa di u χ co gradi di libertà) = 1,39; il valore oervato è perciò più o meo al cetro dei valori che ci apettiamo di oervare quado o eite dipedeza 17. I cocluioe: i dati uggericoo che o ci oo differeze di efficacia tra le tre otaze tampoe. (b) Calcoliamo gli itervalli di cofideza facedo riferimeto al procedimeto vito per ua ditribuzioe biomiale ˆϑ(1 ˆϑ ± z ˆϑ) 1 α/ oervado che i queto cao le time (ˆϑ) e le umeroità () oo idicate eparatamete per le tre otaze tampoe el teto e che, empre el teto, è richieto di porre 1 α = 0,9 1 α/ = 0,95 z 1 α/ = 1,645. Calcolo degli itevalli di cofideza: otaza A. 0,1 ± 1,645 0,1(1 0,1)/00 = [0,08 0,16]; otaza B. 0,17 ± 1,645 0,17(1 0,17)/100 = [0,11 0,3]; otaza C. 0,14 ± 1,645 0,14(1 0,14)/50 = [0,10 0,18]; Il grafico richieto diveta quidi qualcoa imile a quello della figura 3. Si oervi come gli itevalli di cofideza iao ovrappoti tra di loro. Queto di uovo è ua idicazioe che i dati oervati ello tudio oo compatibili co ua efficacia uguale delle tre otaze. Eercizio 9. La ordità (di origie geetica) è purtroppo diffua tra le gatte biache europee. Uo zoologo otiee che il carattere è più diffuo tra le gatte biache co gli occhi aracioi che tra le gatte biache co gli occhi celeti. A prova della ua affermazioe riporta la eguete tabella cotigeza colore degli occhi orda aracioi celeti i o 8 14 (a) Vi embra codiviibile l affermazioe dello zoologo? (b) Determiare, eparatamete per i due gruppi, u itervallo di cofideza al 95% per la frazioe (ella popolazioe di tutte le gatte biache da cui le gatte utilizzate ello tudio provegoo) orde. 17 alterativamete ed equivaletemete dicutere il riultato utilizzado il livello di igificatività oervato o via accetto/rifiuto

20 * * * A B C (a) Le differeze delle percetuali el campioe di gatte orde tra i due colori oo molto gradi (68% tra le gatte co occhi aracioi, 44% tra le gatte co occhi celeti). Però e i calcola X (=,9) e i cofrota il valore trovato co la ditribuzioe attea otto H 0 (χ co 1 grado di libertà) i coclude a favore di ua dubbioa accettazioe (o di u dubbioo rifiuto) dell ipotei che la ordidà o dipeda dal colore degli occhi (p value 0,08 ad eempio). Le differeze richiamate prima potrebbero perciò ache eere dovute al cao. Probabilmete il otro zoologo dovrebbe ripetere l eperimeto guardado gli occhi a più gatte (la umeroità è piccola e quidi gli errori attei oo gradi); (b) Calcoliamo gli itervalli di cofideza facedo riferimeto alla ditribuzioe biomiale. Il riultato è per le gatte co gli occhi aracioi [0,48 0,83] e per le gatte gli occhi celeti [0,7 0,63]. Il commeto è imile a prima: i dati idicao che le gatte co occhi celeti potrebbero eere meo epote alla ordità; però o oo ufficieti per ecludere la poibilità che la proporzioe di gatte orde ei due gruppi ia la tea (ad eempio, i due itervalli di cofideza preetao dei valori comui). Queta icapacità di dicrimiare è certamete legata alla cara umeroità campioaria (i guardi l ampiezza degli itervalli di cofideza). Eercizio 30. Nel reparto Cotrollo di Qualità di ua azieda i vuole apere e la frequeza co cui vegoo preetati dei reclami al call-ceter varia ei diveri giori della ettimaa. Per farlo ha elezioato a cao ua ettimaa e rilevato il umero di reclami preetati ei vari giori. I dati otteuti oo gioro luedì martedì mercoledì giovedì veerdì reclami Secodo voi le differeze oervate ei vari giori oo igificative? Figura 3: Tre otaze tampoe: itervalli di cofideza per le proporzioi di pazieti co bruciori Siamo el reame di X e χ utilizzati per verificare l adattameto di u modello teorico. Aumedo che le frequeze oervate (O 1,..., O 5 ) = (30, 3, 38, 3, 5) ia ua determiazioe di ua variabile cauale Multiomiale(157, (p 1,..., p 5 )) l ipotei ulla otto verifica è H 0 : p 1 = = p 5 = 1 5 vero l ipotei alterativa H 1 : almeo ua delle uguagliaze previte da H 0 è fala. Le frequeze attee otto H 0 oo 37 38